2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
2015年全国 数学联赛江苏赛区 初赛参考答案和评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是 ．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 和平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }和B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素A BCDE（第6题图） A B 1C 1D 1（第6题图）A CDE OA B 1C 1D 1之积的值是 ．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 ．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55． 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n)1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．（第9题图） 12 2015（第9题图） e c d ab1 2 2015x综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线和△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆． 证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ， 所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都和直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴和直线l 的角平分线上．若直线l 的斜率k ＝tanα， 设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分A BCDP(第12题图)E A BC DP (第12题图)EFxOyO 1l(第13题图) O 2P所以 k ＝2t 1－t2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分 14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个错误!未指定书签。
2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案(高一)
2015 全国高中数学联赛河南初赛试题及答案 ( 高一 )2015 年全国高中数学联赛河南省高一初赛试题（5 月 10 日 8:30 至 11:00）一．填空题（本大题共8 小题，每题 8 分，共64 分）1．若会合A a a 5x 4, x N*，B b b7 y 6, y N*，将A I B中的元素从小到大摆列，则排在第20 个的那个元素是．2．已知实数x，y知足：(x 3)32015( x 3) (2 y 3)32015(2 y 3) 0，则 x24 y24 xmin．3．设线段BC， AB， CD BC，且 CD 与平面成 30角，且 AB BC CD 2cm，则线段AD的长度为．4．若直线l与直线x 3y 10 0，2x y 8 0分别交于点M，N ，若 MN 的中点为P(0,1)，则直线 l 的方程是．5．设 k ， m ， n 都是整数，过圆 x2y2(3k1)2 外一点P( m 3 m,n 3 n)向该圆引两条切线，切点分别为A，B ，AB上知足横坐标与纵坐标均为整数的点个．6．若函数 f (x) (1 x 2)( x2ax b)的图象对于直线x 2对称，则 a b．7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上边一题正误判分）（必修 3）履行如下图的算法，则输出的结果是．则直线 有（必修4）已知函数 f (x)sin xπ上是减函x在区间 (0, )2数，若 0x ≤ 1 ， a (sin x 2 ，bsin x ，csin x2x)xx 2，则 a， b，c的大小关系是．8．假如实数 a ， b 使得 x 2x 1 是 ax 220151bx 2201511 的因式，则 a 的个位数字为．二（此题知足 16 分）求 x 23y 22的整数解．三（此题知足 20 分）如下图，已知 AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上且知足 AC BC ，在线段 BC 上取一点 D ，使 BD AC ，在 AD上取一点 E 使BED 45 ，延伸BE 交 CA 于 F ，求证：CD AF ．四（此题知足 20 分）对于随意的△ ABC，若其三边长为 a ，b， c ，则 a x，b x，c x依旧能够组成某三角形的三边长，务实数 x的取值范围．五（此题知足 20 分）已知全集 U 1,2,L , n ，会合A知足：(i) A U ；(ii)若x A，则 kx A；(iii)若x e U A，kx e U A（此中 k ，n N*， k ≥ 2 ），用 f k (n) 表示知足条件的会合A的个数．（1）求f2(4)，f2(5)；（2）记会合A中全部元素的和记为会合A的“和”，当 n pk q （p， q N ， 0 ≤ q ≤ k 1 ）时，求全部会合A的“和”的和（结果用含 p ， q ， k 的代数式表示）．。
2015年高中数学竞赛试题精选及答案
已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM△O B M ，则四面体1O ADM 的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线 已知x 为锐角，则22cos sin33=+x x 是4π=x 的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。
①A 既不在修指甲，也不在看书；②B 既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲；④D 既不在看书，也不在修指甲；⑤C 既不在看书，也不在听音乐。
若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD 分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发 已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角，则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(，若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ，那么)4()0(f f +的值为（28 ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且31cos =A 。
（1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值。
（-1/9； 9/4） 若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ 90 ）圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 Word版含答案
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．设集合403x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，从集合A 中随机抽取一个元素x ，记2x ξ=，则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。
【答案】 5【解答】{}4321012A =----，，，，，，，随机变量ξ的取值为0，1，4，9，16。
易得，ξ的概率分布列为∴ 014916577777E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。
2．已知()()f x x g x =+，其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。
【答案】 9【解答】依题意，有(2)(2)(2)()2()2f x x g x x g x f x +=+++=++=+。
∵ ()f x 在区间[)24，上的最大值为1，∴ ()f x 在区间[)46，上的最大值为3，在区间[)68，上的最大值为5，在区间[)810，上的最大值为7，在区间[)1012，上的最大值为9。
3．1F 、2F 为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率e 的取值范围为 。
【答案】1⎫⎪⎪⎣⎭【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有1290F AF ∠≥︒。
∴ 245F AO ∠≥︒，1c b ≥。
222c a c ≥-，2212c a ≥，12e ≤<。
4．已知实数x ，y ，z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。
【答案】 12-【解答】由柯西不等式，知22222222(23)(1)1(23)144x y z x x y z ⎡⎤++=⋅≤++⋅++=⎣⎦。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015数学高中联赛试题及答案
2015数学高中联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -1B. -15C. 7D. 15答案：B2. 若\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
A. 1B. 4C. 9D. 16答案：C3. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，点P(1,2)在圆上，求过点P的切线方程。
A. \( y = x + 1 \)B. \( y = -x + 3 \)C. \( x + y - 3 = 0 \)D. \( x - y + 1 = 0 \)答案：C4. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \sin2\alpha \)的值。
A. 1B. \( \sqrt{2} \)C. -1D. -\( \sqrt{2} \)答案：A5. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 37B. 38C. 39D. 40答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( \log_{2}8 + \log_{4}16 = x \)，求\( x \)的值。
答案：38. 已知\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} \)的和为S，求S的值。
答案：小于5但大于4.59. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)且\( x + y = 12 \)，求\( x \)和\( y \)的值。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
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2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为
2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα
+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为
4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为
5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为
7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是
8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值.
10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得
{}311424,2,,,1,328i j a a i j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭
，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2
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x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.
2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
一、（本题满分40分）设12,,
,(2)n a a a n ≥是实数，证明：可以选取{}12,,,1,1n εεε∈-，使得222111(1)n n n i i i i i i i a a n a ε===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑. 二、（本题满分40分）设{}12,,,n S A A A =，其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合
（2n ≥），满足对任意的,i j A A S ∈，均有i
j A A S ∈，若1min 2i i n k A ≤≤=≥.证明：存在1n
i i x A =∈，使得x 属于12,,,n A A A 中的至少n k 个集合（这里X 表示有限集合X 的元素个数）. 三、（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F .证明：2ABC FCB ∠=∠.（解题时请将图画在答卷纸上）
四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：
对任意正整数n ，(1)12k n -+不整除()!!kn n .
P。