全等三角形证明题(含答案版)

1、如图,四边形AB ＣD 是边长为2的正方形，点G 是

BC 延长线上一点,连结AG ,点Ｅ、F 分别在A Ｇ上，连接B Ｅ、DF ，∠1=∠２， ∠3=∠4. (１)证明:△ABE ≌△DAF ；（２）若∠A ＧＢ=30°，求E Ｆ的长.

【解析】

(1）∵四边形AB ＣＤ是正方形, ∴AB=A Ｄ,

在△ABE 和△D ＡF 中,???

??∠=∠=∠=∠3

2DA AB ，

∴△ＡＢE ≌△DAF.

(2)∵四边形ABC Ｄ是正方形， ∴∠1+∠４＝90o ∵∠３=∠４, ∴∠1＋∠３=90o ∴∠ＡFD=9０o

在正方形ABC Ｄ中，ＡＤ∥ＢC ， ∴∠1=∠ＡＧB=30ｏ

在Rt △ＡD Ｆ中，∠AFD ＝90o A Ｄ=２ , ∴AF=

3 , ＤF =1,

由（1）得△ABE ≌△A ＤF, ∴AE ＝DF=１，

∴EF=AF －AE=13-.

2、如图，

,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F

=⊥=∠于点，，平分交于点,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.

【解析】

（１）ADB ADC △≌△、

ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、

ABE ACD △≌△(写出其中的三对即

可).

(２)以△ADB ≌ADC 为例证明.

证明：

,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.

在Ｒt ADB △和Rt ADC △中,

,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.

３、在△ABC 中,AB=CB,∠A ＢC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且A Ｅ=ＣF.

(1)求证:R ｔ△ＡＢE ≌Rt △C ＢF ； (２)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.

F G 1

423

【解析】

(1）∵∠ＡBC=90° ∴∠CBF=∠AB Ｅ=90°

在Ｒt △ABE 和Rt △CBF 中

∵AE=CF, AB=BC ∴Ｒｔ△ＡBE ≌R ｔ△CBF(H Ｌ)

（2)∵AB=BC, ∠A ＢC ＝90° ∴ ∠CAB=∠ＡC B=45°

∵∠BAE=∠CA Ｂ-∠CAE ＝4５°-30°=15°. 由（１）知 Rt △ＡＢE ≌Rt △CB Ｆ, ∴∠BCF ＝∠BAE=15°

∴∠ACF=∠BCF+∠A ＣB=45°+1５°=６0° ４、已知:如图,点C 是线段ＡＢ的中点,CE ＝C Ｄ,∠ＡCD=∠BC Ｅ，

求证:A Ｅ＝

BD.

题2０图【解析】

∵点C 是线段AB 的中点， ∴A Ｃ=ＢC ， ∵∠A ＣＤ=∠ＢCE,

∴∠A ＣD+∠D ＣE=∠B ＣＥ＋∠DCE,

即∠ACE=∠BCD,

在△AC Ｅ和△BCD 中，AC BC ACE BCD

CE CD ?=?

∠=∠??=?

∴△ACE ≌△BCD （SAS ）, ∴ＡＥ=BD. 5

、

如

图

10,

已

知ADE Rt ABC Rt ???,

?=∠=∠90ADE ABC ,

BC 与DE 相交于点F ,连接EB CD ,.

(１）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2)求证：EF CF

=．

【解析】 (1）ABE ADC ??

?，EBF CDF ???

(2）证法一：连接CE

∵ADE Rt ABC Rt ??

? ∴AE AC =

∴AEC ACE ∠=∠ 又∵ADE Rt ABC Rt ??

∴AED ACB ∠=∠

B C

第22题图

∴

AED AEC ACB ACE ∠-∠=∠-∠

即DEC BCE ∠=∠

∴EF CF

证法二：∵ADE Rt ABC Rt ???

∴

EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,,

∴

DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠

即EAB CAD ∠=∠ ∴)(SAS AEB ACD ??

∴ABE ADC EB CD

∠=∠=,

又∵ABC ADE ∠=∠

∴EBF CDF

∠=∠

又∵BFE DFC ∠=∠ ∴)(AAD EBF CDF ∠?∠

∴EF CF

6、如图,点F 是CD 的中点,且AF ⊥CD ，ＢC =Ｅ

D ,∠B ＣD =∠EDC . (1)求证:AB=A

E ；

（２)连接BE ，请指出B Ｅ与A Ｆ、B Ｅ与CD 分别有怎样的关系？

（只需写出结论,不必证明). 【解析】

（1)证明:联结A Ｃ、AD

∵点Ｆ是CD 的中点,且ＡF ⊥C Ｄ，∴AC ＝AD

∴∠AC Ｄ=∠ＡDC ∵∠ＢCD =∠EDC

∴∠AC Ｂ＝∠ＡＤE ∵B Ｃ=ＤE,AC=AD ∴△ABC ≌△AED ∴AB=ＡＥ

（2）ＢE ⊥AF,BE/／C Ｄ,AF 平分BE

7、如图l ，已知正方形ABCD 的对角线A Ｃ、B Ｄ相交于点O ，E 是ＡＣ上一点,连结ＥB,过点A 作AM ⊥ＢE,垂足为Ｍ，AM 交BD 于点F. (1)求证:OE=OF ；

(２)如图２，若点Ｅ在ＡC 的延长线上,A Ｍ⊥ＢE 于点M,交DB 的延长线于点F ，其它条件不变,则结论“O Ｅ=OF ”还成立吗？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由.

图1

F M O C

图2

B A

【解析】

(１)证明：∵四边形A ＢCD 是正方形．

∴∠BO Ｅ=∠AOF ＝9０?.O Ｂ＝O Ａ又∵ＡM ⊥BE ，∴∠ME Ａ+∠MAE ＝9０

?＝∠ＡF Ｏ＋∠M ＡE

∴∠MEA ＝∠AFO

∴Ｒt△BOE≌Ｒｔ△AＯＦ

∴ＯE=ＯF

(2)OＥ=OF成立

证明：∵四边形ＡBCD是正方形，

∴∠ＢＯE=∠ＡOF=90?.OＢ＝OＡ

又∵ＡM⊥BE,∴∠Ｆ+∠MBF＝90?=∠Ｂ+∠OBE

又∵∠MBF=∠ＯBE

∴∠F＝∠E

∴Rt△BOE≌Rt△AＯF

∴OＥ＝ＯＦ

８、如图1,点P、Q分别是边长为4cｍ的等边?ABC边ＡB、ＢC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B

同时出发，且它们的速度都为１ｃｍ/ｓ，

（1）连接ＡQ、CP交于点M，则在Ｐ、Ｑ运动的过程中，∠CＭQ变化吗？若变化，则说明理

由，若不变,则求出它的度数；

（2）何时?PBQ是直角三角形？

（3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线ＡＢ、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，

则∠ＣMQ变化吗？若变化，则说明理由,若

不变，则求出它的度数;

【解析】

(1）0

∠CMQ不变。

∠

=CAP

AB，

等边三角形中，

又由条件得AＰ=BＱ，∴ABQ

?≌

CAP

?（SAS)

∴ACP

BAQ∠

∠

∴

∠

∠BAC

CAM

BAQ

CAM

ACP

CMQ

(2）设时间为t,则ＡB=ＢＱ=t，ＰB=4-t

当

900

∴

∠

∠t t

PQB得

时，

当

4(2

900

∴

∠

∠t

BPQ得

时，

∴当第

秒或第2秒时，?ＰBQ为直角三角形

（３)0

120

∠CMQ不变。

CAP

≌

又

图1

MCQ PCB ∠=∠

∴0120=∠=∠PBC CMQ

９、如图:?ACB 与?ＤCE 是全等的两个直角三角形,其中∠A ＣB ＝∠ＤCE=９０0

,ＡＣ=４，ＢC=2，点D 、

C 、B 在同一条直线上,点E 在边A Ｃ上.

(1)直线ＤE 与AB 有怎样的位置关系?请证明你的结论；

(２）如图（1）若?DCE 沿着直线D Ｂ向右平移多少距离时，点E 恰好落在边AB 上,求平移距离DD ，

； (3）在?D ＣE 沿着直线D Ｂ向右平移的过程中，使?ＤC Ｅ与?ＡCB 的公共部分是四边形,设平移过程中的平移距离为x ,这个四边形的面积为y ，

求y 与x 的函数关系式,并写出它的定义域．

【解析】

解:（1)点 M

(2）经过t 秒时,

NB t =,2OM t

= 则

3CN t =-，42AM t =-

∵BCA ∠＝MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==-

∴

1 PQ t =+

∴

(42)(1)22

AMQ S AM PQ t t =

=-+△22t t =-++

∴2

224

S t t t ??=-++=--+ ???

∵02t ≤≤∴当1

t =

时,S 的值最大．（3)存在．

设经过t 秒时,ＮB ＝t ，OM=2t 则3CN t =-，

42AM t =-

∴BCA ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQM

∠=,则PQ 是等腰Rt △MQA

底边MA 上的高 ∴

是底边

的中线

∴1

PQ AP MA ==

∴11(42)2t

t +=-∴12

t = ∴点M 的坐标为（１，0）

②若90QMA ∠=,此时QM 与QP 重合

∴QM QP MA ==

∴142t t +=-

∴1t

∴点M 的坐标为(2，0)

10、如图,

,,,A F E B 四点共线，

AC CE ⊥,BD DF ⊥，AE BF =,AC BD =。求

证：ACF BDE ???。

D E

A B

C （1）

，

E A

B C

备用图

【解析】

AC CE ⊥,BD DF ⊥

∴90ACE BDF ∠=∠=

在Rt ACE ?与Rt BDF ?中

AE BF

AC BD =??

? ∴Rt ACE Rt BDF ???(HL)

∴A B ∠=∠

AE BF =

∴AE EF BF EF -=-,即AF BE =

在ACF ?与BDE ?中

AF BE A B AC BD =??

∠=∠??=?

∴ACF BDE ???(SAS)

11、如图，D 是ABC ?的边BC 上的点,且CD AB =，

ADB BAD ∠=∠,AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。

【解析】

延长AE 至点F ,使EF

AE =,连接DF

在ABE ?与FDE ?中

AE FE AEB FED BE DE =??

∠=∠??=?

∴ABE FDE ???（SA Ｓ)

∴B EDF ∠=∠

ADF ADB EDF

∠=∠+∠，

ADC BAD B ∠=∠+∠

又

ADB BAD ∠=∠

∴ADF ADC ∠=∠

AB DF =,AB CD =

∴DF DC =

在ADF ?与ADC ?中

AD AD

ADF ADC DF DC =??

∠=∠??=?

∴ADF ADC ???(S ＡS) ∴AF AC =

又

2AF AE =

∴2AC AE =。

12、已知：A Ｃ平分∠BAD ，C Ｅ⊥A Ｂ,∠Ｂ+∠D=１80°，求证:AE=AD ＋BE

?【解析】

在AＥ上取Ｆ,使EＦ=EB，连接CF

∵ＣＥ⊥AＢ

∴∠CEB＝∠ＣＥF＝90°

∵EＢ＝EF,ＣE＝ＣE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B+∠Ｄ=18０°，∠CＦＥ+∠ＣＦＡ＝１８０°

∴∠Ｄ＝∠CFＡ

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC=∠ＦAC

∵ＡC=AＣ

∴△ＡDC≌△AFC（SAS）

∴AD=ＡF

∴AE＝AF＋FE=AD＋BＥ