计算方法复习题

软工13计算方法复习题

1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。

（1）)ln()1ln(x x -+，其中x 较大

（2）x x -+12，其中x 较大

2

2

2、已知函数方程0)ln(3)(=--=x x x f 有一正根，请完成以下几方面的工作：

（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a 0 , b 0]，以便于用二分法求解；

（2）验证在[a 0 , b 0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]；

（3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。 解： （1）把方程的根看成y=3-x 和y=ln(x)的交点，经分析可取含根区间[1.0 , 3.0] （2）经验算可得f(1.0)*f(3.0)<0，另f ’(x)在[1.0 , 3.0]上不变号，f(x)单调，二分法可行 （3）迭代式)ln(31k k x x -=+从迭代收敛定理两方面作完整讨论，知迭代式能保证收敛

3、用Doolittle 分解法求解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡564221231112321x x x （要求写明求解过程）。 解：（1）先对系数矩阵A 作LU 分解得A=LU=⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5/32/32/511

215/32/112/11

（2）由L Y=B 解出Y=(4,4,3/5)T ，由UX=Y 解出X=(1,1,1)T

4、关于某函数y =f (x )，已知如下表所示的一批数据

（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商； （2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f (0.75)的近似值；

（3）若用bx

ae y =来拟合这一批数据，试求出系数a 和b （提示：两边取自然对数得ln y =ln a +bx ，

令u =ln y ，问题转化为求拟合直线u =ln a +bx ）；

（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算

⎰

20

)(dx x f 的近似值。

（3）令i i y u ln =，计算

∑i

u =5，i

i u x ∑=7.5，∑i

x =5，∑2

i

x

=7.5，解下面方程组：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.75ln 5.7555b a 得a=1，b=1，故有x e x f =)( （4）分别用复化梯形积分公式和复化辛普森积分公式计算

5、若用Jacobi 迭代法求解线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=++-=-+=+-34118210

5z y x z y x z y x ：

（1）能否从系数矩阵判定Jacobi 迭代求解是收敛的？请说明原因； （2）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式f BX X k k +=+1；

（3）求出迭代矩阵B 的行范数∞

B

和列范数1B ，并说明B 能否保证收敛。

6、用规范化幂法求矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1403A 的按模最大特征值，使误差不超过1

105.0-⨯。初始向量取为V (0) =( 1 , 1 )T 。（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况

计算按模最大特征值和特征向量的方法。） 7、用改进欧拉法求初值问题⎩⎨⎧==0

.1)0.0(/y xy

dx dy 在区间[0.0 , 1.0]上的解，取步长h =0.2。计算结果保留到

小数点后面3位。

8、）对于函数)1()(x x x x f -

+=，按下面两种方法计算)1000(f 的近似值，分别讨论两个结果

的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。例如2

103162.01000⨯≈，2

103164.01001⨯≈）

（1）直接按表达式计算；（2）按等价变换式)1/()(x x x x f +

+=计算。

8、答题要点 精确值f(1000)=0.1580743 (102)

（1）f 1(1000)≈1000*(0.3164-0.3162)*102=0.2*102，与精确值比较得绝对误差限ε1=0.5*101

，得有效数字位数为1位；

（2）f 2(1000)≈1000/(0.3164*102+0.3162*102)≈0.1581*102

，与精确值比较得绝对误差限为

ε2=0.5*10*10-2

,得有效数字的位数为4位。

原因在于直接按表达式计算时两个相近的数相减导致有效数字位数减少而误差增大

9、已知函数方程052)(3

=-+=x x x f 在区间[2，3]上有根（令a 0=2，b 0=3）： （1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]； （2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。

（3）分析用牛顿迭代法求此根的可行性，并自己取初值x 0，完成第1次迭代计算。

10、分别用Gauss 消元法和Doolittle 分解法求解线性方程组⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡274613312111321x x x 。 11、关于某函数y =f (x )，已知如下表所示的一批数据