2437微积分初步.pptx
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微积分基础知识PPT演示课件
A lim f ( i )xi
0 i 1
6
4)无穷级数
1 1 1 1 1 lim n n 2 2 4 2 4 1 1 (1 n ) 2 1 lim 2 n 1 1 2
1 2n
7
具备的数学素质：
从实际问题抽象出数学模型的能力
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
2
三、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用 数学能力。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
y a0 a1 x an x 为初等函数
n
y a0 a1x an x 不是初等函数
n
y e sin x 1
x 2
x y x 1 y x, x,
x0 不是初等函数 x0 x 0 可表为 2 故为初等函数. y x , x0 20
１． 定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ， 存在唯一确定 y M R 与之对应，则称 f 是定义在数集Ｄ 上的函数。记作 f : D M ( x | y ). 函数 f 在点 x 的函数值，记为 f ( x ) ， 全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f ( D) 。 即 f ( D) y | y f ( x), x D 。
o
x
-1
x sgn x x
13
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
微积分第一章第一节课件
微积分的重要性
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分基本定理 课件
－π
●
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．
(1)∵
x3＋1x2－x 2
′＝3x2＋x－1，
∴错误!(3x2＋x－1)dx＝
x3＋1x2－x 2
20
＝
23＋1·22－2 2
－0＝8.
(2)∵(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x，
2π
∴ π
(cos
x＋sin
3 2
＝4×2－13×23－0＋13·33－4×3－13×23－4×2
＝233.
定积分的应用
已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
●
[思路点拨]
(1)当k∈(2,3]时，
3
3
kf(x)dx＝k
(1＋x2)dx＝x＋13x3|
x)dx＝(sin
x－cos
x)|
2π π
＝(sin 2π－cos 2π)－(sin π－cos π)
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
3 k
＝3＋13×33－k＋13k3
＝430，
4分
整理得k3＋3k＋4＝0，
即k3＋k2－k2＋3k＋4＝0，
∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0，
∴k＝－1.
而k∈(2,3]，∴k＝－1舍去.
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
微积分初步ppt课件
设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
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函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
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40.函数 f (x) ax2 1在区间(0, )内单调增加，则 a 应满足 ． 答案： a 0
二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）
⒈设函数 y xsin x ，则该函数是（ A）．
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
⒉当 k （
C
）时，函数
f (x)
x2
f
(x)
x
sin
2 x
k,
x 0
在 x = 0 处连续，则 k = 1．
1,
x 0
23.曲线 f (x) e x 1在 (0,2) 点的斜率是 1 ．
24. 1 (5x 3 3x 2)dx 4 ． 1
25.微分方程 xy ( y)2 y 4 0 的阶数是 3 ．
26.函数 f (x)
．
k, x 0
18.函数 y 2(x 1)2 的单调增加区间是[1. )．
19. 0 e2x dx 1 ．
2
20.微分方程( y )3 4xy(4) y5 sin x 的阶数为 4 ．
21.设函数 f (x 2) x2 4x 5 ，则 f (x) x2 1．
1
22.设函数
9. 1 (5x 3 3x 1)dx 2 ． 1
10.微分方程 y y, y(0) 1的特解为 y e x .
11.函数 f (x 1) x 2 2x ，则 f (x) x2 1．
1⒉lim x sin 1 1 ．
x
x
1⒊曲线 y x 在点(1, 1) 处的切线方程是 y 1 x 1 ． 22
34.曲线 f (x) x 1在 (1,2) 点的切斜率是 答案： 1 2
35.曲线 f (x) e x 在 (0,1)点的切线方程是 ．答案： y x e
36.已知 f (x) x3 3x ，则 f (3) = ．答案： f (x) 3x 2 3x ln 3 ， f (3) =27（1 ln 3)
1⒋若 f (x)dx sin 2x c ，则 f (x) 4sin2x ．
1⒌微分方程(y )3 4xy(5) y 7 cos x 的阶数为 5 ．
16.函数 f (x 2) x2 4x 7 ，则 f (x) x2 3 ．
17.若函数
f
(x)
x2
2,
x 0 ,在 x 0 处连续，则 k 2
⒋
e
ln(
x2
1)dx
0
dx 1
．
⒌微分方程 y y, y(0) 1的特解为y ex ．
6 函数 f (x 2) x2 4x 2 ，则 f (x) x2 6 ． 7.当 x 0 时， f (x) x sin 1 为无穷小量.
x 8.若 y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则 y (1) = 2 ．
k,
x 0
30.函数 f (x 1) x2 2x ，则 f (x) ．答案： f (x) x 2 1
31.函数 y x2 2x 3 的间断点是 ．答案： x 1 x 1
32.lim x sin 1 ． 答 案 ：1
x
x
33.若 lim sin 4x 2 ， 则 k ． 答 案 ： k 2 x0 sin kx
1 ln( x 2)
的
定
义
域
是
答
案
：
x
2且
x3.
1
27.函数 f (x)
4 x 2 的定义域是 ．答案： (2,1) (1,2]
ln( x 2)
28.函数 f (x 2) x2 4x 7 ，则 f (x) ． 答案： f (x) x2 3
29.若函数
f
(x)
xsin
3 x
1,
x 0 在 x 0 处连续，则 k ．答案： k 1
2437 微积分初步习题
一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）
⒈函数 f (x) 1 4 x 的定义域是(2,1) (1,4]． ln( x 2)
⒉若 lim sin 4x 2 ， 则 k 2 ． x0 kx
⒊曲线 y e x 在点(0, 1) 处的切线方程是 y x 1．
d
2,
x 0 ，在 x 0 处连续.
k, x 0
A．0 B．1 C． 2 D． 3
⒊下列结论中（ C ）正确．
A． f (x) 在 x x0 处连续，则一定在 x0 处可微.
2
B．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C． f (x) 在 x x0 处不连续，则一定在 x0 处不可导.
D．函数的极值点一定发生在不可导点上.
C．x0是 f (x)的极值点，则 x0 必是 f (x)的驻点 D．使 f (x) 不存在的点 x0，一定是 f (x)的极值点
9.下列无穷积分收敛的是（A ）．
A． e2x dx B． 0
1
dx 1x
C． 1 dx
1x
D． sinxdx 0
10.微分方程(y )3 y (4) cos x y 2 ln x 的阶数为（D lim x 2 x 6 lim (x 3)(x 2) lim x 3 5 ）． x2 x 2 4 x2 (x 2)(x 2) x2 x 2 4
⒋下列等式中正确的是（ D）．
A . sin xdx d(cos x) B. ln xdx d( )
C. a x dx d(a x ) D. 1 dx d(2 x ) x
⒌微分方程( y )3 4xy y5 sin x 的阶数为（
1 x
B）
A. 2； B. 3； C. 4； D. 5
6.数 f (x) 1 的定义域是（ C）． ln( x 1)
37.已知 f (x) ln x ，则 f (x)= ．答案： f (x) 1 ， f (x)= 1 x
x2
38.若 f (x) xe x ，则 f (0) ．答案： f (x) 2ex xe x ， f (0) 2
39.函数 y 3(x 1)2 的单调增加区间是 ．答案： (1,)
A． (1,) B． (0,1) (1,) C． (1,2) (2,) D． (0,2) (2,)
7.曲线 y e2 xБайду номын сангаас 1 在 x 2 处切线的斜率是（D ）． A． 2 B
． e2 C． e4 D． 2e4
8.下列结论正确的有（ B ）．
A．若 f (x0) = 0，则 x0 必是 f (x)的极值点 B．x0是 f (x)的极值点，且 f (x0)存在，则必有 f (x0) = 0