三角函数所有公式及基本性质[整理]

一、任意角的三角比（一）诱导公式ααπsin )2sin(=+k ααπcos )2cos(=+k ααπtg k tg =+)2( ααπctg k ctg =+)2( ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=-ααtg tg-=-)(ααctg ctg -=-)(ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtg tg =+)( ααπctg ctg =+)( ααπsin )sin(=-ααπcos )cos(-=-ααπtg tg -=-)( ααπctg ctg -=-)( ααπsin )2sin(-=- ααπcos )2cos(=-ααπtg tg -=-)2(ααπctg ctg -=-)2(ααπcos )2sin(=- ααπsin )2cos(=-ααπctg tg =-)2(ααπtg ctg =-)2(ααπcos )2sin(=+ααπsin )2cos(-=+ ααπctg tg -=+)2( ααπtg ctg -=+)2(ααπcos )23sin(-=- ααπsin )23cos(-=- ααπctg tg =-)23( ααπtg ctg =-)23(ααπcos )23sin(-=+ ααπsin )23cos(=+ ααπctg tg -=+)23( ααπtg ctg -=+)23(（二）关系结构图（三）三角比符号二、三角恒等式1.同角三角比的关系倒数关系 1csc sin =αα 1sec cos =αα1=ααctg tg商数关系 αααcos sin =tg αααsin cos =ctg平方关系 1cos sin 22=+αα αα22sec 1=+tg αα22csc 1=+ctg2.两角和与差的三角比两角差的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 两角和的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 两角差的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 两角和的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ 两角差的正切公式 βαβαβαtg tg tg tg tg +-=-1)(两角和的正切公式 βαβαβαtg tg tg tg tg -+=+1)(形式)sin(ϕα+Aπϕϕϕϕααα20,sin ,cos )sin(cos sin 222222<≤+=+=++=+ba bb a a b a b a3.二倍角的三角比ααααααααααα22222122sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin tg tg tg -=-=-=-==4.半角的三角比_αααααααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin-=+=+-±=+±=-±=tg5.万能置换公式21222121cos 2122sin 2222αααααααααtg tgtg tg tg tg tg-=+-=+=三、解斜三角形1. 三角形的面积Cab S B ca S A bc S sin 21sin 21sin 21===∆∆∆2. 正弦定理)2(sin sin sin R CcB b A a ===3. 余弦定理abc b a C ca b a c B bca cb A C ab b ac B ca c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=-+=或三角比补充概念或公式一、有关sin α与cos α，tg α与tg α，|sin α|与|cos α|，|tg α|与|ctg α|大小比较 1.sin α与cos α（下左图）当α的终边在第一、第三象限的角平分线上时，sin α=cos α当α的终边在此角平分线的上方，即图中区域①时，sin α>cos α 当α的终边在此角平分线的下方，即图中区域②时，sin α<cos α2.tg α与ctg α（上右图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，tg α=ctg α 当α的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时（不包括坐标轴），tg α>ctg α 当α的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时（不包括坐标轴），tg α<ctg α3. |sin α|与|cos α|（下左图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|sin α|=|cos α| 当α的终边在图中区域①或③时，|sin α|>|cos α| 当α的终边在图中区域②或④时，|sin α|<|cos α|4. |tg α|与|ctg α|（上右图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|tg α|=|ctg α| 当α的终边在图中区域①或③时（不包括坐标轴），|tg α|>|ctg α| 当α的终边在图中区域②或④时（不包括坐标轴），|tg α|<|ctg α|二、三角中常用的手法（sin α+sin β）与（cos α+cos β）分别平方后相加，可以产生cos(α-β) （sin α+sin β）与（cos α+cos β）分别平方后相加，可以产生sin(α+β) 三、1.在非直角ΔABC 中，有tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++2.在tgA ，tgB ，tgC 存在的前提下，A+B+C=k π（k 属于整数）是tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++的充要条件。

四、增补公式βαβαβαβαβαβααααcos cos )sin(cos cos )sin(2sin 12-=-+=+=-tg tg tg tg ctg ctg三角比的积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=三角比的和差化积公式2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-=--+=+-+=--+=+函 数x y sin =x y cos = tgx y =ctgx y = 定义域 R R⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠∈Z k k x R x x ,|π且 值 域[]1,1-[]1,1-RR最 值()()122;122min max -=∈-==∈+=y Z k k x y Z k k x 时当时当ππππ()()12;12min max -=∈+==∈=y Z k k x y Z k k x 时当时当πππ 无最大值、最小值 无最大值、最小值周期性周期是()Z k k ∈π2 最小正周期是π2周期是()Z k k ∈π2 最小正周期是π2 周期是()Z k k ∈π 最小正周期是π 周期是()Z k k ∈π 最小正周期是π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数 奇函数 对称性对称轴 ()Z k k x ∈+=2ππ ()Z k k x ∈=π对称点()()Z k k ∈0,π ()Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππ()()Z k k ∈0,π()Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππ单调性递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ 递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2递增区间()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππ递减区间()()Z k k k ∈+πππ,图 象xy sin =xy cos =函数x y arcsin =x y arccos =arctgx y =定义x y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的反函数叫反正弦函数，记作x y arcsin =，[]1,1-∈xx y cos =在[]π,0∈x 的反函数叫反余弦函数，记作x y arccos =，[]1,1-∈xtgx y =在⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 的反函数叫反正切函数，记作arctgx y =，R x ∈意义 ① 表示一个角的弧度数② 这个角的范围是[]⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2202,2πππππ，或，或 ③这个角的正弦（或余弦或正切）等于x定义域 []1,1-[]1,1- R值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ []π,0⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ 单调性 增函数 减函数 增函数 奇偶性 奇函数非奇非偶函数奇函数常用等式x x arcsin )arcsin(-=- x x arccos )arccos(-=-π arctgx x arctg -=-)(2arccos arcsin π=+x x图像xy arcsin =反三角函数其它常用等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=--=-arcctgx x arcctg arctgx x arctg x x xx ππ)()(arccos )arccos(arcsin )arcsin(1）（ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=≤=x arcctgx ctg x arctgx tg x x x x x x )()()1()cos(arccos)1()sin(arcsin 2）（ [][][]()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧'=∈∉'∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈'⎪⎭⎫ ⎝⎛-∉'⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=⎩⎨⎧'=∈∉'∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∉'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x ctg ctgx x x x x x ctgx arcctg x tg tgx x x x x x tgx arctg x x x x x x x x x x x x x x x x ,,0,,0,,0,)(,2,2,2,2,2,2,)(cos cos ,,0,,0,,0,)arccos(cos sin sin ,2,2,2,2,2,2,)arcsin(sin )3(ππππππππππππππππππ时当时当时当时，当时当时当时当时，当最简三角方程解最简三角方程补充公式)()4()()3()(2)2(2cos cos )2()(2)(2sin sin )1(Z k k a x ctga ctgx Z k k a x tga tgx Z k k a x k a x a x Z k k a x k a x a x ∈+=⇒=∈+=⇒=∈+-=+=⇒=∈+-=+=⇒=ππππππππ或或。