公开课3.3.2简单的线性规划问题(1)解析
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3.3.2简单的线性规划问题
2
x 1
2
y
2
x 1 y
2 2
2
y
x 2y +7 0
A （9, 8）
B
P
(-1，0)
.o
4x-3 y-12 0
C x
x 2y-3=0
19
迁移变式
已知变量 x，y 满足约束条件 y 6 ，则 的最大值是 ________ ，最小值是 x
12
练习3： 求z=3x+5y的最大值和最小值,使x、y满足约束条件
3 z z x 2 y y - x+ 5 5
y 5
5 x 3 y 15, y x 1, x 5 y 3.
y x 1
B (1.5,2.5) 1 o C 3 x
x 5y 3
15
x－ 2y＋7≥0， 已知 x、y 满足约束条件4x－3y－12≤0， x＋ 2y－3≥0
求：
(1)
t＝x2＋y2 的最值；
(2) (3)
y＋3 z＝ 的最值． x＋3 z＝x ＋y ＋2x＋1 的最值
2 2
[分析] 把所求问题赋给相关的几何意义， 即转化为几何问题解决：距离（平方）与斜率． 16
3.3.2 简单的线性规划问题
1
一.情境引入
1.在同一坐标系内作出下列直线，你能得到什么结论？ 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如2 x y t (t 0) 的直线与2 x y 0平行.
o
问题：你知道2x+y=t中t的几何意义吗？ 2x-y=t中t的几何意义呢？
x 1
2
y
2
x 1 y
2 2
2
y
x 2y +7 0
A （9, 8）
B
P
(-1，0)
.o
4x-3 y-12 0
C x
x 2y-3=0
19
迁移变式
已知变量 x，y 满足约束条件 y 6 ，则 的最大值是 ________ ，最小值是 x
12
练习3： 求z=3x+5y的最大值和最小值,使x、y满足约束条件
3 z z x 2 y y - x+ 5 5
y 5
5 x 3 y 15, y x 1, x 5 y 3.
y x 1
B (1.5,2.5) 1 o C 3 x
x 5y 3
15
x－ 2y＋7≥0， 已知 x、y 满足约束条件4x－3y－12≤0， x＋ 2y－3≥0
求：
(1)
t＝x2＋y2 的最值；
(2) (3)
y＋3 z＝ 的最值． x＋3 z＝x ＋y ＋2x＋1 的最值
2 2
[分析] 把所求问题赋给相关的几何意义， 即转化为几何问题解决：距离（平方）与斜率． 16
3.3.2 简单的线性规划问题
1
一.情境引入
1.在同一坐标系内作出下列直线，你能得到什么结论？ 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如2 x y t (t 0) 的直线与2 x y 0平行.
o
问题：你知道2x+y=t中t的几何意义吗？ 2x-y=t中t的几何意义呢？
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
在线性约束条件下，求目标函数最小值.
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
3.3.2简单的线性规划问题ppt
2
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
2
4
6
8
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日 生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所 安排的生产任务x,y才有意义。
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
三、例题 例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
工厂的厂长，你将会面对 1 4 0 生产安排、资源利用、人 力调配的问题 …… 4 2 0
x, y 0
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件，
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
2
4
6
8
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日 生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所 安排的生产任务x,y才有意义。
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
三、例题 例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
工厂的厂长，你将会面对 1 4 0 生产安排、资源利用、人 力调配的问题 …… 4 2 0
x, y 0
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件，
3.3.2 简单的线性规划问题 课件
3.3.2
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
课题名称：简单的线性规划问题(教案)
高一数学备课组（潘洪存）
三维教学目标
知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；
②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；
③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略
1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
教学过程设计。
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.3.2简单线性规划(第1课时)课件
3.3.2 简单线性规划问题
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
3.3.2简单的线性规划问题1
解，它们都叫做这个问题的最优解.
线性约束条件.
线性规划问题
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x0 y0
y
x =4
y=3
可行 域
x+2y-8=0
x
O
可行解 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数
的点）就代表所有可能的日生产安排。
（4）尝试解答：
（1车皮甲种肥料产生利润1万元，乙种肥料产生利润0.5万元）
【例3】一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生 产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
4 x＋y 10 18x 15y 66 ＋ x 0 y 0
x
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图： 把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
五.课堂练习
1.解下列线性规划问题： （ ）求z 2 x y的最大值，使 、y 1 x y x, 满足约束条件 x y 1, y 1. （2）求z 3 x 5 y的最大值和最小值， 5 x 3 y 15, 使x、y满足约束条件 y x 1, x 5 y 1.
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x0 =0
线性约束条件.
线性规划问题
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x0 y0
y
x =4
y=3
可行 域
x+2y-8=0
x
O
可行解 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数
的点）就代表所有可能的日生产安排。
（4）尝试解答：
（1车皮甲种肥料产生利润1万元，乙种肥料产生利润0.5万元）
【例3】一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生 产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
4 x＋y 10 18x 15y 66 ＋ x 0 y 0
x
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图： 把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
五.课堂练习
1.解下列线性规划问题： （ ）求z 2 x y的最大值，使 、y 1 x y x, 满足约束条件 x y 1, y 1. （2）求z 3 x 5 y的最大值和最小值， 5 x 3 y 15, 使x、y满足约束条件 y x 1, x 5 y 1.
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x0 =0
高二数学人教A必修5课件：3.3.2 简单的线性规划问题 (一)
线性约束
的可行解 条件下求线性目标函
数的最大值或最小值问题
2.目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝ ，在y轴上的截距是 ，当z变化时，方程表示一 的直线.
a z － x＋ 组 b b
最
当b互相平行 >0，截距最大时，z取得最
z b
值，截距最小时，z取得 值，截距最小时，z取得
答 如图，由于这些直线的斜率是确定 的，因此只要给定一个点，就能确定一 条直线，因而确定出唯一截距 ，
z 3
z 与不等式组(1)表示的区域的交点 x ＋ 3 3 坐标满足不等式组(1)，而且当截距最大时 z，z取得最大值. 3 z 因此，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距3最大.
2 z 由图可以看出，当直线 y＝－3x＋3经过直线 x＝4 与直线 x z 14 ＋2y－8＝0 的交点 M(4,2)时， 截距 的值最大， 最大值为 ， 3 3 这时 2x＋3y＝14.所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件 时，工厂可获得最大利润 14 万元.
探究点一
线性规划中的基本概念
问题 某工厂用A、B两种配件生产甲，乙两种产品，每生
产一件甲种产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙种产
品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有 可能的日生产安排是什么？若生产1件甲种产品获利2万元 ，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最 大？
任务x，y都是有意义的，就代表所有可能的日生产安排.
思考3
采用哪种生产安排利润最大问题应当转化成怎样的
问题来解答？
答 设生产甲产品 x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为 z
的可行解 条件下求线性目标函
数的最大值或最小值问题
2.目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝ ，在y轴上的截距是 ，当z变化时，方程表示一 的直线.
a z － x＋ 组 b b
最
当b互相平行 >0，截距最大时，z取得最
z b
值，截距最小时，z取得 值，截距最小时，z取得
答 如图，由于这些直线的斜率是确定 的，因此只要给定一个点，就能确定一 条直线，因而确定出唯一截距 ，
z 3
z 与不等式组(1)表示的区域的交点 x ＋ 3 3 坐标满足不等式组(1)，而且当截距最大时 z，z取得最大值. 3 z 因此，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距3最大.
2 z 由图可以看出，当直线 y＝－3x＋3经过直线 x＝4 与直线 x z 14 ＋2y－8＝0 的交点 M(4,2)时， 截距 的值最大， 最大值为 ， 3 3 这时 2x＋3y＝14.所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件 时，工厂可获得最大利润 14 万元.
探究点一
线性规划中的基本概念
问题 某工厂用A、B两种配件生产甲，乙两种产品，每生
产一件甲种产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙种产
品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有 可能的日生产安排是什么？若生产1件甲种产品获利2万元 ，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最 大？
任务x，y都是有意义的，就代表所有可能的日生产安排.
思考3
采用哪种生产安排利润最大问题应当转化成怎样的
问题来解答？
答 设生产甲产品 x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为 z
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设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y 2 x z 33
它表示斜率为 轴上的截距为
z
2
3的在直y
线。
3
y
当z变化时，可以得
4
到一族互相平行的
直线。
3
M
令z=0,作直线2x+3y=0
o
4
2x+3y=0
8x
由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的
交点M（4，2）时，截距 z 的值最大，最大值为 14 ，
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
把求最大值或求最小值的函数称为目标函数，因为它是 关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问
题，统称为线性规划问题。
y
满足线性约可束行的域解 4 3
y x+y=1
x-y=0
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域1；
（2）移：在线性目标函数所表 示的一组平行线中，利用平移的
0 1
x
(2,-1)
方法找出与可行域有公共点且纵 (-1,-1)
截距最大或最小的直线；
2x+y=0
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。 11
课堂练习2： 设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件
(1)建立数学模型（设变量，建立线性约束条件及线性 目标函数） (2)图形工具（作出可行域及作目标函数过原点的直线 l0 )
(3)平移求解（确定 的平移方向，依据可行域找出取得 最优解的点）
(4)确定最值（解相关方程组，求出最优解，代入目标函 数求最值）
思考：学案P53
（思考题）若目标函数是z x2 y2，
点 P(x, y) 在 ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论
以下问题：
①z x y 在 _点__A___处有最大值__6___，
在_边__界__B_C处有最小值___1__ __；
②z x y 在_点__C__处有最大值_____1____，
在_____点__B_处有最小值____-_3___；
y
A (2 , 4)
③ 你能y 否设A 计一个目标函数y，x yA 3
使得其取最优(2,4) 解的情况有无穷多个(2？,4) (1 , 2)
④ (请1, 2B)你分别x y设 6 计目标函数(1，, 2B) 使得
B
x y 1
最值点分别在A处、B处、C处取得？
0C
(1, 0)
x
x y 1
（ 图2 ）
A配件 （个）
甲产品 4 乙产品
限 制 16
B配件 （个）
4 12
耗时（h)
1 2 8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可 得二元一次不等式组
x＋2y 8
44xy
16 12
x 0
y 0
x 2y 8
x y
4 3
x
0
y 0
将不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标 为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.
2.二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
一、实际问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？
0C
(1 , 0)
x
0
C(1 , 0)
（图1）
⑤ （思考题）若目标函数是z x2 y2，
你知道其几何意义吗？
你能否借助其几何意义求得zmin和zmax？
如果是z y 1 或z 2 y 3呢？
x
x 1
练习3.若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成 的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无数个，则a=______
x 2y 8
y
xy
4 3
x+2y=8 43源自x=4 y=3x 0
y 0
o
4
8x
提出新问题： 若生产一件甲产品获利2万元，生产 一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
A配件 （个）
甲产品 4 乙产品
限 制 16
B配件 （个）
4 12
耗时（h) 利润（万元）
1
2万元
2
3万元
8
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
3
3
( Zmax=2x+3y=2×4+3×2=14 )
这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2 件时，工厂可获得最大利润14万元。
y
4 3
M（4, 2）
o
4
8x
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
y 0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又 称为线性目标函数
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
例题
1.求z=2x+y的最大值和最小值,使 x, y 满足线性约束条件
x y 0
目标函数所表 示的几何意义 ——在y轴上
x
y
1
0
y 1
的截距.
解线性规划问题的步骤：
x 4 y 3
3x 5y 25 x 1
y x 1 C
求z的最大值和最小值.
x 4y 3 0
z表示直线y 2x z在y轴上
•B
•A
3x 5y 25 0
的截距
O
x
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
12 5
zmax 25 2 12
小结
图解法求解线性规划应用问题的基本步骤：
y
o
x
知识回顾： 1.二元一次不等式表示的区域及判定方法：
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角
坐标系中表示 __直__线__A_x_+B__y+_C_=_0_某__一_侧__所___ 有__点__组_成__的_平__面__区_域__。____
确定区域步骤： __直__线_定__界___;__特_殊__点_定__域__ 若C≠0，则 __直__线_定__界__、__原_点__定__域__.
你知道其几何意义吗？
你能否借助其几何意义求得zmin和zmax？
如果是z y 1或z 2 y 3呢？
x
x 1
练习3.若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成 的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无数个，则a=______
如图1所示，已知 ABC中的三顶点 A(2 , 4), B(1,2),C(1,0) ，