高中数学第二章 平面向量 221 向量的加法课件 北师大版必修4
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高中数学必修4第二章平面向量221向量加法运算及其几何意义1PPT课件

2. 三角形法则
品质来自专业 信赖源于诚信
已知向量 a,b. 在平面内任A 取 ,一 作ABa, BC b,则向 A叫 C 量 a 与 作 b 的 和,a 记 b. 作:
a
C
b
A B
16
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2. 三角形法则
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已知向量 a,b. 在平面内任A 取 ,一
作ABa, BC b,则向 A叫 C 量 a 与 作 b 的
和,a 记 b. 作:
a b
ab C
A B
17
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2. 三角形法则
品质来自专业 信赖源于诚信
已知向量 a,b. 在平面内任A 取 ,一
作ABa, BC b,则向 A叫 C 量 a 与 作 b 的
和 ,a 记 b.即 a 作 b: A B BC A, C
a
ab C
b
A B
18
(3) 某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和: ABBCAC
(4) 船速A为 B , 水速B为 C , 则两速:度和
AB
C A
C
B
9
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(3) 某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和: ABBCAC
(4) 船速A为 B , 水速B为 C , 则两速:度和
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2.2.1向量加法运算 及其几何意义
1
复习回顾 金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
向量的定义以及有关概念.
向量是既有大小又有方向的量.长度 相等、方向相同的向量相等.因此,我们 研究的向量是与起点无关的自由向量, 即任何向量可以在不改变它的方向和大 小的前提下,移到任何位置 .
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已知向量 a,b. 在平面内任A 取 ,一 作ABa, BC b,则向 A叫 C 量 a 与 作 b 的 和,a 记 b. 作:
a
C
b
A B
16
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2. 三角形法则
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已知向量 a,b. 在平面内任A 取 ,一
作ABa, BC b,则向 A叫 C 量 a 与 作 b 的
和,a 记 b. 作:
a b
ab C
A B
17
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2. 三角形法则
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已知向量 a,b. 在平面内任A 取 ,一
作ABa, BC b,则向 A叫 C 量 a 与 作 b 的
和 ,a 记 b.即 a 作 b: A B BC A, C
a
ab C
b
A B
18
(3) 某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和: ABBCAC
(4) 船速A为 B , 水速B为 C , 则两速:度和
AB
C A
C
B
9
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(3) 某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和: ABBCAC
(4) 船速A为 B , 水速B为 C , 则两速:度和
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2.2.1向量加法运算 及其几何意义
1
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品质来自专业 信赖源于诚信
向量的定义以及有关概念.
向量是既有大小又有方向的量.长度 相等、方向相同的向量相等.因此,我们 研究的向量是与起点无关的自由向量, 即任何向量可以在不改变它的方向和大 小的前提下,移到任何位置 .
北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.2.1向量的加法课件

-8-
2.1
1
向量的加法
3
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-3】 在边长为 1 的正方形 ABCD 中,| ������������ + ������������ + ������������| 等于( A.0 ) B.1 C. 2D. 3
解析:|������������ + ������������ + ������������ | = |������������ + ������������ | = |������������| = 1.
-7-
2.1
1
向量的加法
3
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-1】 ������������ + ������������ 等于( A. ������������ B. ������������C. ������������D. ������������
)
答案:C 【做一做1-2】 已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 ( ) A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反 答案:A
解(1)������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ . (2)������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ =0. (3)������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = 0.
高中数学第二章平面向量本章整合课件北师大版必修4

圆O的方程为x2+y2=9.
设 P(x,y),则������������=(-2-x,-y),������������=(2-x,-y),
于是������������ ·������������=x2-4+y2=x2+y2-4=9-4=5.故选 C.
答案:C
专题一 专题二 专题三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
专题一 专题二 专题三
【例1】如图,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,且AB=2CD,M,N分别 是DC和AB的中点,已知������������=a,������������=b,求������������, ������������.
分析:本题要求用 a,b 表示������������和������������,而 a,b 不共线,由平面向量基 本定理,知此平面内任何向量都可用 a,b 唯一表示,因此需结合图形 寻找������������, ������������与 a,b 的关系.
联立①②,解得
������ = -2, 或 ������ = 3
������ = 2, ������ = 1.
所以点D的坐标为(-2,3)或(2,1).
专题一 专题二 专题三
(2)当点 D 的坐标为(-2,3)时,������������=(1,2),������������=(-1,3),������������=(-2,1).
专题一 专题二 专题三
【例 2】 (1)如图,AB 是圆 O 的直径,点 P 是圆弧������������上的点,M,N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则������������ ·������������等于 ()
高中数学第二章平面向量1向量的加法课件必修4高二必修4数学课件

12/12/2021
第十九页,共四十六页。
规律方法 本题是利用向量加法的三角形法则来解的,当两 个向量共线时同样适用.
12/12/2021
第二十页,共四十六页。
如图,已知向量 a,b,c,试求作和向量 a+b+c.
解:如图,首先在平面内任取一点 O,作向量O→A=a,接着 作向量A→B=c,然后作向量B→C=b,则向量O→C=a+b+c 即为所 求.
12/12/2021
第十一页,共四十六页。
知识点三
向量加法运算律
[填一填] 4.(1)交换律:a+b=____b_+_a___. (2)结合律:a+b+c=___(a_+__b_)__+c=a+__(b_+__c_)___. 特别地:对于零向量与任一向量 a 的和有 0+a=__a___.
12/12/2021
12/12/2021
第三十六页,共四十六页。
【防范措施】 1.正确利用几何图形的性质 利用几何图形中线线平行,线段相等可以推出向量共线和相 等的条件.通过相等向量的代换往往可以实现向量运算的简 化.如本例中利用正六边形的性质可以得到B→A=D→E.
2.恰当利用向量加法的运算律 用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的,如本例将 B→A+C→D+E→F变形为C→D+D→E+E→F就可以利用向量加法的多边 形法则求和向量.
12/12/2021
第十七页,共四十六页。
12/12/2021
第十八页,共四十六页。
类型一
向量的加法
【例 1】 如图中(1)(2)(3)所示,试作出向量 a 与 b 的和.
【思路探究】 根据向量加法法则作图. 【解】 如图(1)(2)(3)所示.
首先作O→A=a,然后作A→B=b,则O→B=a+b.
高中数学-第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法课件 北师大版必修4

为邻边作平行四边形 ABCD,则 就是船实际航行的速度.
在 Rt△ABC 中,| |=2,| |=| |=2√3,
所以| |= | |2 + | |2 =4.
因为 tan∠CAB=
2 √3
2
= √3,所以∠CAB=60°.
所以船实际航行的速度的大小为 4 km/h,方向是与水流的方向
错解:∵| |=| + |,
根据向量加法的三角形法则可得:
A,B,C 三点构成三角形.
∴||-| |<| |<| |+||,
∴3<| |<13.
正解:∵| |=| + |,
当 A,B,C 三点不共线时,||-| |<| |<| |+||,
(2)由向量加法的三角形法则得 + = ;
(3) 与共线且同向,由三角形法则知 + = ;
(4) 与共线且反向,由三角形法则知 + =0.
答案:(1) (2) (3) (4)0
三、向量加法运算律
1.交换律:a+b=b+a.
2.结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
|=
.
解析:(1)在平行四边形 ABCD 中,应有 + = ,故 C 项错
误.
(2) + + = + = ,所以| + +
|=| |=1.
答案:(1)C (2)1
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究三向量的加法运算律及应用
【例 3】 化简下列各式:
在 Rt△ABC 中,| |=2,| |=| |=2√3,
所以| |= | |2 + | |2 =4.
因为 tan∠CAB=
2 √3
2
= √3,所以∠CAB=60°.
所以船实际航行的速度的大小为 4 km/h,方向是与水流的方向
错解:∵| |=| + |,
根据向量加法的三角形法则可得:
A,B,C 三点构成三角形.
∴||-| |<| |<| |+||,
∴3<| |<13.
正解:∵| |=| + |,
当 A,B,C 三点不共线时,||-| |<| |<| |+||,
(2)由向量加法的三角形法则得 + = ;
(3) 与共线且同向,由三角形法则知 + = ;
(4) 与共线且反向,由三角形法则知 + =0.
答案:(1) (2) (3) (4)0
三、向量加法运算律
1.交换律:a+b=b+a.
2.结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
|=
.
解析:(1)在平行四边形 ABCD 中,应有 + = ,故 C 项错
误.
(2) + + = + = ,所以| + +
|=| |=1.
答案:(1)C (2)1
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究三向量的加法运算律及应用
【例 3】 化简下列各式:
高一数学北师大版必修4课件2.2.1 向量的加法

探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 向量的加法运算
两个向量相加,和仍是一个向量,所以两个向量相加要注意以下两个方 面: (1)和向量的方向;(2) 和向量的模. 【典型例题 2】 如图,已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,化简下列向量 : (1)������������ + ������������ ; (2)������������ + ������������ ; (3)������������ + ������������ . 思路分析:此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则,观察是否具 备应用法则的条件.若不具备,应改变条件,以便使用法则求解.
§标 1.理解向量的加法的定义,会用向量加法的三 角形法则和平行四边形法则作出两个向量的 和. 2.掌握向量的加法的交换律和结合律,并会用 它们进行向量运算. 3.经历运用数学来描述和刻画现实世界的过 程,体验探索的乐趣,激发学生的学习热情,培 养学生勇于探索、敢于创新的个性品质.
(2)运算结果 :向量的和还是向量,实数的和还是实数. (3)运算律 :向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律.向量加法 的交换律可以用平行四边形法则来验证;向量加法的结合律可以用三角形 法则来验证. (4)运算的几何意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和 平行四边形法则;实数加法的几何意义是实数的加法法则.由此可见,向量的 加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不但有大小还有方向,而实数 仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算来进行.
3.向量加法运算律 (1)交换律:a+b=b+a. (2)结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
高中数学北师大版必修4 2.2 教学课件 《向量的加法》(数学北师大高中必修4)

B
30
A
D
东
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
例3 、在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶速度为v1=2 3km/h, 河水流动速度v2=2.0km/h求小船过河实际航行速度的大小和方向.
解:如图,设 AD表示船向 垂直于对岸行驶的速度
AB表示水流的速度,
以AD、AB为邻边作平行四边形
ABCD,则AC就是船实际航行的速度。
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例2、轮船从A港沿东偏北 30°方向行驶了40海里到达B处,再由B 处沿正北方向行驶40海里到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
解:如图,设AB、BC分别表示轮船的两次位移, 则AC表示
轮船的合位移,AC AB BC。
在Rt△ADB中,ADB 90,ADB 30,| AB | 40 n mile ,
D
B
A
C
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讲授新课
a
B
C
a
a+b
b
作法:
A
b
D
作 AB= a, AD =b,以AB,AD为邻边
作平行四边形,则对角线向量 AC = a + b 。
平行四边形法则
讨论:作图关键点:平移为同一起点
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探究结果
三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的 和的作图特点:
谢谢观看!
讲授新课
情景二:在大型车间里,
一重物被天车从A处搬运到B处.
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B D
怎么来认识实际位移AB?
A
C
讲授新课 探究2:
高中数学第二章平面向量本章整合课件北师大版必修4

第二章 平面向量
本章整合
定义:既有大小,又有方向的量统称为向量 长度(模):向量的大小叫作向量的长度(模) 方向:起点指向终点的方向 零向量:长度为零的向量,记为 0 概念 单位向量:长度为单位 1 的向量 平行向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合,则称这两个向量平行或共线 垂直向量:夹角是直角的两个向量 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量 相反向量:长度相等而方向相反的两个向量
专题1
专题2
专题3
应用 1 如图, 四边形 ABCD 是梯形, AB∥DC, 且 AB=2CD, M,N 分 别是 DC 和 AB 的中点. 已知������������=a, ������������=b, 求������������ , ������������ (用 a, b 表示).
提示:本题要求用 a, b 表示������������ 和������������ , 而 a, b 不共线, 由平面向量 基本定理, 知此平面内任何向量都可用 a, b 唯一表示, 因此, 需结合图 形寻找������������ , ������������ 与 a, b 的关系.
射影:|������|cos������叫作向量������在向量������方向上的射影,������是������和������的夹角 定义:|������|| ������|cos������叫作向量������与������的数量积,记为������· ������ 几何意义:������· ������等于|������|与������在向量������方向上的射影|������|cos������的乘积
2 2
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 2a-b,
本章整合
定义:既有大小,又有方向的量统称为向量 长度(模):向量的大小叫作向量的长度(模) 方向:起点指向终点的方向 零向量:长度为零的向量,记为 0 概念 单位向量:长度为单位 1 的向量 平行向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合,则称这两个向量平行或共线 垂直向量:夹角是直角的两个向量 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量 相反向量:长度相等而方向相反的两个向量
专题1
专题2
专题3
应用 1 如图, 四边形 ABCD 是梯形, AB∥DC, 且 AB=2CD, M,N 分 别是 DC 和 AB 的中点. 已知������������=a, ������������=b, 求������������ , ������������ (用 a, b 表示).
提示:本题要求用 a, b 表示������������ 和������������ , 而 a, b 不共线, 由平面向量 基本定理, 知此平面内任何向量都可用 a, b 唯一表示, 因此, 需结合图 形寻找������������ , ������������ 与 a, b 的关系.
射影:|������|cos������叫作向量������在向量������方向上的射影,������是������和������的夹角 定义:|������|| ������|cos������叫作向量������与������的数量积,记为������· ������ 几何意义:������· ������等于|������|与������在向量������方向上的射影|������|cos������的乘积
2 2
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 2a-b,
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教材 P81 习题 2-2 B 组 T1,T2,T3 你会吗?
2.向量加法的运算律 交换律 结合律
a+b=___b_+__a______ (a+b)+c=_a_+__(_b_+__c_)___
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.( √ ) (2)|a+b|≤|a|+|b|等号成立的条件是 a∥b.( × ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( × )
2.在△ABC 中,必有A→B+C→A+B→C等于( B )
A.0
B.0
C.任一向量 3.化简下列各向量: (1)A→B+B→C=____A→_C___.
D.与三角形形状有关
(2)P→Q+O→M+Q→O=__P→_M_____. 解析:根据向量加法的三角形法则及运算律得:
(1)A→B+B→C=A→C.
A.0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
解析: B→A+D+E→F=B→A+A→F+C→B=B→F+C→B=C→F,所以选
D.
探究点二 向量的加法运算
(1)下列等式不正确的是( B )
①a+(b+c)=(a+c)+b;②A→B+B→A=0;③A→C=D→C+A→B+B→D.
A.②③
B.②
C.①
D.③
(2)设 A,B,C,D 是平面上任意四点,试化简:
①A→B+C→D+B→C;
②D→B+A→C+B→D+C→A.
1.如图,正六边形 ABCDEF 中,B→A+C→D+E→F=( D )
大家好
1
第二章 平面向量
§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
1.问题导航 (1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗? (2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何 不同? 2.例题导读 教材 P77 例 1,例 2,P78 例 3.通过此三例的学习,熟悉向量加 法运算,学会利用向量加法解决实际生活问题.
(2)P→Q+O→M+Q→O=P→Q+Q→O+O→M=P→O+O→M=P→M.
4.在正方形 ABCD 中,|A→B|=1,则|A→B+A→D|=___2_____.
探究点一 已知向量作和向量
如图,已知向量 a,b,c 不共线,求作向 量 a+b+c. (链接教材 P81 习题 2-2 A 组 T3) [解]法一:如图(1),在平面内作O→A=a,A→B=b,则O→B=a+b; 再作B→C=c,则O→C=a+b+c.
2.向量加法的运算律 交换律 结合律
a+b=___b_+__a______ (a+b)+c=_a_+__(_b_+__c_)___
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.( √ ) (2)|a+b|≤|a|+|b|等号成立的条件是 a∥b.( × ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( × )
2.在△ABC 中,必有A→B+C→A+B→C等于( B )
A.0
B.0
C.任一向量 3.化简下列各向量: (1)A→B+B→C=____A→_C___.
D.与三角形形状有关
(2)P→Q+O→M+Q→O=__P→_M_____. 解析:根据向量加法的三角形法则及运算律得:
(1)A→B+B→C=A→C.
A.0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
解析: B→A+D+E→F=B→A+A→F+C→B=B→F+C→B=C→F,所以选
D.
探究点二 向量的加法运算
(1)下列等式不正确的是( B )
①a+(b+c)=(a+c)+b;②A→B+B→A=0;③A→C=D→C+A→B+B→D.
A.②③
B.②
C.①
D.③
(2)设 A,B,C,D 是平面上任意四点,试化简:
①A→B+C→D+B→C;
②D→B+A→C+B→D+C→A.
1.如图,正六边形 ABCDEF 中,B→A+C→D+E→F=( D )
大家好
1
第二章 平面向量
§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
1.问题导航 (1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗? (2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何 不同? 2.例题导读 教材 P77 例 1,例 2,P78 例 3.通过此三例的学习,熟悉向量加 法运算,学会利用向量加法解决实际生活问题.
(2)P→Q+O→M+Q→O=P→Q+Q→O+O→M=P→O+O→M=P→M.
4.在正方形 ABCD 中,|A→B|=1,则|A→B+A→D|=___2_____.
探究点一 已知向量作和向量
如图,已知向量 a,b,c 不共线,求作向 量 a+b+c. (链接教材 P81 习题 2-2 A 组 T3) [解]法一:如图(1),在平面内作O→A=a,A→B=b,则O→B=a+b; 再作B→C=c,则O→C=a+b+c.