全国卷文科数学试卷及答案完整版
(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
2022年全国甲卷文科数学高考试卷(原卷+答案)
绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合∣⎩⎭⎨⎬=−−=≤<⎧⎫A B xx 2{2,1,0,1,2},05，则=A B （ ） A. 0,1,2}{ B. −−{2,1,0} C. {0,1} D. {1,2}2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3. 若=+z 1i ．则+=z z |i 3|（ ）A. B. C. D.4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 205. 将函数⎝⎭ ⎪=+>⎛⎫ωωf x x 3()sin (0)π的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A.61 B.41C.31 D.216. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A. 51 B. 31 C. 52 D. 327. 函数=−−y x x x33cos )(在区间⎣⎦⎢⎥−⎡⎤22,ππ的图象大致为（ ）A. B.C. D.8. 当=x 1时，函数=+xf x a x b()ln 取得最大值−2，则='f (2)（ ） A. −1B. −21 C.21 D. 19. 在长方体−ABCD A B C D 1111中，已知B D 1与平面ABCD 和平面AA B B 11所成的角均为°30，则（ ） A. =AB AD 2B. AB 与平面AB C D 11所成的角为°30C. =AC CB 1D. B D 1与平面BB C C 11所成的角为︒4510. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为π2，侧面积分别为甲S 和乙S ，体积分别为甲V 和乙V ．若乙甲S S =2，则乙甲V V=（ ）A. B.C.D.411. 已知椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222的离心率为31，A A ,12分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若⋅=−BA BA 112，则C 的方程为（ ）A. +=x y 1816122B. +=x y 98122C. +=x y 32122D. +=y x 212212. 已知==−=−a b m m m 910,1011,89，则（ ） A. >>a b 0 B. >>a b 0 C. >>b a 0D. >>b a 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量==+a m b m (,3),(1,1)．若⊥a b ，则=m ________________________．14. 设点M 在直线=−+x y 210上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为___________________．15. 记双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222的离心率为e ，写出满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”的e 的一个值________________________．16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ____________________________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：=−K n ad bc ()22，18. 记S n 为数列a n }{的前n 项和．已知+=+nn a S n n212． （1）证明：a n }{是等差数列；（2）若a a a ,,479成等比数列，求S n 的最小值．19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA △EAB,△FBC,△GCD,△HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．（1） 证明：EF //平面ABCD ；（2） 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20. 已知函数=−=+f x x x g x a (),()32，曲线=y f x ()在点x f x ,11)()(处的切线也是曲线=y g x ()的切线． （1）若=−x 11，求a ；（2）求a 的取值范围．21. 设抛物线=>C y px p :2(0)2的焦点为F ，点D p ,0)(，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，=MF 3．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ND ,与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN AB ,的倾斜角分别为αβ,．当−αβ取得最大值时，求直线AB 的方程．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=⎧+y x t 62（t 为参数），曲线C 2的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=−⎧+y x s 62（s 为参数）．（1）写出C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为−=θθ2cos sin 0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 均为正数，且++=a b c 43222，证明： （1）++≤a b c 23；（2）若=b c 2，则+≥a c311．参 考 答 案1.【答案】A 【解析】【详解】因为=−−A 2,1,0,1,2}{，∣⎩⎭⎨⎬=≤<⎧⎫B xx 205，所以=A B 0,1,2}{． 故选：A.2.【答案】B 【解析】【详解】讲座前中位数为>+270%70%75%,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为−=100%80%20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为−=>95%60%35%20%,所以D 错. 故选:B.3.【答案】D 【解析】【详解】因为=+z 1i ，所以+=++−=−z z i 3i 1i 31i 22i )()(，所以+==z z i 3．故选：D.4.【答案】B 【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积=⨯⨯=+V 2221224. 故选：B.5.【答案】C 【解析】【详解】由题意知：曲线C 为⎣⎦⎝⎭⎢⎥ ⎪=++=++⎛⎫⎡⎤ωωππωππy x x 2323sin sin()，又C 关于y 轴对称，则Z +=+∈πωπππk k 232,，解得Z =+∈ωk k 32,1，又ω>0，故当=k 0时，ω的最小值为31. 故选：C.6.【答案】C 【解析】【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有3,5,3,6,4,5,4,6,5,61,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,)()()()()()()()()()()()()()()(15种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,6)()()()()()(6种情况，故概率为=15562. 故选：C.7.【答案】A 【解析】【详解】令⎣⎦⎢⎥=−∈−⎡⎤−ππf x x x xx2233cos ,,)()(， 则−=−−=−−=−−−f x x x f x x x x x33cos 33cos )()()()()(，所以f x )(为奇函数，排除BD ； 又当⎝⎭⎪∈⎛⎫πx 20,时，−>>−x x x330,cos 0，所以>f x 0)(，排除C. 故选：A.8.【答案】B 【解析】【详解】因为函数f x )(定义域为+∞0,)(，所以依题可知，=-f 12)(，='f 10)(，而=−'x xf x a b2)(，所以=−−=b a b 2,0，即=−=−a b 2,2，所以=−+'x x f x 222)(，因此函数f x )(在0,1)(上递增，在+∞1,)(上递减，=x 1时取最大值，满足题意，即有=−+=−'f 222111)(．故选：B.9.【答案】D 【解析】【详解】如图所示：不妨设===AB a AD b AA c ,,1，依题以及长方体的结构特征可知，B D 1与平面ABCD 所成角为∠B DB 1，B D 1与平面AA B B 11所成角为∠DB A 1，所以==B D B Dc b sin 3011，即=b c ，==B D c 21得=a ．对于A ，=AB a ，=AD b ，=AB ，A 错误；对于B ，过B 作⊥BE AB 1于E ，易知⊥BE 平面AB C D 11，所以AB 与平面AB C D 11所成角为∠BAE ，因为∠==a BAE c 2tan ，所以∠≠BAE 30，B 错误；对于C ，==AC ，==CB 1，≠AC CB 1，C 错误；对于D ，B D 1与平面BB C C 11所成角为∠DB C 1，∠===B D c DB C CD a 22sin 11，而<∠<DB C 0901，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．10.【答案】C 【解析】【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，则乙甲===ππS r l r rl rS 22211， 所以=r r 212， 又+=πππl l r r 22212， 则=+lr r112，所以==r l r l 33,2112，所以甲圆锥的高==h l 31，乙圆锥的高==h l 32，所以乙甲===⨯ππr h V V r h l l 93313142221122. 故选：C.11.【答案】B【详解】解：因为离心率===a e c 31，解得=a b 9822，b a =9822，A A ,12分别为C 的左右顶点，则−a A a ,0,,02)((，B 为上顶点，所以B b (0,).所以BA a b BA a b =−−=−(,),(,)12，因为⋅=−BA BA 112 所以a b −+=−122，将b a =9822代入，解得==a b 9,822， 故椭圆的方程为+=x y 98122. 故选：B.12.【答案】A【详解】由=m910可得==>m lg9log 101lg109，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<=⎛⎫⎛⎫+22lg9lg111lg10lg9lg11lg99222)(，所以>lg9lg10lg10lg11，即>m lg11，所以=−>−=a m 101110110lg11． 又⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<⎛⎫⎛⎫+22lg8lg10lg9lg8lg10lg80222)(，所以>lg8lg9lg9lg10，即>m log 98，所以=−<−=b m 89890log 98．综上，>>a b 0． 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−43= −0.75【详解】由题意知：⋅=++=a b m m 3(1)0，解得=−m 43.故答案为：−43.14.【答案】−++=x y (1)(1)522【详解】解：∵点M 在直线=−+x y 210上，∴设点M 为a a −(,12)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M ⊙M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ==，a a a a a −++−+=694415222，解得=a 1， ∴−M (1,1)，=R⊙M 的方程为−++=x y (1)(1)522.故答案：−++=x y (1)(1)52215.【答案】2（满足<≤e 1皆可）【详解】解：−=>>a b C a b x y :1(0,0)2222，所以C 的渐近线方程为=±ay x b ,结合渐近线的特点，只需<≤a b 02，即≤ab 422，可满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”所以a e c ==≤=又因为>e 1，所以<≤e 1，故答案为：2（满足<≤e 1皆可）16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ________．−1##− 【解析】详解】设==>CD BD m 220，则△ABD 中，=+−⋅∠=++AB BD AD BD AD ADB m m 2cos 422222， 在△ACD 中，=+−⋅∠=+−AC CD AD CD AD ADC m m 2cos 4442222，所以+++++++===−+−++−+m m AB m m m mAC m m m m m 1142423444412442121222222)()()(≥=−44， 当且仅当++=m m 113即=−m 1时，等号成立，所以当ABAC取最小值时，=m 1.−1.为【在17.【答案】（1）A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1312，87（2）有 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据及公式计算K 2，再利用临界值表比较即可得结论. 小问1详解】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ，则P M ==26013()24012； B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ，则P N ==40872()210. A 家公司长途客车准点的概率为1312； B 家公司长途客车准点的概率为87.【小问2详解】++++=a b c d a c b d K ()()()()2=⨯⨯⨯≈>⨯⨯−⨯260240450503.205 2.706500(2403021020)2，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.【答案】（1）证明见解析； （2）−78． 【解析】【分析】（1）依题意可得+=+S n na n n n 222，根据⎩−≥⎨=⎧=−S S n a S n n n n ,2,111，作差即可得到−=−a a n n 11，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n }{的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为+=+nn a S n n212，即+=+S n na n n n 222①， 当≥n 2时，+−=−+−−−S n n a n n n 21211112)()()(②，①−②得，+−−−=+−−−−−−S n S n na n n a n n n n n 22122111122)()()(， 即+−=−−+−a n na n a n n n 22122111)(，即−−−=−−n a n a n n n 2121211)()()(，所以−=−a a n n 11，≥n 2且∈n N*， 所以a n }{是以1为公差的等差数列．【【小问2详解】解：由（1）可得=+a a 341，=+a a 671，=+a a 891，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以=⋅a a a 7492，即+=+⋅+a a a 6381112)()()(，解得=−a 121，所以=−a n n 13，所以⎝⎭ ⎪=−+=−=−−⎛⎫−S n n n n n n n 22222812125125625122)(， 所以，当=n 12或=n 13时=−S n 78min )(．19.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，由平面知识可知⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，依题从而可证⊥EM 平面ABCD ，⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，即可知四边形EMNF 为平行四边形，于是EF MN //，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍，即可解出． 【小问1详解】如图所示：，分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，因为△EAB,△FBC 为全等的正三角形，所以⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面⋂EAB 平面=ABCD AB ，⊂EM 平面EAB ，所以⊥EM 平面ABCD ，同理可得⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，而=EM FN ，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以EF MN //，又⊄EF 平面ABCD ，⊂MN 平面ABCD ，所以EF //平面ABCD ．【小问2详解】如图所示：，分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，EF MN //且=EF MN ，同理有，=HE KM HE KM //,，=HG KL HG KL //,，=GF LN GF LN //,，由平面知识可知，⊥BD MN ，⊥MN MK ，===KM MN NL LK ，所以该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍．因为====MN NL LK KM ，==EM 8sin 6043B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN的距离d ，=d=⨯⨯⨯==V 3412(．20.【答案】（1）3 （2）−+∞1,)[【解析】 【分析】（1）先由f x ()上的切点求出切线方程，设出g x ()上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；（2）设出g x ()上的切点坐标，分别由f x ()和g x ()及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. 【小问1详解】由题意知，−=−−−=f (1)1(1)0，=−'f x x ()312，−=−='f (1)312，则=y f x ()在点−1,0)(处的切线方程为=+y x 2(1)，即=+y x 22，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则=='g x x ()2222，解得=x 12，则=+=+g a (1)122，解得=a 3；【小问2详解】=−'f x x ()312，则=y f x ()在点x f x ,()11)(处的切线方程为−−=−−y x x x x x 31()111132)()(，整理得=−−y x x x 3121123)(，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则='g x x ()222，则切线方程为−+=−y x a x x x 2()2222)(，整理得=−+y x x x a 2222，则⎩−=−+⎨−=⎧x x a x x 23121232122，整理得⎝⎭ ⎪=−=−−=−−+⎛⎫a x x x x x x x 2242422219313211111123343222， 令=−−+h x x x x 424()2931432，则=−−=+−'h x x x x x x x ()9633(31)(1)32，令>'h x ()0，解得−<<x 301或>x 1， 令<'h x ()0，解得<−x1或<<x 01，则x 变化时，'h x h x (),()的变化情况如下表：则h x ()的值域为，故a 的取值范围为.21.【答案】（1）=y x 42；（2）=+AB x :4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得+MF p p2=，即可得解； （2）设点的坐标及直线=+MN x my :1，由韦达定理及斜率公式可得=k k MN AB 2，再由差角的正切公式及基本不等式可得=k AB 2，设直线=+AB x n :，结合韦达定理可解. 【小问1详解】 抛物线准线为=−x p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时+=MF p p2=3，所以=p 2， 所以抛物线C 的方程为=y x 42；【小问2详解】的设⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫M y N y A y B y y y y y 4444,,,,,,,123412432222，直线=+MN x my :1， 由⎩=⎨⎧=+y xx my 412可得−−=y my 4402，∆>=−y y 0,412， 由斜率公式可得−+==−y y y y k y y MN 44412122212，−+==−y y y y k y y AB 44434432234，直线=⋅+−y MD x y x :2211，代入抛物线方程可得−⋅−=−y y y x 8042121)(， ∆>=−y y 0,813，所以=y y 232，同理可得=y y 241，所以++===y y y y k k AB MN 22443412)(又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为αβ,，所以===βαk k AB MN 22tan tan ，若要使−αβ最大，则⎝⎭⎪∈⎛⎫βπ20,，设==>k k k MN AB 220，则+++−===≤=−αβαβαβk k k k21tan tan 1241tan tan tan 12)(， 当且仅当=k k 21即=k 2时，等号成立，所以当−αβ最大时，=k AB，设直线=+AB x n :，代入抛物线方程可得−−=y n 402，∆>=−==−y y n y y 0,44163412，所以=n 4，所以直线=+AB x :4.22.【答案】（1）=−≥y x y 6202)(；（2）C C ,31的交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(，C C ,32的交点坐标为⎝⎭⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线CC ,23的方程化成普通方程，联立求解即解出． 【小问1详解】因为=+x t 62，=y ，所以=+x y 622，即C 1的普通方程为=−≥y x y 6202)(．【小问2详解】因为=−=+x y s6,2，所以=−−x y 622，即C 2的普通方程为=−−≤y x y 6202)(， 由−=⇒−=θθρθρθ2cos sin 02cos sin 0，即C 3的普通方程为−=x y 20．联立⎩−=⎨=−≥⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=⎪⎨⎪=⎧y x 121或⎩=⎨⎧=y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(；联立⎩−=⎨=−−≤⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=−⎪⎨⎪=−⎧y x 121或⎩=−⎨⎧=−y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．23.【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】（1）根据++=++a b c a b c 42222222)(，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得<+≤a c 043，即可得到+≥a c 4311，再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明：由柯西不等式有⎣⎦++++≥++⎡⎤a b c a b c 211122222222)()()(，所以++≤a b c 23，当且仅当===a b c 21时，取等号， 所以++≤a b c 23； 【小问2详解】证明：因为=b c 2，>a 0，>b 0，>c 0，由（1）得++=+≤a b c a c 243， 即<+≤a c 043，所以+≥a c 4311，由权方和不等式知+++=+≥=≥+a c a c a c a c44431112912222)(， 当且仅当=a c 412，即=a 1，=c 21时取等号，所以+≥a c311.。
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2024年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)[含答案]
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2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比 ．V V =甲乙15．已知，，则 ．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四 ：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。
2022年全国卷1文科数学试卷及答案(最新完整版)
2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|2x x <，{}|320x x ->，则A ．3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．=∅C ．3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：）分别为x 1，x 2，…，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，的平均数B．x1，x2，…，的标准差C．x1，x2，…，的最大值D．x1，x2，…，的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1)2B．i2(1) C．(1)2D．i(1) 4．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π45．已知F是双曲线C：x223y1的右焦点，P是C上一点，且与x 轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△的面积为A．13B．12C．23D．326．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是7．设x ，y满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 8．.函数sin21cos xy x =-的部分图像大致为9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．()f x 的图像关于直线1对称D ．()f x 的图像关于点（1,0）对称10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，学|科网那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1000和1B ．A >1000和2C ．A ≤1000和1D ．A ≤1000和211．△的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
高考全国1卷-文科数学试卷及答案(清晰word版)(20200704120804)
（ 2）由已知可得， DC CM AB 3， DA 3 2 .
又 BP
DQ
2 DA ，
所以 BP
2 2.
3
作 QE
AC ， 垂足为 E ， 则 QE
1 DC .
3
由已知及（ 1）可得 DC 平面 ABC ， 所以 QE
平面 ABC ， QE 1 .
因此， 三棱锥 Q ABP 的体积为
VQ ABP
1 QE S△ABP
11 1 3 2 2 sin 45
1.
3
32
19． 解： （ 1）
（ 2）根据以上数据， 该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 m3 的频率为
0.2? 0.1 1? 0.1 2.6 ? 0.1 2 ? 0.05 0.48 ，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于
0.35 m 3 的概率的估计值为 0.48 .
0.55? 26
0.65? 5)
0.48.
1
x2 =
(0.05? 1 50
0.15? 5
0.25? 13
0.35? 10
0.45? 16
0.55? 5)
0.35.
估计使用节水龙头后， 一年可节省水 (0.48 - 0.35) ? 365 47.45 (m 3) .
20． 解： （ 1）当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x 2 ， 可得 M 的坐标为 (2,2) 或 (2, 2) .
频数
1
5
13
10
16
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ 1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
（ 2）估计该家庭使用节水龙头后， 日用水量小于 0.35 m3 的概率；
(word版)全国高考文科数学试题及参考答案全国卷1
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，总分值150分。
考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目〞与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A=x|x2，B=x|32x0，那么3B．AIBA．AIB=x|x2C．AUB3D．AUB=R x|x22．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量〔单位：kg〕分别为x1，x2，，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，，x n的平均数B．x1，x2，，x n的标准差C．x1，x2，，x n的最大值D．x1，x2，，x n的中位数3．以下各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)2B．i2(1-i)C．(1+i)2D．i(1+i)4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是A．1B．π48精心整理C ．1πD ．245．F 是双曲线 2y 2 C ：x-=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).3那么△APF 的面积为A ．1B ．1C ．2D ．332 3 26．如图，在以下四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是x 3y 3,7．设x ，y 满足约束条件xy1,y 0,那么z=x+y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．38．.函数ysin2x 的局部图像大致为1cosx9．函数f(x)lnxln(2x)，那么A ．f(x)在〔0,2〕单调递增B ．f(x)在〔0,2〕单调递减C ．y=f(x)的图像关于直线x=1对称D ．y=f(x)的图像关于点〔1,0〕对称10．如图是为了求出满足3n2n 1000的最小偶数n ，那么在和 两个空白框中，可以分别填入A ．A>1000和n=n+1B ．A>1000和n=n+2C ．A ≤1000和n=n+1D ．A ≤1000和n=n+211．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2024全国高考真题 全国甲卷 文科数学+答案
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题第 21 题为必
考题，每个考题考生必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
15. 已知等比数列{ }的前项和为 ，且2 = 3+1 − 3.
（1）求{ }的通项公式；
【12 题答案】2
【13 题答案】64
【14 题答案】(−2,1)
三、解答题：
（一）必考题：共 60 分．
【15 题答案】
−1
（1） = (5)
3ห้องสมุดไป่ตู้
3 5
3
（2） ( ) −
2 3
2
【16 题答案】
（1）证明见详解；
6√13
（2）
13
【17 题答案】
（1）见解析
（2）见解析
【18 题答案】
）
）
C.
D.
9. 已知
cos
= 3 ，则tan ( + 4 ) =（
cos − sin
A. 2√3 + 1
B. 2√3 − 1
）
C.
√3
2
D. 1 − √3
10. 设、是两个平面，、是两条直线，且 ∩ = .下列四个命题：
.
①若//，则//或//
②若 ⊥ ，则 ⊥ , ⊥
（2）求点到的距离.
17 已知函数() = ( − 1) − + 1．
（1）求() 单调区间；
（2）若 ≤ 2时，证明：当 > 1时， f ( x ) e
18. 设椭圆:
的的
2
2
2
2020年全国统一高考数学试卷(文科)含答案
2020年全国统一高考数学试卷（文科）含答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．2+C．﹣2D．2﹣6．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．12．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考全国1卷 文科数学试卷及答案(清晰word版)
.绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合{0,2}A，{2,1,0,1,2}B ,那么A B =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}--2．设1i2i 1iz -=++，那么||z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.4．椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，那么C 的离心率为A ．13B ．12C ．22D ．2235．圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．函数22()2cos sin 2f x x x =-+，那么 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，那么该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，那么||a b -=.A ．15B ．55C ．255D ．112．设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 那么满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
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（一）必考题：60分。
17．（12分）
记Sn为等比数列 的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求 的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。
A．0B．1C．2D．3
8．.函数 的部分图像大致为
9．已知函数 ，则
A． 在（0,2）单调递增B． 在（0,2）单调递减
C．y= 的图像关于直线x=1对称D．y= 的图像关于点（1,0）对称
10．如图是为了求出满足 的最小偶数n，学|科网那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2
20.（12分）解：
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ， ，x1+x2=4，
于是直线AB的斜率 .
（2）由 ，得 .
设M（x3，y3），由题设知 ，解得 ，于是M（2，1）.
设直线AB的方程为 ，故线段AB的中点为N（2,2+m），|MN|=|m+1|.
将 代入 得 .
当 ，即 时， .
当 时，①式化为 ，从而 ；
当 时，①式化为 ，从而 .
所以 的解集为 .
（2）当 时， .
所以 的解集包含 ，等价于当 时 .
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 .
所以 的取值范围为 .
由 解得 或 .
从而 与 的交点坐标为 ， .
（2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为
.
当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 ；
当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 .
综上， 或 .、
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当 时，不等式 等价于 .①
当 时，①式化为 ，无解；
A． B． C． D．
5．已知F是双曲线C：x2- =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为
A． B． C． D．
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是
7．设x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为
C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知 ，a=2，c= ，则C=
A． B． C． D．
12．设A、B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A= ，B= ，则
A．A B= B．A B
C．A B D．A B=R
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
21．（12分）
已知函数 =ex(ex﹣a)﹣a2x．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 .
从而 .
由题设知 ，即 ，解得 .
所以直线AB的方程为 .
21.（12分）（1）函数 的定义域为 ，
，
①若 ，则 ，在 单调递增.
②若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增.
③若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，故 在 单调递减，在 单调递增.
（2）①若 ，则 ，所以 .
（2）（i）由于 ，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在 以外，因此需对当天的生产过程进行检查.
（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 ，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为.
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 ，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 .
（1）若a=?1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为 ，求a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2B．i2(1-i)C．(1+i)2D．i(1+i)
4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______________.
14．曲线 在点（1，2）处的切线方程为_________________________.
15．已知 ,tanα=2，则 =__________。
16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。
16
零件尺寸
经计算得 ， ， ， ，其中 为抽取的第 个零件的尺寸， ．
（1）求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）
附：样本 的相关系数 ， ．
20．（12分）
设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4.
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM，求直线AB的方程.
全国卷文科数学试卷及答案完整版
2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
（2）在平面 内作 ，垂足为 .
由（1）知， 平面 ，故 ，可得 平面 .
设 ，则由已知可得 ， .
故四棱锥 的体积 .
由题设得 ，故 .
从而 ， ， .
可得四棱锥 的侧面积为
.
19.（12分）【解析】（1）由样本数据得 的相关系数为
.
由于 ，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
18．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB 19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
②若 ，则由（1）得，当 时， 取得最小值，最小值为 .从而当且仅当 ，即 时， .
③若 ，则由（1）得，当 时， 取得最小值，最小值为 .从而当且仅当 ，即 时 .
综上， 的取值范围为 .
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解：（1）曲线 的普通方程为 .
当 时，直线 的普通方程为 .201Βιβλιοθήκη 年高考全国卷1文数答案14.
15.
16.
17.（12分）【解析】（1）设 的公比为 .由题设可得 ，解得 ， .
故 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 .
由于 ，
故 ， ， 成等差数列.
18.（12分）【解析】（1）由已知 ，得 , .
由于 ，故 ，从而 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .