2021-2022年高三10月月考试题数学文
山东省菏泽市鄄城县第十二中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析
山东省菏泽市鄄城县第十二中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在［1，+）上的函数满足：①（为正常数）；②当时，。
若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．4或2参考答案：C2. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A．111 B．117 C．118 D．123参考答案：B3. 函数的图像大致为参考答案：A略4. 已知是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0,1）时，=3x1，则f(log35)=（）A、 B、? C、4 D、参考答案：B试题分析：因为是定义在上周期为的奇函数，所以，又，所以，所以，故选B.考点：1.函数的表示；2.函数的奇偶性与周期性.5. 已知是周期为2的奇函数，当时，，若，则等于（）A. －1B. 1C.－2D. 2参考答案：B【分析】利用周期性和奇偶性得，结合得a,b的值即可求解【详解】由周期为2,则4也为周期故，即又，∴，，故.故选B【点睛】本题考查利用周期性与奇偶性求值，考查推理能力，注意的应用6. 设实数满足，且，实数满足，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知A={x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的最大值比最小值大1，则底数a的值为（）A．B．C．π﹣2 D．或参考答案：D【考点】对数函数的值域与最值．【分析】由题意讨论a的取值以确定函数的单调性及最值，从而求解．【解答】解：当0＜a＜1时，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是减函数，故log a2﹣log aπ=1；故a=；当a＞1，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是增函数，故log aπ﹣log a2=1；故a=故选D．8. 设集合，如果方程至少有一个根，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为（）参考答案：C9. 参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线参考答案：D10. 在平面直角坐标系中，A（，1），N点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是A、4B、3C、2D、1参考答案：B由题意可知向量的模是不变的，所以当与同向时最大，结合图形可知，．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为．参考答案：﹣41【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中各项系数的和2求得m的值，再把二项式展开，求得该展开式中含x的系数．【解答】解：∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2，∴m=1，∴=（x+）?（?（2x）5﹣?（2x）4+?（2x）3﹣?（2x）2+?2x﹣），则该展开式中含x的系数为﹣﹣?4=﹣41，故答案为：﹣41．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12. 理：若、是一元二次方程的两根，则= .参考答案：；13. 如图所示，M，N是函数图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，则_________参考答案：14. 一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．参考答案：由题意知，解得。
2021-2022学年云南省曲靖市市麒麟区茨营乡第一中学高三数学文月考试题含解析
2021-2022学年云南省曲靖市市麒麟区茨营乡第一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且，则称为上的高调函数．如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A2. 设某气象站天气预报准确率为，则在3次预报中恰有2次预报准确的概率是(A) 0.001 (B) 0.729 (C) 0.027 (D) 0.243参考答案：D略3. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得几何体的体积是( )cm3．A．4 B．3 C．6 D．5参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，所以几何体的体积为：=4故选：A．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．4. 已知椭圆的焦点为，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得的点M的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 已知集合 A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=|x|，x∈A}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{0，2，3}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合 A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=|x|，x∈A}={0，1，2，3}，所以A∩B={0，2，3}．故选：D．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．6. 设满足约束条件若目标函数的最大值是12，则的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：D7. 为了测量某塔的高度，在一幢与塔相距的楼顶处测得塔底的俯角为，测得塔顶的仰角为，那么塔的高度是（单位：）A. B. C.D.参考答案：C8. 已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（）参考答案：C9. 从（其中）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（） A． B． C．D．参考答案：B略10.从存有号码为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( )A 0.53，B 0.5，C 47，D 0.37。
重庆市2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含答案
重庆高2024届高三上10月质量监测数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x b a a A b B ⊗==-∈∈，若{1,4},{1,2}A B ==-，则A B ⊗中的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】计算可求得{}0,3,3A B ⊗=-，可得结论.【详解】因为{1,4},{1,2}A B ==-，当1,1a b ==-时，20x b a =-=，当1,2a b ==时，23x b a =-=，当4,1a b ==-时，23x b a =-=-，当4,2a b ==时，20x b a =-=，所以{}0,3,3A B ⊗=-，故A B ⊗中的元素个数为3.故选：C.2.直线10ax y +-=被圆22(1)(4)4x y -+-=所截得的弦长为a =（）A.43-B.34-C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】先求出圆心到直线10ax y +-=的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出a 的值.【详解】圆22(1)(4)4x y -+-=的圆心为(1,4)，半径为2r =，1=，根据点到直线距离公式，知圆心(1,4)到直线10ax y +-=的距离1d ==，化简可得22(3)1a a +=+，解得43a =-.故选：A.3.已知:p x a ≥，:||6q x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围为（）A.(−∞,−3]B.(−∞,−3)C.[3,+∞)D.(3,+∞)【答案】A 【解析】【分析】由题意可得6a a ≤--，求解即可.【详解】由||6x a +<，解得66a x a --<<-，由p 是q 的必要不充分条件，所以6a a ≤--，解得3a ≤-，所以a 的取值范围为(,3]-∞-.故选：A.4.下列说法中，正确的是（）A.设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为1B.已知数据2，3，5，7，8，9，10，11，则该组数据的上四分位数为9C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C 【解析】【分析】依据方差的性质计算可判断选项A ；求得四分位数可判断选项B ；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C ；由频率直方图的意义可判断D.【详解】对于A ，设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为2100.110⨯=，故A 错误；对于B ，因为80.756⨯=，所以该组数据的上四分位数为9109.52+=，故B 错误；对于C ，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，故C 正确；对于D ，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故D 错误.故选：C.5.已知3a log 6=，5log 10b =，7log 14c =，则（）A.b a c << B.c b a<< C.a b c<< D.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解.【详解】因为3321log 61log 21,log 3a ==+=+5521log 101log 21log 5b ==+=+,7721log 141log 21log 7c ==+=+且222log 7>log 5log 3>0>；所以a b c >>.故选：B.6.已知2F 是椭圆()222210+=>>x y a b a b的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A.3B.5C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ += 由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅=所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b =，即1||2PF b=所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得22222513c a b b e a a a -===-，故选：A7.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝212x⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则在区间(－2，6)上关于x 的方程f(x)－log 8(x＋2)＝0的解的个数为A.4 B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】把原方程转化为()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，原方程等价于()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，作出()f x 在(0,2)上的图象，再根据()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，结合对称性，可得作出()f x 在()2,6-上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出8log (2)y x =+的图象，同时注意其图象过点(6,1)，由图可知，两图象在区间()2,6-内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．8.已知函数() )2023f x x =-+，,a b 满足 (2)(4)4046(,f a f b a b +-=为正实数)，则242b a a ab b ++的最小值为（）A.1B.2C.4D.658【答案】B 【解析】【分析】由已知构造函数()()2023g x f x =-，探讨函数()g x 的单调性、奇偶性，进而求得24a b +=，再利用基本不等式求解即得.【详解】令()()2023)g x f x x =-=-||x x >≥，得()g x 定义域为R ，()()))ln10g x g x x x -+=+==，即函数()g x 是奇函数，而())g x x -=-，当0x ≥时，函数u x =+是增函数，又ln y u =是增函数，于是函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，由奇函数的性质知，函数()g x 在(,0]-∞上单调递减，因此函数()g x 在R 上单调递减，由(2)(4)4046f a f b +-=，得(2)2023(4)20230f a f b -+--=，即(2)(4)0g a g b +-=，所以(2)(4)(4)g a g b g b =--=-，则24a b =-，即24a b +=，又0,0a b >>，所以244422(2)4b b b a ab b a b a a a a a b b +=+=+≥++，当且仅当164,99a b ==时取等号，所以242b a a ab b ++的最小值为2.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.9.已知1,0a b c >><，则（）A.c a <cbB.()ac ->()bc -C.a cb a +⎛⎫< ⎪⎝⎭b cb a +⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()log b a c ->()log a b c -【答案】CD 【解析】【分析】对于A,B ，取特殊值判断即可；对于C,利用指数函数的单调性判断即可；对于D,利用对数函数的单调性判断即可.【详解】对于A,不妨取4,2,c 1a b ===-，则c 1c 1,42a b =-=-,此时c ca b>,故A 错误;对于B,不妨取4,2,c 1a b ===-,则42()11,()11a b c c -==-==，此时()()a b c c -=-,故B 错误;对于C,因为1a b >>,所以01b a <<,所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，因为0c <,所以a c b c +>+,所以a cb cb b a a ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确;对于D,因为1a b >>,所以对数函数log b y x =和log a y x =在()0,∞+上单调递增，因为0c <,所以1a c b c ->->,所以()()log log 0b b ac b c ->->又()()log log 0b a b c b c ->->,所以()()log log b a a c b c ->-,故D 正确.故选：CD.10.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（）A.所有可能的方法有43种B.若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种C.若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC 选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B 选项的正确性，利用排列数计算判断D 选项的正确性.【详解】对于A ，所有可能的方法有34种，故A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13C 927⨯=种，第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有23C ，另外一名志愿者的排法有3种，此种情况共有23C 39⨯=种，第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确.对于D ，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有34A 24=种安排，D 正确.故选：BCD.11.已知双曲线22:1(01)91x y C k k k +=<<--，则（）A.双曲线C 的焦点在x 轴上B.双曲线C 的焦距等于C.双曲线CD.双曲线C的离心率的取值范围为1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：对A ：因为01k <<，所以90k ->，10k -<，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k-=<<--表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对B ：由A 知229,1a k b k =-=-，所以222102c a b k =+=-，所以c =所以双曲线C的焦距等于)21c k <<=，故选项B 错误；对C ：设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，焦点坐标为(),0c ±，则渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，所以焦点到渐近线的距离d b ==，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k -=<<--C 正确；对D ：双曲线C的离心率e ===，因为01k <<，所以8101299k <-<-，所以13,e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝=⎭，故选项D 正确.故选：ACD.12.信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质：①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.克劳德⋅香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式21()log1nii i H X CP P ==-=∑，令1=C ，设随机变量X 所有取值为1，2，3，⋯，n ，且()()01,2,3,,i P X i P i n ==>= ，11nii P ==∑，则下列说法正确的有（）A.1n =时，()0H X =B.n =2时，若1P ∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()H X 的值随着1P的增大而增大C.若1P =2P =112n -，1k P +=2kP (2,N k k ≥∈)，则()2122n H X -=-D.若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为12m ，，，，且()()()()2112P Y j P X j P X m j j m ===+=+-= ，，，，，则()()H X H Y ≤【答案】ABC 【解析】【分析】A 直接利用公式求解；B 先求出()2log H X n =,再判断单调性即可求解；CD 分别求出()H X 和()H Y ,结合对数函数单调性放缩即可求解.【详解】对于A ：若1n =,则11,1i P ==,因此()()21log 10,A H x =-⨯=正确;对于B ：当2n =时,()()()112112110,,log 1l 12P H x PP P og P ⎛⎫∈=---- ⎪⎝⎭，令()()()221log 1log 1,0,2f t t t t t t ⎛⎫=----∈ ⎪⎝⎭，则()()2221log log 1log 10f t t t t ⎛⎫=-+-=-> ⎪⎝⎭'，即函数()f t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以()H x 的值随着1P的增大而增大,B 正确;对于C ：()12111,22,N 2k k n P P P P k k +-===≥∈，则22211212,222k k k n n k P P k ----+=⨯==≥，22111111log log 222k k n k n k n k n k P P -+-+-+-+==-,，而1212111111log log 222n n n n P P ----==-，于是()2111222111221log ...222222n k k n n n n k n n n n H x P P ----=----=+=+++++∑1122112212222222n n n n n n n n n n ------=-++++++ 令231123122222n n n n nS --=+++++ ，则234112312221222n n n S n n +-=+++++ ，两式相减得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=-- ，因此222n n n S +=-,()112112122222222nn n n n n n n n n n n H x S -----+=-+=-+-=-，C 正确；对于D ,若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()()()()21,1,2,,P Y j P X j P X m j j m ===+=+-=⋯,222211()l 1og log m mi i i i i iH x P P P P ===-=∑∑122221222122121111log log log log m m m m P P P P P P P P --=++++ ()()()()122221212122211111log log log m m m m mm m m H Y P P P P P P P P P P P P -+-+=+++++++++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mP P P P P P P P P P P P ---=++++++++ 由于()01,2,,2i P i m >= ,即有2111i i m i P P P +->+,则222111log log i i m iP P P +->+,因此222111log log i i i i m iP P P P P +->+,所以()()H X H Y >,D 错误.故选:ABC .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P 为椭圆221123x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F PF ∠︒＝，则12F PF 的面积为_______.【解析】【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得.【详解】由已知得a =，b =，所以3c ===，从而1226F F c ==，在12F PF 中，2221212122cos 60F F PF PF PF PF ⋅︒＝＋－，即22121236PF PF PF PF ⋅＝＋－①，由椭圆的定义得12PF PF +=，即221212482PF PF PF PF ⋅＝＋＋②，由①②得124PF PF ⋅＝，所以12121sin 602F PF S PF PF ⋅⋅=︒= .14.若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式得3a b ab +=-≥，再解不等式可得结果.【详解】因为3a b ab +=-≥（当且仅当a b =时，等号成立），所以230--≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：915.设关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为___________.【答案】1[1,3--【解析】【分析】令2()2f x x ax a =-+，根据不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个整数解，结合二次函数性质判断整数解为0,1-，从而列出不等式，求得答案.【详解】由题意可得当a<0时，280a a ∆=->，令2()2f x x ax a =-+，则其图象对称轴为02ax =<，且(0)20f a =<，故关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个的整数解为0,1-，则(1)130f a -=+<且(2)440f a -=+≥，解得113a -≤<-，故答案为：1[1,3--.16.已知函数()12e 0ƒ210x x x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，，，若方程()2f x ⎡⎤⎣⎦−()bf x +4=0有6个相异的实数根，则实数b 的取值范围是__________.【答案】44e eb <<+【解析】【分析】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,进而数形结合,将问题转化为方程240t bt -+=有两个不相等的实数根12,t t ,再结合二次函数零点分布求解即可.【详解】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,如图:令()t f x =，因为方程()()240fx bf x -+=有6个相异的实数根,所以方程240t bt -+=有两个不等的实根，所以2160b ∆=->,解得4b <-或4b >,不妨设这两根12t t <,则1212t t =⎧⎨=⎩或12122e t t <<⎧⎨<<⎩,当1212t t =⎧⎨=⎩时，123t t b +==，且1224t t ==，所以无解；当12122e t t <<⎧⎨<<⎩时，令()24g t t bt =-+,只需()()()1020e 0g g g ⎧>⎪<⎨⎪>⎩,即21404240e e 40b b b -+>⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩,解得44e e b <<+,终上所述：44e eb <<+.故答案为:44e eb <<+.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知函数() 938xf x a x =-⋅+.（1）当2a =时，求不等式() 16f x ≥的解集；（2）若函数() f x 在()0,∞+有零点，求实数a .【答案】（1）[)3log 4,+∞（2）)⎡+∞⎣【解析】【分析】（1）令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，再由()16f x ≥，解不等式即可；（2）函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，即8a t t=+在1,+∞上有解，由基本不等式求出a 的取值范围.【小问1详解】因为()938xf x a x =-⋅+，令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，当2a =时，()()2280g t t t t =-+>，()16f x ≥即()16g t ≥，即2280t t --≥，由0t >，解得4t ≥，即34x ≥，解得3log 4x ≥，所以原不等式的解集为[)3log 4,∞+.【小问2详解】因为函数3x t =在R 上单调递增，所以函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，280t at -+=由大于1的解，即8a t t=+在1,+∞上有解，因为8t t +≥=8t t =，即t =时等号成立，得a ≥所以实数a 的取值范围为)∞⎡+⎣.18.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(4,P .（1）求双曲线的方程；（2）直线l y kx =+：C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围.【答案】（1）22166x y -=（2）13k <<【解析】【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及12120,0x x x x +求解即可.【小问1详解】双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,设双曲线的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>由c e a ===,可得a b =,由双曲线过点(4,,可得2216101a b-=,解得6a b ==,则双曲线的标准方程为22166x y -=;【小问2详解】联立直线与双曲线方程22166x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()22180kx---=，则210k -≠，假设1122()A x y B x y ,,(,),则()222122122Δ)3213224001801k k x x k x x k ⎧=+-=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩，解得13k <<.19.已知()x f x e ex =-+（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设21()ln 2g x x x ax =++，若对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；（Ⅱ）问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立，分离参数可得ln 12x a x x ->+，构造函数()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ） ()x f x e ex =-+，()xf x e e '∴=-+，令()0f x '>，解得1x <；令()0f x '<，解得1x >，()f x \在−∞,0单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10f x f ∴==；（Ⅱ）对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <等价于()()12max g x f x <，由（Ⅰ）()()2max 10f x f ==，则问题转化为()0g x <在(]0,2恒成立，化得21ln ln 122x xx a x x x +->=+，令()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，则()21ln 12x h x x -'=+，当(]0,2x ∈时，1ln 0x ->，得()0h x '>，()h x ∴在(]0,2单调递增，()()max 12ln 212h x h ∴==+，则1ln 212a ->+，即1ln 212a <--，故a 的取值范围为1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立.20.图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,,O M N 分别为线段11,,BC AA BB 的中点，P 为线段1AC 上的动点，11,3,4,82AO BC AB AC AA ====.（1）求三棱锥1C C MN -的体积；（2）试确定动点P 的位置，使直线MP 与平面11BB C C 所成角的正弦值最大.【答案】（1）16（2）P 为1AC 的中点【解析】【分析】（1）由题意可得BA ⊥平面11AA C C ，进而可证MN ⊥平面11AA C C ，利用等体积法可求三棱锥1C C MN -的体积；（2）以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,发现为的中点时所成角的正弦值最大.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥，由12AO BC =，O 是BC 的中点，则BA AC ⊥，因为1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面11AA C C ，所以BA ⊥平面11AA C C ，因为,M N 分别为线段11,AA BB 的中点，所以//MN AB ，所以MN ⊥平面11AA C C ，因为13,4,8AB AC AA ===，所以N 平面1CC M 的距离为3，因为四边形11AA C C 为矩形，M 为线段1AA 的中点，所以116CC M S = ，所以111163163C C MN N CC M V V --==⨯⨯=.【小问2详解】在ABC V 中，因为O 是BC 的中点，12AO BC =，所以BA AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,,AA AB AA AC ⊥⊥以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,由题设可得11(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,4,8),(0,0,4),(3,0,8),(3,0,4)A B C C M B N ，1(3,4,0),(0,0,8)BC BB =-=，设平面11BB C C 的法向量为(,,)n x y z =，则1·340·80BC n x y BB n z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩ ，令4x =，得3,0y z ==，所以平面11BB C C 的法向量为(4,3,0)n =，设(,,)P a b c ，1(01)AP mAC m =≤≤，则(,,)(0,4,8)a b c m =，所以(0,4,8)P m m ，(0,4,84)MP m m =-，设直线MP 与平面11BB C C 所成的角为θ，则222||sin ||||516(84)5541n MP n MP m m m m θ===+--+，若0m =，sin 0θ=此时，点P 与A 重合；若0m ≠，令11t m=≥，则2233355545(2)1sin t t t θ=≤-+-+=，当2t =，即12m =，P 为1AC 的中点时，sin θ取得最大值35.21.树德中学为了调查中学生周末回家使用智能手机玩耍网络游戏情况，学校德育处随机选取高一年级中的100名男同学和100名女同学进行无记名问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生?②你是否使用智能手机玩耍网络游戏?调查分两个环节：第一个环节：先确定回答哪一个问题，让被调查的200名同学从装有3个白球，3个黑球(除颜色外完全相同)的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题；第二个环节：再填写问卷(只填“是”与“否”).回收全部问卷，经统计问卷中共有70张答案为“是”.（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校中学生使用智能手机玩耍网络游戏的概率；（2）据核查以上的200名学生中有30名男学生使用智能手机玩耍网络游戏，按照(1)中的概率计算，依据小概率值α=0.15的独立性检验，能否认为中学生使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关联；若有关联，请解释所得结论的实际含义.参考公式和数据如下：()()()()()22n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++，.α0.150.100.050.0250.005 xα 2.072 2.706 3.841 5.0247.879【答案】（1）1 4（2）有关联，答案见解析【解析】【分析】(1)由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；(2)通过计算2χ，进而即得.【小问1详解】因为摸到同色两球的概率223326C+C2C5 p==，所以回答第一个问题的人数为2 200805⨯=人，回答第二个问题的人数为20080120-=人，因为男女人数相等，是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为180402⨯=人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为704030-=人，所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为301 1204=.【小问2详解】由(1)可知200名学生使用智能手机玩网络游戏估计有50人，则有20名女生使用智能手机玩网络游戏男女合计使用智能手机玩游戏302050不用智能手机玩游戏7080150100100200零假设为：0H 使用智能手机玩耍游戏与性别无关，()222003080207082.67 2.072501501001003χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯根据小概率值0.15α=的独立性检验，推断0H 不成立，因此认为使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.15.在男生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.3,0.7，在女生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.2,0.8，在被调查者中男生使用智能手机玩耍游戏是女生的1.5倍，于是根据概率稳定概率的原理，我们可以认为男士使用智能手机玩耍网络游戏的概率大于女生使用智能手机玩耍网络游戏的概率.22.在平面直角坐标系中，动点M 到()10，的距离等于到直线=−1的距离.（1）求M 的轨迹方程；（2）P 为不在x 轴上的动点，过点P 作（1）中M 的轨迹的两条切线，切点为A ，B ；直线AB 与PO 垂直(O 为坐标原点)，与x 轴的交点为R ，与PO 的交点为Q ；（ⅰ）求证：R 是一个定点；（ⅱ）求PQ QR的最小值.【答案】（1）24y x=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求M 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，由切线AP 和BP 的方程，得到直线AB 的方程为()002yy x x =+，又直线AB 与PO 垂直得02x =-，则直线AB 的方程()022yy x =-，可得所过定点.（ⅱ）联立直线AB 与直线OP 的方程得交点Q 的坐标，表示出PQ QR，结合基本不等式求最小值.【小问1详解】因为动点M 到()1,0的距离等于到直线=−1的距离，所以M 的轨迹为开口向右的抛物线，又因为焦点为()1,0，所以轨迹方程为24y x =.【小问2详解】（ⅰ）证明：设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，设以1,1为切点的切线方程为()11y y k x x -=-，联立抛物线方程,可得2114440ky y y kx -+-=，由()21Δ420ky =-=，得12k y =，所以切线AP ：()112yy x x =+，同理切线BP ：()222yy x x =+点P 在两条切线上，则010102022()2()y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩，由于()()1122,,,A x y B x y 均满足方程()002yy x x =+，故此为直线AB 的方程，由于垂直1AB OP k k ⋅=-即0021y y x ⋅=-，则02x =-，所以直线AB 的方程()022yy x =-，恒过()2,0R ；（ⅱ）解：由（ⅰ）知02x =-，则()()02,,2,0P y R -，直线()0:22AB yy x =-联立直线AB 与直线OP 的方程()00222y y x yy x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得0220048,44y Q y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()()()()()2223220000222202220000224220022222200021684824444||=416||4824444y y y y y y y y y PQ y y RQ y yyy y ++⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222222000004222004888441644y y y y y y y y y +++++==++422000220016641164.16844y y y y y ⎛⎫++=⋅=++≥ ⎪⎝⎭因此||||PQ QR ≥0y =±时取等号.即PQ QR的最小值是.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，求最值经常与基本不等式相联系．。
2024-2025学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学试题及答案
1.已知集合2，0，则A ．{}2x x ≤B ．{}4x x ≤C ．{}04x x <≤D ．{}02x x <≤2.设()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥，则a b +=A ．5B ．C ．20D ．253.设甲：{}n a 为等比数列；乙：{}1n n a a +⋅为等比数列，则A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4.已知tan 3α=-，则3sin sin sin 2（）ααπα-=+A ．34-B ．34C ．310D ．310-5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是A ．47（，）-∞B ．33（-，）∞C ．(]0，-∞D ．()0，-∞6.已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于,A B 两点，与E 的准线交于,C D两点，若CD =，则AB =A ．3B ．4C ．6D ．87.在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则A ．函数()e x y f x =⋅的最大值为1B ．函数()e xy f x =⋅的最小值为1C ．函数()e x f x y =的最大值为1D ．函数()exf x y =的最小值为18.已知函数()2ln2x f x x+=-，设()()()220.3log 0.32ln 2，，a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a c b>>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a>>二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min ，样本方差为9；骑自行车平均用时15min ，样本方差为1.已知坐公交车所花时间X 与骑自行车所花时间Y 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计,X Y 分布中的参数，并利用信息技术工具画出X 和Y 的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是A ．()2103，X NB ．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到C ．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D ．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车10.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立．当[)0,2x ∈时，()21x f x =-，下列结论中正确的有A ．()20f =B ．函数()y f x =在()2,4上单调递增C ．直线4x =是函数()y f x =的一条对称轴D ．关于x 的方程()2log 2f x x =+共有4个不等实根11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1θ，2θ，则下列结论中正确的有附：椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=.A ．圆法中圆的半径为52B ．12tan 3θ=C ．12θθ>D ．12θθ<三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“十一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去,A B 两个景区执勤.要求A 景区至少增派3名警力，B 景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.13.已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．14.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足)2222sin bc A a c b =+-．(1)求B 的大小；(2)若3b =，ABC ∆，求ABC ∆的周长．16.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点,（E P 为椭圆C 的右顶点，O 为坐标原点，OPE ∆的面(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(1,0)D -作直线l 与椭圆C 交于,A B ,A 关于原点O 的对称点为C ，若||||BA BC =，求直线AB 的斜率.17.(15分)如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点.(1)证明：QM BD ⊥.(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC 时，求QM 的长度．18.(17分)已知函数()22ln f x x x a x =-+，()a ∈R .(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；(2)若对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有()()()1221120x x x f x x f x ⎡⎤-⋅->⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.19.(17分)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X .(1)已知13p =，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；(2)若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y (1,2,3,,,)Y n = ，证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0n n nq →+∞=.树德中学高2022级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案一．单选题：1-8CAACB DCC 二．多选题：9-11ACD AC AD 三．填空题12-14354181.【答案】C 【详解】由2log 1x ≤，则22log log 2x ≤，所以02x <≤，所以{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{}04A B x x ⋃=<≤故选：C2.【答案】A 【详解】()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥ ，则有1420a b k ⋅=-⨯+=，解得2k =，则有()()()1,24,23,4a b =-+=+ ，得5a b += .故选：A 3.【答案】A 【详解】充分性：若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则12111n n n n n n a a a a a a q ++--⋅⋅==，所以{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2q ，满足充分性.必要性：若{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2-，则112n n n n a a a a +-⋅=-⋅，即112n n aa +-=-，假设{}n a 为等比数列，此时1212n n a q a +-==-无解，故不满足必要性.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A 4.【答案】C 【详解】因为tan 3α=-，则33sin sin sin sin cos sin 2ααααπαα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222sin 1sin sin cos tan 3cos cos sin 1tan 10ααααααααα---====++.故选：C.5.【答案】B 【详解】当(]0,2x ∈时，由2230ax x a -+<可得22233x a x x x<=++，由基本不等式可得23x x≤+，当且仅当x =3a <.故选：B.6.【答案】D 【详解】由抛物线方程知：12p=，()1,0F ∴，不妨设点A 在第一象限，如图所示，直线CD 与x 轴交于点E ，由CD =，则2ED EF ==，圆的半径()222125r +=，所以5AF =，由抛物线的定义可得：52A px +=，所以4A x =，又因为点A 在抛物线上，所以()4,4A ，248AB ∴=⨯=．故选：D.7.【答案】C 【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e x x xy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当(0,)x ∈+∞，()()0e xf x f x y '-'=<，()ex f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误.故选：C8.【答案】C 【详解】解：函数()2ln2x f x x+=-，由202x x+>-，即(2)(2)0x x +-<，2x <解得()2,2x ∈-显然()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，∴当()0,2x ∈时，()2ln2xf x x+=-在()0,2x ∈单增，()f x ∴在()20，-上为减函数，在()0，2上为增函数()220.30.301=∈，，322222103log 0.3log 0.3log log 232=-=>=所以22103log 0.3log ,232⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3232ln 2ln 4ln 2e =<=，32ln 212⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c a >>．故选：C ．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ACD 【详解】由题意知，()2~10,3X N ，()2~15,1Y N ,A 正确。
辽宁省瓦房店市高级中学2022届高三数学10月月考试题 文
辽宁省瓦房店市高级中学2022届高三数学10月月考试题 文一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设{}U -1012=，，，，集合{}21,A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{}012，， B ．{}-1,12， C ．{}-1,02， D ．{}-1,01，2、若复数z 满足(1)3z i i +=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i -- B ．23i -C ．23i +D ．23i -+3、设,a b R ∈, 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了用圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551135、在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为 ( )A. 14B. 13C. 23D. 566、已知(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且2sin 2cos 2cos (1sin )αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=7、ABC ∆中，2AB =,22AC =,45BAC ∠=︒,P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)(),n a f n f n n N +=++∈，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ）A ．10B ．120C ．130D ．1409、四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③② 10、已知0,0x y >>，182x y x y-=-，则2+x y 的最小值为( ) A 2 B ．2 C ．32 D ．4 11、一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，则圆锥的内切球的表面积为( ) A ．8πB ．24(22)π C ．24(22)π D 232(22)- 12、已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、求值：100lg 20log 25+=________14、已知函数()4cos()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ><<）为奇函数，(,0),(,0)A a B b 是其图像上两点，若a b-的最小值是1，则1()6f =_________15、数列{}n a 中，12a =，22a =，*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S =_______16、下列命题中，正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）． ①函数()(0)af x x x x=+>的最小值为a ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数； ③定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则(1)(4)(7)0f f f ++=； ④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点， 记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值． 18、（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，12811-=a ，0≠n a ，且641311+=+++n n n a S S ， （1）求n a （2）若n n a log b 4=，n n b b b T +++= 21，当n 为何值时，n T 取最小值？并求出最小值。
四川省绵阳2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
绵阳高2022级高三上期第一学月月考数学试题（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集R U =，集合{}2230M x x x =--≤和{}21,Z N x x k k ==-∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg 30.48≈）A.9310B.8310C.7310D.53103.lg(tan 1)y x =-的定义域为（）A.ππππ,Z 24x k x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+>>+∈ B.πππ,π,Z 42 x x k x k k ⎭>+≠+⎧⎫⎨⎬⎩∈C.ππ,Z 4x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈ D.ππ,Z 42k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈4.设0.30.2a =，0.20.3b =，0.2log 2c =，则（）A.c b a>> B.c a b >> C.b a c>> D.a b c>>5.设函数3()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（）A.1,2727⎛⎫⎪⎝⎭B.10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,27D.()27,+∞6.下列选项可以使得1144xy -≤≤成立的一个充分不必要条件的是（）A.221x y += B.2241x y += C.1x y += D.1y x=7.函数()f x 的导函数()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-，若函数()f x 仅在1x =有极值，则a 的取值范围是（）A.21e a ≤-B.21ea <-或1a = C.21ea ≤-或1a = D.1a =8.存在三个实数1a ，2a ，3a 使其分别满足下述两个等式：（1）1232a a a =-；（2）1230a a a ++=其中M 表示三个实数1a ，2a ，3a 中的最小值，则（）A.M 的最小值是2- B.M 的最大值是2- C.M 的最小值是 D.M 的最大值是-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知定义在R 上的奇函数()f x ，其周期为4，当(0,2)x ∈时，()22xf x =-，则（）A.(2024)0f = B.()f x 的值域为(2,2)-C.()f x 在(2,2)-上单调递增D.()f x 在[4,4]-上有9个零点10.已知函数()214()log 21f x x ax =-+，下列说法正确的是（）A.()f x 关于x a =对称B.()f x 的值域为R ，当且仅当1a ≥或1a ≤- C.()f x 的最大值为1，当且仅当32a =±D.()f x 有极值，当且仅当1a <11.关于函数()cos sin 2f x x x =，下列说法中正确的是（）A.图象关于直线π4x =对称 B.()f x 为偶函数C.2π为()f x 的周期D.最大值为439三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12.已知α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为11,23⎛⎫⎪⎝⎭，则sin(2)α的值为________13.甲说：()2ln 23y x ax =-+在(,1]-∞上单调递减乙说：存在实数x 使得2210x ax -+>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦成立若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则a 的取值范围是________14.已知不等式112x aeax b --≥对任意的实数x 恒成立，则ba的最大值为________四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数3212()232a f x x x ax +=-+.（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.16.（15分）已知函数π()sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π2个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.（1）求()g x 的解析式；（2）若关于x 的方程()g x k =-在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有两个实数解，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知ππ42α≤≤，3ππ2β≤≤，4sin 25α=，2cos()10αβ+=-，（1）求225sin 8sin cos 11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）求角βα-的值.18.（17分）已知函数3()ln2(1)2xf x x x x=++--.（1）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（2）若(21)()40f m f m -+-<，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知函数()2ln(1)cos(2)g x x x =--+--.（1）函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，求()f x 的解析式；（2）()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，* N n ∈.绵阳高2022级高三上期第一学月月考数学试题参考答案题号1234567891011答案AAACBBABABDABCCD12.121313.2a <14.22ln 2-8.【详解】由已知得，1a ，2a ，3a 中必有2个正数，1个负数，设30a <，10a >，20a >，则3M a =，因为1230a a a ++=，所以312a a a -=+，所以312a a a -=+≥，即23124a a a ≤，所以331234a a a a ≥，由1232a a a =-得，3324a ≤-，即338a ≤-，所以32a ≤-，故选：B.10.【详解】A.令2()21g x x ax =-+，有()(2)g x g a x =-，由于14()log ()f x g x =，所以1144(2)log (2)log ()()f a x g a x g x f x -=-==，所以()f x 关于x a =对称，故A 正确；B.当函数的值域为R ，则2()21g x x ax =-+能取到(0,)+∞的所有值，所以2440a ∆=-≥解得：1a ≥或1a ≤-，故B 正确； C.若函数()f x 的最大值为1，则min 113()()442g x g a a =⇒=⇒=±，故C 正确；D.若()f x 有极值，则2()21g x x ax =-+在定义域内不单调，所以2440a ∆=-<，则11a -<<，故D 错误.故选：ABC 11.【详解】对于A ，ππcos sin(π2)sin sin 2()22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()cos()sin(2)()f x x x f x -=--=-，故B 错误对于C ，(2π)cos(2π)sin(24π)cos sin 2()f x x x x x f x +=++==，故2π是()f x 的周期，故C 正确；对于D ，()22()cos sin 22cos sin 21sin sin f x x x x x x x ===-，令sin x t =故()2()21f x t t =-，[1,1]t ∈-，利用导数求得()f x 的最大值为9，故D 正确.故选：CD13.甲对，则有2210x ax -+>在(,1]-∞上单调递减，且大于零，所以有1a ≥且420a ->，则12a ≤<.若乙对，则1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，max115522224x a x a a a x x ⎛⎫+>⇒+>⇒>⇒< ⎪⎝⎭，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的其对立面为甲乙说的均不对，此时{1a a <或}2a ≥与54a a ⎧≥⎫⎨⎬⎩⎭求交集为{}2a a ≥，取其补集后a 的取值范围{}2a a <，所以{}2a a <14.可转化为11x ay e-=图像恒在2y ax b =+上方，所以必然有0a >，现考虑刚好相切时的情况，设切点为0110,x ax e-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则001111022x a x a e ae ax b-+-+⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消元得到022a b x a -=带0112x a e a -+=得到121212ln 22422ln 22a b a ab e a a b a a a a a--+=⇒=--⇒=--，所以11x ay e -+=图像恒在2y ax b =+上方，只需要422ln 2b a a a ≤--，所以242ln 2b a a a ≤--，令222(1)42ln 2()()a a h a h a a a-'--=⇒=，所以max ()(1)22ln 2h a h ==-15.【详解】（1）321323()2x x x f x =-+，(1)(2)()x x f x =--'，所以1x <或2x >时，()0f x '>，12x <<时，()0f x '<，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.（2）()()(2)f x x a x '=--，当2a =时，()0f x '≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，()0f x '>；2x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，()0f x '>；2a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减.16.【详解】（1）将()f x 的图象向右平移π2个单位长度后，得到πππsin 2sin 2263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到πsin 223y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，所以π()sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）因为π5π186x -≤≤，所以4ππ4π2933x -≤-≤.()g x k =-，即πsin 223x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有两个实数解，于是函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与2y k =--的图象在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎣⎦上有且只有两个交点，44πsin sin 99π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4πππ3π3sin sin πsin sin 33392⎛⎫=+=-=-=- ⎪⎝⎭，3π4ππ0992<<<，所以4π4πsin sin93⎛⎫-< ⎪⎝⎭.画出πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，所以212k -≤--<，所以232k -+≤-<，322k -<≤-.所以实数k的取值范围是3,22⎛--+ ⎝⎦.17.（1）由222225sin 5cos 4sin 6cos 85sin 8sin cos 11cos 82222222πcos sin 2αααααααααα⎛⎫+++-++- ⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭2254sin 6cos 84sin 6cos 34sin 3cos 22(4tan 3)cos cos cos αααααααααα++-+-+===-+---又因为4sin 25α=，所以2sin cos 5αα=，可得222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα==++，解得tan 2α=或1tan 2α=，由于ππ42α≤≤，所以tan 2α=.∴原式11=-.（2）又由3ππ2β≤≤知5π2π4αβ≤+≤，因cos()10αβ+=-，则72sin()10αβ+===-，由sin()sin[()2]sin()cos 2cos()sin 2βααβααβααβα-=+-=+-+7232421051052⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因π5π24βα≤-≤，故3π4βα-=.18.【详解】（1）函数3()ln 2(1)2xf x x x x=++--，定义域为(0,2)，332()(2)ln 2(1)ln 2(2)(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--332ln [22(2)](1)(1)04042x x x x x x x x-⎡⎤=⋅++-+-+-=++=⎣⎦-所以曲线()y f x =关于点(1,2)对称.（2）22112()23(1)23(1)2(2)f x x x x x x x '=+++-=++---，因为(0,2)x ∈，20(2)x x >-，所以22()23(1)0(2)f x x x x '=++->-，所以()f x 在定义域(0,2)上单调递增；又()f x 关于点(1,2)对称，(21)()4f m f m -+<，由（1）得()(2)4f x f x +-=恒成立，所以()(2)4f m f m +-=，所以(21)()4()(2)f m f m f m f m -+<=+-所以212021202022m mm m m -<-⎧⎪<-<⎪⎨<<⎪⎪<-<⎩，解得112m <<19.【详解】（1）依题意，设()f x 图像上任意一点坐标为()00,x y ，则其关于1x =-对称的点()002,x y --在()g x 图像上，则()()0002y f x g x ==--，则()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++，()01x >-故()2ln(1)cos f x x x =++，(1)x >-；（2）令()()12ln(1)cos 1h x f x ax x x ax =--=++--，(1)x >-则在()0h x ≤在(1,)x ∈-+∞恒成立，又(0)0h =，且()h x 在(1,)x ∈-+∞上是连续函数，则0x =为()h x 的一个极大值点，2()sin 1h x x a x '=--+，(0)202h a a '=-=⇒=.下证当2a =时，()0h x ≤在(1,)x ∈-+∞恒成立，令()ln(1)x x x ϕ=+-，1()111xx x x ϕ'=-=-++，当(1,0)x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ在(1,0)-上单调递增，当(0,)x ∈+∞，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，故()(0)0x ϕϕ≤=，ln(1)x x +≤在(1,)-+∞上恒成立，又cos 1x ≤，则2a =时，()()12[ln(1)](cos 1)0h x f x ax x x x =--=+-+-≤恒成立，综上，2a =.（3）由（2）可知：()12f x x -≤，则11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ，又由（2）可知：ln(1)x x +≤在(1,)-+∞上恒成立，则ln 1x x ≤-在(0,)+∞上恒成立且当且仅当1x =时取等，令(0,1)1n x n =∈+，* N n ∈，则1ln 1111n n n n n -<-=+++，即11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n+<-==+-++，则111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n +++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=，综上，21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑，即证.。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学(文)试卷(含详解)
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线l与曲线C分别交于A，B两点，点M是AB的中点，求 的长．
13.已知数列 是正项等比数列，函数 的两个零点是 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，根据等比中项求出 .
【详解】因为函数 的两个零点是 ， ，
所以 .
因为数列 是正项等比数列，所以 ，解得： .
故答案为：
14.如图，在四边形ABCD中， ，E为边BC的中点，若 ，则 _________．
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C.把 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象D. 在区间 上为增函数
10.若 ， ，则x，y，z的大小关系为（）
A. B.
C. D.
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）
【详解】解：由题意可得， ，
故 .
故选：B
6.某工厂研究某种产品的产量 （单位：吨）与需求某种材料 （单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集里组数据如表所示．根据表中数据可得回归直线方程为 ，则下列四个说法中正确的个数为（）
3
4
6
2021-2022学年北京师大二附中高三(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年北京师大二附中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，共40分）.1．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若log3b•log53＝3，则b＝（）A．6B．5C．35D．533．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．＞0B．cos x﹣cos y＜0C．D．ln（x﹣y）＞04．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣2，那么不等式的解集是（）A．B．C．或D．或5．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．6．若函数在区间（1，e）（其中e＝2.71828…）上存在零点，则常数a的取值范围（）A．0＜a＜1B．C．D．7．函数f（x）＝x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）8．数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n＝a m•a n，若S n ＜a恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．49．函数f（x）＝ax3﹣x2+cx+d的图象如图所示，则有（）A．a＞0，c＜0，d＞0B．a＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，c＞0，d＞0D．a＞0，c＞0，d＜010．已知函数f（x）＝|lgx|，a＞b，f（a）＝f（b），且a3+b3＞m恒成立，那么m的最大值等于（）A．8B．2C．D．2二、填空题（共5小题：共25分）11．若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝{x|x＞﹣2}，则实数a的取值范围是．12．设函数的最小值为2，则实数a的取值范围是．13．记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3＝1，S7＝14，则a5＝．14．已知函数f（x）＝ax3﹣x2+1在（0，1）上有增区间，则a的取值范围是．15．已知函数f（x）＝ae x﹣x2有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题；共85分）16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求{b n}的通项公式．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2﹣bc．（1）求A的大小；（2）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．18．函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求f（）的值；（3）求函数f（x）的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．19．已知函数f（x）＝（x2﹣2x+a+2）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈[0，4]时，求函数f（x）的最小值．20．已知f（x）＝sin x，g（x）＝lnx，h（x）＝x2﹣ax﹣1．（1）若x∈[0，1]，证明：f（x）≥g（x+1）；（2）对任意x∈（0，1]都有e f（x）+h（x）﹣g（x）＞0，求整数a的最大值．21．已知{a n}是公差不等于0的等差数列，{b n}是等比数列（n∈N+），且a1＝b1＞0．（Ⅰ）若a3＝b3，比较a2与b2的大小关系；（Ⅱ）若a2＝b2，a4＝b4．（ⅰ）判断b10是否为数列{a n}中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若b m是数列{a n}中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）．参考答案一、选择题（共10小题：共40分）1．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意N⊆M，由子集的定义可选．解：设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，M⊇N，所以若“a∈M”推不出“a∈N”；若“a∈N”，则“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故选：B．2．若log3b•log53＝3，则b＝（）A．6B．5C．35D．53【分析】由已知结合对数的换底公式及指数与对数的相互转化即可直接求解．解：因为log3b•log53＝＝＝log5b＝3，则b＝53，故选：D．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．＞0B．cos x﹣cos y＜0C．D．ln（x﹣y）＞0【分析】由x，y∈R，且x＞y＞0，取x＝2，y＝1，可排除AD；取x＝7，y＝2可排除B．解：由x，y∈R，且x＞y＞0，取x＝2，y＝1，则AD不成立，取x＝7，y＝2，则B不成立．故选：C．4．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣2，那么不等式的解集是（）A．B．C．或D．或【分析】由函数是奇函数和当x＞0时，f（x）＝x﹣2，求出函数的解析式并用分段函数表示，在分三种情况求不等式的解集，最后要把三种结果并在一起．解：∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝x﹣2，∴f（﹣x）＝﹣x﹣2，∵f（x）＝﹣f（﹣x），∴f（x）＝x+2，∴f（x）＝，①当x＞0时，由x﹣2＜，解得0＜x＜，②当x＝0时，0＜，符合条件，③当x＜0时，x+2＜，解得x＜﹣，综上，的解集是或．故选：D．5．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故选：B．6．若函数在区间（1，e）（其中e＝2.71828…）上存在零点，则常数a的取值范围（）A．0＜a＜1B．C．D．【分析】判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）＝ln1﹣1+a＜0，f（e）＝lne﹣+a＞0，可得﹣1＜a＜1故选：C．7．函数f（x）＝x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1]C．（0，1]D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【分析】求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用参数分离可得≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用二次函数的最值，求出右边的范围即可得到．解：函数f（x）＝x+的导数为f′（x）＝1﹣，由于f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．即为≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．由于当x＜﹣1时，x2＞1，则有≤1，解得，a≥1或a＜0．故选：D．8．数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n＝a m•a n，若S n ＜a恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．4【分析】由a m+n＝a m•a n，分别令m和n等于1和1或2和1，由a1求出数列的各项，发现此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，而S n＜a恒成立即n趋于正无穷时，求出S n的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a 的最小值．解：令m＝1，n＝1，得到a2＝a12＝，同理令m＝2，n＝1，得到a3＝a2•a1＝所以此数列是首项为公比，以为公比的等比数列，则S n＝＝∵S n＜a恒成立即而＝∴则a的最小值为故选：A．9．函数f（x）＝ax3﹣x2+cx+d的图象如图所示，则有（）A．a＞0，c＜0，d＞0B．a＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，c＞0，d＞0D．a＞0，c＞0，d＜0【分析】利用f（0）它可以判断d的范围，求函数的导数，利用极值点的符号关系，可以判断a，c的符号．解：当x＝0时，f（0）＝d＞0，当x→+∞，f（x）＜0，则a＜0，f′（x）＝3ax2﹣2x+c，则f′（x）＝0有两个不同的根，其中x2＜0，x1＞0，则x1x2＜0，即＜0，则c＞0，即a＜0，c＞0，d＞0，故选：C．10．已知函数f（x）＝|lgx|，a＞b，f（a）＝f（b），且a3+b3＞m恒成立，那么m的最大值等于（）A．8B．2C．D．2【分析】由对数函数的图像和性质，结合对数的运算性质可得ab＝1，a＞1，由基本不等式可得a3+b3的范围，结合恒成立思想可得m的最大值．解：由f（x）＝|lgx|，a＞b＞0，f（a）＝f（b），可得|lga|＝|lgb|，即lga＝﹣lgb，可得lga+lgb＝0，即ab＝1，a＞1，则a3+b3＝a3+＞2＝2，由a3+b3＞m恒成立，可得m≤2，即m的最大值为2．故选：D．二、填空题（共5小题：共25分）11．若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝{x|x＞﹣2}，则实数a的取值范围是﹣2＜a≤1．【分析】利用集合并集的定义进行分析求解即可．解：因为集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝{x|x＞﹣2}，所以﹣2＜a≤1．故答案为：﹣2＜a≤1．12．设函数的最小值为2，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】由题意可得x＝1时，f（x）有最小值为2，故有﹣1+a≥2，由此求得实数a的取值范围．解：∵函数的最小值为2，f（x）在[1，+∞）上是增函数，在（﹣∞，1）上是减函数，可得x＝1时，f（x）有最小值为2，故有﹣1+a≥2，a≥3，故答案为[3，+∞）．13．记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3＝1，S7＝14，则a5＝3．【分析】由等差数列的性质可得：a3+a5＝a1+a7．再利用求和公式即可得出．解：由等差数列的性质可得：a3+a5＝a1+a7．∴S7＝14＝7××（a1+a7）＝（1+a5），解得：a5＝3，故答案为：3．14．已知函数f（x）＝ax3﹣x2+1在（0，1）上有增区间，则a的取值范围是．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（0，1）上有极值点，导函数有零点，或导函数非负，求解a的范围即可．解：函数f（x）＝ax3﹣x2+1．可得f′（x）＝3ax2﹣2x．函数f（x）＝ax3﹣x2+1在（0，1）上有增区间，可知导函数在（0，1）上有极值点，导函数在（0，1）上有解，或a＝0时，3ax2﹣2x≥0恒成立（显然不成立）．可得，解得：a，故答案为：．15．已知函数f（x）＝ae x﹣x2有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，）．【分析】求出函数的导数，问题转化为y＝a和g（x）＝在R上有2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可．解：f′（x）＝ae x﹣2x，若函数f（x）＝ae x﹣x2有两个极值点，则y＝a和g（x）＝在R上有2个交点，g′（x）＝，x∈（﹣∞，1）时，即g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）max＝g（1）＝，而＞0恒成立，所以0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（共6小题；共85分）16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求{b n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32＝9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2＝1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn＝log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32＝9a2a6得a32＝9a42，所以q2＝．由条件可知各项均为正数，故q＝．由2a1+3a2＝1得2a1+3a1q＝1，所以a1＝．故数列{a n}的通项式为a n＝．（Ⅱ）b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣1﹣2﹣…﹣n＝﹣．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2﹣bc．（1）求A的大小；（2）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）利用余弦定理表示出cos A，将已知等式变形后代入求出cos A的值，即可确定出A的度数；（2）由cos B的值，求出sin B的值，再由sin A，b的值，利用正弦定理求出a的值，将a与b代入已知等式求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解：（1）∵b2+c2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴cos A＝＝﹣，又∵A∈（0，π），∴A＝；（2）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝3，∵b2+c2＝a2﹣bc，∴c2+2c﹣5＝0，解得：c＝﹣1±，∵c＞0，∴c＝﹣1，则S△ABC＝bc sin A＝．18．函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求f（）的值；（3）求函数f（x）的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．【分析】（1）由sin x+cos x≠0，解出x，即可；（2）根据特殊角的三角函数值，可得解；（3）结合二倍角公式和辅助角公式，将函数化简为f（x）＝sin（x+），再根据正弦函数的周期性和对称性，得解．解：（1）∵sin x+cos x≠0，∴sin（x+）≠0，∴x+≠kπ，k∈Z，即x≠kπ﹣，k∈Z，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ﹣，k∈Z}．（2）f（）＝+2sin＝+＝．（3）f（x）＝＝+2sin x＝cos x+sin x＝sin（x+），∴最小正周期T＝＝2π，令x+＝+kπ，k∈Z，则x＝+kπ，k∈Z，∴对称轴的方程为x＝+kπ，k∈Z．19．已知函数f（x）＝（x2﹣2x+a+2）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈[0，4]时，求函数f（x）的最小值．【分析】（1）对f（x）求导，然后对a分类讨论，由导数与函数单调性的关系即可求解；（2）由（1）中结论，对a分类讨论即可求解f（x）的最小值．【解答】解；（1）因为f′（x）＝（x2+a）e x，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜﹣或x＞，令f′（x）＜0，可得﹣＜x＜，所以f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，）上单调递减．（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）的最小值为f（0）＝a+2；当＞4，即a＜﹣16时，f（x）的最小值为f（4）＝（a+10）e4；当≤4，即﹣16≤a＜0时，f（x）的最小值为f（）＝（2﹣2）．20．已知f（x）＝sin x，g（x）＝lnx，h（x）＝x2﹣ax﹣1．（1）若x∈[0，1]，证明：f（x）≥g（x+1）；（2）对任意x∈（0，1]都有e f（x）+h（x）﹣g（x）＞0，求整数a的最大值．【分析】（1）设F（x）＝sin x﹣ln（x+1），（0≤x≤1），求导得F′（x）＝cos x﹣．且F′（0）＝0，再求F″（x），得F″（x）在[0，1]单调递减，所以F″（x）≥F″（1）＜0，F″（x）＜F″（0），F″（0）＝1＞0，所以存在唯一零点x0∈（0，1），使得F″（x0）＝0，得F′（x）在（0，x0）时单调递增，在（x0，1）上单调递减，F′（1）＝0，F′（0）＝0，进而F′（x）＞0在（0，1）上恒成立，所以F（x）在[0，1]上单调递增，所以F（x）≥F（0）＝0，即F（x）≥0，即可得证．（2）根据题意得对任意的x∈（0，1]，不等式e sin x+x2﹣ax﹣1﹣lnx＞0恒成立，令x＝1，则e sin1＞a，由（1）知sin1＞ln2，所以2＝e ln2＜e sin1＜e1＜3，由于a为整数，所以a≤2，得e sin x+x2﹣ax﹣1﹣lnx＞e sin x+x2﹣2x﹣1﹣lnx，接下来证明H（x）＝e sin x+x2﹣2x﹣1﹣lnx ＞0，在区间（0，1]恒成立，即可得整数a的最大值为2．解：（1）设F（x）＝sin x﹣ln（x+1），（0≤x＜1）则F′（x）＝cos x﹣．注意到F′（0）＝0，因为x∈[0，1]，因为F″（x）＝﹣sin x，则F″（x）在[0，1]单调递减，所以F″（x）≥F″（1）＝0，F″（x）＜F″（0），F″（0）＝1＞0，所以存在唯一零点x0∈（0，1），使得F″（x0）＝0则F′（x）在（0，x0）时单调递增，在（x0，1）上单调递减，又F′（1）＝﹣+cos1＞﹣+cos＝0，F′（0）＝0，所以F′（x）＞0在（0，1）上恒成立，所以F（x）在[0，1]上单调递增，则F（x）≥F（0）＝0，即F（x）≥0，所以f（x）≥g（x+1）．（2）因为对任意的x∈（0，1]，不等式e f（x）+h（x）﹣g（x）＞0，即e sin x+x2﹣ax﹣1﹣lnx＞0恒成立，令x＝1，则e sin1＞a，由（1）知sin1＞ln2，所以2＝e ln2＜e sin1＜e1＜3，由于a为e sin x+x2﹣ax﹣1﹣lnx＞0整数，则a≤2，因此e sin x+x2﹣ax﹣1﹣lnx＞e sin x+x2﹣2x﹣1﹣lnx，下面证明H（x）＝e sin x+x2﹣2x﹣1﹣lnx＞0，在区间（0，1]恒成立，由（1）知sin x＞ln（x+1），则e sin x＞x+1，故H（x）＞x+1+x2﹣2x﹣1﹣lnx＝x2﹣x﹣lnx，设G（x）＝x2﹣x﹣lnx，x∈（0，1]，则G′（x）＝2x﹣1﹣＝≤0，所以G（x）在（0，1]上单调递减，所以G（x）≥G（1）＝0，所以H（x）＞0，在（0.1]上恒成立，综上所述，整数a的最大值为2．21．已知{a n}是公差不等于0的等差数列，{b n}是等比数列（n∈N+），且a1＝b1＞0．（Ⅰ）若a3＝b3，比较a2与b2的大小关系；（Ⅱ）若a2＝b2，a4＝b4．（ⅰ）判断b10是否为数列{a n}中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若b m是数列{a n}中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）．【分析】（Ⅰ）先分别表示出a2与b2，再分类讨论，利用平均值不等式，即可比较a2与b2的大小关系；（Ⅱ）（ⅰ）由a2＝b2，a4＝b4，利用等差数列、等比数列的通项得q3﹣1＝3（q﹣1），可得q＝﹣2，令a k＝b10，即，即可判断b10是否为数列{a n}中的某一项；（ⅱ）假设b m＝a k，则4﹣3k＝（﹣2）m﹣1，从而可写出正整数m的集合．解：记{a n}的a1＝b1＝a，{a n}公差为d，{b n}公比为q，由d≠0，得q≠1（Ⅰ）∵a1＝b1＞0，a3＝b3，∴，∵，，∴，当时，显然a2＞b2；当时，由平均值不等式，当且仅当b1＝b3时取等号，而b1≠b3，所以即a2＞b2．综上所述，a2＞b2．…（Ⅱ）（ⅰ）因为a2＝b2，a4＝b4，所以a+d＝aq，a+3d＝aq3，得q3﹣1＝3（q﹣1），所以q2+q+1＝3，q＝1或q＝﹣2．因为q≠1，所以q＝﹣2，d＝a（q﹣1）＝﹣3a．令a k＝b10，即，所以a﹣3（k﹣1）a＝a（﹣2）9，所以k＝172，所以b10是{a n}中的一项．（ⅱ）假设b m＝a k，则，∴a﹣3（k﹣1）a＝a（﹣2）m﹣1，∴4﹣3k＝（﹣2）m﹣1，当m＝1或m＝2n，（n∈N*）时，k∈N*．∴正整数m的集合是{m|m＝1或m＝2n，n∈N*}．…。
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2021年高三10月月考试题数学文
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合,集合,,则的真子集共有 （ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．6个 2
．若()f x =
，则的定义域为 （ ）
A. B. C. D.
3. 若是奇函数，则 ( )
A ．0
B ．
C ．
D ．
4．若 3
1log ,21log ,323
131
===c b a 则 ( )
A. B. C. D. 5．已知条件2
:12,:
0,3
x p x q x -+><-条件则 ┓p 是┓q 的 ( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6. 若曲线在点处的切线平行于直线，则点坐标为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7.若是上的奇函数，且当时，，则的反函数的
图象大致是 （ ）
8若，且，那么的最小值为（）
A． B. C. D．（）
9. 若关于的不等式的解集为，则等于 ( ）
A. B. C. D.
10.设函数是周期为的奇函数，当时，，则（）
A. B. C. D.
11．如图是导函数的图象，
在标记的点中，函数有极小值的是 ( )
A． B．
C．D．
12．定义在R上的偶函数，对任意，有，则
A．f(－2)＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜f(1)＜f(－2) ( ) C．f(3)＜f(-2)＜f(1) D．f(1)＜f(-2)＜f(3)
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷的横线上.）13．函数y=log2(x2+1)（x<0）的反函数是__________.
14. 设 则__________
15．已知函数是奇函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
16．某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格P （元）与产量x （吨）之间的关系式为 ，且生产吨的成本为元，则该厂利润最大时，生产的产品的吨数为 .
三、解答题：（本大题有6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）[来
17．（本题满分10分）已知{}
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=
=≤-=15,4x x y x B a x x A . (1) 若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. （本题满分12分）
设偶函数的定义域为，当时，. （1）求当时，的解析式； （2）求不等式 的解集.
19．（本小题满分12分）
设命题p:函数是R 上的减函数，命题q: 函数在的
值域是[-1,3].若“p 且q ”为假命题。
“p 或q ” 为真命题，求的取值范围.
20．（本小题满分12分）已知函数.0,13)(3≠--=a ax x x f
（1）求的单调区间；
（2）若在处取得极值，直线与的图像有三个不同的交点，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长是a ，PD =a ，PA =PC =, (1) 证明：PD ⊥平面ABCD ； (2) 求点A 到平面PBD 的距离； （3）求二面角A-PB-D 的大小 。
A
B
D O
P
C
22．（本小题满分12分）已知函数
)(412)63(3)(23R a a x a ax x x f ∈-+-++=
（1）证明：曲线在处的切线过点； （2）若在处取得极小值，，求的取值范围.
桂林中学xx 届高三第二次月考
数学文科答案
xx.10
一、选择题:
二、填空题：
13
14. ；15． ；16．
三、解答题：（本大题有6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．解：（1）当时，{}{}
51,53≥-<=≤≤-=x x x B x x A 或， [){}513 --=∴
，B A 5分
（2），， 且
10分
18. 解：（1）当时，，x
x
x
x f 21212
1)(-=
-=
-∴-
又 是偶函数，x
x
x f x f 212)()(-=
-=∴ 6分
（2） 依题意，是偶函数，
当时，是减函数，且
由 得 所以 ， 解得
不等式 的解集为 12分
19．
20．解：（1）
).(333)(22a x a x x f -=-='
当时，对，有
当时，由，解得 ； 由，解得
当时，的单调增区间有 ),(),(∞+-
-∞a a 和，
单调减区间是
（2）在处取得极值，
03)1(3)1(2=--⨯=-'∴a f
,
13)(3--=∴x x x f
由， 解得
由（1）中的单调性可知，
在处取得极大值，在处取得极小值.
要 直线与的图像有三个不同的交点，
只需 . 的取值范围是.
21.(1) 证明：222222,DC PD PC DA PD PA +=+=
………………2分
PD ⊥平面ABCD ………………3分
(2) 解：设，
在正方形ABCD 中，，………………4分
PD ⊥平面ABCD
O PBD AC 于点平面⊥∴………………5分
∴线段AO 的长即为点A 到平面PBD 的距离………………6分 ∴点A 到平面PBD 的距离为………………7分
（3）解：过点O 作于点E ，连结AE
∴由三垂线定理得
∴是二面角A-PB-D 的平面角………………9分
PD ⊥平面ABCD ， ∴由三垂线定理得
在中，a AB PA PB 322=+=
……………10分
∴在中，………………11分
∴二面角A-PB-D 的大小为60°………………12分
(用向量法解答请参照此标准给分)
A
B
D
O
P
C
O
22．（1）证明：
)63(63)(2a ax x x f -++='， 2分
由，，
得 曲线在处的切线方程为
x a a y ⋅-=--)63()412(
由此知 曲线在处的切线过点. 6分 （2）解：由，得 0)63(632=-++a ax x 0)21(22=-++a ax x 若0)21(442
≤--=a a
∆1212-≤≤--⇒a ，
此时，恒成立，没有最小值 8分
当
1212->--<a a 或时，
由 解得 12,122221-++-=-+-
-=a a a x a a a x
故，由题设知 31212<-++-<a a a 故时，不等式 31212<-++-<a a a 无解 当时，解不等式 31212<-++
-<a a a 得，
综上得 的取值范围是 12分。