八年级下册数学一元二次方程的解法
八年级数学下册-专题. 一元二次方程的解法【八大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)
专题17.2一元二次方程的解法【八大题型】【沪科版】【题型1用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2配方法解一元二次方程】 (3)【题型3公式法解一元二次方程】 (8)【题型4因式分解法解一元二次方程】 (10)【题型5用指定方法解一元二次方程】 (13)【题型6用适当的方法解一元二次方程 (18)【题型7用换元法解一元二次方程】 (24)【题型8配方法的应用】 (28)【知识点1直接开平方法解一元二次方程】根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2023春·八年级课时练习）将方程(2－1)2=9的两边同时开平方，得2－1=________，即2－1＝________或2－1＝________，所以1＝________，2＝________．【答案】±33－32－1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可.【详解】∵(2－1)2=9∴2－1=±3∴2－1＝3，2－1＝-3∴1＝2，2＝-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键.【变式1-1】（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）【答案】x1＝4，x2＝﹣2．【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案；【详解】解：∵4−12−36=0∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2【变式1-2】（2023·全国·八年级假期作业）如果方程(−5)2=−7可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（）.A．>0B．O7C．>7D．任意实数【答案】B【分析】根据−7≥0时方程有实数解，可求出m的取值范围．【详解】由题意可知−7≥0时方程有实数解，解不等式得O7，故选B．【点睛】形如rm2=a的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A．x2+9＝0B．－2x2=0C．x2－3=0D．(x－2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A）移项可得2=−9，故选项A无解；（B）−22=0，即2=0，故选项B有解；（C）移项可得2=3，故选项C有解；（D）−22=0，故选项D有解；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．【知识点2配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】【例2】（2023春·八年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．32−52=12．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得2−16=56．配方，得_________________________________，即(−112)2=121144．两边开平方，得__________________，即−112=1112，或−112=−1112．所以1=1，2=−56．【答案】2−56=162−16+(112)2=56+(112)2−112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】32−52=12．解：两边同除以3，得2−56=16．移项，得2−16=56．配方，得2−16+(112)2=56+(112)2，即(−112)2=121144．两边开平方，得−112=±1112，即−112=1112，或−112=−1112．所以1=1，2=−56．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）用配方法解一元二次方程：(1)2−3−1=0（配方法）；(2)22−7【答案】(1)x1x2(2)x1=12，x2=3【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．（1）解：2−3−1=0，方程变形得：x2－3x=1，配方得：x2－3x+94=1+94，即（x－32）2=134，开方得：x－32=±，解得：x1=，x2=；（2）解：移项得：22−7=−3系数化1得：2−72=−32两边加上一次项系数一半的平方得：2−72+=−32+配方得：−=2516开方得：−74=±54解得：x1=12，x2=3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法．熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．【变式2-2】（2023春·山西太原·八年级阶段练习）用配方法解一元二次方程22−5+2=0．请结合题意填空，完成本题的解答．解：方程变形为22−5+(52)2−(52)2+2=0，.......................第一步配方，得(2−52)2−174=0．.......................................第二步移项，得(2−52)2=174．..........................................第三步两边开平方，得2−52=±...................................第四步即2−522−5................................第五步所以1=2=..................................第六步（1）上述解法错在第步；（2）请你用配方法求出该方程的解．【答案】（1）一；（2）1=2，2=12．【详解】试题分析：将方程二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上(54)2，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．试题解析：变形得：2−52+1=0，变形得：2−52=−1，配方得：2−52+(54)2=−1+(54)2，即(−54)2=916，开方得：−54=±34，则1=2，2=12．考点：解一元二次方程-配方法．【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）请用配方法解方程22−6+3=0；（2）请用配方法解一元二次方程B2+B+=【答案】（1）1=2=2）1=2=【分析】（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；（2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；【详解】解：（1）22−6+3=0两边同时除以2得：2−3+32=0，移项得：2−3=−32，两边同时加上(32)2得：2−3+(32)2=−32+(32)2，配方得：(−3234，解得：1=2=（2）B2+B+=0≠0两边同时除以得：2++=0，移项得：2+=−，两边同时加上(2)2得：2+2+(2)2=−+(2)2，配方得：(+2)2=−4B+242，当2−4B解得：1=2=当2−4B=0时，1=2=−2，当2−4B<0时，该方程无实数根．【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确运用，在含字母参数时要注意是否需要分类讨论．【知识点3公式法解一元二次方程】当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】【例3】（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)3=52+610=【答案】(1)方程无解(2)方程无解【分析】先把原方程化为一般式，然后判断Δ的符号，如果Δ≥0，则用公式法求解即可，如果Δ<0，则原方程无解．【详解】（1）解：3=52+6化为一般式得：52−3+6=0，∴=5，=−3，=6，∴Δ=2−4B=−32−4×5×6=−111<0，∴原方程无解；（210=化为一般式得2+14+145=0，∴=1，=14，=145，∴Δ=2−4B=142−4×1×145=−384<0，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．【变式3-1】（2023春·全国·八年级专题练习）用公式法解一元二次方程：22+7−4=0（用公式法求解）．【答案】1=12，2=−4【分析】按照公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【详解】解：∵a=2，b=7，c=－4，∴△=72－4×2×（－4）=81，∴x=∴1=12，2=−4．【点睛】此题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握解题步骤是关键．【变式3-2】（2023春·河南·八年级校考阶段练习）用公式法解方程：(−1)(−2)=5．【答案】1=2=【分析】将原方程化为一般形式，根据求根公式，即可求解．【详解】解：原方程化为一般形式，得，2−3−3=0，则=1，=−3，=−3，∴Δ=(−3)2−3)=21，∴==∴1=2=【点睛】本题主要考查用公式法求解一元二次方程的解，掌握求根公式的计算方法是解题的关键．【变式3-3】（2023·江苏·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)92+1=66；(2)22+4322=0【答案】(1)1=32=3(2)1=−6+22，2=−6−22【分析】运用公式法求解即可．【详解】（1）解：=9，=−66，=1，∴2−662−4×9×1=180，∴=∴原方程的解为：1=32=3（2）解：=2，=43，=−22，∴2432−4×2×−22=64，∴=∴原方程的解为：1=−6+22，2=−6−22．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式=关键．【知识点4因式分解法概念】当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】【例4】（2023·上海·八年级假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)2+32=；(2)2−12−2−1【答案】(1)1=0 ，2=(2)1=12 ，2=1【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2+32=，∴2+32−=0，∴2+3−1=0，∴2+3−1=0或=0，解得1=0，2=（2）解：∵2−12−2−1=0，∴2−1−2−1=0，即−12−1=0，∴−1=0或2−1=0，解得1=12，2=1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．【变式4-1】（2023春·全国·八年级专题练习）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．【答案】1=1,2=2【分析】先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】解：x（x-1）=2（x-1），移项，得x（x-1）-2（x-1）=0，∴（x-1）（x-2）=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：1=1，2=2．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．【变式4-2】（2023·江苏·八年级假期作业）解下列一元二次方程：(2+1)2+42+1+4=0；【答案】1=2=−32【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．【详解】解：(2+1)2+42+1+4=02+1+22=0(2+3)2=02+3=0∴1=2=−32．【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．【变式4-3】（2023春·海南儋州·八年级专题练习）因式分解法解方程：(1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）；【答案】(1)1=5，2=133(2)1=，2=【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：3（x-5）2=2（5-x）方程变形为：3(−5)2+2(−5)=0，∴(−5)3(−5)+2=0，∴(−5)(3−13)=0，∴1=5,2=133；（2）解：abx2-（a2+b2）x+ab=0(B−p(B−p=0，∵B≠0，∴≠0,≠0，∴1=,2=【题型5用指定方法解一元二次方程】【例5】（2023春·八年级单元测试）按照指定方法解下列方程：(1)32−15=0（用直接开平方法）(2)2−8+15=0（用因式分解法）(3)2−6+7=0（用配方法）(4)2+2=22（用求根公式法）【答案】(1)1=5，2=−5(2)1=3，2=5(3)1=3+2，2=3−2(4)1=2=2【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根；（2）用十字相乘法因式分解求出方程的根；（3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程；（4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根．【详解】（1）解：32−15=0，∴2=5，解得：1=5，2=−5．（2）2−8+15=0，∴(−3)(−5)=0，∴−3=0或−5=0，解得：1=3，2=5．（3）2−6+7=0，∴2−6=−7∴2−6+9=2∴(−3)2=2∴−3=±2解得：1=3+2，2=3−2．（4）2+2=22，∴2−22+2=0，∴Δ=−222−4×1×2=0，∴=解得：1=2=2．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法．【变式5-1】（2023·全国·八年级专题练习）解方程：(1)42=16．（直接开平方法）(2)22−3+1=0（配方法）(3)−2+−2=0（因式分解法）(4)22−6+1=0（公式法）【答案】(1)1=2,2=−2(2)1=1,2=12(3)1==−(4)1=2=【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法得到−=116，然后利用直接开平方法解方程；（3）利用因式分解法解方程．（4）求出2−4B=28，根据公式即可求出答案；【详解】（1）解：42=16，两边除以4得：2=4，两边开平方得：=±2，∴1=2,2=−2；（2）解：22−3+1=0，∴2−32=−12，∴2−3+916=−12+916，即−=116，∴−34=±14所以1=1,2=12；（3）解：−2+−2=0∴−2+1=0，∴−2=0或+1=0，所以1=2,2=−1．（4）解：22−6+1=0，∵=2,=−6,=1，∴2−4B=−62−4×2×1=28>0，∴==∴1=2=【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）解方程：(1)+62=9（直接开平方法）(2)2+−6=0；(公式法)(3)o−2)+−2=0；(因式分解法)(4)2+2−120=0(配方法)【答案】(1)1=−3，2=−9(2)1=2，2=−3(3)1=2，2=−1(4)1=10，2=−12【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解；(2)利用公式法解此方程，即可求解；(3)利用因式分解法解此方程，即可求解；(4)利用配方法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：由原方程得：+6=±3，解得1=−3，2=−9，所以，原方程的解为1=−3，2=−9；（2）解：在方程2+−6=0中，=1，=1，=−6，∴Δ=12−4×1×−6=25，∴=−1±252=−1±52解得1=2，2=−3，所以，原方程的解为1=2，2=−3；（3）解：由原方程得：(−2)+1=0，解得1=2，2=−1，所以，原方程的解为1=2，2=−1；（4）解：由原方程得：2+2=120，得2+2+1=120+1，得+12=121，得+1=±11解得1=10，2=−12，所以，原方程的解为1=10，2=−12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：2+2−1=0．【答案】1=2−1，2=−2−1【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【详解】解：配方法，移项得2+2=1，配方得：2+2+1=1+1，即+12=2开方得：+1=±2解得：1=2−1，2=−2−1；公式法：∵=1，=2，=−1，∴222−4×1×(−1)=8>0，∴=2=−1±2，∴1=2−1，2=−2−1．【点睛】此题考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．【题型6用适当的方法解一元二次方程【例6】（2023·全国·八年级假期作业）用适当方法解下列方程：(1)(2−1)2=9；(2)122−45−525=0；(3)(3−1)2−(+1)2=0；(4)(−2)2+o−2)=0；(5)122−52+1=0；(6)0.32+0.5=0.3+2.1．【答案】(1)1=2，2=−1(2)1=354，2=−5(3)1=1，2=0(4)1=1，2=2(5)1=52+43，2=52−43(6)1=73，2=−3【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【详解】（1）解：(2−1)2=9直接开平方可得：2−1=±3，2−1=3或2−1=−3∴原方程的解为：1=2，2=−1；（2）解：122−45−525=042−15−175=0因式分解得：4−35+5=0，∴原方程的解为：1=354，2=−5；（3）解：(3−1)2−(+1)2=0，平方差因式分解得：3−1−+13−1++1=0，整理得：2−24=0，∴原方程的解为：1=1，2=0；（4）(−2)2+o−2)=0，提取公因式可得：−2−2+=0，整理得：−22−2=0，∴原方程的解为：1=1，2=2；（5）解：∵方程122−52+1=0，Δ=−522−4×12×1=48，∴原方程的解为：1=52+43，2=52−43；（6）0.32+0.5=0.3+2.1，32+2−21=0，因式分解得：3−7+3=0，∴原方程的解为：1=73，2=−3【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【变式6-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：(1)2−3+=3(2)−6=2−8(3)3−3=2−1+1【答案】(1)1=3，2=−12(2)1=(3)1=2=【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：2−3+=3原方程可变形为2−3+−3=0方程左边因式分解，得−32+1=0所以−3=0或2+1=0所以1=3，2=−12；（2）解：−6=2−8原方程可化为2−8+16=0∴−42=0∴1=2=4；（3）解：3−3=2−1+1原方程可化中2−9+2=0∵ 2−4B=−92−4×1×2=73>0∴ =9±732∴1=2=【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，并能根据每个一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．【变式6-2】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）用适当方法解下列方程：(1)92−1=0(2)42−4+1=0(3)2−6−3=0(4)2−6+9=5−22．【答案】(1)1=13，2=−13；(2)1=2=12；(3)1=3+23，2=3−23；(4)1=2，2=83．【分析】（1）利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可；（2）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；（3）利用解一元二次方程—配方法，进行计算即可；（4）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；【详解】（1）92−1=0，92=1，2=19，1=13，2=−13；（2）42−4+1=0，2−12=0，2=1，1=2=12；（3）2−6−3=0，2−6=3，2−6+9=3+9，−32=12，−3=±23，1=3+23，2=3−23；（4）2−6+9=5−22，−32−5−22=0，−3+5−2−3−5−2=0，2−3−8=0，1=2，2=83．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式6-3】（2023·宁夏中卫·八年级校考期中）用适当方法解方程(1)6−12−25=0；(2)2−−1(3)2+18=；(4)+1−1+2+3=8．【答案】(1)1=1，2=−23(2)1=1，3(3)1=2=(4)1=−3，2=1【分析】（1）先移项，然后利用开平方的方法解方程即可；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先把原方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵6−12−25=0，∴6−12=25，∴6−1=±5，解得1=1，2=−23；（2）解：∵2−=3−1，∴−1−3−1=0，∴−3−1=0，∴−3=0或−1=0，解得1=1，2=（3）解：∵2+18=，∴2−+18=0，∴−=解得1=2=4（4）解：+1−1+2+3=8整理得：2+2−3=0，∴+3−1=0，∴+3=0或−1=0，解得1=−3，2=1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．【题型7用换元法解一元二次方程】【例7】（2023春·山西忻州·八年级统考阶段练习）阅读和理解下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：利用换元法求方程的解我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明：例：解方程：(5r32)2−(5+3)−15=0．解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设5r32=，则原方程可化为2−2−15=0，∴(−1)2=16，∴−1=±4，∴1=5,2=−3，∴5r32=5或5r32=−3，∴方程的解为1=75，2=−95．任务：(1)上述小论文的解析过程中，解方程2−2−15=0的过程主要用了______．A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法(2)解方程：−2=3−2−2．【答案】(1)B(2)原方程的解是=3【分析】（1）根据小康同学的解答过程即可判断；（2）设=−2，用换元法求解．【详解】（1）解：由解题过程可知，上述小论文的解析过程中，解方程2−2−15=0的过程主要用了配方法，故答案为：B；（2）解：设=−2，则原方程可化为2=3−2，即2+2−3=0，∴−1+3=0，∴1=1，2=−3（不合题意，舍去），∴−2=1，∴=3，经检验=3是原方程的解，所以原方程的解是=3．【点睛】本题考查了换元法解方程，因式分解法和配方法解一元二次方程，以及无理方程的解法，掌握换元法的解题思路是解答本题的关键．【变式7-1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）已知2+22−2+2−6=0，求2+2的值．【答案】3【分析】把2+2看作一个整体，设2+2=，利用换元法得到新方程2−−6=0，求解即可．【详解】解：设2+2=，据题意，得2−−6=0．解得1=3，2=−2．∵2+2≥0，∴2+2==3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解一元二次方程是解题的关键．【变式7-2】（2023春·甘肃平凉·八年级校考阶段练习）已知实数x满足(2−p2−2(2−p−3=0，则代数式2−+2020的值为_______．【答案】2023【分析】设=2−，则原方程转化为关于t的一元二次方程2−2−3=0，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式≥0，方程有解．【详解】解：设=2−，由原方程，得2−2−3=0，整理，得−3+1=0，所以=3或=−1．当=3时，2−=3，则2−+2020=2023；当=−1时，2−=−1即2−+1=0时，=−12−4×1×1<0，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．【变式7-3】（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：(1)2(2﹣7p2﹣21(2﹣7p+10＝0；(2)22+32﹣422+3=0【答案】(1)x1x2x3x4(2)1＝﹣2.5，2＝1，3＝﹣0.5，4＝﹣1【分析】（1）利用换元法，先设2﹣7＝，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设22+3＝，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解【详解】（1）解：22−72−212﹣7+10＝0设2−7=，则22−21+10=02−1−10=0∴2−1=0或−10=0，解得，1=0.5，2=10，∴2−7=0.5或2−7=10，∴22−=027−，解得，x1x2x3x4（2）解：22+32﹣422+3﹣5=0设22+3＝，则2−4−5＝0−5+1＝0，∴−5=0或+1=0，解得，1=5，2=﹣1，∴22+3＝5或22+3＝﹣1，∴22+3−5=0或22+3+1=0，解得，1=−2.5，2=1，3=−0.5，4=−1【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．【题型8配方法的应用】【例8】（2023·全国·八年级假期作业）若=52−4B+2−2+8+3（、为实数），则的最小值为__________．【答案】−2【分析】运用配方法将=52−4B+2−2+8+3变形为=2−+12++22−2，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．【详解】解：=52−4B+2−2+8+3=42−4B+2+4−2+1+2+4+4−2=2−2+22−+1++22−2=2−+12++22−2∵、为实数，∴2−+12≥0,+2≥0,∴的最小值为−2,故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式8-1】（2023·全国·八年级假期作业）已知=6−25，=2−2(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（）A．<B．>C．=D．不能确定【答案】B【分析】求出−的结果，再判断即可．【详解】根据题意，可知−=2−2−6+25=2−8+16+9=(−4)2+9>0，所以>．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．【变式8-2】（2023·四川达州·模拟预测）选取二次三项式B2+B+≠0中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：2−4+2=−22−2；②选取二次项和常数项配方：2−4+2=−22+22−4，或2−4+2=+22−4+22③选取一次项和常数项配方：2−4+2=2−22−2根据上述材料，解决下面问题：（1）写出2−8+4的两种不同形式的配方；（2）已知2+2+B−3+3=0，求的值．【答案】（1）答案解析；（2）1．【分析】（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可．+−22=0，再根据偶次幂的非负（2）根据配方法的步骤把2+2+B−3+3=0变形为性质得到+2=0−2=0，求出x，y的值，即可得出答案．【详解】解：（1）2−8+4=2−8+16−16+4=(−4)2−12，或2−8+4=2−4+4−8+4=−22−4．（2）∵2+2+B−3+3=0，∴2+B+24+324−3+3=0，即+−22=0．∴+2=0−2=0，解得=−1=2．∴=−12=1．【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为0.8，1.2，1.3，1.5时，设最佳值为a，那么(−0.8)2+(−1.2)2+(−1.3)2+(−1.5)2应为最小，此时=_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为1；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为2，则利用这+次数据得到的最佳值为__________．【答案】 1.2B1+B2r【分析】利用完全平方公式展开后合并，再将(−0.8)2+(−1.2)2+(−1.3)2+(−1.5)2配方得到4−1.22+1.26，则利用非负数的性质得到当=1.2时，代数式有最小值；+次数据得到的最佳值为+个数据的平均数．【详解】解：(−0.8)2+(−1.2)2+(−1.3)2+(−1.5)2=2−1.6+0.82+2−2.4+1.22+2−2.6+1.32+2−3+1.52=42−9.6+7.02=4−1.22+1.26，∵4−1.22≥0，∴当=1.2时，(−0.8)2+(−1.2)2+(−1.3)2+(−1.5)2有最小值；∵m次数据的得到的最佳值为1，n次数据得到的最佳值为2，设最佳值为a，与个数据的差的平方和为o−1)2+，与个数据的差的平方和为o−2)2+，o−1)2++o−2)2+=B2−2B2+B2−2B2+B22+=(+p−−(B1+B2)2++B12+B22++当=B1+B2r时，o−1)2++o−2)2+最小，∴+次数据得到的最佳值为B1+B2r．故答案为：1.2，B1+B2r．【点睛】本题考查了配方法：根据完全平方公式为2±2B+2=±2，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键．。
八年级数学下册 《17.2一元二次方程的解法》(5) 课件PPT
两个一元∴一次x方1=程2 的，解x2就=是-4原方程的解
因式分解的基本方法2
运用公式法
把乘法公式反过来用，可以把符合公式 特点的多项式因式分解，这种方法叫公式法．
（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
平方差公式：
（a+b）（a-b） = a² - b²
整式乘法 ² - b²= （a+b）（a-b）
小 结：
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1、方程右边化为 零． 2、将方程左边分解成两个 一次因式 的乘
积．
3、至少 有一个 因式为零，得到两个一元一
次方程． 4、两个 一元一次方程的解就是原方程的解 .
解一元二次方程的方法：直接开平方法 配方法 来自式法 因式分解法十字相乘法
解下列方程 1、x2－3x－10=0
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积.
因式分解
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 2 2x 3y 3y2 2 x 3 y 2
首2 2首尾 尾2 =（首±尾）
2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ）. A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公 式分解的是（ C ）. A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
八年级数学下册 一元二次方程的解法例题选优秀文档
变式：用因式分解法解下列方程：
（1）x2=-4x；
（2）x+3-x(x+3)=0；
（3）9y2-6y+1=0； （4）(3x-4)2=4(x-2)2.
答案：（1）x1=0，x2=-4
（3）y1=y2=
1 3
（4）x1=0，x2=
8 5
（2）x1=-3，x2=1
整体换元思想在解一元二次方程中的应用
x1＞0，-4＜x2＜-1，故可令x1=5，x2=-2，代入
整理，得(x-5)(x+2)=0，即x2-3x-10=0
（答案不唯一）.
注意点：由(x-x1)(x-x2)=0可得x=x1或x=x2，因 此给定x1和x2的值可构造一元二次方程 (x-x1)(x-x2)=0.
例 方程(x+1)(x-2)=x+1的解是（ ）
第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（第1课时）
用因式分解法解一元二次方程
例1 用因式分解法解下列方程： （1）x2-2x=0； （2）x(x+3)=2(x+3分析：方程（1）的右边为零，左边提取公因式 即可；方程（2）将右边的式子移到左边，然后
得(x-2)(x+3)=0.
1
2
可得出要求的方程. 法，可将方程写为(x-x1)(x-x2)=0的形式，
分析：方程（1）的右边为零，左边提取公因式
注意点：整体换元思想方法是初中数学中的一种重
-分5移解到因左式边，解，得得(A：到+2左)2边=设0是. 完该全平方方式.程为(x-x1)(x-x2)=0，由题意知
例2 解方程：(x-3)2+4(x-3)=-4.
分析：方程中的（x-3）可以看成整体A，则这个 方程可以变成A2+4A+4=0的形式，这样可用完全平 方公式分解因式得(A+2)2=0，即A=-2，从而求得x 的值.
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》教案1
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》教案1一. 教材分析《一元二次方程的解法》是浙教版数学八年级下册第2.2节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。
通过本节的学习，学生能够熟练运用不同的方法解一元二次方程，并为后续学习更高难度的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的乘法、因式分解等基础知识。
但部分学生对于一元二次方程的解法可能还存在一定的困惑，特别是对于公式的运用和理解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行解答和指导。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。
2.培养学生运用不同的方法解决问题的能力。
3.提高学生对于数学知识的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.教学难点：公式法的理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，运用案例讲解一元二次方程的解法，小组合作探讨问题，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例。
2.准备PPT，展示一元二次方程的解法。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示一元二次方程的解法，包括因式分解法和公式法。
引导学生了解两种解法的原理和步骤。
3.操练（10分钟）让学生分组练习，运用因式分解法和公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）挑选几道典型题目，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。
其他学生听讲，加深对解法的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一元二次方程的解法？什么情况下适合使用因式分解法，什么情况下适合使用公式法？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的解法和应用。
八年级数学一元二次方程的解法
２） x2=x 解：x2-x=0
x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0
∴ x1=0 x2=1
２) x2=x 解：把方程两边同除x,
得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否
正确？为什么？
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把
x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=-
c a
(a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．
形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0
x2=-
b a
作业： Ｐ46 5
；/ 杏耀代理 ；
一元二次方程的解法
主 讲
一元二次方程的解法
1) 直接开平方法
2) 配方法
3) 公式法
4) 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0
解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０． 如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
x-4=0 或 x+4=0
x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0
专题02 一元二次方程的解法(提高)-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破-解析版
专题02一元二次方程的解法要点一、直接开平方法解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2.直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.要点二、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．要点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点四、一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.要点五、用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.要点六、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.一、单选题1．（2020ꞏ辽宁锦州市ꞏ九年级期中）若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（）A ．1或4B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4【答案】B 【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．2．（2020ꞏ湖州市第四中学教育集团八年级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和13【答案】B 【详解】由方程得，，，∴周长是，故选B.3．（2020ꞏ广西贺州市ꞏ七年级期中）若(a +b ﹣1)(a +b +1)﹣4＝0，则a +b 的值为()A ．2B ．±2C D ．±【答案】D 【分析】先运用平方差公式进行计算，再用直接开平方法解答．【详解】(a+b)2﹣1﹣4＝0，(a+b)2＝5，∴a+b=±．故选D ．【点睛】本题是解二元二次方程，主要考查了一元二次方程的解法，平方差公式，关键是运用整体思想和平方差公式，把方程转化为（a+b ）的一元二次方程进行解答．4．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）用配方法解方程2520x x ++=时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（）A ．2517()24x +=B ．2521(24x +=C ．2525(24x +=D ．2533(24x +=【答案】A 【分析】把左边配成完全平方式，右边化为一个常数，即可得答案.【详解】2520x x ++=222555(2()22x x ++=-+2517()24x +=故选A.【点睛】本题考查的是用配方法解一元二次方程，配方过程中先把二次项系数化成1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．熟练掌握配方的步骤是解题关键.5．（2017ꞏ全国九年级课时练习）2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为（）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x -- 【答案】D 【解析】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.故选：D.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.二、填空题6．（2020ꞏ上海浦东新区ꞏ八年级月考）用换元法解方程221x x -﹣21x x -＝1，设y ＝21x x-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．【答案】y 2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝21x x-，则原方程可化为2y ﹣y ＝1，化成整式方程即可．【详解】解：方程221x x -﹣21x x -＝1，若设y ＝21x x-，把设y ＝21x x-代入方程得：2y ﹣y ＝1，方程两边同乘y ，整理得y 2+y ﹣2＝0．故答案为：y 2+y ﹣2＝0．【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．7．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程2210x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】9121,12x x ==-【分析】先根据一元二次方程的定义确认,,a b c 的值，从而可得24b ac -的值，再利用公式法解方程即可得方程的根．【详解】方程2210x x +-=中，2,1,1a b c ===-，则224142(1)9b ac -=-⨯⨯-=，由公式法得：1132224b x a -±-±-±===⨯，则121,12x x ==-，故答案为：9；121,12x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．8．（2020ꞏ全国九年级专题练习）设一元二次方程250x x +=的较大的根为m ，2320x x -+=的较小的根为n ，则m n +的值为______．【答案】1【分析】先利用因式分解法解两个一元二次方程得到m=0，n=1，然后计算m+n ．【详解】∵250x x +=，∴(5)0x x +=，解得0x =或5x =-，∴0m =．∵2320x x -+=，∴(1)(2)0x x --=，解得1x =或2x =，∴1n =，∴1m n +=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．（2018ꞏ全国九年级单元测试）已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b aa b+=________．【答案】452【解析】【分析】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴22224944522b a a b a b aba b ab ab++--+====（）．故答案为：452．【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．三、解答题10．（2015ꞏ山西）已知a、b、c+|b+1|+（c+3）2＝0，求方程ax2+bx+c ＝0的根．【答案】x1＝32，x2＝﹣1．【分析】本题要求出方程ax2+bx+c＝0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．【详解】解：根据分析得：a﹣2＝0，b+1＝0，c+3＝0a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3方程ax2+bx+c＝0即为2x2﹣x﹣3＝0∴x 1＝32，x 2＝﹣1．【点睛】本题主要考查一元二次方程求解问题，考点还涉及偶次方、绝对值以及二次根式非负性的应用.11．（2020ꞏ全国八年级课时练习）按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法）（2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解）（4）223990x x --=（配方法）【答案】（1）x 1=23-+，x 2=23--；（2）x 1=3，x 2=23；（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±23x -±=1222.33x x -+--∴==（2）2314x x -=，23410x x --=，()()24431161228=--⨯⨯-=+= ，442663x ±===1222,33x x +==（3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-=()()21220,x x +-=210x +=或220x -=，121 1.2x x =-=，（4）223990x x --=，2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±，120x =±，122119.x x ==-，12．（2020ꞏ全国八年级课时练习）是同类二次根式，且x为整数，求关于m 的方程xm 2+2m-2=0的根.【答案】121122m m =-=--，【解析】试题分析：根据同类二次根式的定义，列出关于x 的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程，求出x 的整数值；将x 的值代入xm 2＋2m －2＝0中，得到关于m 的一元二次方程；最后利用直接开平方法解一元二次方程，求出m 的值.是同类二次根式，∴2x 2－x ＝4x －2，2x 2－5x ＋2＝0，(2x －1)(x －2)＝0，x 1＝12，x 2＝2.∵x 为整数，∴x ＝2，代入xm 2＋2m －2＝0中，则有2m 2＋2m －2＝0，m 2＋m ＝1，(m ＋12)2＝54m ＋12＝±2m 1＝2－12，m 2＝－2－12.13．（2020ꞏ全国九年级专题练习）如果方程260--=ax bx 与方程22150ax bx +-=有一个公共根是3，求a 、b 的值，并分别求出两个方程的另一个根．【答案】a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5．【分析】把x=3代入题中两个方程中，得到关于a 、b 的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a 、b 的值，再解方程即可求得．【详解】解：将3x =代入两个方程得936096150a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩,1a b ∴==将11a b =⎧⎨=⎩代入方程260--=ax bx 得260x x --=，∴()()230+-=x x ，∴122,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－2；将11a b =⎧⎨=⎩代入方程22150ax bx +-=得22150x x +-=，∴()()530x x +-=，∴125,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－5．14．（2020ꞏ全国九年级课时练习）已知实数x 满足2213380x x x x+---=，求1x x +的值．【答案】5或2-．【分析】根据完全平方公式利用222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭对方程进行变形，得到2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把1x x +看成整体，再解方程即可．【详解】解：222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴原方程可变形为2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1x t x+=，则原方程可变形为23100t t --=，解得125,2t t ==-．15x x∴+=或2-．【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x +1x当成一个整体是解题关键．15．（2019ꞏ全国八年级单元测试）已知关于x 的方程231x x m -+=.（1）当0m <时，解这个方程；（2）当0m >时，解这个方程.【答案】（1）132x =，232x -=；（2）当1304m <≤时，132x =，232x =；当134m >时，此一元二次方程无解.【分析】（1）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m <，所以0> ，然后利用求根公式解方程；（2）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m >，分类讨论：当1304m <≤时，0> ，然后利用求根公式解方程，当134m >时，0< ，此时方程没有实数根.【详解】解：（1）231x x m -+= ，2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m < 1340m ∴->322b x a -±±∴==132x +∴=，232x -=（2）231x x m -+= 2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-，()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m > ，∴当1304m <≤时，322b x a -==，132x +∴=，232x -=，∴当134m >时，此一元二次方程无解.【点睛】本题考查了解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，即考查了判别式的意义，也考查了求根公式.。
浙教版数学八年级下册_学习要点：一元二次方程的解法
学习要点： 一元二次方程的解法1、因式分解法解方程对于一般形式的一元二次方程)0(0ax 2≠=++a c bx 来说，若其左端能够进行因式分解成（ax 1+b 1）(a 2x+b 2)=0,则根据乘法中一个数同零相乘积是零的性质，可知ax 1+b 1=0或a 2x+b 2=0，进而求出方程的解，这种方法叫做因式分解法.步骤：(1)若方程的两边不是为0，则先移项，使方程的右边为0，(2)将方程的左边因式分解(3)根据若（ax 1+b 1）(a 2x+b 2)=0，则ax 1+b 1=0或a 2x+b 2=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.2、利用因式分解法解一元二次方程的常用方法：（1）提公因式法.（2）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解（3）十字相乘法【例】求x 2-7x+6=0的解.3、利用直接开平方法解形如(ax+b)2=c(c ≥0)的一元二次方程（1）形如x 2=a(a ≥0),(x-a)2=b(b ≥0)等的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解.（2）对于可用直接开平方法来解得一元二次方程，一定要注意方程有两个解，若x 2=a(a ≥0)，则x=±a ；若(x-a)2=b(b ≥0)，则x=a +±b4、配方法：把一个一元二次方程配成(x-a)2=b(b ≥0)的形式，来解一元二次方程的方法叫做配方法.（1）配方法是以完全平方公式222)(2a b a b ab ±=+±和直接开平方法为依据，将方程加以变形，从而获得其解的一种方法，这种方法适合任何解一元二次方程的问题，同时也为解二次函数打下基础.（2）要点：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方.（3）步骤：1)化二次项系数为1；2)移项，是方程左边为二次项和一次项，右边是常数项；3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；4)右边变为()2m x +，右边是一个常数；5)利用直接开平方法求得方程的解.5、公式法一般地，对于形式是0ax 2=++c bx （a ≠0），当04b 2≥-ac 时，它的根可由式子）（04b 24x 22≥--±-=ac aac b b 得到，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的解法叫做公式法.求根公式是用配方法得出来的，过程省略.6、利用公式法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)确定a,b,c 的值(3)求出ac 4b 2-的值(4)若04b 2≥-ac ，则代入公式，求出原方程的根，若ac 4b 2-<0，则方程无解.[例] 用公式法解方程013x 32=--x 和 047x 22=-+x7、一元二次方程根的判别式(1)在推导一元二次方程求根公式的过程中，当04b 2≥-ac 时，22244)2(aac b a b x -=+的两边才能直接开平方，这里的ac 4b 2-叫做一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）的根的判别式.(2)一般地，常用字母∆表示ac 4b 2-，即∆=ac 4b 2-(3)在实数范围内，一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）根由系数a,b,c 确定，它的根的情况由∆=ac 4b 2-确定.1当∆=ac 4b 2->0时，方程有两个不相等的实数根.2当∆=ac 4b 2-=0时，方程有两个相等的实数根.3当∆=ac 4b 2-<0时，方程没有实数根.【探究】判断下列方程根的情况.(1)方程0232=--x x 的根的情况______________________;(2)方程2032=+x 的根的情况______________________;(3)方程01)12()(22=+---x m x m m 是关于未知数x 的方程，这个方程根的情况是______________________;8、一元二次方程的根与系数的关系若方程0ax 2=++c bx （a ≠0）有实数根，设这两个实数根分别是21,x x ，由求根公式得）（04b 24x 22≥--±-=ac aac b b ， 即a ac b b 24x 21-+-=,aac b b 24x 22---=. 所以+-+-=+a ac b b x 24x 221aac b b 242---=a b a b -=-22，•-+-=a ac b b x 24x 221aac b b 242---=.442a c a ac = 即对于一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）来说，若21,x x 是一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）的两个根，则21x x += a b -， .x 21ac x = 例如：一元二次方程02732=+-x x 的两根为21,x x .则有21x x +=37，.32x 21=x 【例1】方程09822=-x 的解为__________________.【例2】(1)0132=-+x x 的解为____________________. (2) 2x(x+2)=-1的解为_________________________.【例3】 已知方程062=+-q x x 可以配方成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配方成（ ）A. ()52=-p xB. ()92=-p xC. ()922=+-p xD. ()522=+-p x【例4】若关于x 的一元二次方程（2a-1）x 2+(a+1)x+1=0的两个根相等，那么a 等于（ ）A.-1或-5B.-1或5C. 1或-5D. 1或5【例5】已知关于x 的方程x 2-(a+2)x+a-2b=0 的判别式等于0，且x=21是方程的根，则a+b 的值为_____________.【例6】如果x 2+x-1=0，那么代数式x 3+2x 2-7 的值为（ ）A.6B. 8C. -6D.-8【例7】下列方程中有实数根的是（ ）A.x 2+2x+3=0B.x 2+1=0C.x 2+3x+1=0D.111-=-x x x 【例8】已知关于x 的一元二次方程x 2-m=2x 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是_______【例9】已知2-5是一元二次方程x 2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根式__________【例10】若关于x 的一元二次方程 有两个实数根x 1,x 2，且x 1x 2> x 1+x 2-4,则实数m 的取值范围是（ ） A.m > -35 B. m 21≤ C. m< -35 D. -35<m ≤ 21 【例11】关于x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0，其根的判别式值为1，求m 的值及该方程的根.。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。