神经网络(RBF)讲课
RBF神经网络概述
RBF神经网络概述1 RBF神经网络的基本原理2 RBF神经网络的网络结构3 RBF神经网络的优点1 RBF神经网络的基本原理人工神经网络以其独特的信息处理能力在许多领域得到了成功的应用。
它不仅具有强大的非线性映射能力，而且具有自适应、自学习和容错性等，能够从大量的历史数据中进行聚类和学习，进而找到某些行为变化的规律。
径向基函数(RBF)神经网络是一种新颖有效的前馈式神经网络，它具有最佳逼近和全局最优的性能，同时训练方法快速易行，不存在局部最优问题，这些优点使得RBF网络在非线性时间序列预测中得到了广泛的应用。
1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数(Radial-Basis Function, RBF)方法。
1988年，Broomhead和Lowe首先将RBF应用于神经网络设计，构成了径向基函数神经网络，即RBF神经网络。
用径向基函数(RBF)作为隐单元的“基”构成隐含层空间，对输入矢量进行一次变换，将低维的模式输入数据变换到高维空间内，通过对隐单元输出的加权求和得到输出，这就是RBF网络的基本思想。
2 RBF神经网络的网络结构RBF网络是一种三层前向网络：第一层为输入层，由信号源节点组成。
第二层为隐含层，隐单元的变换函数是一种局部分布的非负非线性函数，他对中心点径向对称且衰减。
隐含层的单元数由所描述问题的需要确定。
第三层为输出层，网络的输出是隐单元输出的线性加权。
RBF网络的输入空间到隐含层空间的变换是非线性的，而从隐含层空间到输出层空间的变换是线性。
不失一般性，假定输出层只有一个隐单元，令网络的训练样本对为，其中为训练样本的输入，为训练样本的期望输出，对应的实际输出为;基函数为第个隐单元的输出为基函数的中心;为第个隐单元与输出单元之间的权值。
单输出的RBF网络的拓扑图如图1所示:图1RBF网络的拓扑图当网络输入训练样本时，网络的实际输出为:(1)通常使用的RBF有：高斯函数、多二次函数(multiquadric function)、逆多二次函数、薄板样条函数等。
径向基函数（RBF）神经网络
径向基函数（RBF）神经⽹络RBF⽹络能够逼近任意的⾮线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能⼒，并有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明⼀下为什么RBF⽹络学习收敛得⽐较快。
当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。
由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢。
BP⽹络就是⼀个典型的例⼦。
如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络。
常见的局部逼近⽹络有RBF⽹络、⼩脑模型（CMAC）⽹络、B样条⽹络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的⽅法是要选择P个基函数，每个基函数对应⼀个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表⽰差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输⼊X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输⼊数据点X p是径向基函数φp的中⼼。
隐藏层的作⽤是把向量从低维m映射到⾼维P，低维线性不可分的情况到⾼维就线性可分了。
将插值条件代⼊：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度⽆关，当Φ可逆时，有。
对于⼀⼤类函数，当输⼊的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下⾯的⼏个函数就属于这“⼀⼤类”函数：1）Gauss（⾼斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多⼆次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越⼩，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在⼀些问题：1）插值曲⾯必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经⽹络将拟合出⼀个错误的曲⾯，从⽽使泛化能⼒下降。
RBF神经网络剖析
Keynote: 尤志强
1、RBF函数是为了解决多变量插值问题 2、RBF神经网络是为了解决非线性可分模式分类问 题
为什么要引入RBF神经网 络？
优点
① 它具有唯一最佳逼近的特性，且无BP算法中存在的局部极小问题。 ②RBF神经网络具有较强的输入和输出映射功能，并且理论证明在前向 网络中RBF网络是完成映射功能的最优网络。 ③ 网络连接权值与输出呈线性关系。 ④ 分类能力好。 ⑤ 学习过程收敛速度快。
x 1
2
R1 ( x ) e
e
1
0.3679
0.1353
0
1
x1
0
0.3679
1
R(x1)
空间变换前
空间变换后
RBF神经网络的插值问题
RBF神经网络是基于RBF函数，RBF函数是解决多变量插值问题
首先了解下什么是插值问题？
插值问题
在工程技术上，给出一批离散的点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以满足设计 和加工的需要。反映在数学上，即已知函数在一些点的值，寻求它的分析表达式。
可以将映射S看成一个超曲面
这样，该插值问题可以描述如下： 给定一个包含N个不同点的集合 ，寻找一个函数F： F(Xi)=di, i=1,2,…..N
和相应的N个实数的一个集合 满足下述插值条件：
RBF中的插值问题
径向基函数技术就是要选择一个函数F具有下列形式：
其中
RBF中的插值问题
那么综合以上的公式，我们可以得到在径向基网络（输入参数有N个，隐藏层有N个 节点，输出层有一个节点）中我们可以得到以下的线性方程： 向量d表示期望响应向量， w表示线性权值向量，N 是训练样本的长度 用������表示左边 那么该式就可以转换为： ������w=x 这里的������必须为非奇异矩阵， 因此存在。这样就可以解出 权值向量w，表示为： W=x
神经网络讲义第7章
25.09.2020
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16
(2)在输出层，以径向基神经元的输出作为 线性网络层神经元的输入,确定线性层神经 元的权值和阈值,使之满足(解如下方程)
[ W { 2 , 1 } b { 2 } ] [ A { 1 } ;o n e s ] T
第七章 径向基网络
BP网络在训练过程中需要对网络的所有权 值和阈值进行修正,把它称之为全局逼近神经网 络。全局逼近神经网络学习速度很慢,所以在一 些实时性较强的场合(如实时控制),其应用受到 限制。径向基网络是一种局部逼近网络,对于每 个训练祥本,它只需要对少量的权值和阈值进行 修正,因此训练速度快。
R i1
wl,i pi
2 W-pT
W-pT
T 1/2
（7.3）
称之为欧几里得距离。
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4
径向基函数的图形和符号如图7.2 所示。
图7.2 径向基传输函数的传输特性和符号
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2. 径向基神经网络模型
径向基神经网络同样是一种前馈反向传播网络, 它有两个网络层：隐层为径向基层;输出为一线性 层,如图7.3 所示。
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1
7.1 径向基网络模型
径向基函数(radial basis function , RBF) 方法是在高维空间进行插值的一种技术。 Bromhead和Love在1998年率先使用该技 术,提出了神经网络学习的一种新手段。
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2
径向基神经元模型 径向基神经元模型如图7.1 所示。
RBF神经网络
的权向量为：W = [w , w
1
b j为节点的基宽度参数 ， 且为大于零的数 。 网络 为节点的基宽度参数， 且为大于零的数。
2
⋯wj ⋯wm ]
k时刻网络的输出为： 时刻网络的输出为：
y m ( k )=wh = w1h1+w 2 h2+ ⋯⋯ +w m hm
设理想输出为y(k)， 设理想输出为y(k)，则性能指标函数为：
∂y (k ) ∂ym (k ) ≈ = ∂u (k ) ∂u (k )
m
∑w h
j =1
c1 j − x1 b2 j
j j
其中取 x1 = u(k) 。
6 RBF网络逼近仿真实例 RBF网络逼近仿真实例
使用RBF网络逼近下列对象：
y (k ) = u (k ) +
3
y ( k − 1) 1 + y ( k − 1)
Ii
wij
I
j
I1
. . .
R1
. . .
. .u .
u ..
R
j
. . .
1
1
.
V1
C1
. . .
j
j
.
Vj
.
u ..
Cj
i
i
.V
i
Ri
.
Ci
Hopfield网络模型 Hopfield网络模型
RBF神经网络 RBF神经网络
信息工程学院 Alen Fielding
1 RBF神经网络 RBF神经网络
径向基函数(RBF径向基函数(RBF-Radial Basis Function)神经网络 Function)神经网络 是由J Moody和 Darken在80年代末提出的一种神经 是由J.Moody和C.Darken在80年代末提出的一种神经 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。由于它模拟 了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野Receptive Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 是一种局部逼近网络， 是一种局部逼近网络 ， 它能够以任意精度逼近任意 连续函数，特别适合于解决分类问题。 连续函数，特别适合于解决分类问题。
绝对经典RBF神经网络ppt课件
exp
1
2 i 2
X k ti
2
k 1,2,N;i 1,2,, I
该网络为局部逼近网络
RBF网络的工作原理
函数逼近： 以任意精度逼近任一连续函数。一般函数都可表示成一组 基函数的线性组合，RBF网络相当于用隐层单元的输出构 成一组基函数，然后用输出层来进行线性组合，以完成 逼近功能。
分类： 解决非线性可分问题。RBF网络用隐层单元先将非线性可 分的输入空间设法变换到线性可分的特征空间（通常是高 维空间），然后用输出层来进行线性划分，完成分类功能。
j1
举1.问例题：的提R出：B假F设网如下络的输实入现输出函样本数，输逼入向近量为[-1 1] 区间上等间隔的数组成的向量P,相应的期望值向量为T。
P=-1:0.1:1; T=[-0.9602 -0.5770 -0.0729 0.3771 0.6405 0.6600 0.4609 0.1336 -
则扩展常数可取为
3.学权习值权的学值习可以用LMS学习算法
注意：①LMS算法的输入为RBF网络隐含层的输出
②RBF网络输出层的神经元只是对隐含层
神经元的输出加权和。
因此RBF网奇络异的矩实阵际或输非出方为阵Y的n矩阵不GnW n
其中 Y nXAXy=k存Aj ,在AnX逆,Ak矩=X阵1，,2则若, X称, N为; j 1,2, J
用用L伪M逆S方方法法A求求的解解伪pWi逆Wnv阵（n。AG）在1 D求ma伪Wtl逆aDnb中用d1X,n
e
dk
n
,
d
N
T
D为期望响应 G 是矩阵 G的伪逆
伪逆的求法 G G T G 1 G T
RBF（径向基）神经网络
RBF（径向基）神经⽹络 只要模型是⼀层⼀层的，并使⽤AD/BP算法，就能称作 BP神经⽹络。
RBF 神经⽹络是其中⼀个特例。
本⽂主要包括以下内容：什么是径向基函数RBF神经⽹络RBF神经⽹络的学习问题RBF神经⽹络与BP神经⽹络的区别RBF神经⽹络与SVM的区别为什么⾼斯核函数就是映射到⾼维区间前馈⽹络、递归⽹络和反馈⽹络完全内插法⼀、什么是径向基函数 1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数（RBF）⽅法。
径向基函数是⼀个取值仅仅依赖于离原点距离的实值函数，也就是Φ（x）=Φ(‖x‖),或者还可以是到任意⼀点c的距离，c点称为中⼼点，也就是Φ（x，c）=Φ(‖x-c‖)。
任意⼀个满⾜Φ（x）=Φ(‖x‖)特性的函数Φ都叫做径向基函数，标准的⼀般使⽤欧⽒距离（也叫做欧式径向基函数），尽管其他距离函数也是可以的。
最常⽤的径向基函数是⾼斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中x_c为核函数中⼼,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作⽤范围。
⼆、RBF神经⽹络 RBF神将⽹络是⼀种三层神经⽹络，其包括输⼊层、隐层、输出层。
从输⼊空间到隐层空间的变换是⾮线性的，⽽从隐层空间到输出层空间变换是线性的。
流图如下： RBF⽹络的基本思想是：⽤RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，这样就可以将输⼊⽮量直接映射到隐空间，⽽不需要通过权连接。
当RBF的中⼼点确定以后，这种映射关系也就确定了。
⽽隐含层空间到输出空间的映射是线性的，即⽹络的输出是隐单元输出的线性加权和，此处的权即为⽹络可调参数。
其中，隐含层的作⽤是把向量从低维度的p映射到⾼维度的h，这样低维度线性不可分的情况到⾼维度就可以变得线性可分了，主要就是核函数的思想。
这样，⽹络由输⼊到输出的映射是⾮线性的，⽽⽹络输出对可调参数⽽⾔却⼜是线性的。
⽹络的权就可由线性⽅程组直接解出，从⽽⼤⼤加快学习速度并避免局部极⼩问题。
径向基神经网络学习算法(RBF)
Mezer chen 2018.5.9
RBF简介
1989年，Moody和Darken提出了一种由两个阶段组成的混 合学习过程的思路。
①无监督的自组织学习阶段 ②有监督学习阶段
其任务是用自组织聚类方法为隐 层节点的径向基函数确定合适的 数据中心，并根据各中心之间的 距离确定隐节点的扩展常数。 一般采用Duda和Hart1973年提 出的k-means聚类算法。
其任务是用有监督 学习算法训练输出 层权值，一般采用 梯度法进行训练。
RBF网络的工作原理
RBF网络特点
只有一个隐含层，且隐层神经元与输出层神经元的模型不同。 隐层节点激活函数为径向基函数，输出层节点激活函数为线 性函数。 隐层节点激活函数的净输入是输入向量与节点中心的距离 （范数）而非向量内积，且节点中心不可调。 隐层节点参数确定后，输出权值可通过解线性方程组得到。 隐层节点的非线性变换把线性不可分问题转化为线性可分问 题。 局部逼近网络（MLP是全局逼近网络)，这意味着逼近一个输 入输出映射时，在相同逼近精度要求下，RBF所需的时间要 比MLP少。 具有唯一最佳逼近的特性，无局部极小。 合适的隐层节点数、节点中心和宽度不易确定。
RBF神经网络中心选取
① 从样本输入中选取中心
一般来说，样本密集的地方中心点可以适当多些，样本 稀疏的地方中心点可以少些；若数据本身是均匀分布的，
中心点也可以均匀分布。总之，选出的数据中心应具有代
表性。径向基函数的扩展常数是根据数据中心的散布而确 定的，为了避免每个径向基函数太尖或太平，一种选择方 法是将所有径向基函数的扩展常数设为
d max 2I
② 自组织选取中心法
常采用各种动态聚类算法对数据中心进行自组织选择，在
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结构思路
• 发展简史 • 基本思想 • 径向基函数（高斯函数） • 神经网络模型 • 工作原理 • 学习算法
• MATLAB实现
发展简史
• Broomhead和Lowe最早将RBF (Radical Basis Function）用于神经网络设计之中。 他们在1988年发表的论文《Multivariable functional interpolation and adaptive networks》中初步探讨了RBF用于神经网络设计与应用于传统插值领域的不同特点， 进而提出了一种三层结构的RBF神经网络。
n b
y
wih
• 激活函数采用径向基函数
• 以输入和权值向量之间的 距离作为自变量
径向基函数（RBF）
σ 称为基函数的扩展常数 或宽度， σ越小，径向基 函数的宽度越小，基函数 就越有选择性。
r 1. Gauss（高斯）函数：
2 r exp 2 2
r 2 r 2. 反演S型函数： 1 exp 2
1
3. 拟多二次函数： r
r
1
2
2
1/2
RBF神经网络模型
• 径向基神经网络结构
RBF神经网络模型
RBF神经网络工作原理
• RBF的非线性分类能力是什么？
RBF神经网络工作原理
• 固定中心法 • 自组织选取中心法
• 有监督选取中心法
基于K-MEANS聚类方法求取基函数中心
• K-means算法，也被称为k-平均或k-均值，是一种得到最广泛使用的聚 类算法。
• 算法首先随机地选择k个对象，每个对象初始地代表了一个簇的平均 值或中心。对剩余的每个对象根据其与各个簇中心的距离，将它赋给 最近的簇。然后重新计算每个簇的平均值。这个过程不断重复，直到 准则函数收敛。
RBF网络学习算法的MATLAB实现
RBF网络的MATLAB函数及功能
函 数 名 newrb() 功 能
新建一个径向基神经网络
newrbe()
newgrnn() newpnn()
新建一个严格的径向基神经网络
新建一个广义回归径向基神经网络 新建一个概率径向基神经网络
RBF网络学习算法的MATLAB实现
•
RBF网络的基本思想
• 用RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，将输入矢量直接(即不需要通过权 连接)映射到隐空间 • 当RBF的中心点确定后，映射关系也就确定 • 隐含层空间到输出空间的映射是线性的
RBF神经网络模型
• 径向基神经网络的神经元结构
x1 x2 xm
· · ·
w1h w2h
dist
x 1
2
2
e1 0.3679
RBF神经网络工作原理
• RBF解决异或问题
x2 1 R(x2) 1
0.1353
0
1
x1
0
0.3679
1
R(x1)
空间变换前
空间变换后
RBF网络的学习算法
• 学习算法需要求解的参数
• 径向基函数的中心 • 方差 • 隐含层到输出层的权值
• 学习方法分类（按RBF中心选取方法的不同分）
RBF网络学习算法的MATLAB实现
• 例 建立一个径向基神经网络，对非线性函数y=sqrt(x)进行逼近，并 作出网络的逼近误差曲线。
%输入从0开始变化到5，每次变化幅度为0.1 x=0:0.1:5; y=sqrt(x); %建立一个目标误差为0，径向基函数的分布密度为 %0.5，隐含层神经元个数的最大值为20，每增加5个 %神经元显示一次结果 net=newrb(x,y,0,0.5,20,5); t=sim(net,x); %在以输入x和函数值与网络输出之间的差值y-t坐标 %上绘出误差曲线，并用＂*＂来标记函数值与网络输 %出之间的差值 plot(x,y-t,'*-')
• 准则函数常常使用最小平方误差MSE • Minimum Squared-Error
K-MEANS算法过程
K-MEANS初值敏感
K-MEANS聚类总结
• 算法复杂度O(nkt)，其中t是迭代次数。
• 优点： • 是解决聚类问题的一种经典算法，简单、快速 • 对处理大数据集，该算法保持可伸缩性和高效率 • 当结果簇是密集的，而簇与簇之间区分明显时，它的效果 较好 • 常常用于其他聚类算法的一个阶段，如谱聚类
• newrb()
• 功能 • 建立一个径向基神经网络 • 格式 • net = newrb(P，T，GOAL，SPREAD，MN，DF) • 说明 • P为输入向量，T为目标向量，GOAL为圴方误差，默认为0， SPREAD为径向基函数的分布密度，默认为1，MN为神经元的最 大数目，DF为两次显示之间所添加的神经元神经元数目。
Moody 和 Darken 在 1989 年 发 表 文 章 《Fast learning in network of locallytunedprocessing units》，提出一种含有局部响应特性的神经网络，这种网络实际上 与Broomhead和Lowe提出的RBF神经网络是一致的，他们还提出了RBF神经网络的 训练方法。
谢谢聆听
空间1
变换 空间变换
空间2
不易解决问题
空间1 线性不可分
易解决问题
空间2 线性可分
RBF神经网络工作原理
• RBF解决异或问题
X1 X2
输入
R1(X)
x1
x2 0 1 0 1 R1(X)
y 0 0 1 1 R2(X) 0.3679 0.3679 1 0.1353
∑
R2(X)
径向基神经元
x 1
2
y
输出 x1 1 0 0 1 x2 0 1 0 1
1 0 0 1
R1 ( x ) e
1 1 1
0.3679 0.3679 0.1353 1
R2 ( x ) e
x 2
2
2 0
0
x 1 ( x1 1)2 ( x2 1)2 1 R1 ( x ) e
K-MEANS聚类总结
• 缺点： • 在簇的平均值被定义的情况下才能使用，不适涉及有分类属性的数据 • 必须事先给出k（要生成的簇的数目），而且对初值敏感，对于不同 的初始值，可能会导致不同结果。 • 不适合于发现非凸面形状的簇或者大小差别很大的簇
• 对躁声和孤立点数据敏感 • 算法常以局部最优结束
•
发展简史
• 以后的研究者针对以前研究中存在的问题与不足提出了许多改进的方法，比如 Chen 提 出 的 OLS(Orthogonal Least Squares) 算 法 ； S.Lee 等 人 提 出 的 HSOL (Hierarchically Self-Organizing Learning) 算 法 ； Platt 提 出 的 RAN(Resource Allocating Network) 在 线 学 习 算 法 ； Kadirkamanathan 和 Niranjan 提 出 的 RANEKF(RAN via Extended Kalman Filter)算法等。 RBF 神经网络主要用于解决模式分类和函数逼近等问题。在数学上，RBF神经 网络结构的合理性可由 Cover 定理得到保证，即对于一个模式问题，在高维数据空 间中可能解决在低维空间中不易解决的分类问题。它以径向基函数作为隐节点的激 活函数，具有收敛速度快、逼近精度高、网络规模小等特点。
RBF网络学习算法的MATLAB实现
• 例 误差曲线和逼近曲线
举例：RBF网络实现函数逼近
1.问题的提出：假设如下的输入输出样本，输入向量为[-1 1]区间上等间隔的数组 成的向量P,相应的期望值向量为T。
3.网络测试：将网络输出和期望值随输入向量变化 的曲线绘制在一张图上，就可以看出网络设计是 否能够做到函数逼近。