浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
【优质文档】2019-2020学年人教A版浙江省宁波市九校高一第一学期期末数学试卷含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞04．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞010．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝，函数定义域是．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为．14．已知a，b∈R，定义运算“?”：，设函数f（x）＝（2x?2）﹣（1?log2x），x∈（0，2），则f（1）＝，f（x）的值域为．15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是．17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（?R A）∩B＝?，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x≤6}，∴A∩B＝（0，6]．故选：B．2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．【分析】先判断出函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可．解：因为函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，则所求的函数的值域是（﹣1，），故选：C．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞0【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论．解：x＞y＞0，则﹣＞0，cos x﹣cos y＞0，lnx+lny＞0不一定成立，而﹣＜0一定成立．故选：C．4．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围．解：设与的夹角为θ；因为，所以||＝1；∴＝||×||cosθ＝?cosθ＝；∵θ∈[0，π]；∴θ＝；故选：A．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称【分析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和φ，并代入函数h（x）的解析式，整理得，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可．解：∵扇形弧长＝2φ＝3π，∴φ＝，又∵扇形面积ω＝∴h（x）＝sin（x+φ）＝，对于A选项，函数h（x）为偶函数，即A错误；对于B选项，令，则x∈[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，而[﹣2π，0]?[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，即B错误；对于C选项，令，则，∴函数的对称中心为，即C错误；对于D选项，令，则x＝3kπ，k∈Z，∴函数的对称轴为x＝3kπ，k∈Z，当k＝﹣1时，有x＝﹣3π，即D正确．故选：D．6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】本题根据对数函数及指数函数来比较大小，解题关键是找到中间值，将a、b、c与中间值进行比较即可得到结果．解：由题意，∵2＝＜，∴a＝log72＜log7＝；b＝log0.70.2＞log0.70.7＝1，＜0.7＜c＝0.70.2＜1，∴a＜c＜b，故选：D．7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②【分析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可．解：①y＝x|sin x|是奇函数，图象关于原点对称；当x＞0时，y≥0恒成立，②y＝x cos|x|＝x cos x是奇函数，图象关于原点对称；③为非奇非偶函数，图象关于原点和y轴不对称，且y≥0恒成立，④y＝4cos x﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②即对应函数序号为③②④①，故选：B．8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形【分析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A＝C；第二个条件得到B即可求出结论解：因为在△ABC中，A，B，C∈（0，π），∴+＝0?||cos A﹣||coC＝0?cos A＝cos C?A＝C；∵?＝||×||×cos B＝||×||?cos B＝?B＝；∴△ABC为等边三角形；故选：C．9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞0【分析】令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，然后结合函数的单调性即可判断．解：令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，则易得f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，结合已知不等式的特点，考虑构造函数∵（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，∴（log22019）x﹣（log22020）﹣x＜（log22019）﹣y﹣（log22020）y，即f（x）＜f（﹣y），所以x＜﹣y，故x+y＜0．故选：A．10．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可．解：方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：，∵，∴在（0，+∞）内有1个交点，∵，∴两个函数在（﹣∞，0]内有3个交点，综上所述，函数f（x）与函数g（x）共有4个交点，所以方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数是4个，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝ 2 ，函数定义域是．【分析】直接在函数解析式中取x＝0求得f（0）；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域．解：由，得f（0）＝；由，解得﹣．∴函数定义域是（﹣，1）．故答案为：2，（﹣，1）．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝﹣．【分析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解．解：∵是单位向量，，，，，，∴＝（）?（）＝2λ﹣1＝0，解得实数λ＝．∵A，B，D三点共线，＝，，解得实数λ＝﹣．故答案为：．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为（，0），k∈Z ．【分析】根据正切的周期求出a，利用整体法求出对称中心即可．解：函数的最小正周期是3，则3＝，得a＝，所以函数f（x）＝2tan（），由，k∈Z，得x＝，故对称中心为（，0），k∈Z14．已知a，b∈R，定义运算“?”：，设函数f（x）＝（2x?2）﹣（1?log2x），x∈（0，2），则f（1）＝ 1 ，f（x）的值域为[1，3）．【分析】由所给的函数定义求出分段函数f（x）的解析式，进而求出结果．解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f（x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为（﹣∞，2）．【分析】根据函数f（x）是幂函数求出m的值，再根据f（x）的图象过点，求出a的值；由此得出函数g（x）的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出g（x）的单调递增区间．解：函数函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，2m﹣9＝1，解得m＝5，且其图象过点，所以3a＝，解得a＝，所以函数即函数g（x）＝，令x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3；所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是[3，+∞）．【分析】先根据（）?＝+?＝6得到×cosθ＝3；进而表示出即可求解解：设（）与的夹角为θ；∵（）?＝+?＝6＝×||×cosθ；∴×cosθ＝3；∴0＜cosθ≤1＝≥3；故答案为：[3，+∞）17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为 6 ．【分析】由题意可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由正弦函数和一次函数的单调性可得g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n．解：函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由x∈[0，]，可得y＝sin x，y＝5x递增，则g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），即为[g（x1）﹣f（x1）]+[g（x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]＝g（x n）﹣f （x n），即为（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣1）＝sin x n+5x n+2，即（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣2）＝sin x n+5x n，由sin x n+5x n∈[0，1+]，可得2（n﹣2）≤1+，即n≤+，而+∈（6，7），可得n的最大值为6，故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据平面向量的数量积列方程求出tan x的值，再根据x的范围确定tan x 的值；（2）根据平面向量的数量积和模长公式求出m的解析式，再求m的取值范围．解：（1）因为，即，所以，所以2tan2x﹣5tan x+2＝0，解得tan x＝2或．因为，所以tan x∈[0，1]，即．（2）因为与垂直，所以，所以m2＝1+sin2x，因为，所以，解得m的取值范围是．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（?R A）∩B＝?，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．【分析】（1）可以求出A＝{x|﹣3≤x≤1}，从而得出?R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），根据（?R A）∩B＝?可讨论B是否为空集：B＝?时，a﹣1≥2a+1；B≠?时，，解出a的范围即可；（2）根据A∩C＝C即可得出C?A，然后可讨论m+1与﹣（m+1）的大小关系，从而得出集合C，根据C?A即可得出m的范围．解：（1）A＝{x|（x+3）（1﹣x）≥0}＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝（a﹣1，2a+1），∴?R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），且（?R A）∩B＝?，∴①B＝?时，a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2；②B≠?时，，解得﹣2＜a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）∵A∩C＝C，∴C?A，∴①m+1＞﹣（m+1），即m＞﹣1时，C＝（﹣（m+1），m+1），∴，解得﹣1＜m≤0；②m+1＜﹣（m+1），即m＜﹣1时，C＝（m+1，﹣（m+1）），∴，解得﹣2≤m＜﹣1；③m+1＝﹣（m+1），即m＝﹣1时，C＝{0}，满足C?A，∴综上得，m的取值范围为[﹣2，0]．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），再求出f（x）的解析式；（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，结合分离参数法求出k的范围．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），所以，（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，所以lg（kx）＜2lg（﹣x+1），即lg（kx）＜lg（﹣x+1）2，即kx＜（﹣x+1）2．因为x＜0，所以恒成立，因为x＜0时，最大值为﹣4，所以﹣4＜k，所以﹣4＜k＜0．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）现根据图象求出g（x）的解析式；再结合图象变化规律说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出f（x）的范围；再结合恒成立问题即可求解．解：（1）由图得，因为为函数递增区间上的零点，所以，即．因为，所以，即，图象变换：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到y＝sin（x+），再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象；（2）因为，所以，所以当时，f（x）取最小值，当时，f（x）取最大值1，因为|f（x）﹣m|＜2恒成立，即﹣2+m＜f（x）＜2+m恒成立，所以，即．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】本题第（1）题根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数y＝f（x）的值域；第（2）题利用换元法设t＝3x，t＞0，然后对参数k进行分类讨论，分k≥0和k ＜0两种情况进行讨论函数g（t）的最大值，根据最大值取得的情况计算出k的取值；第（3）题继续利用换元法设t＝3x，t＞0，设真数为g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2．根据二次函数的性质可得f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f（x）min＝f（m）＝m+1，f （x）max＝f（n）＝n+1，将问题转化为方程在（0，+∞）上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据△＞0，及韦达定理可计算出实数k的取值范围．解：（1）由题意，当k＝0时，，∵3x+2＞2．∴，∴函数y＝f（x）的值域为（log32，+∞）．（2）由题意，设t＝3x，t＞0，则，①若k≥0，则函数g（t）＝2k?t2﹣（t﹣1）t+k+2无最大值，即f（t）无最大值，不合题意；②若k＜0，则g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2最大值在时取到，且，∴，解得k＝1，或．由k＜0，可得．（3）由题意，因为0＜k＜1时，设t＝3x（t＞1）．设真数为g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2．此时对称轴，∴当t＞1时，g（t）为增函数，且g（t）＞g（1）＝2k+3＞0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数．∴f（x）min＝f（m）＝m+1，f（x）max＝f（n）＝n+1，即方程在（0，+∞）上有两个不同实根，即2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2＝3x﹣1，设t＝3x（t＞1）．∴2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2＝3t．即方程2k?t2﹣（k+2）t+k+2＝0有两个大于l的不等实根，∵0＜k＜1，∴，解得，由0＜k＜1，得，即存在m，n，使得函数f（x）为“1档类正方形函数”，且．。
浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。
如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（ ）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（ ） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （ ） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ， 则tan tan tan AB C的最大值为（ ）A 2−B ．3−C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（ ）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−+z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD 时，动点D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ． （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同． （i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。
2019-2020学年浙江省宁波市九校联考高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江宁波市九校联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝165．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．29．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．参考答案一、选择题1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．解：∵M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}＝（﹣3，2），N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，∴M∩N＝[1，2）故选：A．2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果．解：直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为＝，故选：C．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．【分析】根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，即可选出答案．解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则D不成立．故选：D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝16【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程．解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2），则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16．故选：A．5．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解．解：sin2θ＝﹣，则tanθ+＝+＝＝＝＝﹣．故选：D．6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a6与b5的值，进一步求得，则答案可求．解：在等差数列{a n}中，由a2+a6+a10＝2π，得3a6＝2π，即；在等比数列{b n}中，由b2b5b8＝8，得，即b5＝2．∴．∴＝sin．故选：C．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【分析】由题意利用两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式，结合sin A≠0，sin C≠0，可得cos B＝0，结合范围B∈（0，π），可求B为直角，即可判断三角形的形状．解：∵sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，∴sin A sin（B﹣C）＝sin2A，∵A为三角形内角，sin A≠0，∴sin（B﹣C）＝sin A，∴sin B cos C﹣cos B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，∴2cos B sin C＝0，∵C为三角形内角，sin C≠0，∴可得cos B＝0，∵B∈（0，π），∴B＝，△ABC是直角三角形．故选：C．8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．2【分析】根据题意，求出两圆的公共弦的方程，分析可得2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，结合基本不等式的性质可得（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，变形即可得答案．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0，则两圆的公共弦的方程为2x+y＝1，又由两圆的公共弦过点（a，b），则有2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，又由4a2+b2≥2＝4ab，则有（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，即有4a2+b2≥，当且仅当2a＝b时等号成立，即4a2+b2的最小值为；故选：B．9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】作出函数y＝f（x）的图象，则函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，考查直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时以及直线y＝kx+1过点（4，0）时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值范围．解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．【分析】作出函数f（x）的图象，由|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1可得出a≤f（x）≤a+1，即函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数a的取值范围．解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f （﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为1．【分析】由题意利用两条直线平行的条件，求得a的值．解：直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，显然a≠4，＝≠，解得a＝1，故答案为：1．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．解：cosα＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，则α∈（0，），则sinα＝，tanα＝，∵cosβ＝﹣，∴sinβ＝，则tanβ＝﹣，则tan（α+β）＝＝＝＝，故答案为：，13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝2n，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2①，当n＝1时，解得a1＝2．当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2②，①﹣②得a n＝2a n﹣2a n﹣1，整理得a n＝2a n﹣1，所以（常数），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．（2）由于，所以b n＝log2a n＝，故，故＝1﹣．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是y＝±x+2．【分析】由题意画出图形，可知所求直线的斜率存在，设出直线方程，再由圆心到直线的距离等于列式求得k，则答案可求．解：如图，圆C：x2+y2＝32的半径为，所求直线过点（0，2），当直线l的斜率不存在时，圆上一点Q到直线l的距离的最大值为4，不合题意；则直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0．要使圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则O到l的距离为．∴，解得k＝±1．∴直线l的方程是y＝±x+2．故答案为：y＝±x+2．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x+y＝1，所以x+1+y+2＝4，则＝（）[（x+1）+（y+2）]＝[5++]＝+[+]≥+×2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，故答案为：．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是[2，]．【分析】由AB及AB边上的高CD，联想到三角形的面积公式，然后结合余弦定理构造出＝sin C+cos C的函数，转化为函数的值域问题．解：由已知A，B，C所对的边分别是a，b，c，设CD＝h．因为AB边上的高为CD，且2CD＝AB，所以2h＝c．所以．所以，即c2＝2ab sin C＝a2+b2﹣2ab cos C，两边同除以ab得：，当且仅当时取等号，又，当且仅当a＝b时取等号．所以．故答案为：[2，]．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）设等差数列{a n}的公差d≠0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．所以，整理得，解得，所以a n＝a1+2（n﹣1）＝2n+1，（2）由（1）得数列{c n}满足＝2n+1+22n+1，所以＝2n+3+n2+2n﹣8．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求该函数的周期和单调区间即可；（2）结合条件，利用余弦定理求出cos B的取值范围，进而得到B的取值范围，即可求解f（B）的取值范围．解：＝sin x﹣（cos x+1）+＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），（1）根据f（x）的解析式可得T＝＝2π，令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得x∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即f（x）的单调递增区间为：[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；（2）因为，即c2+a2﹣b2≥c，则由余弦定理cos B＝，因为B∈（0，π），所以≤cos B＜1，则0＜B≤，所以﹣＜B﹣≤﹣，则sin（B﹣）∈（﹣，﹣]，即f（B）的值域为：（﹣，﹣]．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）在[1，2]递减，在[2，6]递增，求得f（x）的值域，可得|f（x）|的最大值，由题意知只需|f（x0）|max≥a成立，然后求出a的范围；（2）由题意可得m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，只需求得1+﹣在x∈（﹣∞，0]上的最小值，结合指数函数的单调性，可得所求最小值，进而得到所求范围．解：（1）函数在[1，2]递减，可得f（x）∈[﹣2，﹣1]，在[2，6]递增，可得f（x）∈[﹣2，]，则|f（x）|在[1，6]的最大值为2，由题意可得|f（x0）|max≥a成立，即a≤2，所以a的取值范围为（﹣∞，2]；（2）不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，可得e x+﹣6≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，化为m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，由y＝e x，（0＜y≤1），可得≥1，1+﹣＝4（﹣）2﹣的最小值为4（1﹣）2﹣＝﹣1，则m≤，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．【分析】（1）设弦AB的中点为M，可得OM⊥MP，由数量积＝0，可得M的轨迹方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M的坐标，代入|MN|＝|OM|，构造关于k的方程，解出k的值，进一步求得|AB|与Q到直线的距离，则△QAB的面积可求．解：（1）设点M（x，y），∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP，又∵＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），∴x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立，解得或，又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是x2+y2﹣2x﹣4y＝0（﹣＜x＜2）；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立，得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．设中点M（x0，y0），则，①代入直线l的方程得，②又由|MN|＝|OM|，得，化简得，将①②代入得k＝3．∵圆心到直线l的距离d＝＝，∴|AB|＝，Q到直线l的距离h＝．∴，即△QAB的面积为．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．【分析】（1）推导出，从而a n+1﹣2＝，从而a n+1﹣2与a n﹣2同号，进而a n﹣2与a1﹣2同号，由此能求出a n＜2．（2）由，得1≤a n＜2，从而2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，由此能证明S n＞2n﹣5．解：（1）解：∵正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．∴，∴﹣2＝＝，∵正项数列{a n}中，a n＞0，∴2a n+3＞0，∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，∴a n﹣2与a1﹣2同号，∵a1﹣2＝﹣1＜0，∴a n﹣2＜0，∴a n＜2．（2）证明：由（1）知，∴﹣＝，∴与同号，也与同号，∴1≤a n＜2，∴＝＝≤，∴2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，∴2n﹣S n＝≤5[1﹣（）n]＜5，∴S n＞2n﹣5．。
2020学年宁波九校高一上期末数学试卷答案
宁波市一2020学年第学期期末九校联考 高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6 14．1015．3+ 16．(,4)−∞− 四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解析：（Ⅰ）{|02}A x x =<<，………………………………………………………1分1|,,a B y y x x a ⎧⎫⎛⎫==∈∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭+表示函数1,,a y x x a ⎛⎫=∈∞ ⎪⎝⎭+的值域，当1a =时，1y x=在(1,)∞+上单调递减，值域{|01}By y =<<， ………………3分{|10}U B y y y =≥≤，或C ，………………………………………………………………4分()[1,2)U AB =C ， …………………………………………………………………………5分（Ⅱ）由A B A=知A B ⊆，由()U A B U =C 知B A ⊆，所以(0,2)B A ==，…………………………………………………………………………8分 故0a >，且2(0,)(0,2)a =，即a 分18．解析：（Ⅰ）π()2sin cos()cos 26f x x x x =−+212sin sin cos 22cos sin cos 2112cos 222x x x x x x x x x x ⎫++⎪⎪⎝⎭++=++=π1sin(2)62x =++………………………………………………………………………3分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2666x ≤+≤，由πππ2662x ≤+≤得π06x ≤≤， 故单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦;………………………………………………………………5分1πsin 2126x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以当π6x =时，()f x 取最大值32, 当π2x =时，()f x 取小值0.………………7分（Ⅱ）设π26t x =+，()sin h t t =，π7π,66t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，“函数()()g x f x a =−有且仅有一个零点”等价于“直线12y a =−与()y h t =有且只有一个交点”，………… …………………………………………………………………10分数形结合可得11111,2222a a −=≤−<或-，即3,012a a =≤<或.故a 的取值范围为3012a a a ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭或．…………………………………………12分19．解析：（Ⅰ）当0k =时，不等式为4(4)0x −−>，(,4)A =−∞；…………2分当0k >时，4(,4)(,)A k k=−∞++∞；………………………………………4分当0k <时，4(,4)A k k=+；…………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）知0k <，且465k k−≤+<−，…………………………………………8分即22540640k k k k ⎧++>⎪⎨++≤⎪⎩……………………………………………………………………10分解得k 的取值范围是[35,4)(1,35]−−−−−+…………………………………12分20．解析：（Ⅰ）由题意得23244POQ ππ∠=⨯=，弧长π25π5042l =⨯=；………2分（Ⅱ）以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，0t =时，游客在点(0,50)M −，初始位置所对应的角为π2−，角速度ω为π6rad /min ，由题意可得ππ50sin 60,01262H t t ⎛⎫=−+≤≤ ⎪⎝⎭；………………………………………………6分（Ⅲ）法1：由4POQ π∠=得乙比甲始终落后π4rad ，故经过t 分钟后，甲乙相对于地面的距离分别为1ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，2π3π50sin 6064H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤，若都要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， 且π3π50sin 608564t ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………………………………………8分化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，π3π1sin 642t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤，3ππ3π5π4644t −≤−≤，由6626t πππ5π≤−≤，6646t ππ3π5π≤−≤得48t ≤≤，22t 1119≤≤，故解得1182t ≤≤， ……………………………………………………………………11分所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．………12分法2：经过t 分钟后，甲相对于地面的距离为ππ50sin 6062H t ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，012t ≤≤，若要获得最佳视觉效果，应满足50sin 608562t ππ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭， ………………………8分化简得1sin 622t ππ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭， 因为012t ≤≤，所以2622t πππ3π−≤−≤，由6626t πππ5π≤−≤，得48t ≤≤， ………………………………………………10分 由乙比甲始终落后32min ，知乙在111922t ≤≤时获得最佳视觉效果，要使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果，则1182t ≤≤，……………………………11分所以摩天轮旋转一周能有52分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．…………12分21．解析：（Ⅰ）函数2()ln xf x x−=的定义域为(0,2)，任取12(0,2)x x ∈，，且12x x <，21212122()()lnlnx x f x f x x x −−−=−1122122ln 2x x x x x x −=−，…………………………2分 因为1202x x <<<，所以112212022x x x x x x <−<−， 从而21()()0f x f x −<，即21()()f x f x <，因此函数()f x 在定义域(0,2)内单调递减.…………………………………………4分（Ⅱ）设函数1()(1)ln 1xh x f x x −=+=+，定义域为(1,1)−，对于任意的(1,1)x ∈−，1()ln ()1xh x h x x +−==−−+，故()h x 为奇函数，且由()f x 是减函数可知，()h x 也是减函数，由(1)(1)0f a f b +++=，得()()()h a h b h b =−=−，故a b =−． （也可以列方程直接解出a b =−）………………7分 由()()0g a g b +=得442(22)20a b a b m m +++−+=，即442(22)20a a a a m m −−+++−+=，令22a a t −=+，由,(1,1),a b a b ∈−≠得52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………………………………9分即220t mt m +−=在52,2⎛⎫⎪⎝⎭内有解，方法1：由220t mt m +−=得222111212111t m t t t t ===−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭，当5(2,)2t ∈时，2131611,425t ⎛⎫⎛⎫−−∈−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21254,163111t ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭⎛⎫−− ⎪⎝⎭，综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭……………………………………………12分方法2：设2()2u t t mt m =+−，(2)34u m =+，525()424u m =+ ①5(2)()02u u <即254163m −<<−；②25(2)0,()02440522u u m m m ⎧>>⎪⎪⎪∆=+≥⎨⎪⎪<−<⎪⎩，无解； ③(2)0,92,4u m =⎧⎪⎨<−<⎪⎩无解；④5()0,295,42u m ⎧=⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩无解.综上所述，m 的取值范围是254,163⎛⎫−− ⎪⎝⎭…………………………………………12分22．解析：（Ⅰ）当0a =时，()||f x x =−，对于x ∀∈R ，()||()f x x f x −=−=，故()f x 为偶函数；…………………………………………………………………2分 当0a ≠时，(0)||0f a =−≠，故()f x 不是奇函数； (1)|1|,(1)|1|f a a f a a =−−−=−+，由于0a ≠，故|1||1|a a −≠+，即(1)(1)f f ≠−， 故()f x 不是偶函数,综上所述，当0a =时，()f x 是偶函数，当0a ≠时，()f x 既不是偶函数又不是奇函数. ………………………………4分（Ⅱ）（i ）当11a −≤≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于2(1)0ax b x a +−+≤在[1,3]x ∈恒成立，即11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭恒成立，…………………………………5分若01a ≤≤，则min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1013b a ≤−，故2210113a b a a +≤−+≤，当0a =，1b =时，取到1；…………………………7分若10a −≤<，则min 1112a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以12b a ≤−，故22214a b a a +≤−+≤，当1a =−，3b =时，取到4；…………………………9分（ii ）当12a <≤时，()0f x bx +≤在[1,3]x ∈恒成立等价于10aax b x+−−≤在[1,3]x ∈恒成立，………………………………………………………………………10分①当1x a <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−−− ⎪⎝⎭，2min 11a x a x ⎡⎤⎛⎫−−−=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当3a x <≤时，11b a x x ⎛⎫≤−++ ⎪⎝⎭，min 110113a x a x ⎡⎤⎛⎫−++=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当12a <≤时，21013a a −≥−，故1013b a ≤−，22104133a b a a +≤−+<−综上所述，2a b +的最大值为4.………………………………………………………12分。
宁波市九校2019-2020学年上学期高一数学期末联考卷附答案解析
宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-1，C．(-D．⎡-⎣3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y ->B ．cos cos 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +> 4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.解析宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可.解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B.【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题.2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．⎛ ⎝⎭- C ．(-D ．⎡-⎣【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可.【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，且tan tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则所求的函数的值域是(-. 故选：C.【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( ) A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r Q ，，1a ∴=r ,||||cos cos a b a b θθ∴⋅=⨯==r r r r ,[0,]θπ∈Q ,6πθ∴=.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误；对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈， ∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 2<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】 解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立；②cosy x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=xx y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立； ④4cos xy x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形.故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】 解：方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-， ∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点，所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域.【详解】解：由()()1lg 31x f x x +=++，得(0)lg12f ==； 由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=；∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5.【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________. 【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可. 【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈，得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1[)13， 【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果.【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f = 当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，.故答案分别为：1；[)13，. 【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题. 15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________. 【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(3，求出a 的值；由此得出函数()gx 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间.【详解】 解：函数函数()()29a f x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(3，所以3a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b +r r 即可求解.【详解】解：设a b +rr与c r的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥rr .故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题. 17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n .【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++，即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+，由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+， 即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 11⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围.(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=, 所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =；(2)因为a c +r r 与a c -r r垂直,()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，,即11m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()RA B =∅Ið得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围.(1)因为{[]31A x y ===-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()RA B =∅Ið得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤； (2)因为A C C =I,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，, C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-.②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围.【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<, 所以()()lg2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,1224x x +-≤-=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<.【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)12⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()gx 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点,所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()gx ；(2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x取最小值,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即122m ⎛∈-- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题. 22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<. 【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域；（2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值；（3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】 (1)0k=时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>. 所以()()33log 32log 2x f x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212gt k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k=或17k =-,由k 0<,所以17k =-.(3)因为01k <<时,设()31x t t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++.此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数.所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，,即方程()3log 291321xx k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根,即()1291323xx x k k k -⋅--++=,设()31x t t =>.所以()22123k tk t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k<<,所以()()()228202142220k k k k k k k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k<<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<.【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。
2018学年第一学期宁波九校联考高一上数学期末考试
2018学年第一学期宁波市九校联考高一数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集为R ，集合{|03},{|1}A x x B x x =<<=≥，则()R A B = ð A.{|3}x x < B.{|01}x x << C.{|13}x x ≤< D.{|0}x x >2. 函数3()f x x =的图象A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于直线y x =对称D.关于原点对称3. 若3tan 4α=，则22cos sin 2αα+= A.5625 B.4425 C.45 D.8254. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EC =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144AC AB -D.1344AC AB -（第4题图） 5. 已知曲线12:sin(),:sin 23C y x C y x π=+=，则下列结论正确的是A.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π 个单位长度，得到曲线2CC.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CCD.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C6. 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><部分图象如图所示，则A.15,312πωϕ== B.17,312πωϕ==- C.2,33πωϕ== D.22,33πωϕ==-7. 已知函数2, 0,()()()1ln ,0,x x f x g x f x x a x x-⎧≤⎪==--⎨>⎪⎩.若()g x 有2个零点，则实数a 的 取值范围是A.[1,0)-B.[0,)+∞C.[1,)-+∞D.[1,)+∞8. 设x ,y ,z 均为正数，且236x y z==，则A.236x y z <<B.623z x y <<C.362y z x <<D.326y x z <<9. 如图，在四边形ABCD 中,,3,2AB BC AB BC CD DA ⊥====，AC 与BD 交于点O ，记123,,I OA OB I OB OC I OC OD =⋅=⋅=⋅，则A.123I I I <<B.132I I I <<C.213I I I <<D.312I I I << 10.已知当[0,1]x ∈时，函数1y mx =+的图象与y =的图象 （第9题图） 有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A.1(,)2+∞ B.1[,)2+∞ C.1[,)2+∞ D.1[,)2+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省宁波市九校联考2022-2023学年高一上学期期末考试化学试题含解析
C．N2O中N元素为+1价，结合N元素的最高+5价和最低-3价之间，因此N2O既具有氧化性，又具有还原性，C错误；
D．同温同压下，CO与NO2的密度之比等于二者的相对分子质量之比，则二者的密度的比为28:46=14:23，D错误；
C．相同条件下，在水中溶解度：Na2CO3＞NaHCO3，C错误；
D．可通过相互滴加的方式鉴别盐酸和Na2CO3溶液，盐酸加入Na2CO3溶液产生二氧化碳的时间大于Na2CO3溶液加入盐酸中的时间，D正确；
答案选D。
9.用下列仪器或装置进行相应实验，部分现象描述不正确的是
A.图1石蕊溶液变红不褪色
B.图2产生白色沉淀
C.图3试管内先出现红棕色气体，后变无色
D.图4能较长时间看到Fe(OH)2白色沉淀
【答案】B
【解析】
【详解】A．二氧化硫为酸性氧化物，与水反应生成亚硫酸，可使石蕊溶液变红，不能使其褪色，A正确；
B．二氧化碳应该长管进，短管出，生成碳酸氢钠在溶液中析出，B错误；
C．Cu与稀硝酸反应生成NO，NO与氧气反应生成二氧化氮，二氧化氮被烧杯中NaOH溶液逐渐吸收，反应一段时间后试管内氧气消耗完，得到纯净的NO，则试管内先出现红棕色气体，后变无色，C正确；
故合理选项是A。
12.下列说法正确的是
A.通过化学变化可以实现16O与18O间的相互转化
B.H2O和H2O2既不是同位素，也不是同素异形体
C.C60和C70是具有相同质子数的不同核素
D.中子数不同而质子数相同的微粒一定互为同位素
【答案】B
【解析】
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}，则∁U A =( )A. φB. {x|x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|x ≥0}2. 下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )A.B.C.D.3. 若点M 在△ABC 的边AB 上，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2CA⃗⃗⃗⃗⃗ −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数f (x )=(12)x−x +2的零点所在的一个区间是( )A. (2,3)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)5. 在圆0中，长度为√2的弦AB 不经过圆心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 12B. √22C. 1D. √26. 不等式−2x −1<3的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)7. 函数 f(x)=|x|+1的图象是 ( )A.B.C.D.8. 在△ABC 中，5sinAcosA +1=0，则sinA −cosA 的值为( )A. −√357B. √357C. −√355D. √3559. 已知函数f(x)=sin x ·|sin x|，给出下列结论：①f(x)是周期函数；②f(x)是奇函数；③[− π 2, π 2]是函数f(x)的一个单调递增区间；④若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=kπ(k ∈Z)；⑤不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|的解集为则正确结论的序号是( )A. ①②④B. ①②③④C. ②③D. ①②③⑤10. 已知函数f(x)=mx 2+mx −1.若对于任意的x ∈[1,4]，f(x)<5−m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,27)B. (−∞,1)C. (1,5)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 圆的半径是12，弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于___________． 12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则ω=______，φ=_____．13. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________．14. 设函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ≥1，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是_________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，则x 的值为 ．16. 若sin(α−π)=35，α为第四象限角，则tanα= ______ ． 17. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．19. 已知向量a ⃗ =(λ,1)，b ⃗ =(λ+2,1)，若|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则实数λ= ______ ．20. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像与直线y =2两相邻交点之间的距离为π，且图像关于x =π3对称. (1)求y =f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥√3的x 取值范围.21. 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =4CD ．(1)试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB =3，AD =2，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U ={x|x ≥0}，A ={x|x ≥1}； ∴∁U A ={x|0≤x <1}． 故选：C ．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性及函数图象的应用，属于基础题．根据函数图象关于原点对称的是奇函数、函数图象关于y 轴对称的是偶函数即可判断，注意判断函数的定义域是否关于原点对称．解：选项A 中的函数图象关于原点或y 轴均不对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B 中的函数图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数，选项C ，D 中的函数图象所表示的函数定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除． 故选B ．3.答案：D解析：【分析】如图，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加减法运算法则，属于中档题．【解答】解：如图，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查函数的零点的判定定理的应用，首先得出函数的单调性，根据函数零点的存在定理判断即可．解：易知函数f(x)=(12)x−x +2为单调递减函数，∵f(2)=(12)2−2+2=14>0，f(3)=(12)3−3+2=−78<0， ∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)， 故选A ．5.答案：C解析：解：取AB 的中点为C ，由圆的性质可得OC ⊥AB ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(√22)2+0 =1 故选：C取AB 的中点为C ，可得OC ⊥AB ，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题．6.答案：C解析：解：不等式−2x−1<3，可得x>−2．不等式−2x−1<3的解集为(−2,+∞)．故选：C．直接利用不等式化简求解即可．本题考查一次不等式的解法，考查计算能力．7.答案：D解析：本题主要考查根据函数的解析式判断函数的图象特征，属于基础题．由函数f(x)的解析式可得，当x=0时，函数f(x)取得最小值，结合所给的选项可得结论．解：由于函数f(x)=|x|+1，故当x=0时，函数f(x)取得最小值．结合所给的选项，只有D满足条件，故选D．8.答案：D解析：此题考查学生灵活运用二倍角正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题，应注意判断所求式子的符号，先利用二倍角的正弦函数公式把已知条件化简得到2sin A cosA的值，并根据其值得到A的范围，进而得到sinA−cosA的符号，然后把所求的式子平方后，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将2sin A cosA的值代入即可求出值，根据sinA−cosA的符号，开方即可得到sinA−cosA的值．，解：5sinAcosA+1=0，则sinAcosA=−15可知，，则．故选D ．9.答案：D解析：本题考查三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式，属于较难题． 解题时依据三角函数的三角函数函数的周期性、奇偶性、单调性、中心对称性以及诱导公式逐一验证即可求解．解：对于①，∵f (x +2π)=f (x )，∴f(x)=sin x ·|sin x|为周期函数，①正确；对于②∵f (−x )=−f (x )，∴f (x )为奇函数，②正确； 对于③，当x ∈[0,π2]时，在区间[0,π2]单调递增，又f(x)为奇函数且过原点，∴[−π2,π2]是函数f(x)的一个增区间，③正确；对于④，由②③可画出函数f(x)在[−π2,π2]的图象， ∵f(π2+x)=f (π2−x)，∴f(x)的图象关于直线x =π2对称， 可画出函数f(x)在区间[π2,3π2]上的图象，即得到函数f(x)在[−π2,3π2]上的图象，即一个周期的图象，在[−π2,3π2]上的对称中心为(0,0),(π,0)，∴在整个定义域上的对称中心为(kπ,0)(k ∈Z )．即若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1+x 2=2kπ(k ∈Z)，④不正确；对于⑤，先求不等式sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|在一个周期内的解集.取区间[0,2π]，∵sin 2πx ·|sin 2πx|>cos 2πx ·|cos 2πx|⇔f (2πx )>f (2πx +π2),{2πx >π42πx +π2<7π4, 在整个定义域上{2πx >π4+2kπ2πx +π2<7π4+2kπ(k ∈Z), 解得k +18<x <k +58,k ∈Z ，⑤正确．综上可知，正确结论的序号为①②③⑤． 故选D ．10.答案：A解析：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题． 利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,4]上的最小值，即可求m 的取值范围． 解：由题意，f(x)<5−m ，可得m(x 2+x +1)<6． ∵当x ∈[1,4]时，x 2+x +1∈[3,21]， ∴不等式f(x)<5−m 等价于m <6x 2+x+1．∵当x =4时，y =x 2+x +1取得最大值21，则6x 2+x+1的最小值为621=27， ∴若要不等式m <6x 2+x+1恒成立， 则必须m <27，因此，实数m 的取值范围为(−∞,27). 故选A ．11.答案：38解析：本题考查扇形面积公式，是基础的计算题． 直接利用扇形的面积公式得答案． 解：由r =12，圆心角的弧度数α=3，得 扇形面积S =12αr 2=12×3×(12)2=38．故答案为38．12.答案：2；π6 解析：解：由图象可得，解得ω=2， 故， 把点(0,1)代入可得， 解得故答案为：2；π6由图象可得，可得ω，把点(0,1)代入解析式可得φ值本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属中档题．13.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果． 解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14，所以log 2a b =log 2214=14． 故答案为14． 14.答案：解析： 本题考查函数定义域与值域，分段函数，函数的单调性与单调区间，属于基础题，先由f(f(a))=2f(a)，根据分段函数式判断f(a)≥1，再由分段函数的单调性和每一段的值域可知3a −1≥1，解得即可．解：∵函数f(x)={3x −1,x <12x ,x ⩾1， ∴f(f(a))=2f(a)，得f(a)≥1，又∵x <1，f(x)=3x −1，单调递增，且f(x)<2，x ≥1，f(x)=2x ，单调递增，且f(x)≥2，∴由f(a)≥1，得3a −1≥1，解得a ≥23，∴a 的取值范围是． 故答案为．15.答案：52解析：本题考查任意角的三角函数定义，由余弦的定义即可求解．解： 因为角α终边经过点P (−x,−6)，且cosα=−513，所以cosα=x r =22=−513，解得x =52．故答案为52．16.答案：−34解析：解：sin(α−π)=35，α为第四象限角，sin(α−π)=−sinα=35，∴sinα=−35，cosα=√1−sin 2α=45． tanα=sinαcosα=−34．故答案为：−34．利用诱导公式求出sinα，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，基本知识的考查． 17.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4．故答案为：4．由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量减法的三角形法则，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，故A =(0,1)，所以∁R A =(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀．综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x 2−x <0得，0<x <1，求出A =(0,1)，由此能求出∁R A .(Ⅱ)若B =⌀，则(−2)2+4m ≤0，故m ≤−1；若B ≠⌀，则不满足A ∩B =⌀.由此能求出实数m 的取值范围．19.答案：−1解析：解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 化为a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴λ(λ+2)+1=0，解得λ=−1．故答案为：−1．由|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，利用数量积的运算性质可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，再利用数量积的坐标运算即可得出．本题考查了数量积的运算性质、数量积的坐标运算，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知可得， ， ∴， 又的图象关于 对称， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 所以(2)由(1)可得， ∴， 由得 ， 的单调递增区间为， ． ∵， ∴， ∴， ∴解析：本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．(1)利用周期公式，结合最高点的坐标，求出相应的参数，即可求出函数的解析式；(2)利用平移变换求出g(x)的解析式，可得g ( x ) 的单调递增区间，再利用正弦函数的性质，即可解不等式。
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2019 学年
宁波市第一学期九校联考高一数学试题
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分 .在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 .
1.已知集合 A x x0，集合 B x 1x6，则A B()
A. ( 1,0)
B. (0,6]
C.(0,6)
D.( 1,6]
2.函数 y tan x(x) 的值域是 ()
43
A.( 1,1)
B. (1,
3
C.( 1 ,3)
D. [1,3] 3
)
3．已知x, y
R ，且x y 0 ，则 ()
11
0 B.cos x cos y0 C.1x1y
D.ln x ln y 0
A.
y220
x
a 31
， b 2 ，且，则与的夹角为 ()
4.,
a b3a
b 已知向量22
A. B. C.
4D.
623
5.已知半径为 2 的扇形AOB 中，AB的长为3，扇形的面积为，圆心角 AOB 的大小为
弧度，函数 h(x)sin x，则下列结论正确的是()
A. 函数 h(x) 是奇函数
B. 函数 h(x) 在区间 [2,0] 上是增函数
C. 函数 h(x) 图象关于 (3,0) 对称
D. 函数 h(x) 图象关于直线 x3对称
6.已知 a log 7 2， b log 0.7 0.2 ，c0.70.2，则a,b, c的大小关系为 ()
A. b c a
B. a b c
C. c a b
D. a c b
2
7.已知 4个函数：① y x sin x ；② y x cos x ；③y x x；④ y4cos x e x的图象如图所
e
示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为()
A. ①④②③
B.③②④①
C.①④③②
D.③①④② 8.在 ABC 中， BA AC
AC BC BC BA 1 ABC 为(
)
AB
BC
0 ，
BA
，则
BC
2
A. 直角三角形
B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形
D. 等腰非等边三角形
9.若 log 2 2019 x
y
log 2 2019 y
x
)
log 2020 2
log 2020 2 ，则 (
A. x y 0
B. x y 0
C. x y 0
D. x y 0
1
2), x (
, 2]
10.设函数 f ( x)
f (x
x
1) 0 根的个数为 (
)
2
，则方程 16 f (x) ( x
2
x 1 1,x
( 2, )
A.2
B.3
C.4
D.5
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共
7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题
4 分，共 36 分.
11.已知函数
f ( x)
2 x 1 lg(
3 x 1) ，则 f (0)
，函数定义域是
.
1 x
12.已知 e 1, e 2 是单位向量，且
e 1 e 2 ， AB
2e 1 e 2 ， BC
e 1
3e 2 ， CD e 1 e 2 ，若
AB CD ，则实数
；若 A,B,D 三点共线，则实数
.
13.已知函数 f ( x)
2tan( a x
)( a 0) 的最小正周期是 3，则
a
， f (x) 的对称
6
中心为
.
a,b
R
“ ” a
b
a, a
b
x
14.已知 ，定义运算
，设函数
f ( x)
2
2
1 log
2 x ，
：
b,a
b
x 0,2 ，则 f (1)
， f ( x) 的值域为 .
15.已知函数 f (x)
(2m 9) x a 为幂函数，且其图象过点 (3, 3) ，则函数 g ( x) log a ( x 2
mx
6)
的单调递增区间为
.
16.已知 a, b, c 是平面向量 , c 2 ，若 a c 2 ， b c 4 ，则 a b 的取值范围是
.
17.函数 f x 2 5 x， g x sin x ，若 x1 , x2 , , x n[0, ] ，使得
2
f ( x1 ) f ( x2 ) f (x n 1 )
g ( x n ) g (x1 ) g( x2 )g (x n 1 ) f ( x n ) ，则正整数n
的最大
值为.
三、解答题：本大题共 5 小题，共74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题满分 14 分）
已知向量a(sin x,1)， b(cos x, 1) ， c(m,0) ，其中x[0,] ．
4
(1) 若 a b
3 ，求
5
tanx 的值；
(2)若 a c 与 a c 垂直，求实数m
的取值范围．
19.（本题满分 15 分）
已知集合 A x y( x3)(1 x)， B a 1,2a 1 ，
C{ x ( x m 1)(x m1) 0, m R} ．
(1)若 e R A B，求 a 的取值范围；
(2)若 A C C ，求m的取值范围．
20.（本题满分 15 分）
已知 f (x) 为偶函数，当x 0 时， f ( x) 2lg( x1) ，
(1)求 f ( x) 解析式；
(2) 若对于任意的x ( ,0) ，关于x的不等式 lg(kx) f ( x) 恒成立，求k 的取值范围 .
21.（本题满分 15 分）
已知函数( )sin(2)＝sin (＋ )(0,0,)
f x x，
g x A A的部分图象如图所示 .
6x2
(1)求 g x的解析式，并说明 f ( x) 的图象怎样经过 2 次变换得到 g x 的图象；
(2)若对于任意的x
4,
6
，不等式 f ( x) m 2 恒成立，求实数m 的取值范围.
22.（本题满分 15 分）
在函数定义域内，若存在区间
m, n ，使得函数值域为m A, n A，则称此函数为“ A 档
x x
2] ，
类正方形函数” ，已知函数 f ( x) log 3[2 k 9 ( k 1)3k
(1) 当 k 0 时，求函数 y f x 的值域；
(2)若函数 y f x 的最大值是 1，求实数 k 的值；
(3) 当 x 0 时，是否存在k (0,1) ，使得函数 f ( x) 为“ 1 档类正方形函数”？若存在，求
出实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由．。