拓展---函数图像解题技巧
函数图象解题方法与技巧
对于二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)，一次函数y=kx+b(k≠0)，反比例函数y=x k (k≠0)，若将它们的函数图象向上(或下)平移m 个单位，平移后的解析式分别为y=a(x-h)2+k±m ，y=kx+b±m ，y=x k ±m ；若将它们的函数图象向左(或右)平移n 个单位，平移后的解析式分析为y=a(x-h±n) 2+k ，y=( x±n)+b ，y=n x ±1。
简言之：上加下减，左加右减(注意在上、下，左、右不同的平移中，加减的位置不同)。
根据这一法则，可以顺利解答各类平移问题。
一、求平移后的解析式例1把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，再向右平稳3个单位，所得抛物线是( )。
(A) y=3(x+3) 2-2 (B) y=3(x+3) 2+2(C) y=3(x-3) 2-2 (D) y=3(x-3) 2+2提示：根据法则，选 (D)例2 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k 、b 为常数，k≠0,b>0)可以看成将直线y=kx 沿y 轴向上平行移动b 个单位面得到，那么将直线y=kx 沿x 轴向右平行移动m 个单位(m>0)得到的直线方程是 。
提示：根据法则，平移后的直线方程为y=kx-km二、求平移前的解析式例3，把抛手线y=x2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2-3x+5，则有( )。
(A) b=3,c=7 (B) b= -9, c= -15(C) b=3, c=3 (D) b= -9, c=21分析：本题若先将y=x 2+bx+c 化为顶点式，按平移规律解答，较为繁琐，若采用逆推法，即将y=x 2-3x+5［顶点式为y=(x-23)2+411］向左平移3个单位，再向上平移2个单位反推回去，即可得原二次函数图象，较为简单，因此，y=(x-23+3)2+411+2，化简得y=x 2+3x+7。
三类数学题的函数图象解答方法
三类数学题的函数图象解答方法函数图象是数学中的一个重要概念，是指一条曲线或线段，可以反映出某种数学规律。
在解题中，函数图象也是一个常见的题型，可以分为三类：求函数表达式、根据函数表达式绘制图象、确定函数性质。
下面分别介绍这三类问题的解答方法。
一、求函数表达式1. 已知函数图象和函数值，求函数表达式解答方法：假设函数为y=f(x)，根据已知条件列方程组。
例如，已知当x=1时，y=3，当x=2时，y=5，那么就可以列出如下的方程组：f(1)=3接下来，需要通过解方程组，得出函数的表达式。
以此类推，若已知某一点的函数值和函数的导数值，也可以利用求导的方法求出函数表达式。
2. 已知函数图象上的特征点（如交点、交点切线的斜率等），求函数表达式解答方法：根据已知特征点的信息，构造关于未知函数的方程或式子，并列出方程组。
例如，已知函数图象通过点(1,2)和(3,4)，那么可以列出如下的方程组：接下来可以利用解方程组的方法求出函数的表达式。
二、根据函数表达式绘制图象1. 一次函数的图象解答方法：对于y=kx+b这种形式的一次函数，可以先求出函数的x和y的截距，然后利用这两个截距在坐标系中标出两个点，最后将这两个点连起来即可。
解答方法：对于y=ax^2+bx+c这种形式的二次函数，可以先判断函数的开口方向和位置（向上或向下，顶点在y轴上或不在），然后求出顶点的坐标和对称轴的方程，最后利用这些信息绘制函数图象。
解答方法：对于sin(x)、cos(x)等三角函数，可以先求出函数的周期和振幅，然后利用这些信息绘制函数图象。
注意，三角函数图象的周期和振幅跟函数本身表达式是密切相关的，因此需要对函数表达式做一定的分析。
三、确定函数性质1. 判断函数的奇偶性解答方法：对于函数f(x)，如果f(-x)=f(x)，那么函数为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，那么函数为奇函数。
可以利用这一性质来判断一个函数的奇偶性，进而利用这一性质简化计算。
数学函数图像操作方法总结
数学函数图像操作方法总结数学函数图像操作方法总结如下：1. 平移：将函数图像沿x 轴或y 轴方向移动，可以使用平移公式进行计算。
对于函数y=f(x)，平移后的函数y=f(x-a) 表示沿x 轴正方向平移a 个单位，y=f(x)+b 表示沿y 轴方向平移b 个单位。
2. 缩放：将函数图像沿x 轴或y 轴方向进行放大或缩小。
对于函数y=f(x)，缩放后的函数y=a*f(bx) 表示沿x 轴方向放大a 倍，y=f(x/b)/a 表示沿x 轴方向缩小b 倍，y=a*f(x) 表示沿y 轴方向放大a 倍，y=f(x)/a 表示沿y 轴方向缩小a 倍。
3. 翻转：将函数图像沿x 轴或y 轴方向翻转。
对于函数y=f(x)，翻转后的函数y=-f(x) 表示沿x 轴翻转，y=f(-x) 表示沿y 轴翻转。
4. 对称：将函数图像关于某条直线对称。
对于函数y=f(x)，关于y 轴对称的函数为y=f(-x)，关于x 轴对称的函数为y=-f(x)，关于原点对称的函数为y=-f(-x)。
5. 拉伸和压缩：将函数图像在x 轴或y 轴方向进行拉伸或压缩。
对于函数y=f(x)，拉伸后的函数y=f(cx) 表示在x 轴方向拉伸c 倍，y=f(x/c) 表示在x 轴方向压缩c 倍，y=d*f(x) 表示在y 轴方向拉伸d 倍，y=f(x/d) 表示在y轴方向压缩d 倍。
6. 旋转：将函数图像绕坐标原点或任意点进行旋转。
旋转后的函数可以使用旋转公式进行计算。
例如，绕坐标原点逆时针旋转a 弧度的函数为y=f(x)cos(a)+f(-x)sin(a)，绕任意点(h, k) 逆时针旋转a 弧度的函数为y=f(x-h)cos(a)-f(x-h)sin(a)+k。
这些方法可以帮助对数学函数图像进行各种变换和操作，以便更好地理解和分析函数的性质和行为。
高中数学三角函数图像题解题技巧
高中数学三角函数图像题解题技巧在高中数学的学习中，三角函数是一个重要的内容，而解题中的图像题更是需要我们掌握一些解题技巧。
本文将以具体的题目为例，介绍一些解决三角函数图像题的方法和技巧。
一、正弦函数图像题正弦函数是我们最熟悉的三角函数之一，它的图像是连续的波动曲线。
对于正弦函数图像题，我们可以通过以下几个步骤进行解题。
首先，我们需要确定函数的周期。
正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，函数的图像会重复出现。
例如，对于函数y=sin(x)，在区间[0，2π]内，函数的图像会完整地重复一次。
其次，我们需要确定函数的振幅。
振幅表示函数图像在y轴方向上的最大值和最小值之间的差距。
对于函数y=2sin(x)，振幅为2，表示函数图像在y轴方向上的波动幅度是原来函数的两倍。
最后，我们需要确定函数图像的平移。
平移表示函数图像在x轴和y轴方向上的移动。
对于函数y=sin(x-π/2)，平移量是π/2，表示函数图像在x轴上向右平移了π/2个单位。
例如，题目给出函数y=2sin(2x-π/3)，我们可以根据上述步骤进行解题。
首先，周期为2π/2=π；其次，振幅为2；最后，平移量为π/3。
根据这些信息，我们可以画出函数的图像。
二、余弦函数图像题余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数图像有一些相似之处，但也有一些不同。
对于余弦函数图像题，我们可以采用类似的方法进行解题。
同样地，首先我们需要确定函数的周期。
余弦函数的周期也是2π，即在一个周期内，函数的图像会重复出现。
例如，对于函数y=cos(x)，在区间[0，2π]内，函数的图像会完整地重复一次。
其次，我们需要确定函数的振幅。
振幅表示函数图像在y轴方向上的最大值和最小值之间的差距。
对于函数y=3cos(x)，振幅为3，表示函数图像在y轴方向上的波动幅度是原来函数的三倍。
最后，我们需要确定函数图像的平移。
平移表示函数图像在x轴和y轴方向上的移动。
对于函数y=cos(x+π/4)，平移量是-π/4，表示函数图像在x轴上向左平移了π/4个单位。
高中数学函数图像平移题解题技巧
高中数学函数图像平移题解题技巧在高中数学的学习中，函数图像平移题是一个非常常见的题型。
这类题目要求我们根据给定的函数，通过平移的方式得到新的函数图像。
解决这类题目，我们需要掌握一些解题技巧。
一、平移的基本概念在解决函数图像平移题之前，我们首先要了解平移的基本概念。
平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行移动，而不改变函数的形状。
在平移过程中，函数图像上的每一个点都按照相同的距离和方向进行移动。
二、平移的方向1. 向右平移：当我们需要将函数图像向右平移时，可以通过在自变量上加上一个正数来实现。
例如，对于函数y = f(x)，如果我们需要将其向右平移3个单位，则可以考虑使用函数y = f(x - 3)。
2. 向左平移：当我们需要将函数图像向左平移时，可以通过在自变量上加上一个负数来实现。
例如，对于函数y = f(x)，如果我们需要将其向左平移2个单位，则可以考虑使用函数y = f(x + 2)。
三、平移的距离平移的距离是指函数图像在坐标轴上移动的单位数。
当平移的距离为正数时，表示向右平移；当平移的距离为负数时，表示向左平移。
四、平移的应用举例下面我们通过具体的题目来说明函数图像平移题的解题技巧。
例题一：已知函数y = x^2，将其向右平移2个单位，得到新函数y = (x - 2)^2。
求新函数的图像。
解析：根据平移的定义，我们可以得知新函数的自变量为x - 2。
为了绘制新函数的图像，我们可以列出一个函数值的对应表。
当x = 0时，原函数的y = 0，新函数的y = (-2)^2 = 4；当x = 1时，原函数的y = 1，新函数的y = (-1)^2 = 1；当x = 2时，原函数的y = 4，新函数的y = (0)^2 = 0；当x = 3时，原函数的y = 9，新函数的y = (1)^2 = 1；通过以上计算，我们可以得到新函数的函数值表。
将这些点连接起来，就可以得到新函数的图像。
例题二：已知函数y = sin(x)，将其向左平移π/2个单位，得到新函数y = sin(x+ π/2)。
高考数学中如何使用函数图像解题
高考数学中如何使用函数图像解题高考数学是许多学生最为头痛的科目之一，其中数学二的考试难度更是备受关注。
其中，函数图像是高考数学中常被出现的一个重要考点之一。
因此，掌握函数图像的解题方法，对于理解和掌握函数知识点至关重要。
本文将介绍如何在高考数学中使用函数图像解题。
1. 函数概念首先，在介绍函数图像的解题方法之前，我们需要先了解函数的概念。
函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个变量之间的关系。
在数学中，通常用f(x) 或y 表示函数，其中x 是自变量，y 或 f(x) 是函数的函数值（也称为因变量）。
函数的定义域是自变量的取值范围，而值域则是函数的所有可能取值的集合。
2. 函数图像的解题方法接下来，我们将介绍函数图像的解题方法。
函数图像通常用来表示函数在平面直角坐标系中的图像。
在解题时，我们可以利用函数图像来判断函数的性质以及求解函数值等问题。
具体而言，函数图像可以帮助我们完成以下任务：（1）判断函数的奇偶性：通过观察函数图像是否关于 y 轴或者原点对称，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数图像关于 y 轴对称，则函数为偶函数；如果函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；否则为既非偶函数也非奇函数。
（2）求解函数值：通过函数图像，我们可以读取函数在某个特定的自变量值下的函数值。
这可以帮助我们解决一些求函数值的问题。
（3）确定函数的极值和零点：在函数图像上，函数的极值对应的是函数的最值点，而函数的零点则对应的是函数图像与 x 轴相交的点。
通过观察函数图像，我们可以确定函数在哪些自变量的取值下取到最值，以及函数在哪些自变量取值下为零。
（4）判断函数的单调性：通过观察函数图像上的斜率趋势，我们可以判断函数的单调性。
如果函数图像的斜率单调递增或者单调递减，则函数为单调函数；如果函数图像上既有上升部分又有下降部分，则函数为非单调函数。
（5）求解函数的反函数：函数图像可以帮助我们求解函数的反函数。
具体而言，如果函数图像关于 y = x 对称，则其反函数存在，并且其图像就是原函数图像通过 y = x 对称得到的。
数学函数与图像题解题要点与技巧
数学函数与图像题解题要点与技巧一、引言数学函数与图像是中学数学中的重要内容，也是高考数学中的常见考点。
解题时，我们需要掌握一些解题要点与技巧，才能更好地应对各种题型。
本文将从函数的定义、函数的性质以及图像的特征等方面，介绍数学函数与图像题解题的要点与技巧。
二、函数的定义与性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
数学上，函数可以用公式、表格、图像等形式来表示。
在解题过程中，我们需要根据题目中给出的条件，确定函数的定义域、值域以及函数的性质。
2. 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
在解题时，我们需要根据函数的性质，推导出一些重要的结论，从而解决问题。
例如，对于奇函数，如果函数在原点对称，则可以得到函数的对称性质，从而简化解题过程。
三、图像的特征与解题技巧1. 图像的平移图像的平移是指将函数的图像沿着坐标轴的方向进行移动。
在解题时，我们可以利用图像的平移性质，简化解题过程。
例如，对于函数y=f(x)+a，如果我们知道函数f(x)的图像，可以通过将图像上的每个点向上（或向下）平移a个单位，得到新函数y=f(x)+a的图像。
2. 图像的伸缩图像的伸缩是指将函数的图像在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
在解题时，我们可以利用图像的伸缩性质，简化解题过程。
例如，对于函数y=kf(x)，如果我们知道函数f(x)的图像，可以通过将图像上的每个点的纵坐标乘以k，得到新函数y=kf(x)的图像。
3. 图像的对称图像的对称是指函数的图像关于某个直线或点对称。
在解题时，我们可以利用图像的对称性质，简化解题过程。
例如，对于函数y=f(-x)，如果我们知道函数f(x)的图像，可以通过将图像上的每个点关于y轴对称，得到新函数y=f(-x)的图像。
4. 图像的判断在解题时，我们需要根据函数的性质和图像的特征，判断函数的增减性、极值点、零点等。
例如，对于函数y=f(x)，如果我们知道函数的图像是递增的，那么函数的增减性就很容易判断；如果我们知道函数的图像在某个点上方，那么该点就是函数的极小值点。
高中数学函数图像题解题技巧
高中数学函数图像题解题技巧在高中数学中，函数图像题是一个非常重要的考点。
理解和掌握函数图像的特点和性质，能够帮助学生更好地解决相关的问题。
本文将介绍一些解题技巧，并通过具体的题目来说明。
一、函数图像的基本性质在解决函数图像题之前，我们首先需要了解函数图像的基本性质。
对于一般的函数y=f(x)，我们可以通过以下几个方面来分析和描述它的图像：1. 定义域和值域：确定函数的定义域和值域，可以帮助我们限定函数图像的范围。
2. 对称性：判断函数是否具有对称性，比如奇偶性、周期性等。
对称性可以帮助我们简化图像的绘制和分析。
3. 单调性：判断函数的单调性，可以通过导数的正负性来确定。
单调性可以帮助我们确定函数图像的增减趋势。
4. 零点和极值点：求解函数的零点和极值点，可以帮助我们确定图像的交点和极值点的位置。
5. 渐近线：确定函数的水平渐近线和垂直渐近线，可以帮助我们更好地理解函数图像的趋势和特点。
二、解题技巧1. 利用函数的性质在解决函数图像题时，我们可以利用函数的性质来简化问题。
例如，对于奇偶函数，我们只需要绘制函数图像的一个对称部分，然后利用对称性来得到整个函数图像。
对于周期函数，我们只需要绘制一个周期内的函数图像，然后根据周期性来得到整个函数图像。
2. 利用变量的取值范围在解决函数图像题时，我们可以利用变量的取值范围来确定函数图像的特点。
例如，对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数图像开口向上，当a<0时，函数图像开口向下。
当a=0时，函数图像是一条直线。
通过对变量的取值范围进行分析，可以帮助我们更好地理解函数图像的特点。
三、具体题目分析下面通过几个具体的题目来说明函数图像题的解题技巧。
例题1：已知函数y=x^2的图像上有一点A(-2,4)，求点A关于y轴的对称点B 的坐标。
解析：根据函数y=x^2的对称性，点B的横坐标为2，纵坐标与点A相同，即B(2,4)。
通过对函数图像的对称性的分析，我们可以简化问题的解答过程。
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《函数及其图象》解题技巧
【考点聚焦】
函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识．
函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其它知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体．
在历年的学业考试中，函数一直是命题的“重头戏”，所考题型无所不包，同时不断与其它数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的．
【热点透视】
热点1:通过设计确定函数关系型问题考查函数三种表达形式及其之间的关系
【例1】(1)点(24)，在一次函数2y kx =+的图象上，则k =_________．
(2)若反比例函数k y x
=的图象经过点(12)-，，则该函数的解析式为_____． 【分析】(1)将点(24)，代入2y kx =+．(2)将点的坐标直接代入可以求出k 值．
【解】(1)1k =；(2)2y x
=-． 【小结】直接考查同学们利用函数图象确定函数解析式技能的掌握情况．题目叙述简明、要求简单明了，较好地落实了对这个知识点的考查．
热点2:重视对函数图象及性质的考查
【例2】(1)均匀地向一个如图1所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象大致是( )
(2)星期天，小王去朋友家借书，图2是他离家的距离y (千米)与时间x (分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是( )
(A)小王去时的速度大于回家的速度
(B)小王在朋友家停留了10分钟
(C)小王去时所花的时间少于回家所花的时间
(D)小王去时走上坡路，回家时走下坡路
【答案】(1)(A)；(2)(B)．
【小结】本例以实际生活为背景，用分段函数来描述实际问题，在加强对函数图象的识图能力和分析问题能力的考查的同时，也引导同学们平时关注生活中蕴含的数学问题．这样的题目，既突出了函数的基础性功能，又突出了它的应用性功能，对改进和完善中考数学命题具有积极的启示作用．
热点3:重视对函数知识实际应用的考查
【例3】我国铁路第六次大提速之后，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h 有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图3所示，OA 是第一列动车组列车离开甲城的路程s (单位:km)与运行时间t (单位:h)的函数图象，BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s (单位:km)与运行时间t (单位:h)的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题:
(1)点B 的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间______h ，点B 的纵坐标300的意义是____________．
(2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s (单位:km)与时间t (单位:h)的函数图象．
(3)若普通快车的速度为100km/h ；
①求BC 的解析式，并写出自变量t 的取值范围．
②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通快车相遇．
③直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．
【解】(1)晚0.5，甲、乙两城相距300km ．
(2)如图4:
(3)①设直线BC 的解析式为s kt b =+．
∵(0.5300)B ，，(3.50)C ，，
∴ 3.500.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得100350
k b =-⎧⎨=⎩．
∴100350s t =-+．自变量t 的取值范围是0.5≤t ≤3.5．
②解法1:设直线MN 的解析式为11s k t b =+．
∵(10)M ，，(3300)N ，，
∴111103300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11150150
k b =⎧⎨=-⎩．
∴150150s t =-．
由①可知直线BC 的解析式为100350s t =-+．
∴150150100350t t -=-+．解得2t =． ∴211-=．
解法2:设直线MN 的解析式为1150s t b =+．
∵点M 在直线上，∴101501b =⨯+．
解得1150b =-．
∴150150s t =-．
∴100350150150t t -+=-．解得2t =．
解法3:设第二列动车组列车出发x 小时后与普通列车相遇，根据图中信息，
得150100(0.5)300x x ++=．
解得1x =．
答:第二列动车组列车发车1小时后与普通快车相遇． ③35
小时(或36分钟)． 【小结】对函数应用性问题的重视，一方面体现了初、高中数学知识衔接的需要，另一方面体现了数学新课程基本理念的要求，本例在这方面起到很好的导向作用，中考复习时应当着力把握这方面的动态．。