湘教版高中数学选修3-1：李冶、朱世杰的天元术

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李治与天元术

李治与天元术李治与天元术口李先耕金元之际着名的数学家李治①(11921279)是天元术(建立方程的方法)大家.吴文俊院士主编的《巾围数学史大系》(后文简称《大系》,北京师范大学出版社,1998)说,李治"是13世纪,也是中国历史上着名数学家之一".着名科学史家美国人萨顿写道,李治"是金元时代中国最伟大的数学家之一".李治的成就是与其家庭及时代影响分不开的.李治生于金明昌j年,是真定栾城(今河北栾城县)李通的次子.真定李氏据称是唐明皇之后,但"历五季宋末之乱,谱牒散失,无可考"(元好问《寄庵先生墓碑》).靖康初,其曾祖李圮从济南齐河避乱到镇州,与其子李拯以医为业.李拯次子李通,15岁继承父业,后"尽弃故学,一意读六经,学为文章".明昌二年(1l91)李通登词赋进士第,历任地①《元史》,《元代名臣事略》,(zlI西通忐》所载宋濂作的传记,《四库全书总目》,《醑宋楼藏书志》等均作李冶.《中同数学史大系》,柯劭志《新7亡史》则认为,李冶原名治,后改为冶.改名之说,不见诸文献,只是一种猜测.清人施I14祁《占贝居杂记》云:"《遗山集.寄庵碑》:'先生子男了人,长曰澈,方山捕分窑治官,刘出也.次日治,自幼有文章重名,正大中收世科,征事郎,长陵主簿,王出也.次H滋,崔出也.'则仁卿名'治'无可疑者,且与字义正台.自此碑外.所见书咒不作冶'者,不知其讹自何始.''缪荃孙《敬斋占今蛀》跋,再跋,余嘉锡《四库提要辩证》皆论证应为治.木文依照施,缨,余说及《遗IlI集》作李治120古代科技漫话方与朝中官员.曾与奸臣胡沙虎进行过坚决斗争.胡沙虎之乱的当天, 李通就"以疾告径归阳翟,筑屋颍水之上,名之日'寄庵',因以为号",从此隐居将近二十年.兴定元光之间(1217—1224),66岁的李通在隐居处逝世.在李通任大兴推官期间.为预防不测,他把家小送回故乡栾城,而少年李治却独自到相邻的元氏县求学.《元名臣事略》记载说:"公幼读书,手不释卷,性颖悟,有成人之风."受父亲的影响,李治为人正直好学.成年后"与河中李钦叔,龙山冀京甫,平晋李长原为同年发.屏山李先生令代作墓铭数篇,一夕而就.屏山大加赏异".李治不仅攻读经史,而且重视数学,历算等实践技能.他说"予自幼喜算数"(《测圆海镜自序》);"积财千万,不如薄技在身"(《敬斋古今妊》);"术数虽居六艺之末,而施之人事,则最为切务"(《益古演段自序》).他的老师之一杨云翼就曾参与历法修订工作,对李治的数学才能也极为推重.正大七年(1230),38岁的李治赴洛阳应试,考中词赋进土,调高陵簿,当时蒙古军已攻入陕西,所以他没能赴任.于是调任推知钧州事.当时蒙古军大举进攻,当地调度频繁,李治主管出纳,物品出入"无圭撮之误".壬辰(1232)正月,均州城被蒙古大军攻陷,李治微服北渡,避难在山西忻县,崞县一带.尽管环境极其艰苦,"人所不能堪,公处之自若".金哀宗天兴年(1234).金朝灭亡.42岁的李治从此一心问学,特别是专研数学.在他隐居于晋北峰山(今山西峰县)的桐川期间,生活艰辛.为了筹集从事工作和生活的费用,不得不到处奔跑,求助于太原,平定等地的在职官吏这时李治所从事的研究T作是多方面的.除了经学,文学之外,还包括数学,天文,医学.他的同代人砚坚在《益古演段序》中说他"世间书凡所经见,靡不洞究,至于薄物细故,亦不遗焉".其门生集贤焦公所撰《敬斋文集序》说李治"是后由崞而之太原,之平定,之元氏, 流离顿挫.亦未尝一日废其业.手不停披,口不绝诵,如是者几五十年.先生之于学.其勤至矣!"李治对数学的兴趣最大,他的数学名着《测圆海镜》的写作就是在这段时间进行的.1251年左右,李治的经济情况已经好转,离开了避难的地方,回到他少年求学的元氏.并在封龙山下买下一些田产,维持生活并授徒讲12l慧和诫学.《山西通志》介绍"龙山胜迹"时引《明一统志》云:"金末李治(原作冶),元好问,张德辉,尝游此山,号为龙山三老."而《畿辅通志》说:"封龙书院,在元氏县西北封龙山下.相传汉李躬授业之所.唐郭震,宋李畴,张蟠叟,元李治,安熙皆讲学于此."李治在封龙书院不仅传授文学,也讲授数学以及其他知识.他最后完成的《益古演段》就在普及传授"天元术"上有重大意义.在蒙古进攻南宋前一年,忽必烈作为王位继承人.听说了李治的贤名,派人召见,并向他请教如何治理天下.李治回答说:"夫治天下,难则难于登天,易则易于反掌.盖有法度则治,控名责实则治,进君子,退小人则治——如是而治天下岂不易于反掌乎!无法度则乱,有名无实则乱,进小人,退君子则乱——如是而治天下岂不难于登天乎!"李治尖锐地批评了当时的政治局面,认为从大小官员到民众,"皆自纵恣,以私害公,是无法度也.有功者未必得赏,有罪者未必被罚.甚则有功者或反受辱,有罪者或反获宠,是无法度也.法度废,纪纲坏,天下不变乱已为幸矣"!在回答有关地震的问题时,李治借机指出其政治黑暗的情况:"今之地震,或奸邪在侧,或女谒盛行,或谗慝交至,或刑罚失中,或征伐骤举,五者必有一于此矣."(《元名臣奏议》)后来元世祖继位,征召李治,授予翰林学士,但李治"以老病恳求还山.至元二年(1261),再以学士召,就职期月,复以老病辞去,卒于家.年八十八.所着有《敬斋文集》四十卷,《壁书蘖削》十二卷,《泛说》四十卷,《古今难》(即《敬斋古今蛀》——引者注,下同)四十卷,《测圆海镜》十二卷,《益古衍疑》(即《益古演段》)三十卷"(《元史》).今存者仅《测圆海镜》,《益古演段》,《敬斋古今粒》以及一些零散诗篇.李治由金入元,他"在金则为收世科之后劲".入元"已五十有一岁矣",应该"与王滹南,李庄敬同为一代之遗民".李治家庭原来学医.后来他又从事数学研究,而金代恰恰在这两类学术_T作上取得了前所未有的成绩.这也说明了金代对实用科学技术的重视l22众所周知,中国传统数学是以算筹进行计算的.筹式本身就具有古代科技漫话代数符号的性质.中算家善于创造出精微的算法求得问题的答案.中国数学家很早就从事解方程的工作.从《九章算术》开始,解方程的方法在不断完善:到北宋的"增乘开方法",已经能够解任何次的方程了.但列方程却缺少一个普遍适用的方法,天元术就是适应这一要求而出现的.《中国数学史大系》根据祖颐《松庭先生四元宝鉴后序》与李治《敬斋古今蛀》卷3的记载,指出了天元术从7世纪王孝通《辑古算经》非常吃力地列出三次方程算起,经约600年而逐步完善的过程.其中平阳(今山西临汾)蒋周于1080年撰写的《益古集》是很重要的阶段,它应用"条段法"来列方程.平水(今山西临汾)刘汝楷于1170年左右撰写的《如积释锁》则发现了列方程的规律性.这"是一部代数专着,是初创天元术的代表作",书中给出了从负9到正9次幂的系数名称.后来绛(今山西绛县)人元裕约于1190年对此加以简化,只有天,地,人三个名称.其后太原彭泽则约于l230年把天,地调换位置来列方程.而李治最终只要天元.即"立天元一为某某",这是天元术完善的标志.《大系》把王孝通至朱士杰这些对天元术有贡献的数学家列成了一个《天元术发展年代表》,然后指出:"从作者所在地来看.都是今山西,河北.尤其是从太原到临汾一带形成了天元术研究中心.前后百年左右,在这方面做出了重大贡献."旦下面我们简要介绍一下李治的代表作《测圆海镜》,它是以天元复.术来解决"勾股容圆"问题的,也就是用列方程的代数方法来处厶理与直角三角形内切圆有关几蓠何问题的.《测圆海镜》开篇第一卷的圆城图式是全书论证的出发点.背这里有一个直角j角形及其内切圆,然后用四对互相垂直123瑟和试的平行线,构成16个直角三角彤,并通过"总率名号"给出图中各个角形的命名.然后"识别杂记"阐明了各个直角三角形边长及其与圆径的关系,其首的"诸杂名目"等包含了推导后面各个命题的基本理论.识别杂记实际是全书的总纲,共600馀条.每条可看作一个定理或公式,这部分内容是对中国古代勾股容圆问题的总结.卷2到12为习题, 共170题.卷2是基本问题,其馀则是不同类别的问题.全书基本上是一个演绎体系,卷1包含了解题所需的基本理论,后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导m来.本书求解的方法共三步:首先就是"立天元一".这就相当于今天的设未知数X;然后寻找两个等值并至少有一个是含天元的多项式或分式;最后建立方程,并相消成标准式.《四库全书总目提要》指出:李治"《测圆海镜》所设一百七十问中, 皆有草有法.草(案前数十题中甚易者或无草.后皆有草)用立天元一为虚数,合问数推之.法专用问数推之,皆归于带纵诸乘方而止":"草者法之本,法者草之用".这里的草即设未知数以列出方程的具体数字,法就是一般的义字叙述."带纵诸乘方"即解高次方程的方法.书中李治多次利用天元术列高次方程,《大系》指出"书中有2l题列出三次方程,13题列f}J四次方程,还有一题列出六次方程."李治所列方程各项没有正负数的限制,这是一个进步.他还列了分式方程,并进行求解,即通过方程两边同乘一个整式的方法,化分式方程为整式方程的.在解方程中,李治采用代数方法来降低方程次数.总之,李治在设立方程与解方程过程,较之天元术的先辈们大大简化了.南于电脑字库中没有算筹的表达式,所以我们无法将原书典型例题复述.有兴趣的读者可参看白尚恕的《测圆海镜今译》(山东教育出版社,1985)以及其他着作李治不仅在天元术的完善上做出了巨大贡献,而且在数学教育与天元术的普及上也做了许多丁作.他写的《益古演段》就是这方面的代表.演即推演,段是条段.它是在蒋周《益古集》条段法求解的基础上发124展为天元术列方程.《益古集》中问题多是已知平面图形的面积,求圆径,方边或周长.蒋氏的条段法是"以方圆移补成编".即是从几何的出人相补原理出发,通过拼补图形来寻找等量关系以求得答案.这一方法可以上溯到《九章算术》的勾股容圆问题,到了蒋氏手中已经比较熟练了.而李治一方面列出了蒋氏的几何方法,另一方面又"立天元一".采用天元术设方程求解.全书64题,每题分法,依条段求之,条段图,义四部分.法即天元术之法,"依条段求之"就是用旧有的几何图形拼补的条段法来解释天元术.图即对方程数字的几何图示.义则是其文字说明.李治自己说,"移补条段.细翻图式,使粗知十百者便得人室啖其文".也就是说,他把代数与几何结合,图文并茂,使许许多多不了解天元术的人能够登堂入室,学会天元术.也正如砚坚序中所说的那样,学者"披而览之,如登坦途,前无滞碍".在《益古演段》中,李治用以旧代新的方法普及天元术.但书中也表明了李治的数学创新,那就是化多元问题为一元问题,以及设辅助未知数的方法.书中题目的未知数往往不止一个,传统应该根据未知数的数目列出联立方程组来求解.而李治并没有列方程组.他运用传统的出入相补原理和各种等量关系来减少未知数个数,最后只"立天元一"这一个未知数.而求出"天元一",就可以根据与天元一的关系求其他要求的量了.设立辅助未知数的方法,李治称为"连枝同体术".即把辅助未知数看成原方程联为一体的分支.这为方程变形提供了一个有力工具四李治的《测圆海镜》自序写于戊申秋九月晦日,即1248年农历九月二十九日.但我们知道最早的版本是1282年(已佚).它标志天元术的成熟.此后,王恂,郭守敬(1231—1316)在编《授时历》时,便用天元术求周天弧度,沙克什则用天元术解决水利T程中的问题,都收到了良好效果.天元术很快发展为二元术,元术,以至朱世杰的四元术,成为我国传统数学的一次高潮.但到了明代,天元术竞湮没无闻.《四库》收有明顾应祥的《测圆海镜分类释术》,《提要》说:"应祥得治书于庸顺l25和茂之,于'立天元一'语互相推求,不得其解.遂去其细草,专演算法,改为是书.自谓便于下学,殊不知'立天元一'之妙.能使诸法不能求者可以得其法若无其草.即治已有不能得其法者,而徒沾沾于加减开方之数,可谓循枝叶而失本"《提要》又指出立天元一法,见于宋秦九韶《九章大衍数》以及《授时草》,《四元玉鉴》等书.而《测圃海镜》说得最为详细, 因此"其关乎数学者甚大.然自元以来.畴人皆株守立成.习而不察,至明遂无知其法者.故唐顺之与顾应祥书,谓立天元一.漫不省为何语".顾,唐二人的不理解说明"是书虽存,而其传已泯矣"!明万历中西方数学传人中国,利玛窦与徐光启,李之藻等还是不理解立天元一法.直到清康熙年间,梅毂成才知道西洋借根法就是"立天元一"的方法.并在《赤水遗珍》中详细解释.这一本"当时世界上水平最高的代数着作"(《大系》语)才重见天日.20世纪初,西方学者才开始从数学史的角度来研究它,后来巴黎大学的林力娜以《测圆海镜》研究为题的博士论文通过答辩.在国内对李治的研究也有许多成果,如1985年,白尚恕的《测圆海镜金义》出版;1988年,孑L国平的《李治传》出版;1992年,栾城县举办了李治诞辰800周年的纪念会.李治已被公认为金元时期最伟大的数学家之一,也是中国乃至世界的文化名人.※※※※※※大房山皇陵埋葬的金代皇帝.金国建国前的始祖以下10帝均迁葬于大房山陵:始祖函普.葬光陵;德帝乌鲁,菲熙陵;安帝跋海,葬建陵;献祖绥可,葬辉陵;昭祖石鲁,葬安陵;景祖鸟古乃,葬定陵;世祖劫里钵,葬永陵;肃宗颇剌淑,葬泰陵;穆宗扬割,葬献陵;康宗乌雅柬. 葬乔陵金朝丸帝除宣宗葬汴京(河南开封),哀宗葬蔡州(河南浊南县),太祖至卫绍王7位帝王均葬于大房山麓,太祖葬睿陵,太宗葬恭陵.熙宗葬思陵.世宗葬兴陵,章宗葬道陵,海陵王,卫绍王两位皇帝死后被削去帝号,故葬所无陵号.金朝追封4帝,3位迁葬大房山陵;海陵父德宗葬顺陵;世宗父睿宗葬景陵;章宗父显宗葬裕陵;熙宗父徽宗葬上京会宁府(今黑龙江省阿城市).没有迁葬大房山的记载.(作者:黄秀纯熊永强陈亚洲摘自《北京文博)2006年第3期)l26。

1.《九章算术》-湘教版选修3-1教案

1.《九章算术》-湘教版选修3-1教案1. 教学目标本课程旨在使学生掌握九章算术中的基本概念、计算方法和应用技巧，同时培养学生解决实际问题的能力，提高数学素养。

2. 教学重点学生应重点掌握以下内容：- 九章算术的基本概念- 算盘的使用方法- 矩形面积的计算方法- 线性方程组的应用- 分式运算的方法3. 教学难点学生应重点理解以下难点：- 算术问题的转化为数学运算问题- 分式运算的理解和应用- 线性方程组的解法4. 教学方法本课程采用以下教学方法：- 讲解：老师对九章算术的含义、思想和应用进行讲解。

- 观摩：展示九章算术的应用案例，让学生了解算术在实际问题中的作用。

- 实践：通过练习和应用九章算术解决实际问题，培养学生的数学计算能力。

5. 教学内容5.1 九章算术的基本概念九章算术是中国古代的数学著作，是我国先进的代数和几何学的基础。

其中包括了加减乘除、开平方、幂、根等运算，以及一些经典的解方程和求面积的算法。

5.2 算盘的使用方法算盘是中国古代计算工具，九章算术中的计算方法和技巧可以通过算盘进行演示和实践，让学生更好地理解和掌握算术知识。

5.3 矩形面积的计算方法九章算术中提出了求矩形面积的方法，该方法被广泛应用于各个领域的数学问题中，如图形面积、体积、水平面积等。

5.4 线性方程组的应用九章算术中提出了解线性方程组的方法，该方法被广泛应用于各个领域的实际问题中，如经济学、物理学、工程学等。

5.5 分式运算的方法九章算术中提出了分式运算的方法，该方法被广泛应用于各个领域的实际问题中，如经济学、金融学、物理学等。

6. 教学评价本课程将通过练习题、考试和实际应用场景进行评价，重点考察学生对九章算术的理解和运用能力。

并通过学习成果，提高学生的数学素养和实际应用能力。

7. 总结本课程旨在教授学生九章算术的基本概念、计算方法和应用技巧，同时培养学生解决实际问题的能力，提高数学素养。

通过本课程的学习，学生将能够掌握九章算术中的基本概念和理论，以及能够运用九章算术解决实际问题的能力。

初中数学数学名师李冶

李冶李冶字仁卿，号敬斋．真定府栾城(今河北栾城)人．金明昌三年(1192年)生于大兴(今北京大兴)；元至元十六年(1279年)卒于河北元氏．数学．李冶的父亲李遹是位博学多才的学者，曾在大兴府尹胡沙虎手下任推官，母亲姓王．李冶有两个同父异母的弟兄，兄名澈，刘氏所生；弟名滋，崔氏所生；还有两个同胞姐妹．李冶原名治，后来发现与唐高宗相同，于是减去一点，改为冶．李冶出生的时候，金朝正由盛而衰．章宗即位(1190)后，官僚政治日趋腐败．由于管理不善，酿成了连年水灾．再加上对外战争及任意挥霍，金朝出现了财政危机，于是滥发纸币，致使物价飞涨，国虚民穷．泰和八年(1208)，金章宗病死，卫绍王允济即皇帝位．这时蒙古军队加紧向金朝进攻，腐朽的金朝内已潜伏着亡国的危机．李遹的上司胡沙虎是一个深得朝廷宠信的奸臣，“声势炎炎，人莫敢仰视”，动辄打骂同僚，欺压百姓，甚至“虐杀不辜”．李遹见他无恶不作，常常据理力争，置个人生死祸福于度外．只因为官谨慎，才免遭毒手．李遹为了防备不测，便把老小送回故乡栾城．这时李冶正是童年，他没有随家人回乡而独自到栾城的邻县元氏求学去了．至宁元年(1213)，由于胡沙虎篡权乱政，李遹被迫辞职，隐居阳翟(今河南禹县)，从此不再过问政事．他吟诗作画，在当地颇有名声．父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响．在李冶看来，学问比财富更可贵．他说：“积财千万，不如薄技在身”，又说：“金璧虽重宝，费用难贮蓄．学问藏之身，身在即有余．”他在青少年时期，对文学、史学、数学、经学都感兴趣，曾与好友元好问外出求学，拜文学家赵秉文、杨云翼为师，不久便名声大振．正大七年(1230)，李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进土，时人称赞他“经为通儒，文为名家”．同年得高陵(今陕西高陵)主簿官职，但蒙古窝阔台军已攻入陕西，所以没有上任．接着又被调往阳翟附近的钧州(今河南禹县)任知事．开兴元年(1232)正月，蒙古军队攻破钧州．李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河，走上了漫长而艰苦的流亡之路．这是他一生的重要转折点，将近50年的学术生涯便由此开始了．李冶北渡后流落于山西的忻县、崞县之间，过着“饥寒不能自存”的生活．一年以后(1233)，汴京(今河南开封)陷落，元好问也弃官出京，到山西避难．1234年初，金朝终于为蒙古所灭，李冶与元好问都感到政事已无可为，于是潜心学问．李冶经过一段时间的颠沛流离之后，定居于崞县的桐川．这时，他已年过40了．金朝的灭亡使他不再为官，他虽然生活艰苦，但有充分的时间进行学术研究．他的研究工作涉及数学、文学、历史、天文、哲学、医学．与李冶同时代的砚坚说他“世间书凡所经见，靡不洞究，至于薄物细故，亦不遗焉”．但他认为“数术虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务”，于是把主要精力用于数学．他于1248年写成代数名著——《测圆海镜》12卷．后来到太原住了一个时期，藩府官员曾请他出仕，但他谢绝了．后来，他又流落到平定，平定侯聂硅很尊重他，把他接到自己的帅府来住．他却“私心眷眷于旧游之地”，怀念着少年求学时的元氏．1251年，李冶的经济情况已经好转，他终于结束了在山西的避难生活，回元氏定居．他在封龙山下买了一点田产，以维持生活，并开始收徒讲学，从事数学教育活动．李冶的学生越来越多，家里逐渐容纳不下了，于是师生共同努力，在北宋李遹读书堂故基上建起封龙书院．李冶在书院不仅讲数学，也讲文学和其他知识．他呕心沥血，培养出大批人才，并常在工作之余与元好问、张德辉一起游封龙山，被称为“龙山三老”．1257年，忽必烈召见金朝遗老窦默、姚枢、李俊民等多人，又派董文用专程去请李冶，说：“素闻仁卿学优才赡，潜德不耀，久欲一见，其勿他辞．”是年五月，李冶在开平(今内蒙古正蓝旗)见忽必烈，陈述了自己的政治见解：“为治之道，不过立法度、正纪纲而已．纪纲者，上下相维持；法度者，赏罚示惩劝．”在谈到人才问题时，他说：“天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳．”最后，他向忽必烈提出“辨奸邪、去女谒、屏馋慝、减刑罚、止征伐”五条政治建议，得到忽必烈的赞赏．李冶会见忽必烈之后，回封龙山继续讲学著书，于1259年写成另一部数学著作——《益古演段》．1260年，忽必烈即皇帝位，是为元世祖．第二年七月建翰林国史院于开平，聘请李冶担任清高而显要的工作——翰林学士知制诰同修国史．但李冶却以老病为辞，婉言谢绝了．从时代背景及李冶思想分析，他拒绝应聘的原因有二．第一，蒙古统治者没有接受李冶“止征伐”的建议，而是大举攻宋，从而引起李冶不满；第二，忽必烈初登帝位，其弟阿里不哥不服，起兵反抗，蒙古统治区陷入连年内战．李冶是不愿在这种动荡的局势下作官的．他说：“世道相违，则君子隐而不仕．”忽必烈降服阿里不哥、平定蒙古内乱后，再召李冶为翰林学士知制诰同修国史．李冶于至元二年(1265)来到燕京(今北京)，勉强就职，参加修史工作．但他不久便感到翰林院里思想不自由，处处都要秉承统治者的旨意而不能畅所欲言．因此，他在这里工作一年之后便以老病辞职了．李冶是个追求思想自由的人，尤其不愿在学术上唯命是从．他说：“翰林视草，唯天子命之；史馆秉笔，以宰相监之．特书佐之流，有司之事，非作者所敢自专而非非是是也．今者犹以翰林、史馆为高选，是工谀誉而善缘饰者为高选也．吾恐识者羞之．”李冶辞职后一直在封龙山下讲学著书．他在晚年完成的《敬斋古今黈(音tǒu)》与《泛说》是两部内容丰富的著作．《泛说》一书今已不存，据《元朝名臣事略》中的几段引文及书名来看，这是一本随感录，记录李冶对各种事物的见解．《敬斋古今黈》则是一本读书笔记，“上下千古，博极群书”，在文史方面颇有独到见解．另外，李冶作过不少诗，其中有五首保存在《元诗选癸集》中．从这些诗来看，李冶的文学造诣相当深．李冶还著有《文集》40卷与《璧书丛削》12卷，均已失传．李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》．他在弥留之际对儿子克修说：“吾平生著述，死后可尽燔去．独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者．庶可布广垂永乎？”李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的．这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植．李冶用自己的辛勤劳动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树．天元术是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”与今“设x为某某”是一致的．在中国，列方程的思想可追溯到《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念．到唐代，王孝通已能列出三次方程，但他不懂天元术，完全用几何方法推导方程，所以需要高度技巧，不易被一般人掌握．实际上，宋代以前的方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数通常是表示面积、体积等几何量的；方程次数不高于三次，因为高于三次的方程就难于找到几何解释了．经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题被基本解决．随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种一般的、能建立任意次方程的方法，天元术便应运而生了．但在李冶之前，天元术还比较幼稚，记号混乱，演算烦琐．从稍早于《测圆海镜》的《钤经》(石信道撰)来看，天元术的作用十分有限，因为数学家们的思维方式基本上是几何的，只是在用几何方法无法计算时，才偶尔用一下天元术．李冶致力于创造一种简便的、适用于各种问题的列方程方法，他认识到，只有摆脱几何思维束缚，建立一套不依赖于具体问题的固定程序，才能实现上述目的．在洞渊、石信道等天元术先驱的工作基础上，他终于总结出一套简单明确的列方程程序：首先立天元一，这相当于设未知数x；然后寻找两个等值的而且至少有一个含天元的多项式；最后把两个等值多项式联为方程，通过“相消”，化成标准形式anxn+an-1xn-1+…+a0=0．李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作．该书把勾股容圆(切圆)问题作为一个系统来研究，讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题．卷一的圆城图式是全书出发点，书中170题都和这一图式有关．为了叙述方便，我们在各勾股形直角顶点处标上数字(图1)．卷一的另一部分“识别杂记”阐明了各勾股形边长之间的关系及其与圆径的关系．识别杂记共600余条，每条可看作一个定理(或公式)，其中最重要的是下面十个圆径公式：(D表直径，r表半径，a，b，c表勾、股、弦)(5)r2=b2×b15， (6)r2=a14×a3，(7)D2=b4×a5， (8)r2=b7×a8，(9)r2=(c14+b14)(c15+a15)，(10)r2=(c14+a14)(c15+b15)．卷二及以后各卷都是算题．下面以卷四第六问为例，说明李冶怎样用天元术解题．左边是原文，右边是译文．(原草为一整段，这里为叙述方便，分成若干段．)由于摆脱了几何思维束缚，李冶在方程理论上取得许多进展：第一，改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义．例如，卷六第四问所得方程为-x2-72x+23040=0，第七问所得方程为-x2+640x-96000=0，两题常数项的符号恰好相反．实际上，《测圆海镜》中方程各项的符号均无限制，这是代数学的一个进步．第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程．书中170题，有19题列出三次方程，13题列出四次方程，还有一题列出六次方程．在李冶这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方也并非代表体积．第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程．第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数．当方程各项含有公因子xn(n为正整数)时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数．这一作法相当于用xn去除方程各项．在《测圆海镜》中，李冶采用了从○到九的完整数码．除○以外的九个数码古已有之，是筹式的反映．但筹式中遇○空位，没有符号○．从现存古算书来看，李冶《测圆海镜》与秦九韶《数书九章》是最早使用○的两本算书，它们成书的时间相差不过一年．另外，李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法．李冶的负号与现在不同，是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位有效数字上，如-175记作| ，-360记作○．在李冶之前，小数记法多用数名，如 7.59875尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝．李冶则取消数名，完全用数码表示小数，纯小数于个位处写○，带小数于个位数下写单位，如0.25记作○= ，5.76记作．这种记法在当时算是最先进的．西方直到16世纪，小数记法还很笨重．例如比利时数学家S．斯蒂文(Stevin)在1585年发表的著作中，把每位小数都写上位数，加上圆圈，如27.847写作27◎8①4②7③，这种记法显然不如李冶的记法简便．直到17世纪，J．纳皮尔(Napier)发明小数点后，小数才有了更好的记法．至于负号，在国外是德国人于15世纪首先引入的．由于李冶掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符号表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌．但这时仍缺少运算符号，尤其是缺少等号．这样的代数，可称为“半符号代数”，它是近代符号代数的前身．大约300年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了．《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上也有创新．全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定理、公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来．李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章(卷)内容大体上平列．李冶以演绎法著书，这是中国数学史上的一个进步．《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响．元代王恂、郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度．不久，沙克什用天元术解决水利工程中的问题，收到良好效果．元代大数学家朱世杰说：“以天元演之、明源活法，省功数倍．”清代阮元说：“立天元者，自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也．”《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作，但内容较深，粗知数学的人看不懂．而且由于理学思想的影响，数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢．李冶深刻认识到天元术的重要性，于是便在封龙山教学的同时，着手写一部普及天元术的著作．李冶曾读过北宋数学家蒋周的《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方法则是几何的．李冶用天元术对此书进行研究，写成《益古演段》3卷．如果说《测圆海镜》是为数学家写的，那么《益古演段》就可能是为他的学生写的．《益古演段》全书64题，处理的主要是平面图形的面积问题，所求多为圆径、方边、周长之类．除四道题是一次方程外，全是二次方程问题，内容安排基本上是从易到难．李冶在完成《测圆海镜》之后写《益古演段》，他对天元术的运用自然会更加熟练．但他却没有像前者那样，完全用天元术解题．书中新旧二术并列，新术是李冶的代数方法——天元术；旧术是蒋周的几何方法——条段法，这是一种图解法，因为方程各项常用一段一段的条形面积表示，所以得名．该书揭示了两者的联系与区别，对我们了解条段法向天元术的过渡、探讨数学发展规律有重要意义．书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证，这对于人们接受天元术是有好处的．该书图文并茂，深入浅出，不仅利于教学，也便于自学．正如砚坚序中的评价：“说之详，非若溟津黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观．”这些特点，使它成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播发挥了不小的作用．在数学理论上，《益古演段》也有创新．该书的问题同《测圆海镜》不同，所求量不是一个而是两个、三个甚至四个．按古代方程理论：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．”应该用方程组来解，所含方程个数与所求量个数一致．但解二次方程组要比解一元方程困难得多．李冶既已完善了天元术程序，便力图提高它的一般化程度，用以解决各种多元问题．他的主要方法是利用出入相补原理(即“一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系．”吴文俊语)及等量关系来减少未知数，化多元为一元，找到关键的天元一．一旦这个天元一求出来，其他要求的量就可根据与天元一的关系，很容易求出了．例如第三十五问：“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地五千七百六十步．只云从外田东南楞至内池西北角，通斜一百一十三步，其内池阔不及长三十四步．问三事(指池长、池阔及圆径)各多少？”(图2)此题欲求三数，若以方程组解之，须列出三个方程，一个可能的列法是：设圆径为x，直池长为y，阔为z，则但李冶却设法避免了联立方程．依本题法，设角斜为x，则圆径=x＋113，四圆积=3(x＋113)2=3x2＋678x+38307，所以四池积=四圆积-4×5760=3x2+678x+15267．(1)因为池斜=113-x，所以二池积=(113-x)2-342(2)=x2-226x+11613，所以四池积=2x2-452x+23226．(3)由(1)，(3)消得x2+1130x-7959=0．题中(2)式所用二积一较幂公式2ab+(a-b)2=a2+b2便体现了出入相补原理．这从李冶的条段图中可以看得很清楚，如图3，四勾股形全等，每个勾股形勾b股a弦c．求出角斜后，易求圆径．从圆积减去外计地，得池积，由长方形面积公式便可求出池长、池阔了．这种方法显然比解三元方程组简便．另外，李冶还在列方程时首创设辅助未知数的方法．第四十问中得到方程-22.5x2-648x+23002=0后，李冶为了使最高项系数的绝对值变为1，便作如下变形(译文)：设y=22.5x，则上式变为-y2-648y＋517545=0．开方，得y＝465，所以李冶称这种设辅助未知数的方法为连枝同体术．顾名思义，他是把辅助未知数看作与原方程连为一体的一个分枝．这种方法在代数学史上是有意义的，因为它提供了方程变形的一个有力工具．此题的另一种解法是首先“立天元一为三个内池径”，这相当于设y=3x．李冶称此法为之分术，实际也是一种设辅助未知数的方法，也能起到简化方程的作用．依法演算，得-2.5y2-216y＋23002=0．两种方法的区别在于：之分术把设辅助未知数的步骤放于题首，而连枝同体术把这一步骤用于方程变形．《益古演段》的成书，为天元术的应用开辟了更为广阔的道路．砚坚称赞此书说：“颇晓十百，披而览之，如登坦途，前无滞碍．旁溪曲径，自可纵横而通……真学者之指南也．”《测圆海镜》是天元术的代表作，而《益古演段》是普及天元术的杰作．两书相辅相成，互为表里，反映了作者既努力提高数学的一般化程度，又注意发挥其社会效益的精神．李冶死后不久，天元术理论便经过二元术、三元术、迅速发展为朱世杰的四元术．如果说在李冶手中，天元术已成为参天大树，那么在李冶之后，这棵大树便在第二代数学家的培育下，结出了四元术的累累硕果．纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模．他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟．据载，钧州城的出纳“无规撮之误”．在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官确实是难能可贵的．李冶在《敬斋古今黈》中说：“好人难做须著力”，又说：“著力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照．他同情人民，面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”．他一生热爱科学，追求自由，决不负辱求名．在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚．他虽是通儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”．当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把数学说成“九九贱技”．李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱熹的著述中“窒碍之处亦不可以毛举也”．值得注意的是，李冶的思想深受道家影响．道家崇尚自然，这无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的．老庄的自然观甚至成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器．他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，肩之轮，非圣人之所与乎？”(夷，黄帝臣名；夔，舜臣名．石，扁，均为古工匠名)这就是说，从技艺用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然规律(即“道”)来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的．如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也．……道之所在，圣人尊之”联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的．很明显，他认为数学这种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重．李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可．何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存．夫昭昭者，其自然之数也．非自然之数，其自然之理也．”李冶的这一思想，也可以从老庄学说找到渊源．庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形．”老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，夫莫之命而常自然．”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已．苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣．”李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽强的科学研究．他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要为衣食而奔波．但他却以著书为乐，从不间断自己的工作．他的学生焦养直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”．另外，他还善于去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深．”这些优良品质，都是李冶在学术上取得杰出成就的重要原因．李冶时代，数学不受重视．但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯或者当百数，其笑我者当千数．乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而且致力于传徒授业，对学生循循善诱．后人盛赞李冶“导掖其秀民，仁之至也．其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”(文正为李冶谥号)．李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念着．。

湘教版高中数学选修3-1：罗素悖论和哥德尔不可判定性定理

不完备性定理
• 第一不完备性定理 • 任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形
式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
不完备性定理
• 第二不完备性定理 • 如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它
的无矛盾性德尔
• 该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。
• 哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
三、罗素悖论
• 理发师悖论与罗素悖论是等价的： • 因为，如果把每个人看成一个集合，
罗素悖论和哥德尔不可判定性定理
新课导入
• 看到这个故事你会想到哪个人？ • 一位乡村理发师，宣称他不给村子里
任何自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。有人问：“理发师先生，你自己刮脸吗？”
一、罗素
• 伯兰特·罗素（1872年5月18日－1970年2月2日）是二十世纪最有影响力的哲学家、数学家
和逻辑学家之一，同时也是活
跃的政治活动家，并致力于哲
学的大众化、普及化。无数人
将罗素视为这个时代的先知，
而与此同时罗素的许多政治立
场却又是十分有争议性的。 1950年，罗素获得诺贝尔文学奖。
二、哥德尔
• 哥德尔是德国著名数学家，不完备性定理是他在1931 年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。
这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

数学家李冶的故事

数学家李冶的故事1251年，史天泽驻守真定，他兴教育，劝农桑，广纳贤士。

在秋高气爽的暮色中，一位59岁的儒士在学子们的簇拥下踏上了真定路栾城县的故土，他就是金元之际最伟大的数学家李冶。

一李冶家学深厚，博览群书，兼修文学、史学、数学、经学。

时人称赞他“经为通儒，文为名家”。

李冶（1192～1279），字仁卿，号敬斋，元代真定路栾城县（今石家庄市栾城区）人。

他出生的年代，正是金朝由盛而衰的历史时期。

李冶父亲李？是位博学多才的学者，在大兴府尹胡沙虎手下任推官，母亲姓王。

泰和八年（1208年），蒙古成吉思汗的军队开始向金朝进攻。

李？的上司胡沙虎是金朝臭名昭著的大权奸，“声势炎炎，人莫敢仰视”，动辄打骂同僚，甚至“虐杀不辜”。

李？常据理力争，置个人生死祸福于度外。

但行走于虎狼之室，不得不小心。

他为防不测，把妻儿送回故乡栾城。

少年李冶，就到栾城邻县元氏封龙书院求学。

至宁元年（1213年）胡沙虎篡权乱政，李？被迫辞职，隐居阳翟（今河南禹县），从此不再过问政事。

吟诗作画，颇有名声。

父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响。

李冶儿时本名李治，为什么改名李冶？后世有两种解读。

一说李冶成年后熟读史书，感慨唐高宗李治助长武则天专权，导致大唐沦为武周，耻与李治同名，故改名李冶。

一说金朝曾推崇儒学，禁止平民和古代帝王同名，李冶就把李治减去一点，改名叫李冶。

李冶自幼聪敏，博览群书，兴趣广泛，对文学、史学、数学、经学都很感兴趣。

《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。

”李冶常说：“积财千万，不如薄技在身。

”又说：“金璧虽重宝，费用难贮储。

学问藏之身，身在则有余。

”他年轻时曾与好友元好问一起外出求学，拜文学家赵秉文、杨文献为师。

正大七年（1230年），李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，一举成名，时人称赞他“经为通儒，文为名家”。

二国破家亡的命运，使李冶决绝了仕途，潜心研究学问。

李冶得中进士，本是走向成功的标志，同年踏进仕途，被授予高陵（今陕西高陵）主簿，但此时金王朝已日薄西山，而崛起于草原的蒙古汗国已日渐强大，成吉思汗之子窝阔台即位后，出兵攻入陕西，李冶任职属地被蒙古军队占领，所以，他被调往钧州（今河南禹县）任知事。

第三节李冶

第三节李冶一、李冶生平李冶(1192—1279)，金元之际数学家．字仁卿，号敬斋，真定府栾城县(今河北栾城)人．李冶生于大兴(今属北京)，父亲李遹为大兴府推官．李冶自幼天资明敏，喜爱读书，曾在元氏县(今河北元氏)求学，对文学、数学、经学都感兴趣．正大七年(1230)在洛阳考中词赋科进士，出任钧州(今河南禹县)知事，为官清廉、正直．开兴元年(1232)，因钧州城被蒙古军队攻破，李冶北渡黄河避难，定居于崞山(今山西崞县)之桐川．李冶在桐川的生活十分艰苦，不仅居室狭小，且常不得温饱，要为衣食而奔波．但他却在这里进行着顽强的学术研究．正像他的学生焦养直所说“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”．李冶的研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学．他不仅博览群书，而且善于去粗取精，批判地接受前人知识．他说：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深．”李冶在实践中逐渐认识到：“数术虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务．”于是潜心数学．他指出：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可．何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存．”他认为数来源于自然，所谓“昭昭者”，乃是数中的“自然之理”，“苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣．”他在桐川得到洞渊算书，内有九容之说，专讲勾股容圆(即切圆)问题．于是，他便以洞渊九容为基础，讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，于1248年写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就．1251年，李冶结束避难生活，回元氏县封龙山定居，并收徒讲学．1257年，他在开平(今内蒙古正蓝旗)接受忽必烈召见，提出一些开明的政治建议．1259年，李冶写成另一部数学著作《益古演段》．至元二年(1265)，李冶应忽必烈之聘，赴京(即中都，今北京)担任翰林学士知制诰同修国史官职，因感到在翰林院思想不自由，第二年辞职还乡．晚年又著《敬斋古今黈(音tǒu)》、《泛说》等书．至元十六年(1279)病逝于元氏．二、《测圆海镜》《测圆海镜》是现存最早的一部以天元术为主要内容的著作．天元术虽在北宋已经产生，但直到李冶之前还不成熟，记号混乱、复杂，演算烦琐，甚至不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂．李冶致力于改进天元术，使之简便而实用．《测圆海镜》就是他长期研究天元术的成果．《测圆海镜》卷一的圆城图式是全书出发点．该图以一个直角三角形及其内切圆为基础，通过若干互相平行或垂直的直线，构成16个直角三角形(图8．6)．书中题目都是已知某些三角形边长，求圆径．卷一的“识别杂记”阐明了各勾股形边长及其与圆径的关系，共600余条，每条可看作一个定理或公式，这部分内容是对中国古代勾股容圆问题的总结．卷二到十二为习题，共170题．全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的基本理论，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来．李冶的天元术分为三步：首先“立天元一”，这相当于设未知数x ；然后寻找两个等值的且至少有一个含天元的多项式(或分式)；最后把两个多项式(或分式)连为方程，通过相消，化成标准形式a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x+a0＝0．李冶称方程式为天元式，在《测圆海镜》中采用由高次幂到低次幂上下排列的顺序，式中只标“元”或“太”一个字，元代表一次项，太代表常数项，负系数加一斜线，零系数标数码○．例如-x 2＋320x －132800＋13056000x -1＝0和 -414x 2＋478584＝0分别写为图8．7和图8．8的形式．下面以卷四第六问为例，用现代符号表出李冶的解题过程．已知：a 3＝200，c 11＝170．求：D ．解：由识别杂记，得b 15＝a 3－c 11=30．设半径为x ，则b 11=x ＋b 15＝x ＋30，a 11＝a 3-x ＝200-x ，a 1＝a 3＋x ＝200＋x ．因为△1∽△11，所以所以 D 2＝2b 10×a 11=6x 2-340x ＋12000．又因为 D 2＝(2x)2＝4x 2，所以 4x 2=6x 2-340x ＋12000．相消(相当于移项，合并同类项)，得2x 2-340x+12000＝0，即 x 2-170x ＋6000＝0．解方程，得x ＝120．所以 D ＝2×120＝240．《测圆海镜》的理论成果是巨大的．宋代以前，方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数项通常是表示面积、体积等几何量的；方程次数不高于三次，因为超过三次的方程就难于找到几何解释了．宋代天元术的产生，标志着方程理论有了独立于几何的倾向，李冶对天元术的总结，则使方程理论基本上摆脱了几何思维的束缚，实现了程序化．李冶认识到代数计算可以不依赖于几何，方程的二次项不一定表示面积，三次项也不一定表示体积．他在《测圆海镜》中改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念，常数项可正可负．书中用天元术列出许多高次方程，包括三次、四次和六次方程．李冶还处理了分式方程，他是通过方程两边同乘一个整式的方法，化分式方程为整式方程的．当方程各项含有公因子x n (n 为正整数)时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数．在《测圆海镜》中，李冶采用了从零到九的完整数码，发明了负号和一套相当简明的小数记法．其负号是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位有效数字上，如-340写作．纯小数于个位处写○，带小数于个位数下写单位，如0.25记作，5.76记作．这样，李冶的方程便可用符号表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌．但仍缺少运算符号，尤其是没有等号．这样的代数，可称为半符号代数．大约300年后，类似的半符号代数也在欧洲产生．“天元一”虽是文字形式，但它是代表各种未知数的一般的、抽象的文字，在本质上也可看作符号．另外，李冶在圆城图式中以一般性文字代表三角形顶点，与西方用字母表示几何点的作法类似．《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，不久以后，王恂、郭守敬(1231—1316)在编《授时历》时，便用天元术求周天弧度，沙克什则用天元术解决水利工程中的问题，都收到良好效果．元代数学家朱世杰曾说：“以天元演之，明源活法，省功数倍．”以《测圆海镜》为代表的天元术理论，对后世数学影响很大．李冶死后，天元术经二元术、三元术，迅速发展为四元术，成功地解决了四元高次方程组的建立和求解问题，达到宋元数学的顶峰．三、《益古演段》《测圆海镜》成书后，由于内容深奥，粗知数学者看不懂．于是，李冶便在封龙山讲学的同时，着手写一部普及天元术的著作．他曾读过北宋蒋周《益古集》，书中问题多是已知平面图形的面积，求圆径、方边或周长，李冶用天元术对此书进行研究，写成《益古演段》三卷．全书六十四题，除四题为一次方程外，余皆为二次方程．该书用人们易懂的几何方法对天元术进行解释，图文并茂，深入浅出，是一本出色的天元术入门书．《益古演段》在理论上亦有创新，主要表现在化多元问题为一元问题，以及设辅助未知数的方法．书中问题与《测圆海镜》不同，所求量不是一个而是两个、三个甚至四个．按照古代方程理论“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之”(刘徽语)，应该用方程组来解，所含方程个数与所求量个数一致．但《益古演段》中却无一个方程组．李冶在推导方程的过程中，运用传统的出入相补原理和各种等量关系来减少未知数个数，最后只剩“天元一”．一旦这个“天元一”求出来，其他要求的量便可根据与天元一的关系求出了．《益古演段》中的辅助未知数见于第四十问．在得到方程-22.5x 2－648x ＋23002＝0后，李冶说：“合以平方开之，今不可开．”因为直接对上式开方，不能得到有限小数，而且由于二次项系数较大，开方运算较繁．于是，李冶采取了设辅助未知数的方法．以现代符号表示，即设y=22.5x ，使上式变为-y 2-648y ＋517545＝0．李冶称此法为连枝同体术，它为方程变形提供了一个有力工具．。

湘教版高中数学选修3-1：中国古代数学泰斗刘徽

刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。[1]
个人成就
刘徽的数学成就大致为两方面：一是整理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：
面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见： ①割圆术与圆周率，他在《九章算术?圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 “牟合方盖”说在《九章算术开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了 “牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。方程新术在《九章算术方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。重差术
数系理论 ①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。 ②在筹式演算理论方面，先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的 “方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 ③在勾股理论方面逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

人教版高中数学选修3-1数学史选讲《中国古代数学瑰宝》

九章算术
《九章算术》成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的一本数学著作。它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前 213年）之前，至少已有原始的本子。
《算数书》
中国现存最早的数学书《算数书》(西汉, 约公元前 170 年 , 19831984 年间湖北江陵张家山出土 )
《算数书》
研究得知，这“本”竹简《算数书》和《九章算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。
九章算术
第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概
念及运算方法。
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？
勾股术
第九章“勾股”在《周髀算经》中勾股定理的基础上，形
《缀术》
《缀术》的另一贡献是祖氏原理：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出，对微积分的建立有重要影响。在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风等人注释并校订了《算经十书》（约656年）。
贾宪三角
贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在朝中任左班殿

朱世杰简介

朱世杰人物生平：朱世杰（年－年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。

有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。

朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。

此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。

主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。

朱世杰“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。

朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（）和《四元玉鉴》（）。

《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。

《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。

研究成果：朱世杰长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周游各地多年，四方登门来学习的人很多。

朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（）和《四元玉鉴》（）。

《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。

《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。

朱世杰在数学科学上，全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。

《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（）刊印的，全书共三卷，门，总计个问题和相应的解答。

这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。

它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。

这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。