交错级数收敛性的几个结果及其应用
交错级数的求和及应用
交错级数的求和及应用交错级数是一种特殊的数学级数，其项的符号交替出现。
求解交错级数的和以及应用于实际问题中是数学领域中的一个重要问题。
本文将介绍交错级数的概念、求和方法及其在实际中的应用。
一、交错级数的概念交错级数是指级数中的每一项的符号交替出现的级数。
具体地说，交错级数的一般形式可以表示为：S = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...其中，a1、a2、a3...为级数的各个项。
二、求解交错级数的和的方法求解交错级数的和一般有两种方法，分别是绝对收敛法和交错收敛法。
1. 绝对收敛法绝对收敛法适用于满足以下条件的交错级数：当级数的每一项的绝对值都小于等于某一正数L时，级数的和即为有限值。
在绝对收敛法中，我们可以忽略级数项的符号，将其看作是一个正项级数，然后利用常规的求和公式来计算交错级数的和。
2. 交错收敛法交错收敛法适用于无法满足绝对收敛法条件的交错级数。
交错收敛法的基本思想是，通过将级数分解为正项级数与负项级数的和来求解交错级数的和。
具体地，我们可以使用交错级数的部分和序列来逼近级数的和，并且证明这个部分和序列是收敛的。
三、交错级数的应用交错级数在应用中具有广泛的用途，以下列举几个常见的实际问题。
1. 电力传输中的功率调整交错级数可用于描述电力传输中的功率调整问题。
在实际情况中，电力传输系统中的功率会因为各种因素而发生波动，我们可以利用交错级数的求和方法来计算功率调整对整个系统的影响。
2. 金融领域中的投资回报计算在金融领域中，投资回报常常涉及到复利计算。
当投资收益率存在波动时，我们可以将投资回报表示为一个交错级数，并通过求和方法来计算最终的投资回报。
3. 振动系统中的能量转换分析在振动系统中，能量的转换常常涉及到能量的交错性质。
通过将能量转换过程表示为一个交错级数，并求解交错级数的和，可以帮助我们分析振动系统中能量的变化规律及相互转换的关系。
四、总结交错级数的求和及其应用是数学中的一个重要问题。
交错级数审敛法
交错级数审敛法
提及交错级数，我们可以想起微积分中积分方法之一“交错级数定理”，它是“浓厚”理论，从证明角度来看，既复杂又有趣，例如，将求和类型积分表示中的常数变量和一个
无穷级数统一求出所求。
交错级数审档法是一种求解无穷级数的方法。
该方法的工作原理是：
首先，将化简的级数化为符号形式，使级数可以分解成不同的项；
其次，将每一项与相应的系数相乘；
然后，将所有的结果相加；
最后，用完整的数学证明来证明已结果是正确的。
也就是说，交错级数审档法是一种整理无穷级数并计算其值的方法，该方法用于将一
个无穷级数拆分为若干项进行处理，让计算更加容易和准确。
举例来说，假设我们想求解（1+1/2+1/4+1/8+...）的值。
首先，我们可以将级数表
达式拆分为（1 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...），并将每一项乘以其系数，即（1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1/2 + 1 * 1/4 + 1 * 1/8 + ...），最后将所有项相加即可得到最后的结
果为2。
此外，交错级数审档法还可以用于证明数学定理等。
例如，我们想证明ϕ=(1+√5)/2为黄金比例，则可以将这个8次方程式拆分成8个项，并将每项乘以对应的系数
（1+1/2+1/4+1/8+...），然后将所有项相加即可得出1+√5=ϕ^2，从而证明ϕ就是黄金比例。
综上所述，交错级数审敛法是一种简单易用的、方便而有效的数学算法，它可以用来
计算无穷级数的值，也可以用于数学证明。
交错级数发散,原级数收敛的例子
交错级数发散,原级数收敛的例子
摘要：
一、交错级数概念回顾
二、交错级数发散与收敛的判别方法
三、具体例子分析
1.交错级数发散的例子
2.交错级数收敛的例子
四、结论与启示
正文：
在数学分析中，交错级数的概念及发散与收敛的判别方法是基础内容，下面将通过具体例子来进一步了解这一概念。
一、交错级数概念回顾
交错级数是指如下一类级数：
∑(-1)^n * a_n
其中，a_n为级数项，n为自然数。
需要注意的是，交错级数的收敛性与发散性判定方法与非交错级数有所不同。
二、交错级数发散与收敛的判别方法
1.收敛性判别方法：
（1）交错级数的部分和序列单调有界；
（2）交错级数的部分和序列极限为0。
2.发散性判别方法：
（1）交错级数的部分和序列无界；
（2）交错级数的部分和序列极限不存在或非0。
三、具体例子分析
1.交错级数发散的例子：
考虑以下交错级数：
∑(-1)^n * (1/n)
该级数是交错级数，但部分和序列发散，因此整个级数发散。
2.交错级数收敛的例子：
考虑以下交错级数：
∑(-1)^n * (1/n^2)
该级数同样是交错级数，但部分和序列极限为1，因此整个级数收敛。
四、结论与启示
通过以上分析，我们可以发现交错级数的发散与收敛特性与非交错级数存在一定差异。
在实际应用中，要根据级数的性质和条件来判断其收敛性。
对于交错级数，我们可以通过部分和序列的单调性、有界性以及极限值来判断其发散性与收敛性。
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
交错级数的概念与性质
交错级数的概念与性质交错级数是指由一系列交替正负的项组成的无限级数。
正负交替的规律使得其求和结果相对不稳定，因此需要特殊的方法来讨论其性质。
本文将介绍交错级数的概念、收敛性和一些有趣的性质。
一、概念设 ${a_n}$ 是一个单调递减到零的正项数列，则$${\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^{n+1}a_{n}$$称为交错级数。
例如，${1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{6},\cdots }$ 是一个以$\dfrac{1}{n}$ 为项的交错级数。
二、收敛性交错级数的递减性决定了其求和的有限性。
事实上，若交错级数的通项 $a_n$ 递减到零，则其必收敛。
具体而言，根据莱布尼茨判别法，对于单调递减到零的正项数列 ${a_n}$，其对应的交错级数收敛，并有估计式：$${\left|{\sum_{n=1}^{N}}(-1)^{n+1}a_{n}-{\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^{n+1}a_{n}\right|}\leqslant a_{N+1}$$实际上，交错级数的收敛性更一般。
此处给出两个例子：（1）$\ln 2$ 的交错级数 $${\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$$ 显然是递减的正交错级数，但其和为 $\ln 2$，即其收敛。
（2）勒让德定理告诉我们，$\pi$ 可以由如下交错级数计算：$$\dfrac{\pi}{4}={\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}$$ 然而，该级数并不单调递减，其部分和逼近$\dfrac{\pi}{4}$ 的速度也相当缓慢，如下例所示：$$\begin{aligned} {\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}&=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots\\ &=1-\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)+\cdots \\ &\geqslant 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} \\ &=\dfrac{5}{12} \\\end{aligned}$$因此，交错级数虽然具有有限项和无限项和的两种情况，但一定是条件收敛的。
交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
交错级数收敛性的几个结果及其应用
交错级数收敛性的几个结果及其应用作者：蔡敏， 龚水法作者单位：大连交通大学理学院,大连,116028刊名：高等数学研究英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：2009，12(3)被引用次数：0次1.华东师范大学数学系数学分析 20012.同济大学数学教研室高等数学 20031.期刊论文曾静p级数及其在级数与积分敛散性判断中的应用-中国民航飞行学院学报2007,18(2)在比较判别法的极限形式中,以p级数为参照级数,通过求p级数中p的范围,根据此时的p级数的敛散性,来判断待定级数的敛散性,并证明p积分与p级数有相同的敛散性以及p积分在积分敛散性判断中与p级数在待定级数敛散性判断中有相似的作用.2.期刊论文胡彦洲.HU Yan-zhou调和级数与P级数敛散性的简单证法-甘肃高师学报2009,14(2)关于P级数∞∑n=1 1/np的敛散性的证明,本文则给出一个简单的证法.同时本文还给出调和级数发散的一个更为简洁的证法.3.期刊论文阎家灏数列与级数敛散性的关系分析-兰州工业高等专科学校学报2004,11(1)数列与级数是两个不同的数学概念,但在敛散性关系上,有许多异同之处,这是因为二者有着密切的联系.将无穷数列的项进行连加定义了数项级数,且无穷级数的敛散性是通过其部分和数列的敛散性定义的,因此,数列和由它生成的级数,它们的敛散性有着许多联系.由敛散性的定义,经过分析推理得到了数列{xn}与级数∑∞n=1(xn-xn-1)的敛散性是一致的,但数列{xn}与级数∑∞n=1xn的敛散性却不一致的几个结论.4.期刊论文黄力民在定义级数乘法的基础上讨论乘积级数敛散性-高等数学研究2009,12(3)一些微积分教材没有对级数乘积的定义,而是直接研究两个级数的项所有可能的乘积组成的级数,在此情形下讨论两级数相乘的条件并无意义,而且难免会给教学带来不便.基于这样的考虑.应首先定义两级数的乘积级数,再在此基础上讨论乘积级数与原级数的敛散性关系.5.期刊论文胡国华.HU Guo-hua Bernoulli概型引出的一类级数的敛散性-湖南理工学院学报(自然科学版) 2008,21(3)由Bernoulli概型的特殊几何分布引出了一类正项级数,解决了这类级数的敛散性与求和问题,同时归纳和改进了文[3]～[6]的结果.6.期刊论文范新华.FAN Xin-hua关于交错级数敛散性判别法的一些探讨-常州工学院学报2007,20(5)文章就数学分析中交错级数敛散性的判别法加以讨论,结合交错级数自身的特性,提出了交错级数敛散性的一个判别定理.该定理的判别式是极限形式,运用起来十分简便,该判定定理推广了莱布尼兹判别法,并给出了应用.7.期刊论文方巧.胡学刚.简丽华判定级数敛散性的几个定理及应用-内江师范学院学报2006,21(z1)利用级数敛散性的比较原则,得到了若干个判定级数敛散性的定理及应用.8.期刊论文党振才.李晋忠Taylor公式在判断级数敛散性时的应用-高等数学研究2009,12(3)在一些证明级数敛散性的问题中,Taylor公式的应用有时能起到关键作用,通过实例说明如何运用这一思想,讨论级数的敛散性问题.9.期刊论文骆汝九.Luo Rujiu交错级数敛散性的一个判别定理-盐城工学院学报（社会科学版）2000,13(1)提出了交错级数敛散性的一个新的判别定理.该定理的判别式为极限形式,运用其判别交错级数的敛散性非常简便.10.期刊论文胡洪萍数列与级数敛散性判定定理-西安联合大学学报2004,7(5)给出了判定一类数列收敛的定理,并由此定理得到一系列结论:(1)级数敛散性的积分判别法;(2)一类收敛数列;(3)级数∞∑n=1f(an)与数列｛∫ana1f(t)dt｝同敛散;(4)估计某些收敛级数和值与广义积分之值.本文链接：/Periodical_gdsxyj200903010.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：82f76a74-e401-4513-afde-9dca0120a081下载时间：2010年8月6日。
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对于无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数 , 利用常数项级数收敛的定义及相关结果 , 可以证明在 一定条件下它们都是收敛的 , 并通过实例说明所得结果的应用价值 . 关键词 级数 ; 敛散性 ; 条件收敛 ; 绝对收敛 . 中图分类号 O122 . 7
关于交错级数收敛性的判别主要采用莱布尼兹判别法 . 莱布尼兹判别法只是一个充分条件 , 要 求数列{ un } 满足单调递减且lim un = 0 . 有大量的交错级数虽然不满足莱布尼兹判别法的条件 , 但
n →∞
却是收敛的 . 下面以定理的形式介绍几个新的判别交错级数收敛性的方法 , 最后通过例子说明这些方法在 判别级数敛散性方面的可行性 . 定理 1 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , 且lim un = + ∞, lim
n →∞
vn vn = 0 , 则当级数 2 收敛时 , 级 n →∞ u n n=1 un
2
lim
n →∞
vn n 2 2 u n v n + ( - 1) u n v n un v n 1 = lim 2 = 1, n 2 = lim n →∞ u n v n + ( - 1 ) u n v n n →∞ vn n vn ( ) 1 + 1 2 un un
2 2
2
∞
因此 , 级数
∞
∞
∑
∑
3 收稿日期 :2008 - 04 - 25 ,修改日期 :2009 - 03 - 26.
30
高等数学研究 2009 年 5 月
vn vn 1 , n 2 < n 2 = n u n + un v n + ( - 1) v n u n v n + ( - 1) v n un + ( - 1) v n
∑
∑
数
n=1
∑u
2
n
( - 1) n v n ( - 1) n 绝对收敛 , 所以 , 级数 收敛 . n n + un v n + ( - 1 ) u n v n n = 1 u n + v n + ( - 1) v n
∞
∑
定理 2 设 un , v n > 0 , lim 证明 由于
( - 1) n v n vn 1 = 0 ,则 收敛时 , 级数 n 2 绝对收敛 . n →∞ u n n = 1 un n = 1 u n + un v n + ( - 1) v n
2
vn vn > 0, 2 2 = 2 n u n + un v n + ( - 1) un v n u n + u n v n [ un + ( - 1 ) v n ]
2 2
2
2
∞
所以 , 级数
n=1
∑
vn 2 2 是正项级数 . 由于 u n + un v n + ( - 1) un v n
2 2
并且lim
vn 1 n = 0 , 可知当 n → ∞时 , un + ( - 1 ) v n > 0 , 故 是正项级数 . 又因为 n n →∞ u n n = 1 un + ( - 1 ) v n
∞
∑
lim
∞
n →∞
1
n un + ( - 1) v n
= lim
n →∞
1
un
un = lim n n →∞ u n + ( - 1) v n
n=1
∑
vn 2 = un
∞
n=1
∑n
α
n
2
∞
=
n=1
∑n
1
3 2
收敛 . 根据定理 1 知 , 级数
n=1
∑n + [ 1 + ( -
( - 1) n
1) n ] n
收敛 .
∞
例 2 判别级数
n=1
∑
( - 1) n n α > 1) 的敛散性 . n 2 ( n ( 1 + n) + ( - 1 ) n
∞
n =1
∞
=
n=1
∑
( - 1 ) n ( un + v n + ( - 1 ) n v n ) - ( - 1 ) n u n = n u n ( un + v n + ( - 1 ) v n )
∞
n=1
∑
∑
( - 1) n v n + 2 n u n + un v n + ( - 1) u n v n
vn 2 n u n + un v n + ( - 1 ) u n v n 1 = lim = 1, n →∞ vn vn n vn 1 + + ( - 1) 2 un un un
∞ ∞
所以级数
∞
n=1
∑
vn vn vn 与级数 2 n 2 同时收敛或同时发散 . 而级数 2 收敛 , 故级 u n + un v n + ( - 1 ) u n v n u u n n n=1 n=1
∞ ∞
n=1
∞
=
n=1
∑
n ( - 1) n [ un + un v n + ( - 1) n v 2 n ] - ( - 1) u n v n = n 2 u n [ un + un v n + ( - 1) v n ]
n=1
∑u
∑u
n
2 ( - 1) n vn n 2 + 2 2 n 2 + un v n + ( - 1 ) v n u n + un v n + ( - 1) u n v n
n →∞ n →∞
lim un = lim n = + ∞, lim
∞
vn n 1 = lim = lim = 0, n →∞ n n →∞ un n
∞
级数
∞
n=1
∑
vn 2 = un
∞
n=1
∑n
n
2
∞
=
n=1
∑n
1
∞
3 2
收敛 , 级数
n=1
∑u v
n
1
=
n
n=1
∑n
1
n
∞
=
n=1
∑n
1
3 2
n
∞
n=1
1
∑n
α
( - 1) n n (α > 1) 绝对收敛 . ( 1 + n) + ( - 1) n n 2
例 3 判别级数
∑n ( 1 +
( - 1) n 的敛散性 . n n) + ( - 1) n
n
解 取 un = n , v n =
n →∞
n , 显然有{ un } 单调递增 , un > 0 , v n > 0 ,
n →∞
∑
( - 1) n v n n 2 绝对收敛 . u n + un v n + ( - 1 ) v n vn vn 1 = 0 , 当级数 均收 2 和 n →∞ u n n=1 un n = 1 un v n
∞ ∞
定理 3 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , lim un = + ∞, lim 敛时 , 级数
,
由此可 知 , 级 数
∞
n=1
∑
2
( - 1) n v n n 2 的收 敛性取 决于 级数 u n + un v n + ( - 1 ) v n
∞
n=1
∑u
n
( - 1) n n 2 和级 + un v n + ( - 1) v n
数
n=1
∑u
2
n
vn vn n = 0 , 可知当 n → ∞时 , un + ( - 1) v n > 0 , 则 2 2 是否收敛 . 因为 lim n →∞ ( ) un + un v n + - 1 u n v n
∞
31
级数
n=1
∑
( - 1) n u n + v2 ( - 1) n n 的敛散性便由级数 n 2 n 2 的敛散性决定 . 因 u n [ un + un v n + ( - 1 ) v n ] n = 1 u n + un v n + ( - 1) v n
∑
lim
∞
n →∞
n 2 un v n + ( - 1 ) v n
收敛 . 根据定理 3 知 , 级
数
n=1
∑
( - 1) n n 收敛 . n n ( 1 + n) + ( - 1 ) n
n
的敛散性 .
解 取 un = n , v n =
n →∞
n , 显然有{ un } 单调递增 , un > 0 , v n > 0 ,
n →∞ n →∞
lim un = lim n = + ∞, lim
∞
vn n 1 = lim = lim = 0, n →∞ n n →∞ un n
∞
且级数
∑
∑
n=1
∑u
n
( - 1) n v n n 2 收敛 . + un v n + ( - 1 ) v n
∞
n →∞
证明 1) 由{ un } 单调递增 , 及lim un = + ∞, 得级数