高中数学_演绎推理教学设计学情分析教材分析课后反思
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演绎推理”的教学设计
前言:此节课的一个教学设计;设计遵循绿色、原生态的教学设计原则;体现以学生为本,课堂教学就是“根的艺术”的生本教学思想,落实学为主体,教为主导,学生是学习的主人,教师是课堂教学的组织者,合作者,引导者的新课程理念。
师:请同学们解答下列问题(引例):
(1)观察数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…,猜测数列的通项公式a n= . (2)三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,推广到空间,你会得到什么结论?
(3)如图∠1=∠2,则直线a,b的位置关系如何?为什么?
生1、(1)a n=1+2+3+…+n= .
(2)锥体的中截面平行底面,其面积等于底面积的 .
生2、(3)a∥b.
理由:如图∠2=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴a∥b.
师:(1)(2)小题得到结论的过程是用的什么推理?
生3:合理推理;
师:你能说的具体些吗?
生3:(1)用到的是归纳推理,(2)用到的是类比推理
师:归纳推理与类比推理的特点分别是什么?
众生:归纳推理是从特殊到一般;类比推理是从特殊到特殊.
师:(3)小题得到结论的过程是合情推理吗?
众生:不是.
师:(3)得到结论的过程不是合情推理,那么这种推理方式是什么呢?这就是这节课我们要学习的课题——演绎推理
(板书或课件中打出:演绎推理)
师:下面我们再看一个命题:
命题:等腰三角形的两底角相等.
师:为了证明这个命题,根据以往的经验,我们应先画出图形,写出已知、求证.请一位同学完成一下?
生4、已知,△ABC中,AB=AC,
求证:∠B=∠C.
师:下面请一位同学到黑板上证明一下,其他同学在练习本上做.
生5:证明:如图作AD⊥BC垂足为D,
在Rt△ABD与Rt△ABC中,
∵AB=AC,……………………………P1
AD=AD,……………………………P2
∴△ADB≌△ADC.……………………P3
∴∠B=∠C.…………………………q
师:同学们看一下,生5的证明正确吗?
众生:正确.
师:还有其它证法吗?
生6:可以作∠BAC的平分线AD交BC于D。也可以取BC的中点D,连接AD,再证明△ADB≌△ADC。
师:很好(师顺便将生5证明的主要步骤标上P1P2P3,q),请同学们再观察生5的证明,P3是怎样得出的?
生7:根据P1P2两个条件为真,依据三角形全等的判定定理,推出P3为真.
师:q是怎样得出的?
生8:由于P3真,根据全等三角形的定义,得到q真.
师:像这种推理的方法叫做演绎推理。请同学们体会一下演绎推理,并尝试说一说什么是演绎推理?
生9:由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理(这一步要在老师的引导下,学生不断完善下完成).
师:请同学们想一想,前面学习的利用合情推理得到的结论一定正确吗?
众生:不一定.
师:而演绎推理与合情推理不同,其基本特征是:当前提为真时,结论必然为真。
师:我们再看前面证明的步骤P3,q,由P3得到q的依据是什么?
众生:三角形全等的定义
师:很好,上面由P3得到q的过程,我们可以详细的写为:
全等三角形的对应角相等…………………………①
△ADB≌△ADC………………………………………②
∠B=∠C……………………………………………③
这就是一个典型的三段论推理,是演绎推理中经常使用的推理形式。其中①是大前提,②是小前提,③是结论。
师:请同学们考虑,一般的三段论可表示为什么?
生10:M是P
S是M
所以,S是P
师:很好,这里“M是P”是什么?“S是M” 是什么?“S是P” 是什么?
生10::“M是P”是大前提—----提供一般性原理,“S是M”是小前提—-----指出一个特殊的对象,“S是P”的结论.
师:大前提与小前提结合,得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系,从而得出“S是P”的结论.
在实际使用三段论时,为了简洁起见,经常略去大前提或者小前提,有时甚至都省略去。例如前面“命题:等腰三角形两底角相等”的证明中,由P3得q就略去大前提“全等三角形的对应角相等”,引例(3)的证明中,得到∠2=∠3时,略去了大前提“对顶角相等”,小前提“∠2,∠3是对顶角”等.师:下面再看几个例题
例1:已知:空间四边形ABCD中,点E、F分别是AB,AD的中点(如图),求证EF∥平面BCD.
(处理方式,请一位同学板演,其他同学在练习本上做,之后师生一起点评,并强调在数学解题的书写时一般是略去“大前提”.除非“大前提”很生疏.从而使学生养成书写严谨的好习惯,并且师生一起小结:线面平行的基本方法.)
例2:求证:当a>1时,有
㏒a(a+1) >㏒(a+1)a,
师:比较两个对数的大小,你能想到经常是用什么知识、方法吗?
生11:对数函数的单调性.
师:证明此题能直接利用对数函数的单调性解决吗?
众生:不能
师:怎样解决这个问题呢?请同学们再仔细观察这两个对数的差异、特点。
生12:第一,这两个对数的底数不同,第二,不等式左边对数的真数大于底数,不等式右边对数的真数小于底数。
师:同学们,你们由此能得到什么启发?
生13: ∵a>1,
∴㏒a(a+1) >㏒a a=1,
㏒(a+1)a<㏒(a+1)(a+1)=1.
从而㏒a(a+1) >㏒(a+1)a.
师:你是如何得到最后结论的?
生13:不等式的性质(传递性)
师:请同学们观察本题的证明?
师:这里用到的推理规则是“如果aRb,bRc,则aRc”,其中R表示具有传递性的关系,这种推理规则叫做传递性关系推理。当然有些“关系”不具备传递性关系,同学们能举出几个例子吗?
生14:“≠”关系不具有传递性.∵1≠2,2≠1,但1≠1是错误的,∴“≠”关系不具有传递性.
生15:“同学”关系不具有传递性.
师:很好,我们再看例3.
例3:证明函数f(x)=x6-x3+ x2-x+1的值恒为正数。
师:要证明一个式子的值恒大于零,一般情况下我们如何处理?
生16:对式子进行恒等变形。
师:请同学们把f(x)变形看一看?
生17: f(x)=x6-x2(x-1)-(x-1)
= x6+(x2+1)(1-x)
师:对生17变形得到的式子,请同学们观察一下对我们证本题有什么帮助?
生18:x6≥0,x2+1>0,要证明f(x)的值恒正只要再加一个条件
1-x≥0,即x≤1就可以了