一元二次方程计算题解法练习题四种方法(供参考)
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法
总结提高
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0 时，方程没有实数根。 0；
用公式法解一元二次方 求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2, b=5, c= -3, ① ② ③ (a≠0, b2-4ac≥0) = 4、写出方程的解： x1=?, x2=? 程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
解: a 4, b 3, c 2 b 2 4ac 9 32 23 0
方程没有实数根.
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
2 x1 x2 . 2
x
b
例4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b2 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
初三一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、结构特殊的直接开平方法利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的理论依据是平方根的定义．形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的方程可以直接运用“直接开平方法”求解．例1．解方程2256x =．解：∵2256x =，∴25616x =±=±．∴121616x x ==-，．例2．解方程2536x -=（）． 解：∵2536x -=（），∴56x -=±．∴12111x x ==-，． 有的方程可以通过整理，变形化为形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式后，再采用直接开平方法来解．例3．解方程290x -=．解：∵290x -=，∴29x =．∴1233x x ==-，．例4．解方程21120x +-=（）． 解：∵21120x +-=（），∴2112x +=（）．∴123x +=±． ∴12231231x x =-=--，．通过以上例子，我们可以归纳出运用“直接开平方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式； 2．两边开平方，得x a =±或b cx a-±=． 这里要特别注意00a c ≥或≥的条件．若00a c <<或，则方程无实数根，只有当00a c ≥或≥时，方程才有实数根，而运用“直接开平方法”解应用题的关键是将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式．练习：用直接开平方法一元二次方程：1．9x 2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3) ．二、法力无边的配方法把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告我们根据完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法 —— “配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）．例5．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x +=（）．开方，得12112x x ==-，．通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式； 4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．练习：用配方法解一元二次方程：1．x 2-4x -3＝0； 2．6x 2+x ＝35；3．4x 2+4x+1＝7； 4．2x 2-3x -3＝0．三、神通广大的公式法公式法是解一元二次方程的一般方法，它是直接利用了“配方法”的结果，求根公式为224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥．例6．解方程28103x x +=．解：把该方程化为一般形式： 281030x x +-=．∵8103a b c ===-，，，22410483196b ac -=-⨯⨯-=（）， ∴2410196101422816b b ac x a -±--±-±===⨯．∴121342x x ==-，．通过本例可以看出，用公式法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程化为一般形式：200ax bx c a ++=≠（）；2．正确确定a b c ，，的值；3．代入公式242b b acx a -±-=求解，若240b ac -≥则方程有实数根，若240b ac -<则方程无实数解即无解．练习：用公式法解一元二次方程：2．2x 2+7x -4＝0； 3 .2y 2 -y=5 4．3x 2+5(2x+1)=0四、简便易行的因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，它是解一元二次方程的基本方法，它的理论依据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即0a b =，则00a b ==或，这种方法简便易行．是最常用的一种方法．例7．解方程23520x x --=．解：方程左边因式分解，得3120x x +-=（）（），∴31020x x +=-=，，∴12123x x =-=，．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程的右边化为零；2．将方程的左边分解为两个一次因式的积； 3．令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4．解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键是： 1．要将方程右边化为零； 2．要熟练掌握因式分解的方法． 练习：用因式分解法解一元二次方程：1. )7(5)7(2+=+x x x2.223)(x 3)-(4x +=3．0822=--x x 4．06)23(2=---x x这四种方法既有区别又有联系．公式法比配方法简单，它直接由配方法导出的求根公式求解，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解．一般顺序为：先特殊后一般．直接开平方法→因式分解法→公式法．没有特别说明，一般不用配方法．遇到特殊结构或次数较高的方程，就需用到下面要讲的“换元法”．五、出奇制胜的换元法把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代替，从而达到繁为简，化难为易的目的，这种方法叫“换元法”，有些一元二次方程数式结构复杂，或次数较高，或字母个数过多，用常规的四种一元二次方程的解法计算既繁琐也困难，甚至根本无法求解，这时用“换元法”就会出奇制胜．例8．解方程25425430x x -+--=（）（）．解：设54x y -=，则原方程可化为2230y y +-=，130y y -+=（）（），1030y y -=+=或，∴13y y ==-或，即541543x x -=-=-或．∴12115x x ==，．例9． 解方程42440x x -+=．解：设2x y =，则原方程变为2440y y -+=，解之，得2y =．∴22x =，∴2x =±． 练习：用适当的方法解关于x 的方程1、095162=-+）（x 2、8)4(2=-x 3、8)32)(2(=++y y4、02x 3x 2=+-5、04x 3x 22=-+ 6、y 249y 162=+；7、0x 7)1x (52=-+ 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-5）2+x 2=510、)7(5)7(2+=+x x x 11、01224=--x x 12、012222=--x x13、012)(8)(222=+---x x x x 14、02)32(3)32(2=++-+x xx x六、一元二次方程根的两个特性例1、先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2=-2，则x 1+x 2=4，x 1·x 2=-12； (2)方程2x 2-7x+3=0的根是：x 1=12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=32；(3)方程3x 2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2= .则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0且a 、b 、c 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1x 2与系数a 、b 、c 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。
初中数学一元二次方程的解法_公式法
a 2a
a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x b )2 b2 4ac .
2a
4a2
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
.
∵a≠0, 4a2>0,
∴当b2－4ac≥0时，
b2
4ac 4a2
0,
∴ x b b2 4ac .
2a
2a
x b
b2 4ac .
2a
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
(2008年北京市)已知 :关于 mx2 (3m 2)x 2m 2 0(m 0) 的一元二次方程 (1)求证:方程有两个不相等的实数根；
【解析】⑴ mx2 (3m 2)x 2m 2 0 是关于 x 的一元二次方程，
(3) 当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根.
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0).
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
解：∵ 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0，
b2 4ac 0
又∵ b2 4ac (2)2 4 k 3 = 4-12k
∴ 4-12k ≥0，解得 k 1
∴ 当 k1
完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)
完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)1、(x+4)=5(x+4)^22、(x+1)=4x3、(x+3)=(1-2x)^24、2x^2-10x=35、x^2=646、(x+5)^2=167、2(2x-1)-x(1-2x)=08、5x^2-2/5=09、8(3-x)^2-72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、(1-3y)^2+2(3y-1)=012、x^2+2x+3=013、x^2+6x-5=014、x^2-4x+3=015、x^2-2x-1=016、2x^2+3x+1=017、3x^2+2x-1=018、5x^2-3x+2=019、3x-3=020、-2x+12=021、x^2-6x+9=022、3x-2=2x+323、x-2x-4=024、x=3/425、3x^2+8x-3=026、3x^2+11x+14=027、x=-9 or x=-228、2(x-3)^2=x^2-929、-3x^2+22x-24=030、4t^2-4t+1=031、(2x-3)^2-121=032、x^2-4x=033、(x+2)^2=8x34、x=1/3 or x=-235、7x^2+2x-36=036、x=1 or x=-1 or x=3/237、4(x-3)^2+x(x-3)=038、6x^2-31x+35=039、x=1/2 or x=140、2x^2-23x+65=0这是一组一元二次方程的计算题练，需要用不同的方法来解决这些问题。
为了方便，我们可以将这些方程按照不同的方法分类。
一种方法是因式分解法，另一种方法是开平方法，还有一种方法是配方法，最后一种方法是公式法。
根据不同的题目，我们可以选择不同的方法来解决问题。
例如，对于方程(x-2)^2=(2x-3)^2，我们可以使用因式分解法来解决。
将方程化简后，得到x=5/3或x=-1/3.对于方程2x^2-5x+2=0，我们可以使用配方法来解决。
将方程化简后，得到x=1/2或x=2.对于方程-3x^2+22x-24=0，我们可以使用公式法来解决。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
一元二次方程40道题及过程
降
次
∴x+1= 或x+1=- ，
即x1=-1+ ，x2=-1- .
2
【例3】解方程(1)x -4x+4=5；
2
2
(1)分析：x -4x+4 =(x-2) ,
2
(2)(2x-1) =(x-2)2 .
(2)分析：如果把2x-1看成
同样可以用直接开平方法
是(x-2)2的平方根，同样可
求解.
以用直接开平方法求解.
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
则有 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0， x2=-1.
【例1】解下列方程
(1)x2-1.21=0
解：(1)移项，得x2=1.21，
(2)4x2-1=0
(2)移项，得4x2=1，
∵x是1.21的平方根，
2
解:(1) (x-2) =5，
(2)2x-1=± ( − )²,
即 x-2=± ，
即 2x-1=±(x-2),
即x-2= 或x-2=- ，
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2,
所以x1=2+ ，x2=2- .
即x1=-1，x2=1.
2.解下列方程：
(1)x2-0.81=0；
解:(1)x²=0.81，
【例1】 用公式法解下列方程：
(1)2x²-x-1=0；
(2) 4x²-3x+2=0；
(3) 2x²-2 x+1=0.
解:(2)a=4,b=-3,c=2,
b²-4ac=(-3)²-4×4×2=-7＜0，
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一元二次方程解法练习题
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142=-x
2、2)3(2=-x
3、()162812
=-x
二、 用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y
2、x x 4232=-
3、9642=-x x
三、 用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x
2、223
14y y -=
3、y y 32132=+
4、01522=+-x x
5、1842-=--x x
6、02322=--x x
四、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=
2、 x 2+4x -12=0
3、0862=+-x x
4、03072=--x x
五、用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法)
1、()()513+=-x x x x
2、x x 5322=-
3、2
260x y -+=
4、01072=+-x x
5、()()623=+-x x
6、()()03342
=-+-x x x
7、()02152
=--x 8、0432=-y y
10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122
=-+x
13、22244a b ax x -=- 14、36
31352=+x x 15、()()213=-+y y
16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32
=--+a x a x
18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x
21、 22、030222=--x x 23、01752=+-x x
24、1852-=-x x 25、3x 2+5(2x+1)=0 26、x x x 22)1)(1(=-+
解答题：
1、已知一元二次方程0132=-+-m x x .
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根
2、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．
（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0．
3、无论m 为何值时，方程04222=---m mx x 总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由。