下册28.2.2第2课时方位角与坡度问题-2020秋人教版九年级数学全一册课件(共28张PPT)
教与学 新教案九年级数学下册 28.2.2 坡度、方位角与解直角三角形(第2课时)教学设计 (新版)
坡度、方位角与解直角三角形(续表)(续表)(续表)【学习目标】1．知识技能知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题．2．解决问题(1)通过学习懂得坡比、坡角的意义，把实际问题转化为数学模型；(2)在研究有关坡比、坡角的问题的过程中，渗透数形结合的数学思想．3．数学思考(1)通过解决与坡比、坡角有关的实际问题为背景，发展应用意识；(2)经历解决实际问题的过程，掌握把实际问题转化为数学问题的能力．4．情感态度(1)经历由情境引出问题，经历先掌握数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；(2)体会数形结合的数学思想方法；(3)培养自主探索的精神，提高合作交流的能力．【学习重难点】1．重点：与坡度、坡角有关的实际问题．2.难点：把实际问题转化为数学问题．课前延伸【知识梳理】1．三角形中共有几个元素？2．在△ABC中，∠C＝90°a＝3，b＝3，解这个直角三角形．自主学习记录卡课内探究一、课堂探究1(问题探究，自主学习)如图28－2－88，水库的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高12 m，斜坡CD的坡度i′＝1∶1，斜坡AB坡度i∶3，求斜坡AB的长及坡角α和坝底宽AD(精确到0.1 m)．图28－2－88二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)1．如图28－2－89，一段路基的横断面是梯形，高CD，，路基的坡面与地面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽AB(精确到0.1米)．图28－2－89三、反馈训练1．某人在斜坡上走了8米，高度上升了1米，则坡比i＝2．如果斜坡的坡度i＝1∶2，坡面铅垂高度为4米，那么斜坡的长是米．3．如图28－2－90所示，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶AD宽10米，坝高AE 为160米，坝的迎水坡的坡度是i1＝1∶3，背水坡的坡度i2＝2∶3.求水坝横截面的面积。
教与学 新教案九年级数学下册 28.2.2 坡度、方位角与解直角三角形(第2课时)素材 (新版)新人教版
锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方位角与解直角三角形置疑导入复习导入悬念激趣如图28－2－71，一架外国侦察机沿ED方向入侵我国领空，我空军战斗机沿AC方向与其平行飞行进行跟踪．我机在A处与外机在B处的距离为50 m，∠CAB＝30°，这时外机突然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继续沿AC方向以400 m/s的速度飞行，外机在C处故意撞击我机，问外机由B到C的速度是多少？图28－2－71[说明与建议] 说明：用学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：教师在新课导入的过程中，引导学生理解方位角的含义，帮助学生根据题意建立方位坐标，选择合适的边角关系．随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，2015年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图28－2－72，你能求出DC的长吗？图28－2－72分析：(1)在Rt△ADE中，你能利用解直角三角形的知识求出DE的长吗？(2)在Rt△BCF中，你能利用解直角三角形的知识求出FC的长吗？(3)DC可分为哪些线段长的和？[说明与建议] 说明：通过解直角三角形可以求出DE和FC的长，从而求出DC的长度．建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上．76页例5如图28－2－73，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?图28－2－73【模型建立】根据方位角的概念，南北方向线与东西方向线一定垂直，常可以过目标点或观察点作南北方向线或东西方向线的平行线或垂线，构造直角三角形来解决问题．【变式变形】1．临沂中考如图28－2－74，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)A．20海里B．10 3海里C．20 2海里D．30海里图28－2－74 图28－2－752．苏州中考如图28－2－75，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 k m，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°方向上，则该船航行的距离(即AB的长)为(C)A．4 k m B．2 3 k m C．2 2 k m D.()3＋1k m3．邵阳中考如图28－2－76，一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)图28－2－76 28－2－77解：如图28－2－77，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD ＝53°，AC ＝80海里，∴CD ＝40海里．在Rt △CBD 中，sin53°＝CD CB ，∴CB ＝CD sin53°≈400.8＝50(海里)．行驶时间为5040＝1.25(时)． 答：海警船到达C 处约需1.25小时．素材三 考情考向分析 [解决此类问题，一般是根据方位角的定义构造直角三角形．如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度2] 坡度问题求斜坡的长、滑梯的长、电梯的长等问题，是近年中考的一个热点．这类题目常需通过坡度和坡高，再应用勾股定理，求坡长．例1 巴中中考如图28－2－78，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)图28－2－78[答案：坝底AD 的长度约为90.6米]例2 广安中考如图28－2－79，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD )急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i ＝1∶2.(1)求加固后坝底增加的宽度AF 的长；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．图28－2－79[答案：(1)10米 (2)19200立方米]素材四 教材习题答案P 74 练习在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)c ＝30，b ＝20；(2)∠B ＝72°，c ＝14；(3)∠B ＝30°，a ＝7.解： (1)∵c ＝30，b ＝20，∴a ＝10 5.∴sin A ＝10530＝53，∴∠A ≈48.19°， ∴∠B ≈41.81°.(2)∵sin72°＝b 14，∴b ≈13.3148. ∵ cos72°＝a 14，∴a ≈4.3262.∵∠B ＝72°，∠C ＝90°，∴∠A ＝18°.(3)∵cos B ＝a c ＝7c ，∴c ＝2213. ∵tan B ＝b a ＝b 7，∴b ＝213. ∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.P 76 练习1．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距 40 m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．解： 在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，∴BC ＝DC ＝40 m.在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝40×tan50°≈47.7(m)．∴AB ＝AC －BC ≈47.7－40＝7.7(m)．答：旗杆AB 的高度约为7.7 m.2．如图，沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝520 m ，∠D ＝50°.那么另一边开挖点E 离D 多远正好能使A ，C ，E 三点在一直线上(结果保留小数点后一位)?解： ∵∠DBC ＝180°－40°＝40°. 当A ，C ，E 三点在一直线上时，∠BED ＝180°－40°－50°＝90°.在Rt △BED 中，DE ＝BD · cos50°≈334.2(m)．即另一边开挖点E 离点D 334.2 m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上．P 77 练习1．如图，海中有一个小岛A ，它周围8 n m ile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12 n m ile 到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解： 过点A 作AH ⊥BD 交BD 的延长线于H .易得∠ABD ＝30°，∠DAH ＝30°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝30°.∴AD ＝BD ＝12 n m ile .在Rt △ADH 中，AH ＝AD · cos30°＝12×32＝63≈10.4(n m ile )>8(n m ile )． 故如果渔船不改变航向继续向东航行，不会触礁．2．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比，斜面坡度i ＝1∶3是指DE 与CE 的比．根据图中的数据，求：(1)坡角α和β的度数；(2)斜坡AB 的长(结果保留小数点后一位)．解： (1)tan α＝11.5≈0.6667， ∴α≈33°41′，tan β＝13≈0.3333，β≈18°26′. (2)在Rt △AFB 中 ，sin α＝AF AB ， ∴AB ＝AF sin α＝6sin 33°41′≈10.8(m)． P 77 习题28.21．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝8，∠A ＝30°；(2)b ＝7，∠A ＝15°；(3)a ＝5，b ＝12.解：(1)a ＝4，b ＝43，∠B ＝60°.(2)a ≈1.9，c ≈7.2，∠B ＝75°.(3)c ＝13，∠A ≈22°37′，∠B ≈67°23′.2．如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC ＝10 m ，∠B ＝36°，求中柱AD (D 为底边中点)和上弦AB 的长(结果保留小数点后一位)．解： 在Rt △ADB 中，BD ＝12BC ＝12×10＝5(m)，AD ＝BD ·tan36°＝5×tan36°≈3.6(m)．AB ＝BD cos 36°＝5 cos 36°≈6.2(m)． 3．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝16°31′.求飞机A 与指挥台B 的距离(结果取整数)．解： 在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ， AB ＝1200sin 16°31′≈4221(m)． 答：飞机A 与指挥台B 的距离约为4221 m.4．从高出海平面55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，此时帆船距灯塔有多远(结果取整数)?解： 设帆船离灯塔x m.x ＝55tan 21°≈143 (m)． 答：帆船距灯塔约143 m.5．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m ．测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位)．解： 设斜坡上相邻两树之间的坡面距离为l m , cos24°＝5.5l ，l ＝ 5.5 cos 24°≈6.0. 答：斜坡上相邻两树间坡面距离为6.0 m.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知∠A ，c ，写出解Rt △ABC 的过程；(2)已知∠A ，a ，写出解Rt △ABC 的过程；(3)已知a ，c ，写出解Rt △ABC 的过程．解：(1)∠B ＝90°－∠A .∵sin A ＝a c，∴a ＝c sin A . ∵cos A ＝b c，∴b ＝c cos A . (2)∠B ＝90°－∠A .∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A. ∵tan A ＝a b ，∴b ＝a tan A. (3)b ＝c 2－a 2.∵sin A ＝a c， ∴∠A ＝sin －1(a c )． ∠B ＝90°－∠A .7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为130 m 的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这座金字塔原来有多高(结果取整数)?解： 设金字塔原来的高为h m ， ∵tan65°＝h 12×130，∴h ＝65·tan65°≈139(m)． 答：这个金字塔原来的高度约为139 m.8．如图，一枚运载火箭从地面L 处发射．当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6 km ，仰角为43°；1 s 后火箭到达B 点，此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A 到B 的平均速度是多少(结果取小数点后两位)?解： 在Rt △ALR 中，sin43°＝AL AR，AL ＝AR ·sin43°＝6×sin43°≈4.092(km)． cos43°＝RL AR，RL ＝6·cos43°， 在Rt △BLR 中，tan45.54°＝BL RL， BL ＝RL tan45.54°≈4.472(km)．BL －AL ≈4.472－4.092＝0.38(km)＝380(m)，∴火箭从A 到B 的平均速度为380÷1＝380(m/s )．答：这个火箭从A 到B 的平均速度是380 m/s .9．为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB 的长度(结果取整数)．解：∵tan α＝5BH ＝11.5，∴BH ＝7.5 m ， ∴AB ≈9 m.答：斜坡AB 的长度约为9 m.10．海中有一小岛P ，在以P 为圆心、半径为16 2 n m ile 的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A 处时测得小岛P 位于北偏东60°方向上，且A ，P 之间的距离为32 n m ile .若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A 处开始沿南偏东多少度的方向航行，才能安全通过这一海域？解：∵32×sin30°＝16(n m ile )<162(n m ile )，∴若轮船继续向东航行，轮船有触礁的危险． 16232＝22，sin45°＝22，45°－30°＝15°，90°－15°＝75°， ∴轮船自A 处开始至少沿南偏东75°的方向航行，才能安全通过这一海域．11．根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积(结果取整数)．(提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积．)解： 如图：用A ，B ，C 分别表示两个观测点和百慕大岛的位置．过点C 作水平线EF 分别交过点A ，B 的铅垂线于E ，F ，则四边形ABFE 为直角梯形．在Rt △BCF 中，FC ＝BC ·sin54°≈2720×0.8090＝2200．48(km)，FB ＝BC ·cos54°≈2720×0.5878＝1598．816(km)．在Rt △AEC 中，EC ＝AC ·sin62°≈1700×0.8829＝1500．93(km)，EA ＝AC ·cos62°≈1700×0.4695＝798．15(km)．∵S △ABC ＝S 梯形ABFE －S △AEC －S BFC ＝12(EA ＋FB )(EC ＋FC )－12EA ·EC －12FB ·FC ＝12(EA ·FC ＋FB ·EC ) ≈12(798.15×2200.48＋1598.816×1500.93) ≈2 078 012(km 2)．答：百慕大三角的面积约为2 078 012 km 2.P 84 复习题281．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，a ＝2，c ＝6，求sin A ，cos A 和tan A 的值．解： ∵a ＝2，c ＝6，∴b ＝42，∴sin A ＝26＝13，cos A ＝426＝223，tan A ＝242＝24. 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，AC ＝43，求BC 的长．解： ∵ cos A ＝AC AB ，∴AB ＝ACcos A ＝8.∴BC ＝AB 2－AC 2＝82－（43）2＝4.3．求下列各式的值：(1)2cos45°－tan45°； (2)3sin60°＋tan60°－2cos 230°.解： (1)原式＝2×22－1＝0.(2)原式＝3×32＋3－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32＋3－32＝ 3.4．用计算器求下列各式的值：(1)cos76°39′＋sin17°52′；(2)sin57°18′－tan22°30′；(3)tan83°6′－cos4°59′；(4)tan12°30′－sin15°.解： (1)0.5377；(2)0.4273；(3)7.2673；(4)－0.0371.5．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A 的度数：(1)cos A ＝0.7651；(2)sin A ＝0.9343；(3)tan A ＝35.26；(4)tan A ＝0.707.解： (1) 40.08°；(2) 69.12°；(3) 88.38°；(4) 35.26°.6．等腰三角形的底角是30°，腰长为2 3.求它的周长．解： 如图，设∠B ＝∠C ＝30°，作AD ⊥BC 于点D ，则AB ＝23，BD ＝AB · cos 30°＝23×32＝3, BC ＝6，故△ABC 的周长为6＋4 3.7．从一艘船上测得海岸上高为42 m 的灯塔顶部的仰角为33°时，船离海岸多远(结果取整数)?解： 设船离海岸的距离为x m ，则tan33°＝42x ，x ＝42tan 33°≈65(m)． 答：船离海岸的距离约为65 m.8．如图，两建筑物的水平距离BC 为32.6 m ，从A 点测得D 点的俯角α为35°12′，测得C 点的俯角β为43°24′，求这两座建筑物的高度(结果保留小数点后一位)．解： 因为β为43°24′，所以∠ACB ＝43°24′.又因为BC 为32.6 m ，根据tan ∠ACB ＝AB BC， 即可计算出AB ≈30.8 m.过点D 作DE ⊥AB 于点E ，所以DE ＝BC ＝32.6 m ，再根据α为35°12′，可知∠ADE ＝35°12′，利用tan ∠ADE ＝AE DE， 即可计算出AE ≈23.0 m.所以CD ＝AB －AE ≈7.8(m)．答：这两座建筑物的高度分别约为30.8 m ，7.8 m.9．某型号飞机的机翼形状如图所示．根据图中数据计算AC ，BD 和AB 的长度(结果保留小数点后两位)．解： 设过B 的CD 的垂线交CD 的延长线于G ，作AH ⊥CG 于H .在Rt △DGB 中，BG ＝5.00 m ，∠DBG ＝30°，∴BD ＝5 cos 30°≈5.77(m)， DG ＝5×tan30°≈2.887(m)．在Rt △AHC 中，AH ＝5.00 m ，∠CAH ＝45°，∴AC ＝5×2≈7.07(m)．∵CH ＝AH ＝5.00 m ，CD ＝3.40 m ，∴DH ＝1.60 m ．∴HG ＝2.887－1.60≈1.29(m)，即AB 长约为1.29 m. 即AC ，BD ，AB 的长度分别约为7.07 m ，5.77 m ，1.29 m.10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α ≤75°.现有一架长6 m 的梯子．(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)? (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，α等于多少度(结果取整数)？此时人是否能够安全使用这架梯子？解： (1)∵sin75°＝BC6，∴BC ≈5.8 m.∴使用这个梯子能安全攀到墙面的最大高度约为5.8 m. (2)∵ cos α＝2.46，∴α≈66°.∵50°≤α≤75°，∴可以安全使用．11．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝5 5 cm ，且tan ∠EFC ＝34.(1)△AFB 与△FEC 有什么关系？ (2)求矩形ABCD 的周长．解： (1)相似．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵AD 沿AE 折叠，点D 落在BC 边的点F 处， ∴∠AFE ＝∠D ＝90°，FE ＝DE . ∴∠AFB ＋∠CFE ＝90°. ∵∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∴∠CFE ＝∠BAF ，∴△AFB ∽△FEC . (2)在Rt △EFC 中， ∵tan ∠EFC ＝EC FC ＝34，∴设EC ＝3x cm ，则FC ＝4x cm ，DE ＝EF ＝EC 2＋FC 2＝5x (cm)，AB ＝CD ＝8x cm. ∵△AFB ∽△FEC ， ∴AF FE ＝AB FC ，即AF 5x ＝8x 4x，∴AF ＝10x cm.由折叠知AD ＝AF ， ∴AD ＝10x cm.在Rt △ADE 中，AD ＝10x cm ，DE ＝5x cm ，AE ＝5 5 cm ，由勾股定理得AD 2＋DE 2＝AE 2，即(10x )2＋(5x )2＝(55)2，解这个方程得x 1＝1，x 2＝－1(负数不合题意，舍去)． ∴AD ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，∴矩形ABCD 的周长为2(AB ＋AD )＝36 (cm)．12．▱ABCD 中，已知AB ，BC 及其夹角∠B (∠B 是锐角)，能求出▱ABCD 的面积S 吗？如果能，用AB ，BC 及其夹角∠B 表示S .解： 能．过A 作BC 边垂线，垂足为H ，在Rt △ABH 中，AH ＝AB ·sin B . ∴S ▱ABCD ＝BC ·AH ＝AB ·BC ·sin B . 13．已知圆的半径为R .(1)求这个圆的内接正n 边形的周长和面积； (2)利用(1)的结果填写下表：观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长(面积)有怎样的变化趋势？与圆的周长(面积)进行比较，你能得出什么结论？ 解： (1)如图，AB 为正n 边形的一边，OM 为边心距．在Rt △OAM 中，∵OA ＝R ，∠AOM ＝180°n ，∴AM ＝R sin 180°n ，OM ＝R cos 180°n.设正n 边形的边长为a n ，边心距为r n ，则a n ＝2AM ＝2R sin 180°n ，r n ＝R cos 180°n .∴正n 边形的周长为 na n ＝2nR sin 180°n ，正n 边形的面积为 n ·12a n r n ＝nR 2sin180°n cos 180°n或 nS △OAB ＝n ·12OA ·OB sin360°n＝ nR 22sin 360°n.(2)正六边形、正十二边形和正二十四边形的周长分别为6R ，24R sin 15°，48R sin 7.5°，面积分别是332R 2，3R 2，12R 2sin15°.随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长逐渐接近圆的周长2πR ，面积逐渐接近圆的面积πR 2.14．如图，在锐角△ABC 中，探究asin A ，b sin B ，c sin C 之间的关系．(提示：分别作AB 和BC 边上的高．)解： 如图，过点A 作BC 边的高线AD .∴sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝ c sin B ＝b sin C . 可得bsin B ＝c sin C .① 过点C 作CE ⊥AB 于E ， ∴sin A ＝CEb ，CE ＝b sin A ，sin B ＝CEa ，CE ＝a sin B ，可得b sin A ＝a sin B ， 即bsin B ＝a sin A.② 由①②得a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 素材五 图书增值练习 [当堂检测]1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤坝高BC =50 m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100 mB ．1003 mC ．150 mD ．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）A ．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，则小岛B 到公路l 的距离为 米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i =1:5，则AC 的长度是 cm ．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m 到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m 到达目的地C 点． （1）求A 、C 两点之间的距离；（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向？参考答案 1．A 2．A 3．2534．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ， 如图，∴∠DAB =∠ABE =60°. ∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB 3， 由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴22500(5003)1000(m)+AC .（2）在Rt△ABC中，∵BC=500 m，AC=1000 m，∴∠CAB=30°.∵∠DAB=60°，∴∠DAC=30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.[能力培优]专题一利用解直角三角形测河宽与山高1．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿河岸向前走30 m 选取点B,并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计算小河的宽度.2．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（3≈1.732，结果精确到1米）专题二利用解直角三角形测坝宽与坡面距离3．如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD．(i＝CE:ED，单位：m)专题三 利用解直角三角形解决太阳能问题4．某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28°，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB ＝12 m ，⊙O 的半径为1.5 m ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离．（结果精确到0.01 m ）（参考数据：cos28°≈0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7）【知识要点】１.解直角三角形的几种基本图形： 图形1：tan30°＝33=+a x x ， ∠ABD ＝∠A ，BD ＝AD ＝a ， tan60°＝xxa + ， x a x 333=+，2360sin =︒=a x ， x a x +=3，213+=x a ． a x 23= . a a x 21313+=-= . 图形2：tan30°＝33=-x a x ， tan60°＝3=-xa x ， a a x 21313-=+=． a a x 233133-=+= .图形3：AC ＝CD ＝a ＋x ， AC ＝BE ＝DE ＝x , ∠BAD ＝∠BDA ＝30°,tan30°＝33=+a x x ， tan60°＝3=+x x a , AB ＝BD ＝a ， a a x 21313+=-=. a a x 21313+=-= . x ＝21BD ＝21a .【温馨提示】１.解直角三角形的基本思想是“化斜为直”，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性.２.当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是30、45、60度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三角形”.【方法技巧】１.双直角三角形中，公共直角边是“桥梁”，通过它建立起两直角三角形的联系.２.如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的.参考答案1．解：示意图如下：连接AC ，B C ，过点C 作CE ⊥AD 于E .由题意得，∠ACB ＝∠CBE －∠CAD =60°－30°＝30°， ∴∠CAD ＝∠ACB ， ∴BC ＝AB ＝30.在Rt △BEC 中，CE ＝BC sin60°＝30×23＝153（m ）. 答:小河的宽度为153m.2．解：设太婆尖高h 1米，老君岭高h 2米，依题意，有1122100tan 30tan 45100.tan 45tan 60h h h h ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩o o o o，解得150(31)137h =+≈（米），2h 50(33)237=+≈(米). 答：太婆尖的高度约为137米，老君岭的高度约为237米 .3．解：如图所示，过点B 作BF ⊥AD 于F ，可得矩形BCEF ， ∴EF ＝BC ＝4，BF ＝CE ＝4．在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AB ＝5，BF ＝4， 由勾股定理可得22543AF =-=． ∵Rt △CED 中，12CE i ED ==， ∴ED ＝2CE ＝2×4＝8．∴AD ＝AF ＋FE ＋ED ＝3＋4＋8＝15(m)．4．解：过点O 作水平地面的垂线，垂足为E ．在Rt△AOB 中，cos∠OAB ＝OAAB， 即cos28°＝OA 12，∴OA ＝121213.333cos 280.9≈≈︒. ∵∠BAE ＝16°，∴∠OAE ＝28°＋16°＝44°. 在Rt△AOE 中，sin∠OAE ＝OAOE， 即sin44°333.13OE≈，∴OE 333.97.0333.13≈⨯≈， 9.333＋1.5≈10.83(m).∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83 m ． 素材六 数学素养提升太阳光测高是谁最先发现的？金字塔是古埃及国王为自己建造的巨大陵墓.塔基呈四方形，越往上去越狭窄，直到塔顶.从四面看，塔都像我国汉字的“金”字，因此，我国称为“金字塔”.两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的确实高度，于是，命令祭司们去丈量。
7.28.2.2第2课时 坡度方位角与解直角三角形
(2)对于非直角三角形，一般通过作垂线构造直角三角形 ，
将实际问题转化为解直角三角形．
第2课时
坡度、方位角与解直角三角形
2 ．坡度：如图 28－2－42 ，坡面的垂直高度 h 与水平宽度 a 的 h 比叫做坡度(坡比)，即 i＝ . a 3．坡角：斜坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角，l 的长叫做坡 面长．
(4)得到实际问题答案；
归纳 方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
探究 一、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65°方向，距离灯塔80海里的A处， 它正沿着正南方向航行一段时间后，到 达位于灯塔P的南偏东34° 北 A 方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P P C 有多远？
1．如图 28－2－40 所示．
图 28 －2－40
第2课时
坡度、方位角与解直角三角形
[注意 ] 除上面八个方向外还有：南偏西、北偏西、南偏东、北 偏东等方位．如图 28－2－41 所示，图①表示南偏西 60°，图②表 示北偏东 30°.
图 28 －2－41
范例 例1、海中有一个小岛A，它的周围8海 里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航 行。在B点测得小岛A在北偏东60°方向 上，航行12海里到达点D，这时测得小 岛A在北偏东30°方向 A 上，如果鱼船不改变 航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？ B
第2课时
坡度、方位角与解直角三角形
教学重
重点 难点 易错点
利用三角函数解决实际问题 把实际问题转化为数学问题 1.不能正确转换方位角致错 2.不理解坡角的概念致错
点难点
第2课时
坡度、方位角与解直角三角形
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
人教版九年级下册数学28.2.2应用举例——方位角、坡角(共13张PPT)
7 10
)
二、创设情景 知识预备
1 、 方位角:指北或指南方向线与目标方向线所
成的小于90°的角叫做方位角。
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画
出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东
34度方向的射线. 西
北
北
西
东
东
南
南
2、坡度
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的 比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
（4）得到实际问题的答案．
2如图，已知∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，AC=1.
P C 72.8 72.8 1 、 方位角:指北或指南方向线与目标方向线所 P B 130.23 (参考数据：sin35°≈ ，cos35°≈ ，tan35°≈ ) sin B sin 34 0.559 四、巩固应用，当堂检测
谈谈你本节课有一些什么收获？
在Rt△BPC中，＝∠B8＝03×4°cos25°
5m，求路基的下底宽是多少？
65° A
≈80×0.91 解：如图 ，在Rt△APC中，
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.
P
在Rt△BPC中，∠B＝34° 3如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.
第2课时 应用举例（2）
P
2如图，已知∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，AC=1.
C
间后，到达位于灯塔P的南偏东34 1 计算: 4sin30°- cos45°+ tan60°．
中考演练 3．“为了安全，请勿超速”.
人教版九年级下册28.2.2应用举例(第二课时)方位角优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用现实生活中的情境，如迷路、找方向等，引发学生对方位角的兴趣，激发学生的学习动机。
2.通过展示图片、视频等多媒体资源，让学生直观地感受方位角在实际生活中的应用，增强学生的空间想象力。
3.设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动探究方位角的定义和计算方法，提高学生的思维能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，如方位角的定义、计算方法和应用等。
2.学生分享自己在讨论过程中的收获和感悟，总结解决问题的方法和经验。
3.教师强调方位角在实际生活中的应用，提醒学生关注数学与生活的联系。
4.教师对学生的学习情况进行点评，给予肯定和鼓励，并提出改进建议。
（五）作业小结
（三）学生小组讨论
1.教师布置具有挑战性和启发性的任务，让学生分组讨论并解决实际问题。
2.教师指导学生运用所学知识，如方位角、坐标系等，进行问题分析和解决。
3.教师关注学生的讨论过程，及时给予指导和鼓励，促进学生的有效合作。
4.各小组展示讨论成果，分享解决问题的方法和经验，促进学生之间的相互学习和借鉴。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和教训，提高学生的自我认知能力。
2.教师通过课堂提问、作业批改等方式，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导和反馈。
3.教师组织学生进行自我评价和同伴评价，让学生了解自己的优点和不足，培养学生的评价能力。
4.教师注重评价学生的综合素质，如空间想象力、逻辑思维能力、合作意识等，全面客观地评价学生的学习成果。通过评价激发学生的学习动力，促进学生的全面发展。
1.教师布置具有针对性和实践性的作业，让学生巩固所学知识，提高应用能力。
人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）
人教版九年级下册数学 第二十八章28.2.2 课时3 方向角、坡度问题 教学课件
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.01米， 3 1.732， 2 1.414 ).
解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E，F． 由题意可知
D 12米 C
4米
45°
30°
A
E
F
B
DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 在Rt△ADE中， i DE 4 tan 45,
∴BC=AC=12海里，
D
A
∴AF=AC ·cos30°=6 3 (海里)，
60° E 30°
6 3 ≈10.392＞8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． B
CF 东
新课讲解
练一练
如图所示，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高
速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例
课时3 方向角、坡度问题
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
新课讲解
3. 坡度与坡角的关系
i h tan
l 即坡度等于坡角的正切值.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
新课讲解
练一练
1. 斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α =_3_0_度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 __1__:_1. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是__1_:__3__.
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∴tan∠BAC＝25＝BACC＝A30C，解得 AC＝75，故选 A.
图28－2－18
2．[2019·长沙]如图 28－2－19，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方
向，距离灯塔 60 海里的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到
达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离
3≈1.732)
图 28－2－21
【解析】 如答图，设 AB 与北方向轴的交点为 H， 在 Rt△AOH 中，OH＝AOcos45°＝200 2， 在 Rt△BOH 中，BO＝coOs6H0°＝400 2≈566.
第 5 题答图
6．[2019·怀化]如图 28－2－22，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明 在南岸 B 处测得对岸 A 处一棵柳树位于北偏东 60°方向，他以 1.5 m/s 的速度沿着河 岸向东步行 40 s 后到达 C 处，此时测得柳树位于北偏东 30°方向，试计算此段河面的 宽度．
图 28－2－22
解：如答图，过 A 点作 AD⊥BC，垂足为 D．
根据题意可得∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，BC＝ 40×1.5＝60 m， 在 Rt△ABD 中，BD＝taAnD30°＝ 3AD， 在 Rt△ACD 中，CD＝taAnD60°＝ 33AD， ∴BC＝BD－CD＝2 3 3AD＝60， ∴AD＝30 3.∴此段河面的宽度为 30 3 m.
第6题答图
7．[2018·衢州]“五·一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头 A 处小明 接到小陈发来的定位，发现小陈家 C 在自己的北偏东 45°方向，于是沿河边笔直的绿 道 l 步行 200 m 到达 B 处，这时定位显示小陈家 C 在自己的北偏东 30°方向，如图 28－2－23 所示． 根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才到 达桥头 D 处？(精确到 1 m，备用数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
第2题答图
3．[2018·苏州]如图 28－2－20，某海监船以 20 海里/时的速
度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A 处时，
测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 h 到达 B 处，
测得岛屿 P 在其北偏西 30°方向，保持航向不变又航行 2 h 到
达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离(即 PC 的长)为
∵坡度 i＝1∶ 3，∴tanA＝1∶ 3＝ 33，
∴∠A＝30°，∵AB＝50 m， ∴BE＝12AB＝25(m)，即小明沿垂直方向升高了 25 m.
第4题答图
5．[2019·宁波]如图 28－2－21，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 m 的 A 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60°方向的 B 处， 则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为___5_6_6__m___．(精确到 1 m，参考数据： 2≈1.414，
第2课时 位角与坡度问题
1. [2019·广州]如图 28－2－18，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30 m，斜
坡的倾斜角是∠BAC，若 tan∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离 AC 为( A )
A．75 m
B．50 m
C．30 m
D．12 m
【解析】 ∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝25ຫໍສະໝຸດ BC＝30 m，A．40 海里
B．60 海里
( D)
C．20 3 海里
D．40 3 海里
图28－2－20
【解析】 由题意可知 AB＝20，∠APB＝30°， ∴PA＝20 3， ∵BC＝2×20＝40，∴AC＝60， ∴PC＝ PA2＋AC2＝ （20 3）2＋602＝40 3，故选 D．
4．小明沿着坡度 i 为 1∶ 3的直路向上走了 50 m，则小明沿垂直方向升高了___2_5__m. 【解析】 如答图，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，
图 28－2－24
解：如答图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，过 E 作 EG⊥BC 于 G，则四边形 EGHA 是矩 形，
第 8 题答图 ∴EG＝AH，GH＝AE＝2， ∵斜坡 AB 的坡度 i＝1∶1， ∴AH＝BH＝30×30＝900 cm＝9 m，
∴BG＝BH－HG＝7， ∵斜坡 EF 的坡度 i＝1∶ 5，∴FG＝9 5， ∴BF＝FG－BG＝9 5－7， ∴S 梯形 ABFE＝12×(2＋9 5－7)×9＝81 52－45， ∴共需土石为81 52－45×200＝(8 100 5－4 500)m3.
8．[2019·遂宁]汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长 200 m 且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图 28－2－24，加固前大坝背水坡 坡面从 A 至 B 共有 30 级阶梯，平均每级阶梯高 30 cm，斜坡 AB 的坡度 i＝1∶1；加 固后，坝顶宽度增加 2 m，斜坡 EF 的坡度 i＝1∶ 5，问工程完工后，共需土石多少 立方米？(计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号)
是( D )
A．30 3 海里 C．120 海里
B．60 海里 D．(30＋30 3)海里
图28－2－19
【解析】 如答图，过 C 作 CD⊥AB 于点 D，∴∠ACD＝30°，∠BCD ＝45°，AC＝60.在 Rt△ACD 中，sin∠ACD＝AADC，cos∠ACD＝CADC， ∴AD＝AC·sin∠ACD＝60×12＝30，CD＝AC·cos∠ACD＝60× 23＝ 30 3.在 Rt△DCB 中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30 3， ∴AB＝AD＋BD＝30＋30 3.故此时轮船 B 与小岛 A 的距离是(30＋ 30 3)海里．
图 28－2－23
解：设 BD＝x，则 AD＝200＋x， 在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝45°， ∴CD＝AD＝200＋x. 在 Rt△BCD 中，∵∠BCD＝30°， ∴CD＝ 3BD＝ 3x，∴200＋x＝ 3x. ∴x＝100( 3＋1)＝100 3＋100≈273. 答：小明还需继续直走约 273 m 才能到达桥头 D 处．