人教版八年级数学下册课时作业：18.2.2 第2课时 菱形的判定
人教版八年级下期数学18.2.2 第2课时 菱形的判定1
∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）
∴ AB=AD=5 .
二 平行四边形的判定定理2
合作探究
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,
使AC为菱形的一条对角线吗？
B
小刚：分别以A、C为圆心,以大于
2. 四边相等.
3. 对角线互相垂直平分，且每
条对角线平分一组对角.
讲授新课
一 菱形的判定定理1
合作探究
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个 小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做 成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
平行四边形， 为什么？
猜想：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形.
OE N
C
证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条 件能够判定四边形ACED为菱形的是（ B ） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° 解D析．：∠∵AC将B△=6A0B°C沿BC方向平移得到 △DCE，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形， 当AC=BC时， 平行四边形ACED是菱形． 故选B．
当堂练习
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳
人教版八下数学18.2.2菱形 课时2 菱形的判定教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 菱形课时2菱形的判定教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2．了解菱形的现实应用和常用判别条件．过程与方法目标1．从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2．让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.情感、态度与价值观目标1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2．通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用. 【教学重点】菱形的定义和判定定理的运用．【教学难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究知识点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 1如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 2如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD 即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA ＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形例 3 如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD .然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF .然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．知识点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题例 4如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用例 5 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由． 解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ， ∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°， ∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、教学小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形四、学习检测1.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )A.①③B.②③C.③④D.①②③解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=AC·BD=×4×2=4.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形课时1 矩形的性质1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时1矩形的性质学案【学习目标】1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习重点】理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习难点】会会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算．【自主学习】一、知识回顾1．菱形的定义是什么？性质有哪些？2．根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？有一组邻边_____的______________是菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形二、自主探究知识点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形想一想前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA____OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA______BC.∴四边形ABCD是________.要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.【典例探究】例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．【跟踪练习】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CD知识点2：四条边相等的四边形是菱形活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？AC的长为半径作弧,小刚：分别以A、C为圆心,以大于12两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边__________的四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD , BC=AD.∴四边形ABCD是___________.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是__________.要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是________.【典例探究】例2如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形.【跟踪练习】1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？探究点3：菱形的性质与判定的综合运用【典例探究】例4如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．【跟踪练习】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.三、知识梳理内容菱形的判定定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是_____________.3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°4.下列图形中,不一定为菱形的是()A.四条边相等的四边形B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形C.一组邻边相等的平行四边形D.有一个角为60度的平行四边形D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)3.如图所示,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是∠BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?解:四条边相等的四边形是菱形.5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为×8×4=16.4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形O CED是菱形.6.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD 于点G.求证四边形ACGF是菱形.证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF为平行四边形,∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠ACF=∠FCG,∵AF∥CG,∴∠AFC=∠FCG,∴∠ACF=∠AFC,∴AF=AC,∴▱ACGF为菱形.5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE ∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,∵∠AGE=∠ABG+∠BAG,∠AEB=∠EBD+∠C,又∵∠ABG=∠EBC,∴∠AGE=∠AEG.∴AE=AG.由AF是∠DAC的平分线,易知AF⊥GE且AF平分GE.同理可得BE⊥AF且BE平分AF.∴AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．9.如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=DC,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.(1)求证CF=CH;(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.(1)证明:∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=45°.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECH,即∠ACF=∠DCH,在△AFC 和△DHC 中, ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,DCH ACF DC AC D A ∴△AFC ≌△DHC (ASA),∴CF =CH. (2)解:菱形,证明如下:∵∠BCE =45°,∴∠ACF =∠BCE =∠DCH =45°,即∠ACD =135°, 又∠A =∠D =45°,∴在四边形ACDM 中,∠AMD =360°-∠ACD ∠A －∠D =135°, ∴∠ACD =∠AMD ,∴四边形ACDM 是平行四边形.又AC =CD ,∴四边形ACDM 是菱形.。
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》说课稿
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》说课稿一. 教材分析《菱形的判定》是人教版数学八年级下册18.2.2第2课时的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入平行四边形和矩形的性质，引导学生探究菱形的性质，从而得出菱形的判定方法。
教材还通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平行四边形和矩形的性质，对这两种图形的性质有一定的了解。
但是，学生对菱形的性质和判定方法可能比较陌生，需要通过课堂学习和练习来掌握。
此外，学生可能对数学证明的方法和技巧还不够熟练，需要在课堂上进行引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、探究等活动，培养自己的观察能力、动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.教学难点：学生对菱形判定方法的灵活运用，以及对数学证明的方法和技巧的掌握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：本节课采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件进行辅助教学，通过展示图片、动画等形式，帮助学生直观地理解菱形的性质和判定方法。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的菱形图形，如钻石、骰子等，引导学生对菱形产生兴趣，激发学生的学习动机。
2.探究菱形的性质：学生通过观察、操作等活动，发现菱形的性质，教师引导学生总结出菱形的判定方法。
3.讲解与练习：教师通过讲解例题，引导学生运用菱形的判定方法解决问题，然后布置一些练习题，帮助学生巩固所学知识。
4.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和知识点，帮助学生形成知识体系。
人教版八年级数学下册课件：18.2.2 第2课时 菱形的判定
证明：∵AB=BC=CD=AD; B
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形. A 又∵AB=BC,
C D
∴四边形ABCD是菱形.
18.2.2 第2课时 菱形的判定
菱形的
D
定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质 菱形的 对角线互相垂直且平分每一组对角 A O C 性质 菱形的四条边都相等
第十八章 平行四边形
18.2.2 第2课时 菱形的判定
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度思考 菱形的判定条件？
18.2.2 第2课时 菱形的判定
D
菱形的 定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质 菱形的 对角线互相垂直且平分每一组对角 A O C 性质 菱形的四条边都相等
练习2 如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到 四边形EFGH.求证：四边形EFGH是菱形.
A ED
F
H
B GC
18.2.2 第2课时 菱形的判定
思路点拨： 方法一：由中点联想到连接矩形对角线BD，AC， 可得AC=BD.利用三角形中位线等于第三边的一半， 证明EF=FG=GH=EH.根据判定定理，所以四边形 EFGH是菱形. 方法二：通过证明图中四个直角三角形全等，得到 EF=FG=GH=EH.
即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
B
∴四边形ABCD是菱形.
18.2.2 第2课时 菱形的判定
练习1 如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分 别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C， 连接BC，CD．得到的四边形ABCD是菱形吗？请说 明理由．
18.2.2 第2课时 菱形的判定
18.2.2菱形第2课时菱形的判定作业课件+2023—2024学年人教版数学八年级下册
解：(1)∵第二步折叠使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并使折痕经过点 得到折痕 BE，∴∠AEB ＝∠A′EB.∵第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，得到折痕 EF，同 时得到线段 B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB ＝∠A ′ E B ＝∠F E B ′ ＝60°，∴∠A B E ＝30°
6．(2023·鞍山)如图，在▱ ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，BD， BC 相交于点 E，O，F，连接 BE，DF，求证：四边形 EBFD 是菱形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF， ∠EDO＝∠FBO，
∵O 是 BD 中 点 ， ∴BO ＝ DO ， 在 △DEO 和 △BFO 中 ， DO＝BO， ∠EOD＝∠FOB，
∴△DEO≌△BFO (ASA)，∴OE＝OF，∴四边形 EBFD 是平行四边形，又∵EF⊥BD， ∴四边形 EBFD 是菱形
知识点 3：四条边相等的四边形是菱形 7．下列命题中，正确的是( D ) A．有一个角是 60°的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
(2)∵四边形 ADBF 是菱形，∴S 菱形 ADBF＝2S△ABD，∵点 D 是 BC 的中点，∴S△ABC ＝2S△ABD，∴S 菱形 ADBF＝S△ABC＝40，∴12 AB·AC＝40，∵AB＝8，∴AC＝10
12．如图，将一张矩形纸片 ABCD 进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，展开； 第二步：再折叠一次，使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并使折痕经过点 B，得到折 痕 BE，同时，得到线段 BA′，EA′，展开，如图①； 第三步：再沿 EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，得到折痕 EF，同 时得到线段 B′F，展开，如图②. (1)求∠ABE 的度数；(2)求证：四边形 BFB′E 为菱形．
八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第2课时菱形的判定练习人教版
18.2.2 菱形第2课时 菱形的判定练习11、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如图，AD 是△ABC 的角平分线。
DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F.四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。
4、如图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是（ ） A. AD 平分∠BACB. AB ＝AC ＝且BD ＝CDC. AD 为中线D. EF ⊥AD6、 如右图，已知四边形ABCD 为菱形，AE ＝CF. 求证：四边形BEDFF DECBAEO BCF DA 为菱形。
7、已知ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。
小刚说只要过BD 中点作BD 的垂线交AD 、BC 于E 、F ，沿BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形BFDE 为菱形。
你认为小刚的方法对吗？为什么？8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？为什么？9、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，点M 、N 分别在BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN.F EC DBADACF H E B10、如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。
M 点从D 到A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为2㎝/s ；N 点从A 到B ，Q 点从C 到D ，两点的速度都为1㎝/s 。
人教版-数学-八年级下册-18.2.2.2菱形的判定
1．掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算； 2．经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路． 【学习重点】菱形判定条件的探索、证明和应用． 【学习难点】菱形判定条件的探索、证明和应用． 【知识准备】 【自习】 一、阅读教材P 57~58内容，思考并回答下面的问题。
菱形的判定方法有1、 ； 2、 ；3、 。
二、自习评估如图，用两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重合的四边形AB CD 是一个菱形吗？ 为什么？2、一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和65，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积。
【自疑】请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。
【自探】【活动一】探究菱形的判定方法（与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立。
） 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2、四条边相等的四边形是菱形。
小结，菱形的判定方法有：1 ；2、 ；3、 。
用几何语言表示：边 角对角线DCBA【活动二】菱形判定方法的应用1、如图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分EF ，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？2、已知：如图，顺次连接矩形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ， 求证：四边形EFGH 是菱形。
【自结】通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？【自测】1， 能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A 、对角线互相平分且相等B 、对角线互相垂直且相等C 、对角线互相垂直且两组对角相等D 、对角线相互垂直且一条对角线平分一组对角 2、菱形是轴对称图形，它的对称轴有___ __条。
3、填空：（1）对角线互相平分的四边形是 ； （2）对角线互相垂直平分的四边形是____ ___； （3）对角线相等且互相平分的四边形是_ ___；（4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形．ABCD EF GH。
人教版数学八年级下册18.2.2 第2课时 菱形的判定
第2课时菱形的判定01根底题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，假设要使▱ABCD成为菱形，那么可添加的条件是()A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD2．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，以下条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°3．：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．对于这道题，小明是这样证明的：证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵DE∥AC，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AE＝DE(等角对等边)．同理可证：AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形(菱形定义)．教师说小明的证明过程有错误．(1)请你帮小明指出他的错误是什么？(2)请你帮小明做出正确的解答．知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．如图，四边形ABCD 的对角线互相垂直，且满足AO ＝CO ，请你添加一个适当的条件____________，使四边形ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)5．如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE ，CF. (1)求证：△BDF ≌△CDE ；(2)假设AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．知识点3 四条边都相等的四边形是菱形6．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是菱形的方法是_________________________________________________． 02 中档题7．以下命题中，正确的选项是( ) A ．有一个角是60°的平行四边形是菱形 B ．有一组邻边相等的四边形是菱形 C ．有两边相等的平行四边形是菱形 D ．四条边都相等的四边形是菱形8．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，那么直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．一般的四边形D．平行四边形9．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，那么原四边形一定是()A．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形D．对角线互相垂直的四边形10．如图，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意穿插叠放在一起，转动其中的一张，重合的局部构成了一个四边形，这个四边形是____________．11．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE＝DF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．12．(嘉兴中考)：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．03综合题13．(兰州中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)假设E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．参考答案1．C 2.B3．(1)小明错用了菱形的定义，两组邻边分别对应相等不能判定四边形是菱形．(2)改正：∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形．∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵DE ∥AC ，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AE ＝DE.∴四边形AEDF 是菱形．4．BO ＝DO(答案不唯一)5．证明：(1)∵CE ∥BF ，∴∠ECD ＝∠FBD ，∠DEC ＝∠∵D 是BC 的中点，∴BD ＝DC.∴△BDF ≌△CDE(AAS)． (2)由(1)知：△BDF ≌△CDE ，∴DF ＝DE ，DB ＝DC.∴四边形BFCE 是平行四边形．又∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC.∴四边形BFCE 是菱形．6．测量四条边是否相等，假设相等那么是菱形 7.D 8.B 9.B 10.菱形11．证明：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠△AED和△CFD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，∠AED ＝∠CFD ，DE ＝DF ，∴△AED ≌△CFD(AAS)．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AD ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．12．(1)证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠△EOD 和△FOB 中，⎩⎨⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF(ASA)． (2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形．理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形．又∵∠DOE ＝90°，即BD ⊥EF ，∴四边形BFDE 为菱形． 13．证明：(1)延长DC 至K ，使CK ＝AB.连接BK.∵AB CK ，∴四边形ABKC 是平行四边形．∵在▱ABKC 中，有ACBK ，∴∠ACD ＝∠K.∵BD ＝AC ，AC ＝BK ，∴BD ＝BK.∴∠BDC ＝∠K.∴∠ACD ＝∠△ACD 和△BDC中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△BDC(SAS)．∴AD ＝BC.(2)分别连接EH ，HF ，FG 和GE.∵E ，H 分别是AB ，BD 的中点，∴EH 12AD.同理：GF 12AD ， EG 12BC ，HF 12BC.又由(1)知AD ＝BC ，∴EH ＝HF ＝FG ＝GE.∴四边形EHFG 是菱形．∴EF 与GH 互相垂直平分．。
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第2课时菱形的判定
知识点 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图,若要使▱ABCD成为菱形,则可添加的条件是()
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
2.如图,平行四边形ABCD中,AB=9 cm,BC=4 cm,将BC边以2 cm/s的速度沿BA方向平移得到FE,则当BC边移动s时,四边形DAFE是菱形.
3.已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证:四边形AEDF 是菱形.
知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.已知两根长度不相同的木棒的中点被捆在一起,如图拉开一个角度α,当α=
时,四边形ABCD是菱形()
A.60°
B.90°
C.45°
D.30°
5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件中能判定四边形ABCD为菱形的是()
A.BA=BC
B.AC,BD互相平分
C.AC=BD
D.AB∥CD
6.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.
知识点 3 四条边相等的四边形是菱形
AB的长为半径画弧,相交于点C,D,则四边形ACBD为菱形的依据7.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于1
2
为.
8.如图,△ABD为等腰三角形,把它沿底边BD翻折后,得到△CBD.求证:四边形ABCD是菱形.
9.如图,四边形ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两名同学的作法分别如下:
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为()
A.甲正确,乙错误
B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
10.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,若重合部分构成的四边形ABCD中,AB=3,AC=2,则BD的长为.
11.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
12.如图,在平面直角坐标系中,有三点A(0,4),B(9,4),C(12,0).已知点P从点A出发沿着AB路线向点B运动,同时点Q从点C出发沿着CO向点O运动,运动速度都是每秒2个单位长度,运动时间为t秒.
(1)当t=4.5时,判断四边形AQCB的形状,并说明理由.
(2)当四边形AOQB是矩形时,求t的值.
(3)是否存在某一时刻,使四边形PQCB是菱形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
1.C
2.2.5解析：设BC边移动的时间为t s,则BF=2t cm,∴AF=(9-2t)cm.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=4 cm,且AD∥BC.
∵BC边以2 cm/s的速度沿BA方向平移得到FE,
∴BC=FE,且BC∥FE,
∴AD=FE,且AD∥FE,
∴四边形DAFE是平行四边形,
∴当AF=AD时,四边形DAFE是菱形,
此时9-2t=4,解得t=2.5.
3.证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AC,
∴∠FAD=∠ADE,
∴∠EAD=∠ADE,
∴AE=DE,
∴四边形AEDF是菱形.
4.B解析：∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
5.B
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,
即AE=FC.
又∵AE∥FC,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC ⊥EF ,
∴四边形AECF 是菱形.
7.四条边相等的四边形是菱形
8.证明:∵将△ABD 沿底边BD 翻折得到△CBD ,∴AB=CB ,AD=CD.
又∵AB=AD ,
∴AB=CB=CD=AD , ∴四边形ABCD 是菱形.
9.C
10.4√2 解析： 过点A 作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F.
∵两张纸条宽度相同,∴AE=AF. ∵AB ∥CD ,AD ∥BC ,
∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵S ▱ABCD =BC ·AE=CD ·AF ,AE=AF. ∴BC=CD ,
∴四边形ABCD 是菱形.
设BD 与AC 交于点O , 则AC ⊥BD ,AO=1
2AC=1,BO=1
2BD ,
∴BO=√AB 2-AO 2=2√2, ∴BD=2BO=4√2,
故答案为4√2.
11.解:(1)证明:∵AF ∥BC ,
∴∠AFE=∠DBE ,∠FAE=∠BDE. ∵E 是AD 的中点,∴AE=DE.
在△FAE 和△BDE 中,{∠AFE =∠DBE ,
∠FAE =∠BDE ,AE =DE ,
∴△FAE ≌△BDE ,∴AF=DB. ∵AD 是BC 边上的中线, ∴DB=DC ,∴AF=DC.
(2)四边形ADCF 是菱形. 证明:∵AF=DC ,AF ∥DC ,
∴四边形ADCF 是平行四边形. ∵AB ⊥AC ,∴△ABC 是直角三角形.
∵AD是斜边BC上的中线,
∴AD=1
BC=DC,
2
∴平行四边形ADCF是菱形.
12.解:(1)四边形AQCB是平行四边形.
理由:∵A(0,4),B(9,4),
∴AB∥OC,AB=9.
当t=4.5时,CQ=2t=9,
∴AB=CQ,
∴四边形AQCB是平行四边形.
(2)∵C(12,0),∴OC=12,∴OQ=12-2t.
当四边形AOQB是矩形时,有AB=OQ,
即9=12-2t,
解得t=1.5,
∴当t=1.5时,四边形AOQB是矩形.
(3)不存在.理由:当PB=CQ时,四边形PQCB是平行四边形,则9-2t=2t,
解得t=2.25,
此时CQ=2t=4.5.
如图,过点B作BD⊥OC,垂足为D.
∵B(9,4),C(12,0),
∴BD=4,CD=3,
∴BC=2+CD2=5,
∴BC≠CQ,
∴四边形PQCB不是菱形,
即不存在某一时刻,使四边形PQCB是菱形.。