2020中考数学精选例题解析：一元二次方程的解法

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一元二次方程四种解法例题

一元二次方程四种解法例题一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。

下面是四种解法例题：1. 解法一：使用因式分解法例题：解方程x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，观察方程中的系数 a、b、c，可以发现 a = 1，b = -5，c = 6。

根据因式分解法，我们需要找到两个数的乘积等于 c，且两个数的和等于 b。

在本例中，c = 6，因此我们需要找到两个数的乘积等于 6。

观察可知，3 和 2 的乘积等于 6，且它们的和等于 -5。

因此，我们可以将方程进行因式分解：(x - 3)(x - 2) = 0根据零乘法，当一个乘积等于 0 时，至少有一个因子等于 0。

因此，我们可以得到以下两个方程：x - 3 = 0 或 x - 2 = 0解上述两个方程，得到：x = 3 或 x = 2所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为 x = 3 或 x = 2。

2. 解法二：使用求根公式例题：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0解答：根据求根公式，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在本例中，a = 2，b = -3，c = -2。

将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))) / (2*2)= (3 ± √(9 + 16)) / 4= (3 ± √25) / 4= (3 ± 5) / 4因此，我们得到两个解：x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2所以，方程2x^2 - 3x - 2 = 0的解为 x = 2 或 x = -1/2。

3. 解法三：使用配方法例题：解方程x^2 + 4x - 5 = 0解答：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用配方法来求解。

一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)

一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2）不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根（B ）有两个不等实根（C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ；（3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ；（4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例2.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围．【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根；（2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥，解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围．【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根；（2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<，解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意，故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意，故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意，故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______．【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠．故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−，故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______．【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可．【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠；综上所述，2m ≤，故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论．【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=，解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值．【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>，解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根，故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥，解得0k ≥．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>，解得1k >−且0k ≠．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根．【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______．【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根．【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根．【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩，解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=，解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值．【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根；（2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−，故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−，对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ，，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。

专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】

专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。

2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案

2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x1，x2=13．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．5．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.6．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=7．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）t = 【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===，10AB ∴===102//,,1068PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=，解得t =52t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。

中考总复习数学第3节一元二次方程及其应用

边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2

5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程．解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2，原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2，解得 x1＝－3，则 a 的值是－1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学中考总复习
第3节一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运

全国2020—2021年最新中考数学真题分类汇编 9 一元二次方程及其应用专题精品试题及答案解析.doc

一元二次方程及其应用考点一、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点二、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点四、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

2020中考数学专题汇编一元二次方程含解析

一元二次方程一、选择题1．（2020湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2020·铜仁）已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值等于（） A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6{答案}B {解析}有两种情况：①m 、n 中有一个的值为4，即4是方程的一个解，所以16－24＋k ＋2=0，解得k=6；②m=n ≠4，即方程有两个相等的实数根，所以36－4（k+2）=0，解得k=7。

因此本题选B ． 3．（2020·黔西南州）已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（） A ．m ＜2 B ．m ≤2 C ．m ＜2且m ≠1 D ．m ≤2且m ≠1 {答案}D{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m ≤2．又因为(m －1)x2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综上所述，m 的取值范围是m ≤2且m ≠1，因此本题选D ． 4．（2020·新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A ．2104x x -+= B ．2240x x ++= C ．220x x -+= D ．220x x -={答案}D{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项中方程的根的判别式b2－4ac 的值，若b2－4ac ＞0，则一元二次方程有两个不相等的实数根．在方程x2－2x ＝0中，因为a ＝1，b ＝－2，c ＝0，所以b2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，所以有两个不相等的实数根，因此本题选D ．5．（2020·遵义）已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两根，则x 21＋x 22的值为（）A ．5B ．10C ．11D ．13{答案}D{解析}本题考查一元二次方程根与系数的关系．∵x1，x2是方程x2－3x －2＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝－2，∴x 21＋x 22＝（x1＋x2）2－2 x1·x2＝9＋4＝13．故选D.6．（2020·黔东南州）已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0的一个根是2，则另一个根是（）A ．﹣7B ．7C ．3D ．﹣3 {答案}A{解析}根据一元二次方程根与系数的关系“12bx x a+=”求解．设x1＝2，另一个根为x2，则2+ x2＝﹣5，解得X2＝﹣7． 7．（2020·安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．x 2+1＝2xB ．x 2+1＝0C ．x 2﹣2x ＝3 D ．x 2﹣2x ＝0{答案}A{解析}逐项分析如下：8．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程2－3－1＝0，配方正确的是（） A ．(x －43)2＝1617 B ．(x －43)2＝21C ．(x －23)2＝413 D ．(x －23)2＝411{答案}A{解析}由2x2－3x －1＝0，得2x2－3x ＝1，∴x2－23x ＝21，x2－23x ＋(43)2＝21＋(43)2，∴(x －43)2＝1617．本题中“23x ”即完全平方式“a2－2ab ＋b2”中的“2ab ”，确定b 值是完成配方的关键． 9．（2020·河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为( ) A. 5000(12)7500x B. 5 000×2(1+x )=7 500C. 25000(1)7500x D. 250005000(1)5000(1)7500x x{答案}C{解析}2017年的快递业务收入为5000亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则2018年的快递业务收入为5000（1+x ）亿元， 2019年的快递业务收入是在2018年的基础上增加的，∴2019年的快递业务收入为5000(1+x)＝5000(1+x) (1+x)，即用 5000(1+x)2表示，∴可列方程是25000(1)7500x ．10．（2020·黑龙江龙东）已知2+√3是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的一个实数根，则实数m 的值是（）A ．0B ．1C ．﹣3D ．﹣1 {答案} B{解析}本题考查了一元二次方程解的概念，将实数根代入原方程，解：根据题意，得（2+√3）2﹣4×（2+√3）+m ＝0，解得m ＝1；故选：B ．11．(2020自贡)关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（） A ．12B ．−12C ．1D ．﹣1{答案} A ．{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，同时要考虑二次项系数不为零，解：∵关于x 的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴{a ≠0△=(−2)2−4×a ×2=0，∴a =12．因此本题选A ． 12．（2020·南京）关于x 的方程(x －1)(x ＋2)＝p 2(p 为常数)的根的情况，下列结论正确的是( )A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根，一个负根D ．无实数根 {答案}C{解析}【解析】化简方程，得：x 2＋x －2－p 2＝0，根据的判别式△＝12－4×1×(－2－p 2)＝1＋8＋4p 2＝9＋4p 2＞0，故该方程有两个不相等实数根.13．（2020·菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．3或4D ．7 {答案}C{解析}结合一元二次方程的解及判别式，根据边长3是底边长还是腰长分类讨论求解，注意所得解需符合三角形的三边关系．①当3为等腰三角形的底边长时，两腰长为一元二次方程的两相等实根，则△＝(－4)2－4k ＝0，解得k ＝4，此时，两腰的和=x 1+x 2=4＞3，满足三角形三边的关系，∴k ＝4；②当3为等腰三角形的腰长时，则x ＝3为一元二次方程的一个解，把x ＝3代入方程，得9－12＋k ＝0，解得k ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x 1=1，x 2=3，因为1+3＞3，符合三角形的三边关系，所以k ＝3．综上可知，k 的值为3或4．14．（2020·湖北荆州）定义新运算“a b ”：对于任意实数a ，b ，都有1a b a b a b ，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4343431716.若x k x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（）A. 有一个实数根B.有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D.没有实数根 {答案}C{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方法．由定义新运算可得2210x xk ，∴2221411540k k ，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选C ．15．（2020·怀化）已知一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（） A ．k ＝4 B ．k ＝﹣4C ．k ＝±4D ．k ＝±2{答案}C{解析}根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值．解：∵一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣k ）2﹣4×1×4＝0，解得：k ＝±4．故选：C ．16.(2020·潍坊)关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 无法确定 {答案}A{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式..一元二次方程20(0)ax bx c a b c a ++=≠、、是常数，中，若240b ac ->，则方程有两个不相等的实数根；若240b ac -=，则方程有两个相等的实数根；240b ac -<，则方程没有实数根.显然△=2(3)4(1)k k ---=2225(1)40k k k -+=-+>.故选A.17.(2020·潍坊)若221m m +=，则2483m m +-的值是（） A. 4 B. 3 C. 2D. 1{答案}D{解析}本题考查了整体数学思想.2483m m +-=24(2)34131m m +-=⨯-=.故选D. 18．（2020·营口）一元二次方程x 2－5x +6＝0的解为（）A ．x 1=2，x 2=－3B ．x 1=－2，x 2=3C ．x 1=－2，x 2=－3D ．x 1=2，x 2=3 {答案}D{解析}对于x2－5x+6＝0，△=（－5）2－4×1×6=1，由求根公式可得x=(5)21=512，∴x1=2，x2=3是原方程的解．19．（2020·滨州）对于任意实数k ，关于x 的方程221(5)22502x k x k k -++++=的根的情况为（） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判定 {答案}B{解析}本题考查了根的判别式，221(5)22502x k x k k -++++=，△=[-（k+5）]2 -4×12×（k2+2k+25）=-k2+6k-25=-（k-3）2-16，不论k 为何值，-（k-3）2≤0，即△=-（k-3）2-16＜0，所以方程没有实数根，因此本题选B ．20．（2020·临沂）一元二次方程2480x x --=的解是（）A.12x =-+22x =--B.12x =+22x =-C.12x =+22x =-D.1x =，2x =-{答案}B{解析}考虑到此一元二次方程是一般形式，直接套用公式比较简洁：2x ===±12x =+22x =-B 正确．21. （2020·广州）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 {答案}D{解析}本题考查了一次函数的性质、一元二次方程的根的判别式，由“y x a =+不经过第二象限”可得0a ≤.当0a =时，原方程即为210x +=，此时实数解只有1个；当0a <时，此一元二次方程的根的判别式24440b ac a ∆=-=->，此时方程有2个不相等的实数根．因此关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数为1个或2个．因此本题选D ．本题容易漏掉0a =的情况．22．（2020·通辽）关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ＜1C ．k ≤1且k ≠0D ．k ≤1{答案}D{解析}若k =0，则方程为﹣6x +9＝0，得x =32，有解；若k ≠0，则kx 2﹣6x +9＝0是一元二次方程，令△=（－6）2－4×9k ≥0，则方程有解，此时可得k ≤1；综上可得k ≤1．4．（2020·邵阳）设方程x 2－4x －5＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（） A .3 B.- C. D .-2 {答案}A{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由2320x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数3b =-，由韦达定理：12x x +(3)31b a -=-=-=，因此本题选A ． 23. （2020·攀枝花）若关于x 的方程20x x m --=没有实数根，则m 的值可以为（）A. 1-B. 14- C. 0 D. 1 {答案}A{解析}由方程无实数根可知140m +<，得14m <-，则A 符合题意. 24．（2020·广西北部湾经济区）一元二次方程x 2﹣2x +1＝0的根的情况是（） A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根2323C ．无实数根D ．无法确定{答案} B{解析}∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴有两个相等的实数根，因此本题选B ．25．（2020·天门仙桃潜江）关于x 的方程0)1(222=-+-+m m x m x 有两个实数根α，β，且α 2＋β 2=12，那么m 的值为A ．－1B ．－4C ．－4或1D ．－1或4{答案}A ，解析：本题考查了根与系数的关系, 根的判别式,x 的方程0)1(222=-+-+m m x m x 有两个实数根α，β，∴α+β=2(m −1),αβ=2m −m ，∵α 2＋β 2=12， ∴()αββα22－+ =12，∴4(m −1)2−2(2m −m)=12，解得：m=4或m=−1，∵△=4(m −1)2−4(2m −m)△0，解得：m△1.故m=4舍去，∴m=−1.26．（2020·武威）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（） A ．﹣1或2B ．﹣1C ．2D ．0【解析】把x ＝1代入（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0得： m ﹣2+4﹣m 2＝0， ﹣m 2+m +2＝0，解得：m 1＝2，m 2＝﹣1，∵（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0是一元二次方程， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2， ∴m ＝﹣1，故选：B ．二、填空题 27．（2020·黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了________个人． {答案}10{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据题意得1＋x ＋x(1＋x)＝121，即(1＋x)2＝121，解得x1＝10，x2＝－12（舍去），因此本题答案为10． 28．（2019·上海）如果关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，那么实数m 的取值范围是．{答案}D{解析}△方程x2－x ＋m ＝0没有实数根，△△＝1－4m ＜0，∴m ＞14．29．（2020·枣庄）已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋a 2－1＝0有一个根为x ＝0，则a ＝_______． {答案}－1{解析}利用方程根的定义与一元二次方程的定义解题．把x ＝0代入方程，得a2－1＝0，解得a ＝±1．因为(a －1)x2－2x ＋a2－1＝0是关于x 的一元二次方程，故有a －1≠0，即a≠1，∴a ＝－1． 30．（2020·乐山）已知y ≠0，且x 2－3xy －4y 2＝0，则xy 的值是________．{答案}4或－1{解析}将已知等式两边同除以y 2进行变形，再利用因式分解法解关于x y 的一元二次方程即可．∵y ≠0，∴两边同除以y 2得：(x y )2－3(x y )－4＝0，因式分解得：(x y －4)(x y ＋1)＝0，解得x y ＝4或x y＝－1．31.（2020·北京）已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是．{答案}1{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有相等实数根的条件是△＝0，即△＝4–4k ＝0，解得k ＝1．（2020·江西）8.若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为．【解析】设一元二次方程的两根为21,x x ，并设11=x ，根据acx x =21，可得212-=⋅x ，∴另外一根为-2，故答案为-232.（2020·扬州）方程（x +1）2=9的根是 . {答案} x 1=2，x 2=-4{解析}本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题直接开方求解即可．（x +1）2=9，x +1=±3，x 1=2，x 2=-4．故答案为x 1=2，x 2=-4．33．(2020·荆门)已知关于x 的一元二次方程x 2－4mx ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为______． {答案}1{解析}设原方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝3m 2．依题意，得｜x 1－x 2｜＝2．∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，∴16m 2－12m 2＝4．解得m 1＝－1(不合题意，舍去)，m 2＝1．34．（2020·南通）x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根，则x 12－2x 1＋2x 2的值为 ▲ ． {答案}2028{解析}根据方程根的定义和根与系数的关系求解． ∵x 1为方程x 2－4x －2020＝0的根，∴211420200x x --=，∴21142020x x -=，∵x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝4，∴x 12－2x 1＋2x 2＝ x 12－4x 1＋2（x 1＋x 2）＝2020＋2×4＝2028．35．（2020·泰州）方程2230x x +-=的两根为1x 、2x 则12x x ⋅的值为______． {答案}－3{解析}本题考查了根与系数关系，根据公式12x x ⋅＝ca，可得本题结果为－3． 36．（2020·镇江）一元二次方程 x 2−2x =0 的两根分别为．{答案}x 1＝2，x 2＝0{解析}本题考查了一元二次方程的解法，本题用因式分解法比较简便，方程可化为x (x －2)＝0，∴x ＝0或x －2＝0． 37．（2020·常州）若关于x 的方程x 2＋ax －2＝0有一个根是1，则a ＝________． {答案}a ＝2{解析}本题考查了一元二次方程的根的意义，把x ＝1代入方程得：1＋a －2＝1，∴a ＝2（2020·本溪）13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根，则k 的取值范围是． {答案} k ＜﹣1{解析}由“关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根”可知：△＝4+4k ＜0，∴k ＜﹣138．(2020·青海)在解一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0时，小明看错了一次项系数b ，得到的解为x 1＝2，x 2＝3；小刚看错了常数项c ，得到的解为x 1＝1，x 2＝4．请你写出正确的一元二次方程______． {答案}x 2－5x ＋6＝0{解析}由小明的结果可知c ＝2×3＝6，由小刚的结果可知b ＝－(1＋4)＝－5．所以原一元二次方程是x 2－5x ＋6＝0．39．(2020·成都)关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是． {答案}m ≤72．{解析}根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．解：△关于x 的一元二次方程2x2﹣4x+m −32=0有实数根，△△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −32）＝16﹣8m+12≥0，解得：m ≤72，故答案为：m ≤72．40．（2020·黄冈）已知是x 1，x 2一元二次方程x 2－2x －1=0的两根，则121x x = ． {答案}﹣1{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由题意得121x x =-，所以1211x x =-，因此本题答案为﹣1．41．（2020·抚顺本溪辽阳）若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0无实根．则k 的取值范围是． {答案} k ＜－1{解析}根据一元二次方程根的判别式可知，当△＝b2－4ac ＜0时方程无实根，即可列式求值．∵关于x 的一元二次方程x2＋2x －k ＝0无实根，∴△＝22－4×1×(－k)＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1．故答案为k ＜－1． 42．（2020·内江）已知关于x 的一元二次方程()221330m x mx -++=有一实数根为1-，则该方程的另一个实数根为_____________{答案}13-{解析}本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m 的一元二次方程，解得m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定m 的值．把x=-1代入()221330m x mx -++=得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，△(m-1)2≠0，△m ≠1．△m=4.△方程为9x2+12x+3=0.设另一个根为a,则-a=39. △a=-13.因此本题答案为－13． 43．（2020·宜宾）已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx ＝． {答案}－372{解析}根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再将21x x +2x1x2+12x x 用两根之和与两根之积表示，从而得到式子的值．∵一元二次方程x2+2x ﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴21x x +2x1x2+12x x ＝2x1x2+221212x x x x +＝2×（﹣8）+2121212()2x x x x x x +- ＝﹣16+2(2)2(8)8--⨯--＝－372．44．（2020·咸宁）若关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，则n 的取值范围是__________．{答案} n≥0{解析}本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，∵关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，而2(2)0x +≥，∴n≥0，，因此本题填n≥0．45.（2020·娄底）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． {答案}1{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，方程220x x c -+=有两个相等的实数根，240,b ac ∴=-=()22410,c ∴--⨯•= 44,c ∴= 1c ∴=，因此本题填1．46．（2020·东营）如果关于x 的一元二次方程260xx m 有实数根，那么m 的取值范围是．{答案}m ≤9{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b 2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝62－4m ×1≥0，解得m ≤9．47．（2020·毕节）关于x 的一元二次方程（k ＋2）x 2＋6 x ＋k 2＋k －2＝0有一个根是0，则k 的值是_________． {答案}1，{解析}本题考查一元二次方程的根．解： ∵x ＝0，∴关于x 的一元二次方程为k 2＋k －2＝0．∴（k ＋2）（k －1）＝0． ∴k 1＝－2，k 2＝1．∵k ＋2≠0，∴k 1＝－2（舍去）．故答案为148.（2020·郴州）已知关于x 的一元二次方程0522=+-c x x 有两个相等的实数根，则=c ． {答案}{解析}根据题意得△＝（－5）2－4×2×c ＝0，解得c ＝．故答案为：．49．（2020·威海）一元二次方程4x （x ﹣2）＝x ﹣2的解为 x 1＝2，x 2=14．【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【解析】：4x （x ﹣2）＝x ﹣2 4x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0 （x ﹣2）（4x ﹣1）＝0 x ﹣2＝0或4x ﹣1＝0 解得x 1＝2，x 2=14．故答案为：x 1＝2，x 2=14．50．（2020·烟台）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＞0且m ≠1 ．【解析】根据题意得m ﹣1≠0且△＝22﹣4（m ﹣1）×（﹣1）＞0，解得m ＞0且m ≠1．故答案为：m ＞0且m ≠1．时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 51．（2020·淄博）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +2m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 m ＜18．【解析】∵方程有两个不相等的实数根，a ＝1，b ＝﹣1，c ＝2m∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×2m ＞0，解得m ＜18，故答案为m ＜18． 52.（2020·吉林）一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为______．【答案】13【解析】∵a=1，b=3，c=-1，∴△=b 2-4ac=9+4=13．∴一元二次方程x 2+3x-1=0根的判别式的值为13．故答案为：13．53.（2020·永州）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．【答案】m ＞﹣4．【解析】由已知得：△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m ）=16+4m ＞0，解得：m ＞﹣4．54．（2020·云南）若关于x 的一元二次方程x 2+2x +c ＝0有两个相等的实数根，则实数c 的值为． {答案}1{解析}若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2﹣4ac ＝0，建立关于c 的等式，求出c 的值即可．三、解答题 55．（2020·贵阳）（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x ≤15）时间x （分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数y （人）170320450560650720770800810810（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ {答案}解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，△当0≤x≤9时，y 是x 的二次函数，△当x ＝0时，y ＝0，△二次函数的关系式可设为：y ＝ax2+bx ，由题意可得：{170=a +b 450=9a +3b，解得：{a =−10b =180，△二次函数关系式为：y ＝﹣10x2+180x ，△当9＜x≤15时，y ＝180，△y 与x 之间的函数关系式为：y ={−10x 2+180x(0≤x ≤9)180(9＜x ≤15)；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由题意可得：w ＝y ﹣40x ={−10x 2+140x(0≤x ≤9)810−40x(9＜x ≤15)，△当0≤x≤9时，w ＝﹣10x2+140x ＝﹣10（x ﹣7）2+490，△当x ＝7时，w 的最大值＝490，△当9＜x≤15时，w ＝810﹣40x ，w 随x 的增大而减小，△210≤w ＜450，△排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x ＝0，解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，解得m ≥118，△m 是整数，△m ≥118的最小整数是2，△一开始就应该至少增加2个检测点．56.（2020·江苏徐州）（1）解方程：2x 2-5x +3=0；{解析} （1）利用因式分解法来解这个方程；{答案}解：（1）∵2x2-5x+3=0，∴（2x-3）（x-1）=0，∴x1=32，x2=1.57．（2020·南京）解方程：x 2－2x －3＝0.{解析}观察方程的系数特征，适合运用配方法解方程. {答案}解：移项，得：x 2－2x ＝3，配方，得：x 2－2x ＋1＝3＋1，即(x －1)2＝4. 两边同时开方，得：x －1＝±2， △x 1＝3，x 2＝－1.58．（2020·无锡）解方程：（1）x 2＋x －1＝0解：（1）x 2＋x －1＝0，△＝5，∴x ＝－1±5259.(2020·南充）已知1x ，2x 是一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由. {解析}（1）根据一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根得到△=（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解关于k 的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得出含有k 的式子，将等式变形后代入，解答关于k 的方程，注意舍去不符合题意的值．{答案}解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0，解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1x 2＝k +2．∵11x +21x ＝k ﹣2， ∴1212x x x x +＝22k +＝k ﹣2， ∴k 2﹣6＝0，解得：k 1，k 2．又∵k ≤﹣1，∴k ．∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x ＝k ﹣2，成立，k ． 60．（2020·齐齐哈尔）解方程：x 2﹣5x +6＝0解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．61.（2020·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程2x -(2k+1)x 21+2k -2=0. (1)求证:无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根1x ，2x 满足1x -2x =3，求k 的值.{解析}考查根的判别式和根与系数的关系式定理.（1）直接将方程中的各项系数代入根的判别式2=4b ac ∆-得到一个大于0的式子即可证明.（2）利用根与系数的关式得到：1221x x k +=+，212122x x k =-，然后再代入到由已知转化得来的式子21212)49x x x x +-=（，代入可求k 的值.{答案}解：（1）∵∆=221(21)4(2)2k k +--＝2244128k k k ++-+＝2249k k ++ ＝221)7k ++（ ∵无论k 取任何实数，221)0k +≥（，∴221)7k ++（>0. ∴无论k 取任何实数,方程总有两个不相等的实数根.（2）由一元二次方程的根与系数的关系定理，得： 1221x x k +=+，212122x x k =-. ∵123x x -=，∴212)9x x -=（，即21212)49x x x x +-=（ ∴22121)4(2)92k k +-⨯-=（，化简得：220k k +=.∴解得k 的值是0，－2.62.（2020·随州）已知关于x 的一元二次方程2x +(2m+1)x+m-2-0.(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根1x ，2x ，且1x +2x +31x 2x =1，求m 的值.(1)证明：依题意可得△=2)-4(m -1)+(2m 2…………1分=9+4m 2＞0，故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.………3分(2)解：由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧-=+-=+2)12(2121m x x m x x ，………………5分由1x +2x +31x 2x =1，得-(2m+1)+3(m-2)=1，解得m=8.……7分63．（2020·鄂州）已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． {解析}本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．{答案}解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根，∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0，解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+ 由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-，代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去），经检验，3k =-是原方程的根，故3k =-．64．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程：2224250x x xx【提示】可以用“换元法”解方程. t （t ≥0），则有222x x t ，原方程可化为：2450tt 【续解】229t{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元的式子t ，其两边分别平方后有222x x t ，这样原方程可变形为关于t 的一元二次方程，即可求得t 的值，再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍，即可求出x 的值． {答案}解：【续解】229t ∴23t ，即11t ，25t ∵220tx x ， ∴221tx x ，则有221x x ，配方，得：212x 解得：112x ，212x 经检验：112x ，212x 是原方程的根.65．（2020·宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内地方面积.材料：某地有A ，B 两家商贸公司（以下简称A ，B 公司）.去年下半年A ，B 公司营销区域面积分别为m 平方千米，n 平方千米，其中m =3n ，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为29；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A 公司营销区域面积比去年下半年增长了x %，B 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A 公司的4倍，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为37，同时公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积．．．．．．．的比比去年下半年增加了x 个百分点. 问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A 公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比.{解析}（1）通过设未知数找等量关系：公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为29等列出方程，最后求解即可．（答案不唯一）（2）设B 公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A 公司为1.5a ．去年下半年A ，B 公司产生的总经济收益为1.5a ×3n +a ×n =5.5na今年上半年A ，B 公司产生的总经济收益比去年下半年增加了x 个百分点为1.5a ×3n ×(1 +x%)+ an × (1 +4×x% )．设增加的百分点为x%，找等量关系：公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x 个百分点，列出方程求解即可．{答案}解：（1）问题1:求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比解答：3n ×29=23n 23n ：n =23问题2:A 公司营销区城面积比B 公司营销区域的面积多多少?解答: 3n −n =2n问题3:求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的解答：3n ×29=23n 23n ÷(3n +n −23n)=15（2）[37×3n(1+x%)]÷[3n(1+x%)+n(1+4x%)−37×3n(1+x%)]=3n×29÷(3n+n−23n)+x%100(x%)2+45x%−13=0解得x%=20%，x%= 65%(舍去)设B公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a今年上半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n×(1 + 20%)+ an×(1 +4×20% )=7.2na去年下半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n+a×n=5.5na去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na):(7.2na)=55:7266．（2020·滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每下克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？{解析}本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，（1）根据月销售量=500-（销售单价-50）×10来求解，（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量得方程再求解，（3）设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质求解．{答案}解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，解得：x1=65，x2=75，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，∴当m=70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．67．（2020·玉林）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求111aa b-++的值.{解析}（1）直接根据一元二次方程根的判别式求出k的范围；（2）首先把代数式化简转化为两根积和两根的和的形式，然后再根据根与系数的关系求出代数式的值．{答案}解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－4×1×（－k）＞0，∴k＞－1；（2）111aa b-++＝()()()()(1)1(1)1111a b aa b a b+⨯+-++++＝1111ab a a abab a b ab a b+---=++++++，∵a＋b＝－2，ab＝k，∴原式＝11abab a b-+++＝1121kk-=-++.68．（2020·黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，。

中考数学专题复习(有答案) 一元二次方程的解法及应用

第2节一元二次方程的解法及应用A 组1．(2020聊城)用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是( A )A.⎝⎛⎭⎫x －342＝1716B ．⎝⎛⎭⎫x －342＝12 C ．⎝⎛⎭⎫x －322＝134 D ．⎝⎛⎭⎫x －322＝114 2．(2020鹤岗)已知2＋3是关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0的一个实数根，则实数m 的值是( B )A ．0B ．1C ．－3D ．－13．(2020鄂州)目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为( C )A ．20%B ．30%C ．40%D ．50%4．如果关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ．5．(2020邵阳改编)设方程x 2－4x －5＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为 4 ．6．(2020南京)解方程：x 2－2x －3＝0.解：因式分解，得(x －3)(x ＋1)＝0.解得x 1＝3，x 2＝－1.B 组7．(2020河南)定义运算：m ☆n ＝mn 2－mn －1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x ＝0的根的情况为( A )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根8．(2020鄂州)已知关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0有两实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程两实数根分别为x 1，x 2，且3x 1＋3x 2＝x 1x 2－4，求实数k 的值．解：(1)由题意，得Δ＝16－4(k ＋1)＝16－4k －4＝12－4k ≥0，∴k ≤3.(2)由题意，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1.∵3x 1＋3x 2＝x 1x 2－4， ∴3（x 1＋x 2）x 1x 2＝x 1x 2－4. ∴3×4k ＋1＝k ＋1－4. 解得k 1＝5，k 2＝－3，∵k ≤3，∴k ＝－3.C 组9．【新考法】(2020河北)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上a 2，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果．已知A ，B 两区初始显示的分别是25和－16，如图．如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：――→第一次按键(1)从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；(2)从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．解：(1)A 区显示的结果为25＋2a 2，B 区显示的结果为－16－6a .(2)这个和不能为负数，理由如下：根据题意，得A ，B 两区代数式的和为25＋4a 2＋(－16－12a )＝25＋4a 2－16－12a ＝4a 2－12a ＋9＝(2a －3)2.∵(2a －3)2≥0，∴A ，B 两区代数式的和不能为负数．。

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∴x b
b2 4ac (2 5)
＝
(2 5)2 4 2 1 2 5 2 3
＝
2a
22
4
5 3
5 3
∴ x1 ＝ 2 ， x2 ＝ 2 。
（4）∵ (2x 1)2 3(2x 1) 2 0
∴[(2x 1) 1] [(2x 1) 2] 0
即 (2x 2)(2x 3) 0
解得： x1 ＝6.05， x2 ＝56.95（舍去）
同学们可放开思路，大胆设计。跟踪训练：一、填空题：
1、方程 x 2 5x 的根是
；方程 x(x 1) 2 的解是
。
2、设 (x 1)(x 2) 0 的两根为 x1 、 x2 ，且 x1 ＞ x2 ，则 x1 2x2 ＝
。
4
3、已知关于 x 的方程 4x 2 4kx k 2 0 的一个根是－2，那么 k ＝
用公式法解：
解：化方程为标准形式得： 2x 2 3x 2 0
∵ a ＝2， b ＝－3， c ＝－2
∴x b
b2 4ac (3)
＝
(3)2 4 2 (2) 3 5
＝
2a
22
4
∴
x1
＝2，
x2
＝
1 2
。
用配方法解：
解：化二次项系数为 1 得： x 2 3 x 1 2
两边同时加上一次项系数一半的平方得： x 2 3 x 3 1 2 1 3 1 2
2x 2 0或2x 3 0
∴
x1 ＝－1，
x2
＝
3 2
。
【例 3】已知 (a 2 b2 )2 (a 2 b2 ) 6 0 ，求 a 2 b2 的值。
分析：已知等式可以看作是以 a 2 b2 为未知数的一元二次方程，并注意 a 2 b2 的
值应为非负数。
解：把 a 2 b2 看作一个整体，分解因式得：[(a 2 b2 ) 3] [(a 2 b2 ) 2] 0
（4） (2x 1)2 3(2x 1) 2 0
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
解：（1）∵ 7(2x 3)2 28
∴ (2x 3)2 4
2x 3 2
2x 3 2
5
1
∴ x1 ＝ 2 ， x2 ＝ 2 。
∴ (a2 b2 ) 3 0 或 (a2 b2 ) 2 0
∴ a 2 b2 ＝3 或 a 2 b2 ＝－2
但是 a 2 b2 ＝－2 不符合题意，应舍去。
∴ a 2 b2 ＝3
3
探索与创新：
【问题一】解关于 x 的方程： (a 1)x 2 2ax a 0
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当 a ＝1 时，是一元一次方程；当 a ≠1 时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。
五、已知三角形的两边长分别是方程 x 2 3x 2 0 的两根，第三边的长是方程 2x 2 5x 3 0 的根，求这个三角形的周长。
六、已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 (2k 3)x k 2 3k
2 0 的两个实数根，第三边 BC 的长是 5。（1） k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形；（2） k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。
（2）∵ y 2 2 y 399 0
∴ y 2 2 y 399
y 2 2 y 1 399 1
( y 1)2 400
y 1 20
y 1 20
∴ y1 ＝21， y2 ＝－19。
（3）∵ 2x 2 1 2 5x
2
∴ 2x2 2 5x 1 0
∵ a ＝2， b ＝ 2 5 ， c ＝1
A、 k ≠－3 且 k ≠5 C、 k ＝5
B、 k ＝3 或 k ＝5 D、 k 为任意实数
5、如果是方程 x 2 3x m 0 的一个根，是方程 x 2 3x m 0 的一个根，那么的值等于（）
A、1 或 2 B、0 或－3
C、－1 或－2
D、0 或 3
三、解下列方程：
2 2 2
2 2
配方得： (x 3)2 25 4 16
开方得： x 3 5 44
移项得： x 3 5 44
1
∴
x1
＝2，
x2
＝
1 2
。
【例 2】选择适当的方法解下列方程：
（1） 7(2x 3)2 28 ；
（2） y 2 2 y 399 0
（3） 2x 2 1 2 5x ；
1、 x 2 5x 2 0 ；
5
2、 9(2x 3)2 4(2x 5)2 0
3、 x 2 5 x 6 0 ； x 1 x 1
4、 (6x 2 7x)2 2(6x 2 7x) 3
四、已知 a 、 b 是方程 x 2 3x 3 5 5 0 的两个正根， c 是方程 x 2 9 的正根，试判断以 a 、 b 、 c 为边的三角形是否存在？并说明理由。
2020 中考数学精选例题解析：一元二次方程的解法
知识考点：理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方
法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。精典例题：
【例 1】分别用公式法和配方法解方程： 2x2 3x 2
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为 1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。
a a ③当 a ＞0 且 a ≠1 时，原方程有两个不相等的实数根 x1，2 ＝ a 1 ；
【问题二】在一个 50 米长，30 米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。
略解：设计方案各取所好，若按左图设计，则有： (50 2x)(30 2x) 1 50 30 2
。
4、 x 2 4 x 3
二、选择题：
＝ (x ________)2
1、用直接开平方法解方程 (x 3)2 8 ，得方程的根为（）
A、 x 3 2 3
B、 x 3 2 2
C、 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2
D、 x1 3 2 3 ， x2 3 2 3
2、在实数范围内把 x 2 x 2 2 分解因式得（）
A、 (x 2)(x 1) 2
B、 (x 2)(x 1) 2
C、 (x 2)(x 1 2)
D、 (x 2)(x 1 2)
3、方程 x 2 3 x 2 0 的实数根有（）个
A、4
B、3
C、2 D、1
4、若关于 x 的方程 (k 2 15)x 2 k(2x 2 1) 5 有无穷多个解，则（）
x4
＝
1 6
四、不存在，因为 a b c
6
9 五、这个三角形的周长是。
2 六、（1） k 2 ；（2） k 3 时周长为 14； k 4 时周长为 16。
7
参考答案
一、填空题：
42 1、 x1 ＝0， x2 ＝5； x1 ＝－2， x2 ＝1；2、0；3、 k ＝4；4、 9 ， 3
二、选择题：CCACD
三、解下列方程：
1、
x1 ＝
1 3
，
x2＝2；2、来自x1 ＝19 2，
x2
＝
1 10
；3、
x1 ＝
3 2
，
x2
＝2
4、
x1
＝
3 2
，
x2
＝
1 3
，
x3
＝1，
解：（1）当 a ＝1 时，原方程可化为： 2ax a 0 ，是一元一次方程，此时方程的根为 x 1 ；
2 （2）当 a ≠1 时，原方程是一元二次方程。
∵判别式△＝ (2a)2 4a(a 1) ＝ 4a
∴①当 a ＜0 时，原方程没有实数根；
②当 a ＝0 时，原方程有两个相等的实数根 x1 ＝ x2 ＝0；