衡水中学高中数学知识点、公式、典型题总结

高中数学总复习（五）
复习内容：高中数学第五章-平面向量 复习范围：第五章
1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.
注意：①若b a
,为单位向量，则b a
=. （⨯） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. ②若b a
=，则a
∥b
. （√）
2. ①()a μλ=()a λμ ②()a a a
μλμλ+=+ ③()
b a b a
λλλ+=+
④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+
()2121,y y x x b a --=-
()21,y x a λλλ= 2121y y x x b a +=⋅ 2
1
21y x a += （向量的模，针对向量坐标求模） ⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ⋅=⋅ ⑥a b b a ⋅=⋅ ⑦()()
()
b a b a b a
λλλ⋅=⋅=⋅ ⑧()c b c a c b a
⋅+⋅=⋅+
注意：①()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅不一定成立；c
b b a
⋅=⋅c a =. ②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.
③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0
与任意向量平行，0
的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00
=-. ④若有一个三角形ABC ，则
0；此结论可推广到n 边形.
⑤若a n a m =（R n m ∈,），则有n m =. （⨯） 当a
等于0
时，0
==a n a m ，而n m ,不一定相等. ⑥a ·a =2||a ，||a =2a
（针对向量非坐标求模）
，||b a
⋅≤||||b a
⋅. ⑦当0 ≠a 时，由0=⋅b a 不能推出0 ≠b ，这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0.
⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立.
3. ①向量b
与非零向量．．．．a
共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b
λ=（平行向量或共线向量）. 当a ,0 λ
与b 共线同向：当,0 λa 与b 共线反向；当
b 则为0,0与任何向量共线.
注意：若b a ,b
a = （×）
若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =⋅θcos ，c
a =θcos （√）
②设a
=()11,y x ，()22,y x b =
a ∥b
⇔=-⇔01221y x y x b a b a b a ⋅=⋅⇔=λ a ⊥b
001221=+⇔=⋅⇔y y x x b a
③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线⇔
∥
⇔=λ（0≠λ）
⇔（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）（0≠λ） ⇔（12x x -）·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -）
④两个向量a
、b 的夹角公式：
22
22
21
21
2
121cos y x y x y y x x +
⋅
+
+=
θ
⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）
设 P 1P =λPP 2 （或P 2P =λ
1P P ，且21,,P P P 的坐标分别是
),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则
推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：
推广2λ=MB
则λλ++=1PB PA PM （λ对应终点向量）.
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,： 注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件.
⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a =()k h ,平移到P ‘()
'
',y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=k
y y h x x ''
4. ⑴正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===. ⑵余弦定理：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222
2
22222
⑶正切定理：2
tan
2tan
B A B
A b
a b a -+=
-+ ⑷三角形面积计算公式：
设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r . ①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R
④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=++=33321321y y y y x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=22
21
21x
x x y y y ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=++=λλλλ112121x x x y y y B
P
M
如图：
图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr
的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a
图1 图2 图3 图4
附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即
2
c
b a ++] 则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=
c s -=1/2（a+b-c ）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =
c
b a ab
c b a ++=
-+2（如图3）. ⑹在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以
C B
A B
A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！
⑺在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC BD BC
BC
AB BD AC AD ⋅-+=222
.
证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=①
在△ABC 中，由余弦定理有 BC AB AC BC AB B ⋅-+=2cos 2
22②，②代入①，化简
可得，DC BD BC
BC
AB BD AC AD ⋅-+=222
（斯德瓦定理）
①若AD 是BC 上的中线，222222
1
a c
b m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p b
c c
b t a -⋅+=2
，其中p 为半周长；
③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p a
h a ---=2，其中p 为半周长.
⑻△ABC 的判定：
⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2
π
2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜
2
π B I
A
B
C
D E F I A
B C D
E F
r a
r a
r a
b
c a
a
b c C
D
A
C
B
图5
2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞
2
π 附：证明：ab
c b a C 2cos 2
22-+=
，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
)2=。