高三限时训练5-8

高三限时训练517．某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？17．某公司2009年9月投资14400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年．已知生产每件纪念品还需要材料等其它费用20元，为保证有一定的利润，公司决定纪念品的销售单价不低于150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）．并且当销售单价定为150元时，预测年销售量为150万件；当销售单价超过150元但不超过200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1万件；当销售单价超过200元但不超过250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1.2万件．根据市场调研结果，设该纪念品的销售单价为x （元），年销售量为u （万件），平均每件纪念品的利润为y （元）．⑴求年销售量为u 关于销售单价x 的函数关系式；⑵该公司考虑到消费者的利益，决定销售单价不超过200元，问销售单价x 为多少时，平均每件纪念品的利润y 最大？17.如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.高三限时训练5答案17．解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ，∴231x m =-+，每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯元. ∴2009年的利润)168(]1685.1[m x xxx y ++-+⨯= m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m ……8分（2）∵0m ≥时，16(1)81m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =时，max 21y =.………………14分 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.……15分17．高三限时训练616．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品, 该工艺品由一个圆柱和一个半球组成, 要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为2:3, 工艺品的体积为3cm 34π. 设圆柱的底面直径为)cm (x 4, 工艺品的表面积为)cm (S 2. (1) 试写出S 关于x 的函数关系式;(2) 怎样设计才能使工艺品的表面积最小？17.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间x(小时)的关系为()[]212,0,2413x f x a a x x =+-+∈+，其中a 与气象有关的参数，且30,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a . (1)令[]2,0,241xt x x =∈+，求t 的取值范围； （2）求函数()M a ；（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？高三限时训练6答案16．【解】(1) 由题知圆柱的底面半径为x 2, 半球的半径为x 3. 设圆柱的高为)cm (h . 因为工艺品的体积为3cm 34π, 所以,.34h )x 2()x 3(342123π=π+⨯∴-=∴,x 29x 217h 2工艺品的表面积为 222)x 2(2)x 3(h )x 2(2)x 3(421S π⨯+π+π+π⨯=)..x 2x (17)x 29x217(x 4x 35222+π=-π+π=由0x >且,0x 29x 217h 2>-=得.351x 03<< 所以S 关于x 的函数关系式是.351x 0),x 2x (17S 32<<+π=(2) 由(1)知, .351x 0,x)1x (34)x 2x 2(17S 323<<-π=-π=' 令,0S ='得.1x =当1x 0<<时, S ,0S ∴<'关于]1,0(x ∈是单调减函数;当351x 13<<时, .S ,0S ∴>'关于)351,1[x 3∈是单调增函数∴当1x =时, S 时取得最小值π=+π=51)121(17S 2min , 此时.4h =答: 按照圆柱的高为cm 4, 圆柱的底面半径为cm 2, 半球的半径为cm 3设计, 工艺品的 表面积最小, 为.cm 512π 17.解（1）∵[]2,0,241xt x x =∈+,0x =时，0t =. 024x <≤时，1,21x t x x x x=+≥+，∴102t <≤.∴10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

（2）令()112,0,32g x t a a t ⎡⎤=+-+∈⎢⎥⎣⎦.当1134a -<，即7012a ≤<时，()max 1552266g x g a a a ⎛⎫==-+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； 当1134a -≥，即73124a ≤<时，()()max 1102333g x g a a a ==-+=-⎡⎤⎣⎦ 。

所以()57,0,6121733,.3124a a M a a a ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩（3）当70,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()M a 是增函数，()7721212M a M ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭； 当73,124a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()M a 是增函数，()3232412M a M ⎛⎫≤=< ⎪⎝⎭. 综上所述，市中心污染指数是2312，没有超标.高三限时训练718．如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．17．如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．（第17题甲） （第17题乙）TQPN MSR甲乙高三限时训练7答案18.【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为（km 2）． …………………16分17.解 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． …………………………………………………………………2 设点()00,y x A ， 则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- (5))37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ (8)⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=…………………12 当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， (14)高三限时训练816. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各两个，现依次不放回地随机取3次，每次取一个球.（1）试问：一共有多少种不同的结果，请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.17.如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数[]8,4),2||,0,0)(sin(∈<>>+=x A x A y πϕωϕω时的图象，图象的最高点为)338,5(B ，DF ⊥OC ，垂足为F. (Ⅰ)求函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式；上乐园PMFE ，问点P 落在曲线ODy∠=现用长为l的拦网Aθ围成一养殖场，其中,B MAC NA∈∈．(1)若BC l=, 求养殖场面积最大值；(2)若B、C为定点，BC l<，在折线MBCN内选点D，使BD DC l+=，求四边形养殖场DBAC的最大面积；(3)若(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.18.某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的日售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．高三限时训练8答案16.解：（1）一共有6种不同的结果. 列举如下：（红红黑）（红黑红）（黑红红）（红黑黑）（黑红黑）（黑黑红）…7分 （2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A. 事件A 包含的基本事件为：（红红黑）（红黑红）（黑红红） 由（1）可知，基本事件总数为6 ∴事件A 的概率2163)(==A P . …14分 17．解：（Ⅰ）对于函数s in (y A x ωφ=+,由图象知,2234(85)6A T πππω====-……………4分将B 代入到sin()36y x πφ=+中,得52()62k k Z ππφπ+=+∈,又||2πφ<, 所以3πφ=-,故sin()363y x ππ=-………………………………………………………………7分(Ⅱ)在sin()363y x ππ=-中令4x =,得(4,4)A ,得曲线OA 的方程为24(04)y x x =≤≤…9分 设点2(,)(04)4t P t t ≤≤,则矩形P M的面积为2(4)4t S t =-(0x ≤≤……………………11分因为2344t S '=-,由0S '=,得3t =,且当(0,3t ∈时,0S '>,S 递增;当(4)3t ∈时,0S '<,S 递减,所以当3t =时,S 最大,此时点P 的坐标为4(,33……………………14分 17.解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>2222cos222cos2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，22222cos 24sin l l xy θθ≤=-，22211cos sin 22sin cos 224sin 4sin l l S xy θθθθθθ=≤⋅⋅=， 所以，△ABC 面积的最大值为2cos 4sin l θθ，当且仅当x y =时取到．(2)设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2BC c =(定值) ，由2DB DC l a +==，a =12 l ，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上，1sin 22ABC S mn θ∆=为定值．只需DBC ∆面积最大,需此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点．BCD b S ∆=面积的最大值为122c b c ⋅⋅=因此,四边形ACDB面积的最大值为1sin 22m n c θ⋅⋅+(3)先确定点B 、C ，使BC l <. 由(2)知DBC ∆为等腰三角形时，四边形ACDB 面积最大.确定△BCD 的形状，使B 、C 分别在AM 、AN 上滑动，且BC 保持定值， 由(1)知AB=AC 时，四边形ACDB 面积最大.此时，△ACD ≌△ABD ，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=2l . S=θsin 2122⋅⋅⋅⋅=∆AD AC S ACD . 由(1)的同样方法知，AD=AC 时，三角形ACD 面积最大，最大值为2tan4221θl l ⋅⋅. 所以，四边形ACDB 面积最大值为2tan82θl .18.解：（1）设日销售量为e x k ，则401e k =0，∴4010e k =． 则日销售量为4010e ex 件．日售价为x 元时，每件利润为（x －30－a ）元，则日利润L （x ）＝（x －30－a ）4010e ex＝403010e e xx a--⋅．（2）40402e (30)e 31()10e 10e (e )e x x x xx a a x L'x ---+-=⋅=⋅．①当2≤a ≤4时，33≤31＋a ≤35，而35≤x ≤41，∴L'（x ）≤0，L （x ）在[35，41]上是单调递减函数．则当x ＝35时，L （x ）取得最大值为105(5)e a -． ②当4＜a ≤5时，35＜31＋a ≤36， 令L'（x ）＝0，得x ＝a ＋31． x ∈[35，a ＋31)时，L'（x ）＞0，L （x ）在[35，a ＋31)上是单调递增函数； x ∈（a ＋31，41]时，L'（x ）＜0，L （x ）在（a ＋31，41]上是单调递减函数．L（x)在[35，41]上连续，∴当x＝a＋31时，L（x）取得最大值为109e a-．总之，5max910(5)e,(24), ()10e,(45).aa aL xa-⎧-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤。