(完整版)解斜三角形
解斜三角形
一、基本知识 1. 正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 是△AB
C 外接圆半径） 2.余弦定理
A bc c b a cos 22
2
2
-+= B ac c a b cos 22
2
2
-+= C ab b a c cos 22
2
2
-+=
bc a c b A 2cos 2
22-+=
ac b c a B 2cos 2
22-+=
ab
c b a C 2cos 2
22-+=
3. C ab S ABC sin 21
=? r c b a S ABC
)(2
1
++=?（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论
（1） C B A sin )sin(=+
C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+
（2） 2cos 2sin
C
B A =+ 2
sin 2cos C B A =+
（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ??
5. 考题分类
题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题
题型五：实际应用
二、例题解析
【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 222
2B b a C A -=-外接圆半径为2，求
角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 222
2B b a C A -=-得
R
b
b a R
c R a 2)()44(222222-=- 由于，2=
R ，代入并整理，得
ab c b a =-+2
2
2
所以，2
1
22cos 222==-+=
ab ab ab c b a C 所以，3
π
=C 。
【例2】设ABC ?的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4
a b C === （Ⅰ）求ABC ?的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力
解析：（Ⅰ）∵44
1
441cos 22
2
2
=?-+=-+=C ab b a c ∴2=c
∴ABC ?的周长为5221=++=++c b a .
（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 2
2
=??
? ??-=-=C C ，
∴8
15
2415
sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，
∴878151sin 1cos 2
2
=???
? ??-=-=A A
∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16
11
4158154187=?+?=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若AB
，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，
1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-
=--?． 又0πC < π4C ∴=． （Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ? ==???+=? ，， 且π02A ?? ∈ ???，， 得sin 17A = ．sin sin AB BC C A =Q ，sin sin A BC AB C ∴=?= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状： (1)若22 tan tan a B =b A ；(2)b 2 sin 2 C + c 2 sin 2 B =2bc cos B cos C ; 解（1）由已知及正弦定理得 (2RsinA)2 B cos B sin = (2RsinB)2 ?A cos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ?sin2A=sin2B ? 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o 或 A – B=0 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得 sin 2 Bsin 2 C=sinBsinCcosBcosC ∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o , A =90o , 故△ABC 是直角三角形. 【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处 B C 测得小岛A 在船的南偏东30o；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60o。如果此船不改变航行方向，继续向前行驶，有无触礁危险。 【解】过A 作BC AD ⊥于D ，由正弦定理易求得 26315≈=AD （海里）20>（海里），所以继续航行没有触礁的危险。 【例6】已知圆内接四边形ABCD 的边长 ,6,2==BC AB 4==DA CD ，求四边形ABCD 的面积。 【解】连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 CBD ABD S S S ??+= +?= A AD A B sin 21 C DC BC sin 21 ? ∵ π=+C A ∴ C A sin sin = ∴ AD AB S ?=(21 A DC BC sin )?+ =?+?=A sin )4642(2 1 A sin 16= 由余弦定理，在△ABD 中，得 =?-+=A AD AB AD AB BD cos 22 2 2 A A cos 1620cos 4224222-=??-+ 在△CBD 中， =?-+=C CD CB CD CB BD cos 2222 C A cos 4852cos 4624622-=??-+ ∴ C A cos 4852cos 1620-=- ∵ C A cos cos -= ∴ 32cos 64-=A ∴ 2 1cos - =A 2 3sin = A B ∴ 382 3 16=? =S 解斜三角形训练题 一、选择题 1. 在ABC ?中，已知2 2 2 c bc b a ++=，则角A 为（ C ） A. 3 π B 6 π C. 32π D. 3 π或32π 2. 三角形三边长分别为c b a ,,，且满足关系ab c b a c b a 3))((=-+++，则c 的对角是（C. ） A ?15 B. ?45 C. ?60 D. ?120 3. （15年广东文科）设C ?AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =， c =，cos A = b c <，则b =（ ） A B ．2 C ． D ．3 【答案】B 【解析】 试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以 (2 22 22b b =+-??即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <， 所以2b =，故选B ． 4.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若a c ac b 2,2 ==，则=B cos （ B ） A. 4 1 B 4 3 C. 42 D. 3 2 解： 因为 a c ac b 2,2 ==，由余弦定理得， 4 32cos 222=-+= ca b a c B 5. 在△ABC 中，C B A sin 2 tan =+，给出下面四个结论： ①1cot tan =?B A ； ②2sin sin 0≤+ ③1cos sin 2 2 =+B A ； ④1cos cos 2 2 =+B A 其中正确的是（ B. ） A ①③ B. ②④ C. ①④ D ②③ 6. 已知三角形的三边之比是8:7:5，则最大角与最小角之和为（ B ） A ?90 B. ?120 C. ?135 D ?150 7. [2014·江西七校联考] 在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 解：D [解析] 由题意得，1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，又sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝π 2 ，故△ABC 一定为直 角三角形． 8 在△ABC 中，A b B a tan tan 2 2 =，则△ABC 是（D. ） A 等腰三角形 B.等腰直角三角形 于 A . 1 B.1- C. 2 D. 2- 二、填空题 1．ABC ?中,已知AB AB BC ,10,3,==边的中线为7，则ABC ?的面积是 2 3 15 2 在△ABC 中，若面积)(4 1222 c b a S -+= 则C ∠的度数为______?45___。 由，C ab c b a S sin 21)(412 22=-+=得 1 2cos sin 2 ab C ab C ??= 所以， C C sin cos = 得，?=45C 3. 在△ABC 中，若?=∠60C ，则=+++c a b c b a _____1____。 由?=∠60C ，得 ?=-+ab c b a 222ab c b a +=+2 2 2 1))(()()(2 22=++++++=+++++=+++c ac bc ab bc ac b a c a c b c b b c a a c a b c b a 4. 在△ABC 中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B 则C ∠的度数为____ 2 π _____。（可得21)sin(=+B A ） 5．如图，在四边形ABCD 中， 28,16,10,135,90===?=∠?=∠CD AC AB D DAB ，则 =AD )13(8- ，=BC 14 。 简解：由正弦定理，得 ?=∠30DAC 于是，?=∠15DCB 再由正弦定理，得 ? = ?135sin 16 15sin AD ，得 )13(84 2 6216-=-? =AD 。 在ABC ?中,，应用余弦定理，得 22 2 2 142 1 161021610=???-+=BC 所以，14=BC 6 在△ABC 中，31cos ,3= = A a ，则=+2cos 2C B ___31______。 7 在△AB C 中，若2 cos sin sin 2A C B =，则△ABC 的形状是__等腰三角形____。 8.在ABC ?中，8:7:5sin :sin :sin =C B A ，则B 的大小是（ 3 π ） A.6π B 3 π C. 43π D. 65π 三、解答题 1．在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求A 、C 及c 解：由正弦定理得：23 2 45sin 3sin sin = ==οb B a A A B D ┘