2021-2022年高三数学上学期10月月考试题 文
山东省菏泽市鄄城县第十二中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析
山东省菏泽市鄄城县第十二中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在［1，+）上的函数满足：①（为正常数）；②当时，。
若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．4或2参考答案：C2. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）A．111 B．117 C．118 D．123参考答案：B3. 函数的图像大致为参考答案：A略4. 已知是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0,1）时，=3x1，则f(log35)=（）A、 B、? C、4 D、参考答案：B试题分析：因为是定义在上周期为的奇函数，所以，又，所以，所以，故选B.考点：1.函数的表示；2.函数的奇偶性与周期性.5. 已知是周期为2的奇函数，当时，，若，则等于（）A. －1B. 1C.－2D. 2参考答案：B【分析】利用周期性和奇偶性得，结合得a,b的值即可求解【详解】由周期为2,则4也为周期故，即又，∴，，故.故选B【点睛】本题考查利用周期性与奇偶性求值，考查推理能力，注意的应用6. 设实数满足，且，实数满足，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知A={x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的最大值比最小值大1，则底数a的值为（）A．B．C．π﹣2 D．或参考答案：D【考点】对数函数的值域与最值．【分析】由题意讨论a的取值以确定函数的单调性及最值，从而求解．【解答】解：当0＜a＜1时，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是减函数，故log a2﹣log aπ=1；故a=；当a＞1，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是增函数，故log aπ﹣log a2=1；故a=故选D．8. 设集合，如果方程至少有一个根，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为（）参考答案：C9. 参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线参考答案：D10. 在平面直角坐标系中，A（，1），N点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是A、4B、3C、2D、1参考答案：B由题意可知向量的模是不变的，所以当与同向时最大，结合图形可知，．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为．参考答案：﹣41【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中各项系数的和2求得m的值，再把二项式展开，求得该展开式中含x的系数．【解答】解：∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2，∴m=1，∴=（x+）?（?（2x）5﹣?（2x）4+?（2x）3﹣?（2x）2+?2x﹣），则该展开式中含x的系数为﹣﹣?4=﹣41，故答案为：﹣41．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12. 理：若、是一元二次方程的两根，则= .参考答案：；13. 如图所示，M，N是函数图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，则_________参考答案：14. 一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．参考答案：由题意知，解得。
高三数学月考试题含解析试题
南开中学2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题〔一共9小题：一共45分〕 1.集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，那么()R AB 等于〔 〕A. {}3x x ≥ B. {}3x x >C. {}13x x -<< D. {}31x x x ≥≤-或【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R AB .【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x ，{}13B x x ∴=-<<，那么{}13RB x x x =≤-≥或，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥，应选：A. 【点睛】此题考察集合的交集与补集的混合运算，同时也考察了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考察运算求解才能，属于根底题.2.“12x -<成立〞是“(3)0x x -<成立〞的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x 〔x-3〕＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立〞是“x〔x-3〕＜0成立〞的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 【此处有视频，请去附件查看】3.()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，那么〔 〕 A. p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B. p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C. p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D. p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，应选D ．考点：命题的真假，命题的否认．4.ln x π=，5log 2y =，12z e-=，那么A. x y z <<B. z x y <<C. z y x <<D. y z x <<【答案】D【解析】，，，，所以，选D.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，假设对于任意x R ∈，()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，那么a 的取值范围是〔 〕A. (]0,1B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (]0,2D. [)2,+∞ 【答案】B 【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式22(log )(22)f a f x x ≤-+可化为22(log )(22)f a f x x ≤-+，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而2222(1)1x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤．6.假设函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()210f x x ax =-+≤'在区间1[,3]2上恒成立，即211x a x x x+≥=+在1[,3]2恒成立，而1()g x x x =+在1[,1]2递减，在[1,3]递增，且1510()(3)223g g =<=，即103a ≥；应选C.7.设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，假设()()120f x g x ==，那么〔 〕A. ()()120g x f x <<B. ()()120g x f x <<C. ()()210f x g x <<D. ()()210f x g x <<【答案】B 【解析】 【分析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-，()140x f x e -'∴=+>，那么函数()y f x =为增函数，()00f <，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-，那么()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，应选：B.【点睛】此题考察函数值符号的判断，同时也考察了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考察分析问题的和解决问题的才能，属于中等题.8.设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =那么,,a b c 的大小关系为〔 〕A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】C 【解析】令3()22f x x x =+-，那么3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；应选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其别离成两个根本函数图象的公一共点问题，如此题中断定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题.9.函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，假设关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B. 650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C. {}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D. 56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A 【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如下图：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫⎪⎝⎭，625OCk =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，应选A.二、填空题〔一共6小题：一共30分〕10.设复数z 满足(2)3i z i ⋅=，那么z =__________． 【答案】12i + 【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四那么运算即可.详解：3(2)1232i i z i i===+点睛：考察复数的计算，属于根底题.11.62x x ⎛⎝展开式的常数项为 ．〔用数字答题〕 【答案】-160 【解析】【详解】由6662166(1)(2)rr r r r r rrT C C---+⎛==-⎝，令620r-=得3r=，所以6⎛⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C--=-.考点：二项式定理.【此处有视频，请去附件查看】12.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点〔-e，-1)(e为自然对数的底数〕，那么点A的坐标是____.【答案】(e, 1).【解析】【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点()00,A x y，那么00lny x=.又1yx'=，当0x x=时，1yx'=，点A在曲线lny x=上的切线为001()y y x xx-=-，即0ln1xy xx-=-，代入点(),1e--，得1ln1exx---=-，即00lnx x e=，考察函数()lnH x x x=，当()0,1x∈时，()0H x<，当()1,x∈+∞时，()0H x>，且()'ln1H x x=+，当1x>时，()()'0,H x H x>单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公一共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公一共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，那么直线与曲线可能有两个或者两个以上的公一共点．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，那么不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ． 【答案】(4,)+∞ 【解析】 试题分析：由图知，当x a >时，(1)4f x x ->-+,由2(1)3(1)4,0x x x x ---=-+>得4,x =即4,a =所以不等式解集为(4,)+∞考点：利用函数性质解不等式14.函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，假设存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，那么实数m 的取值范围是________．【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果．【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或者1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如下图，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如下图,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或者1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞．【点睛】函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法〔1〕直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； 〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；〔3〕数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进展求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15.函数()()()4ln 1f x kx x x x =+->，假设()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，那么实数k 的取值范围为___________。
2024学年百色市铝城中学高三数学上学期10月考试卷及答案解析f
2024年高三上学期10月份月考测试卷姓名：___________ 班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线28y x =上的一点M 到焦点的距离为4，则点M 的纵坐标为（ ）A. 4B. 2C. 4±D. 0【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式可求出结果.【详解】抛物线28y x =的准线方程为2x =-，设00(,)M x y ，依题意得024x +=，即02x =，所以208216y =´=，04y =±.所以点M 的纵坐标为4±.故选：C2. 在核酸检测时，为了让标本中DNA 的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR 技术对DNA 进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA 的数量n X （单位：g /L m m ）与PCR 扩增次数n 满足0 1.6n n X X =´，其中0X 为DNA 的初始数量．已知某待测标本中DNA 的初始数量为0.1g /L m m ，核酸探针能检测到的DNA 数量最低值为10g /L m m ，则应对该标本进行PCR 扩增的次数至少为（ ）（参考数据：lg1.60.20»，ln1.60.47»）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.【详解】由题意知00.1X =，10n X =，令100.1 1.6n =´，得1.6100n =，取以10为底的对数得lg1.62n =，所以210lg1.6n =»．故选：B .3. 已知复数z 满足|2i |3,z z +=在复平面内对应点为(,)x y ，则（ ）A. 22(2)9x y -+= B. 22(2)9x y ++=C 22(2)9x y ++= D. 22(2)9x y +-=【答案】C【解析】【分析】由题意可得复数z 在复平面内对应的点为(,)x y 到点()0,2-的距离为3，运算求解即可.【详解】因为|2i |3z +=，可知复数z 在复平面内对应的点为(,)x y 到点()0,2-的距离为3，3=，即22(2)9x y ++=.故选：C.4. 函数()2()ln 2f x x x =-+的单调递增区间是（ ）A. (,1)-¥ B. （1，2） C. （0，1） D. (1,)+¥【答案】C【解析】【分析】令22x x m =-+，则ln y m =，求出函数的定义域，分别求出两个函数的单调区间，根据复合函数的单调性符合“同增异减”的原则，即可得出答案.【详解】解：令22x x m =-+，则ln y m =，220x x -+>，则02x <<，所以函数()f x 的定义域为()0,2，而()22211x x x -+=--+，以1x =为对称轴，所以函数m 在()0,1单调递增，在()1,2单调递减，而函数ln y m =为增函数，根据复合函数的单调性可知，函数()2()ln 2f x x x =-+的单调递增区间是()0,1，故选：C.5. 小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（ ）A. 34 B. 227 C. 916 D. 49的.【答案】D【解析】【分析】由计数原理可求出4个冰墩墩随机放入3个不同袋子的种数，利用组合中的分组分配问题求出每个袋子至少放入一个冰墩墩的种数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】小明将4个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入3个不同袋子中，有4381=种不同的放法，若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分2步进行分析：①将4个冰墩墩分为3组，有24C 6=种分组方法，②将分好的3组放入3个不同的袋子中，有33A 6=种情况，则有6636´=种方法，所以所求的概率为364819=.故选：D 6. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，O 为坐标原点，A 是双曲线C 的右支上的一点，若2AOF △是等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C. 1D. 1+【答案】D【解析】【分析】由2AOF △是等边三角形，可得点P 的坐标，代入抛物线的方程结合222a b c +=以及c e a=即可求解.【详解】因为2AOF △是等边三角形，且边长为c ，所以2OF 中点的横坐标为12c ，2OF，所以12P c æöç÷ç÷èø，代入双曲线可得22223144c c a b-=，因222a b c +=，由c e a=，可得42840e e -+=，解得：24e =+24e =-（舍），可得1e =，故选：D.为【点睛】求椭圆或双曲线的离心率（或离心率的取值范围）问题，常见的两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=求解；②根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合a ，b ，c 的关系转化为关于a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程（或不等式），解方程（或不等式）即可得e （或e 的取值范围）．7. 如图，正四棱台1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是棱111111,,C D D A A B 的中点，则下列判断中，不正确的是（ ）A. 11,,,B B D D 共面B. F Î平面ACEC. FG ^平面ACED. 11//A C 平面ACE【答案】C【解析】【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得.【详解】延长正四棱台1111ABCD A B C D -的侧棱相交于S ，则三棱锥S ABCD -为正四棱锥，连接BD ，11,,,B B D D 都在平面SBD 内，故A 正确；因为,E F 分别是棱1111,C D D A 的中点，所以11//EF A C ，由正棱锥的性质可知11//AC A C ，所以//EF AC ，即F Î平面ACE ，故B 正确；因为点,E G 分别是棱1111,C D A B 的中点，所以11//EG D B ，11EG AC ^，设1111A B C D O =I ，则SO ^平面1111D C B A ，EG Ì平面1111D C B A ，∴SO EG ^，11,SO A C SO O =ÌI 平面SAC ，11AC Ì平面SAC ，∴EG ^平面SAC ，显然平面SAC 与平面ACE 不平行，故C 错误；因为11//AC A C ，AC Ì平面ACE ，11A C Ë平面ACE ，所以11//A C 平面ACE ，故D 正确.故选：C.8. 已知1F ，2F 分别为双曲线：22221(0,0)y x a b a b-=>>的上，下焦点，点P 为双曲线渐近线上一点，若12PF PF ^，121tan 3PF F Ð=，则双曲线的离心率为（ ）A. 53 B. 54 C. 45 D. 35【答案】B【解析】【分析】由题可得2122POF PF F Ð=Ð，然后利用二倍角公式结合条件可得34b a =，然后根据离心率公式即得.【详解】因为12PF PF ^，O 为12F F 的中点，所以1F O OP =，121PF F F PO =ÐÐ，所以2122POF PF F Ð=Ð，又121tan 3PF F Ð=， 2tan POF b a Ð=，所以212334113b a ´==æö-ç÷èø，所以5e 4c a ====.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.9. 已知随机变量X 满足：()()()34,,01,2X B p p E X D X ~<<=，则（ ）A. 23p = B. ()43E X =C. ()11213E X +=D. ()32219D X +=【答案】BCD【解析】【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出p ，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可.【详解】对A ，因为()()()34,,2X B p E X D X ~=，所以()34142p p p ´-=，解得13p =，故A 错误；对B ，由上知()14433E X =´=，故B 正确；对C ，()()1121213E X E X +=+=，故C正确；对D ，()()1132214441339D X D X æö+==´´-=ç÷èø，故D 正确．故选：BCD ．10. 已知5nx æçè的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）A. 2，n ，10成等差数列B. 各项系数之和为64C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项D. 展开式中第5项为常数项【答案】ABD【解析】【分析】先根据二项式系数之和求出n 的值，再令1x =可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项.【详解】由5n x æçè的二项式系数之和为264n =，得6n =，得2，6，10成等差数列，A 正确；令1x =，665264x æ==çè，则65x æçè的各项系数之和为64，B 正确；65x æçè的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C 不正确；65x æçè的展开式中的第5项为4426C (5)152581x æ=´´çè为常数项，D 正确.故选:ABD11. 如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ^平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. CQ 在平面PAB 外B. PC 与平面ACQC. 三棱锥B ACQ -的体积为D. 四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ^平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ^,因为平面PAD ^平面ABCD ，所以OP ^平面 ABCD ，因为AD OE ^，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以Q ，设平面PCD Ç平面=PAB l ，因为//CD AB ，则//CD 平面PAB ，则//CD l ，面CQ Ì平面PCD ，且CQ CD C Ç=，则CQ 在平面PAB 外，所以A正确；PC AQ AC =-==uuu r uuu r uuu r ，设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0{0n AQ x z n AC ×=+=×=+=uuu r r uuu r r ，令=1x，则y z ==，所以(1,n =r ，设PC 与平面AQC 所成角为q ，则1sin 3=，所以cos q =B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABC V V S OP --==×V1116322=´´´´=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD=，所以222222aa æ++-=++ççè，解得0a=，即M为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，x，所以2236x ö=÷÷ø，得224x =，所以正四面体的表面积为24x =，所以D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. “x a ³”是“2x ³”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围为______．【答案】{}2a a <【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可.【详解】由题意得{}2x x ³是{}x x a ³的真子集，故2a <．故答案为：{}2a a <13. 若四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一个球O 的表面上，PB ^底面ABCD ，2PB =，1AB CD ==，2AD BC ==，BC AD ∥，则球O 的体积为______．【解析】【分析】设球心O 到平面ABCD 的距离为h ，AD ，BC 的中点分别为F ，E ，由已知条件得，四边形ABCD 所在的截面圆的圆心G 必在线段EF 的延长线上，OG ^平面ABCD ，然后由直角三角形、直角梯形中求得球半径，得球体积．【详解】设球心O 到平面ABCD 的距离为h ，AD ，BC 的中点分别为F ，E ，由已知条件得，四边形ABCD 所在的截面圆的圆心G 必在线段EF 的延长线上，OG ^平面ABCD ，h OG =，因为GA GB =，所以2222AF GF BE EG +=+，所以2222GF GF ö+=++÷÷ø，解得GF =，GA ==因为OP OA ==，因为OB OP =，所以2PBOG =所以球O =，所以球O 的体积为34π3=．14. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD BC ==；2AB =，π3ABC Ð=，E 是BC 的中点，则DB AE ×=uuu r uuu r_________．【答案】94【解析】【分析】根据给定条件，用平面向量基底,BA BC uuu r uuu r表示,DB AE uuu r uuu r ，再利用数量积运算律求解作答.【详解】在梯形ABCD 中，依题意，12CD BA =uuu r uuu r ，而E 是BC 的中点，则12DB DC CB BA BC =+=--uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，12AE BE BA BA BC =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又22AB BC ==，π3ABC Ð=，所以2211113)()2224(2D BA BC BA BC BA B B AE C BA BC×=--×-+=-+×uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2113π9221cos 22434=´-+´´´=.故答案为：94四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+（1）求B ;（2）若6b AB CB =×=uuu r uuu r，求ABC V 的周长【答案】（1）3B p=；（2）.【解析】【分析】（1）根据()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sin cos sin B B B =求解；（2）利用余弦定理得到()2312a c ac +-=，然后由6AB CB ×=uuu r uuu r求得ac 代入即可.【详解】（1）因为 ()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+，所以()sin sin cos cos cos 2cos a A B A B c A b B -+=，所以cos()cos 2cos a A B c A b B -++=所以cos cos 2cos a C c A b B+=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得()sin 2sin cos sin A C B B B +==因为在ABC V 中，所以sin 0B ¹，则2cos 1B =所以3B p=（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即()2312a c ac +-=，因为1cos 62AB CB BA BC ac B ac ×=×===uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以12ac =，所以()23612a c +-=，解得a c +=.所以ABC V的周长是【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-ÎN .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13log n n b a =，n C =，求数列{}nC 的前n 项和n T【答案】（1）13n na = （2）1n T =-【解析】【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ；（2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】当1n =时，111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ³时，1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=，\数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn na æö\==ç÷èø.【小问2详解】由（1）得：131log 3nn b n æö==ç÷èø，nC \==，11n T \=-+×××=17. 吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x 与损伤度y ，数据如下表：吸烟量x 1456损伤度y3867（1）从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；（2）在实际应用中，通常用各散点(,)r y 到直线y bx a =+的距离的平方和21()ni i i S bx a y ==+-å来刻画“整体接近程度”.S 越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程ˆˆy bx a =+.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．附：121()()ˆ()nii i nii xx y y bxx ==--=-åå，ˆˆa y bx=-.【答案】（1）13； （2）1120147y x =+，10011【解析】【分析】（1）列举出试验的全体基本事件，利用古典概率及条件概率公式计算得解.（2）利用表格中数据求出最小二乘法公式中的相关量，求出回归直线方程，再利用方程求出估计值.小问1详解】这4名吸烟者中，损伤度为8吸烟者的吸烟量为4，从4名吸烟者中任取2名，全部基本事件有(1,4),(1,5),(1,6),(4,5),(4,6),(5,6)，其中有1名吸烟者的吸烟量为4的共有3种情形，记事件A ：有1名吸烟者的吸烟量为4，事件B ：有1名吸烟者的吸烟量为6，则311(),()626P A P AB ===，所以另1吸烟者的吸烟量为6的概率为()1(|)()3P AB P B A P A ==.【小问2详解】145644x +++==，386764y +++==，14()()(3)(3)02102111ii i xx y y =--=-´-+´+´+´=å，4222212(34)01(21i i x x ==-+++-=å，【的因此24114()()11ˆ14()ii i ii xx y y bxx ==--==-åå，1120ˆˆ64147ay bx =-=-´=，所以经验回归直线方程为1120147y x =+，当10y =时，10011x =，所以损伤度为10时，估计吸烟量为10011.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，AB 是ABC V 外接圆的直径，PC 垂直于圆所在的平面，D 、E 分别是棱PB 、PC 的中点．（1）求证：DE ^平面PAC ；（2）若二面角A DE C --为π3，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）BC AC ^， BC PC ^，由线面垂直的判定定理可得^BC 平面PAC ，再由三角形中位线定理可得答案；（2）以C 为坐标原点，CB CA CP uuu r uuu r uuu r、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系-C xyz ，求出AE uuu r、平面ACD 的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】因为AB 是圆的直径，所以BC AC ^，因为PC 垂直于圆所在的平面，ÌBC 平面ABC ，所以BC PC ^，又因为AC PC C =I ，AC Ì平面PAC ，PC Ì平面PAC ，所以^BC 平面PAC ，因为D E 、分别是棱PB PC 、的中点，所以//BC DE ，从而有DE ^平面PAC；【小问2详解】由（1）可知，DE ^平面PAC ，AE EC Ì、平面PAC ，所以,DE AE DE EC ^^,AE Ì平面DAE ，EC Ì平面DEC ,所以AEC Ð为二面角A DE C --的平面角，从而有π3AEC Ð=，则12,2EC PC AC ===又BC AC ^，4AB =得2BC =，以C 为坐标原点，CB CA CP uuu r uuu r uuu r、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系-C xyz ，()0,0,0C，()0,A ,()0,0,2E ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()1,0,2D ，所以()0,2AE =-uuu r，()0,CA =uuu r ，()1,0,2CD =uuu r,设(),,n x y z =r是平面ACD 的一个法向量，则00n CA n CD ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu rr，即020x z ì=ïí+=ïî，可取()2,0,1n =-r ，设AE 与平面ACD 所成角为故sin q=所以AE 与平面ACD 19. 已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R Î，（ 2.718e »）.（1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sin ln 2(1)nk k =<+å.【答案】（1）1a =（2）1a £（3）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）先对函数()F x 求导，再对a 的取值范围讨论来判断函数()F x 在()0,+¥上的单调性，进而可得函数()F x 在()0,+¥上的极值，利用函数()()()F x f x g x =-有极值1，即可得a 的值；（2）由已知得：1'()cos(1)0G x a x x=--£在(0,1)上恒成立，进而可得1cos(1)a x x £-在(0,1)上恒成立，设1()cos(1)H x x x =-，对函数()x H 求导，再判断函数()x H 在()0,1上的单调性，进而可得函数()x H 在()0,1上的取值范围，即可得a 的取值范围；（3）由（2）可得1sin(1)lnx x-<，进而可得22211(1)sin ln ln 1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+，代入，化简，即可证211sin ln 2(1)nk k =<+å.试题解析：（1）解：∵()ln F x ax x =-，(0)x >∴1'()F x a x=-①若0a £，则对任意的(0,)x Î+¥都有'()0F x <，即函数()F x 在(0,+∞)上单调递减函数()F x 在(0,+∞)上无极值 ②若0a >，由'()0F x =得1x a=当1(0,x aÎ时'()0F x <，当1(,)x a Î+¥时，'()0F x >即函数()F x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a+¥单调递增∴函数()F x 在1x a=处有极小值∴1()F a 11ln 1a=-=∴1a =（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数且当(0,1)x Î时，cos(1)0x ->∴1'()cos(1)0G x a x x=--£在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x Û£-在(0,1)上恒成立设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==--当()0,1Îx 时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减 ∴当()0,1Îx 时，()(1)1H x H >=∴1a £解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴对(0,1)x "Î，1'()cos(1)0G x a x x=--£（*）恒成立 ∵(0,1)x Î∴cos(1)0x ->当0a £时，（*）式显然成立 当0a >时，（*）式Û1cos(1)x x a³-在(0,1)上恒成立设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增 ∴()(1)1h x h <=∴11a³01a Þ<£ 综上得(,1]a Î-¥（3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=sin(1)ln x x Þ->1sin(1)ln x xÞ-<∵对任意的k *ÎN 有21(0,1)(1)k Î+∴211(0,1)(1)k -Î+∴22211(1)sin ln ln 1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+∴22222211123(1)sin sin sinln ln ln 23(1)1324(2)n n n n ++++<++++´´+L L 22223(1)2(1)ln[ln 1324(2)2n n n n n ++=×××=´´++L ln 2<即211sinln 2(1)nk k =<+å[证法2：先证明当02x p<<时，sin ,x x <令()sin p x x x =-,则()cos 10p x x ¢=-<对任意的02x pÎ（，）恒成立∴函数()p x 在区间(0,)2p上单调递减∴当02x p<<时，()(0)0p x p <=sin x x \<∵对任意的k *ÎN ，21(0,)2k pÎ而2214112(412121k k k k <=×---+ ∴221111sin2()(1)(1)2123k k k k <<×-++++232111111112sin 2(ln ln 2(1)355721233nk e k n n =\<-+-++-<=<=+++åL 1考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式的恒成立；4、不等式的证明；5、放缩法.。
辽宁省瓦房店市高级中学2022届高三数学10月月考试题 文
辽宁省瓦房店市高级中学2022届高三数学10月月考试题 文一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设{}U -1012=，，，，集合{}21,A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{}012，， B ．{}-1,12， C ．{}-1,02， D ．{}-1,01，2、若复数z 满足(1)3z i i +=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i -- B ．23i -C ．23i +D ．23i -+3、设,a b R ∈, 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了用圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551135、在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为 ( )A. 14B. 13C. 23D. 566、已知(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且2sin 2cos 2cos (1sin )αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=7、ABC ∆中，2AB =,22AC =,45BAC ∠=︒,P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)(),n a f n f n n N +=++∈，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ）A ．10B ．120C ．130D ．1409、四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③② 10、已知0,0x y >>，182x y x y-=-，则2+x y 的最小值为( ) A 2 B ．2 C ．32 D ．4 11、一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，则圆锥的内切球的表面积为( ) A ．8πB ．24(22)π C ．24(22)π D 232(22)- 12、已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、求值：100lg 20log 25+=________14、已知函数()4cos()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ><<）为奇函数，(,0),(,0)A a B b 是其图像上两点，若a b-的最小值是1，则1()6f =_________15、数列{}n a 中，12a =，22a =，*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S =_______16、下列命题中，正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）． ①函数()(0)af x x x x=+>的最小值为a ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数； ③定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则(1)(4)(7)0f f f ++=； ④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点， 记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值． 18、（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，12811-=a ，0≠n a ，且641311+=+++n n n a S S ， （1）求n a （2）若n n a log b 4=，n n b b b T +++= 21，当n 为何值时，n T 取最小值？并求出最小值。
福建省福州市重点高中2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题参考答案
−
2 1−
≥0 x
，即
2ax≥ 2 1−
x
，即
a≤
1 (1− x)x
，
............................................. 8 分
∵ (1− x)x = −x2 + x = − (x − 1)2 + 1 在−3, −2单调递增，
24
∴ (1− x)x 的最大值为 − (2 − 1)2 + 1 = −6 ，
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：
x (−, −2) −2 (−2, −1) −1 (−1, +)
f (x)
+
0
−
0
+
f (x)
3
1
e2
e
........................................................................................................................................... 11 分
2022 届高三 10 月月考
数学参考答案
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
A
A
C
C
D
二、多选题
9．ACD
10．AC
11．BC
12．ACD
三、填空题
13． 1 10
15． a + b = 1； 5 + 2 6
14．{3}
16． (−3, −2)
高三数学10月月考试题含解析 试题
海淀区中国人民大学附属中学2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8道小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定求填涂在“答题纸〞第1－6题的相应位置上．〕1.全集=R U ，集合20x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭，那么集合UA 等于〔 〕A. {2x x <-或者}0x >B. {2x x <-或者}0x ≥C. {2x x ≤-或者}0x > D. {2x x ≤-或者}0x ≥【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U =R 求出A 的补集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：200x x +≥⎧⎨<⎩或者200x x +≤⎧⎨>⎩，解得：20x -≤<， 即{}|20A x x =-≤<， ∵全集U =R ， ∴UA ={2x x <-或者}0x ≥.应选：B.【点睛】此题考察分式不等式的解法，考察补集及其运算，属于根底题.2.角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么sin α的值是〔 〕A. B. 12-C.2D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】根据三角函数的定义可知，1sin 2y α==-． 应选：B ．【点睛】此题主要考察三角函数的定义的应用，属于根底题． 3.以下函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是〔 〕 A. 1y x=B. 2xy =C. 1y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】 【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性．【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数，B 不是奇函数也不是偶函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，1y x x=+是勾形函数，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递增， 只有1y x x=-在(0,)+∞上递增． 应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题根底．4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把1cos 2y x =的图象上所有的点〔 〕A. 向左平移3π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移23π个单位长度D. 向右平移23π个单位长度【答案】C 【解析】 【分析】把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得．【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因此把1cos 2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是()f x ω向左平移m 个单位，得[()]f x m ω+不是()f x m ω+．5.“ln ln a b >〞是 > 〔 〕 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件.【答案】A 【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==，那么ln ln a b >不成立，所以ln ln a b >〞是 >∴选A . 考点：充分条件、必要条件.6.假如实数集R 的子集X 满足：任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素，那么称X 在R 中的稠密，假设“R 的子集X 在R 中的不稠密〞，那么〔 〕 A. 任意开区间都不含有X 中的元素 B. 存在开区间不含有X 中的元素 C. 任意开区间都含有X 的补集中的元素 D. 存在开区间含有X 的补集的元素【答案】B 【解析】 【分析】写出命题X 在R 中的稠密的否认即可，【详解】命题“任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素〞的否认是：“存在开区间(),a b 〔其中a b <〕不含有X 中的元素〞， 应选：B ．【点睛】此题考察新定义，考察命题的否认．解题关键是正确理解题意，R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R 中的稠密的否认．由命题的否认可得． 7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是〔 〕A. B.C. D.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数，对选项进展排除，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2x π∈时，cos 0x =有两个解π3π,22，令12sin 10,sin 2x x x x+==-，而sin y x =与12y x =-在()0,2π有两个不同的交点〔如以下图所示〕，故函数在()0,2π上有4个零点，应选A.【点睛】本小题主要考察函数图像的识别，考察二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题.8.()2log f x x =，关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ，()212x x x <，关于x 的方程()41f x m =+，41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ，()434x x x <．当m 变化时，4231x x x x --的最小值为〔 〕 A. 162 B. 8C. 2D. 16【答案】B 【解析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ，计算4231x xx x --并化简，然后由根本不等式求得最小值．【详解】在同一坐标系中作出2log y x =的图象和直线y m =，41y m =+，交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ，由方程2log x m =解得122,2m m x x -==，同理4132m x -+=，4142m x +=，4231x x x x --44411144112222222222mmm m mm m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=442(1)11111228m m m m +⋅++-++=≥=，当且仅当411m m +=+，即1m =时等号成立． ∴4231x x x x --的最小值是8．应选：B ．【点睛】此题考察对数函数的图象与性质的综合应用，求出方程的根代入并化简后应用根本不等式解决问题是解题关键．二、填空题〔本大题一一共6道小题，每一小题5分，一共30分．请将每道题的最简答案填写上在“答题纸〞第9－14题的相应位置上．〕9.向量()2,3a =，(),2b t =，假设a 与b 一共线，那么实数t =__________．【答案】43【解析】 【分析】由向量一共线的坐标表示计算．【详解】由题意430t -=，43t =． 故答案为：43． 【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，属于根底题同．10.函数()f x =的定义域为______________ . 【答案】(0,1)(1,2]⋃ 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零，列不等式组求解即可.【详解】要使函数()ln f x x =有意义，那么24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数()f x =的定义域为()(]0,11,2⋃，故答案为()(]0,11,2⋃.【点睛】此题主要考察函数的定义域、不等式的解法，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 假设函数()f x 的定义域为[],a b ，那么函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么()f x =__________．【答案】2sin(2)6x π-【解析】 【分析】结合“五点法作图〞可求解．【详解】由题意2A =，2()36T πππ=⨯+=，22πωπ==，2232k ππϕπ⨯+=+，2,6k k Z πϕπ=-∈，∵2πϕ<，∴6πϕ=-．∴()2sin(2)6f x x π=-．故答案为：2sin(2)6x π-．【点睛】此题考察由三角函数图象求解析式，掌握“五点法作图〞是解题关键． 12.如下图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后，点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭〔单位：m 〕，那么P 的高度在距地面70m 以上的时间是为__________min ．【答案】4 【解析】 【分析】直接解不等式70h ≥即可．【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，1sin()622t ππ-≥，5226626k t k ππππππ+≤-≤+，124128k t k +≤≤+，k Z ∈，取0k =，那么48t ≤≤，844-=．故答案为：4．【点睛】此题考察三角函数模型的应用．考察解三角不等式，属于根底题． 13.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，假设15AD AB AC λ=+()R λ∈，那么λ的值是 ．【答案】65【解析】试题分析：因为所以.又CD ∥AG ，可设从而.因为15AD AB AC λ=+，所以.考点：向量一共线表示14.集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立．〔1〕给出以下两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．〔2〕假设函数()sin f x kx M =∈，那么实数k 的取值集合为__________． 【答案】 (1). 2()f x (2). {|,}k k m m Z π=∈ 【解析】 【分析】〔1〕根据集合M 的性质判断．〔2〕根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±， 【详解】〔1〕假设1()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，那么x T Tx +=，(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；假设2()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，那么22a Ta =，对x ∈R 恒成立，1T =，2()f x M ∈；〔2〕函数()sin f x kx M =∈，那么存在非零点常数T ，使得()()f x T Tf x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x ∈R 知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈-，sin ()[1,1]k x T +∈-，因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立，只有1T =±，假设1T =，那么sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，假设1T =-，那么sin()sin kx k kx -=-，即sin()sin kx k kx π-+=，2k m ππ-+=，(21),k m m Z π=--∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈． 故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】此题考察新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规那么为根据，由新定义规那么把问题转化，转化为熟悉的问题进展解决．三、解答题〔本大题一一共6道小题，一共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．请将解答题之答案填写上在“答题纸〞第15－20题的相应位置上．〕15.函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5．〔1〕求a 的值和()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 的单调递增区间． 【答案】〔1〕3a =，T π=．〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈【解析】 【分析】〔1〕先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；〔2〕由正弦函数的单调区间可得．【详解】〔1〕()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++，由题意25a +=，3a =，22T ππ==．〔2〕222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． 【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，考察正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如下图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.〔1〕求sin α的值； 〔2〕求BE 的长.【答案】〔1〕217；〔2〕7 【解析】 【分析】〔1〕在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，可求出sin α；〔2〕先求出cos α，结合2π3AEB α∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=-⎪⎝⎭，再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】〔1〕在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯，在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠.于是，2π3sin22132sin 77CD EC α⋅⨯===. 〔2〕由题设知，π03α<<，于是由〔1〕知，22127cos 1sin 149αα=-=-=. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2π7cos cos sin sin 3314αα=+=，在直角EAB 中，477BE ==. 【点睛】此题考察正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考察学生的推理才能与计算才能，属于根底题.17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．〔1〕当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；〔2〕试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 【答案】〔1〕当x ＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米; 〔2〕当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．【解析】试题分析：〔1〕矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，列出关于纸盒侧面积S 函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；〔2〕列出盒子体积V 的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论． 试题解析：〔1〕因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． 因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －)2＋， 故当x ＝时，侧面积最大，最大值为 平方厘米． 答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．〔2〕包装盒子的体积V ＝(a －2x)(b －2x) x ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]，x ∈(0，)，b ≤60． V ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]≤x(ab －4x ＋4x 2) ＝x(3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． 当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x)＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 那么f ′ (x)＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增； 当10＜x ＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米． 18.函数()()32413f x x a x a =--∈R ． 〔1〕曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行，求l 的方程； 〔2〕假设函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕11203x y --=；〔2〕(． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数()f x '，由(1)2f '=，求得a ，可得切线方程；〔2〕由导数确定函数的单调性，解不等式2()f x >的极大值即可．【详解】〔1〕由题意22()4f x x a '=-，2(1)42f a '=-=，a =a =45(1)2133f =--=-，切线l 方程是52(1)3y x +=-，即11203x y --=． 〔2〕由〔1〕22()4f x x a '=-， 假设0a =，()f x 在实数集上递增，函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，符合题意， 假设0a ≠，2a x <-或者2a x >时，()0f x '>，22a ax -<<时，()0f x '<， ∴()()2a f x f =-极大值，3()()23a af x f ==-极小值， ∵函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，∴()22af -<，即324()()12322a a a ⨯--⨯--<，39a <，a <，a <<0a ≠，综上可得，a 的范围是(．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察有导数研究函数的极值．函数图象与直线的交点个数问题转化为函数极值的不等关系是此题解题关键． 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R ．〔1〕求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点；〔2〕假设()()()21212g x f x ax a x =+-+，求证：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件． 【答案】〔1〕0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕见解析． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数，研究函数的单调性，确定函数在1[,]e e上单调性得最值．〔2〕求出数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增时的a 的取值范围后可得结论． 【详解】〔1〕()ln 1f x x a '=++，由()0f x '=得1a x e --=，当10a x e --<<时，()0f x '<，()f x 递减，1a x e -->时，()0f x '>，()f x 递增， 当11aee--≤，即0a ≥时，()f x 在1[,]e e 递增，()f x 的最小值点为1e ，11ae e e--<<，即20a -<<时，()f x 的极小值点也是最小值点为1a e --， 1a e e --≥，即2a ≤-时，()f x 在1[,]e e递减，()f x 的最小值点为e ．综上，0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕由21()ln (1)2g x x x ax a x =+-+，()ln 1(1)ln (1)g x x ax a x a x '=++-+=+-， 由题意()ln (1)0g x x a x '=+-≥在(1,2)x ∈上恒成立，即1ln x a x-≥-在(1,2)x ∈上恒成立，设1()ln x h x x -=-，21ln 1()(ln )x x h x x +-'=-， 设1()ln m x x x=+，22111()x m x x x x -'=-=，当(1,2)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，∴1()ln (1)1m x x m x=+>=，∴()0h x '<，()h x 在(1,2)上递减， 11111lim()lim lim 11ln x x x x x xx→→→--=-=-=-，∴(1,2)x ∈时，()1h x <-，∴1a ≥-． ∴：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值，考察函数的单调性．求函数在某个区间上的最值问题，关键是确定函数的单调性，函数在某个区间上的单调问题转化为不等式恒成立，不等式恒成立经可转化为研究函数的最值．20.如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 假设对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，那么称数表A 为完美数表.〔Ⅰ〕当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； 〔Ⅱ〕证明：不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕〔1〕见解析，〔2〕不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据定义确定112112220a a a a +=一个解即可，〔Ⅱ〕先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，〔Ⅲ〕把12n n ln n a a a X +++=作为研究对象，根据条件可得12k X X X l ====，根据定义可得22212n X X X ln +++=.最后根据不等关系：2222221212n k X X X X X X +++≥+++证得结果.【详解】〔Ⅰ〕答案不唯一. 如〔Ⅱ〕假设存在10行10列的完美数表A . 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： 〔1〕把完美数表的任何一列的数变为其相反数〔即1+均变为1-，而1-均变为1+〕，得到的新数表是完美数表；〔2〕交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：1 1 1 1 11111 1 111-1-1- 1- 111-1-111-1-x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列〔如上表所示〕，那么10x y z w +++=由120p =，得x y z w +=+； 由130p =，得x z y w +=+； 由230p =，得x w y z +=+. 解方程组，，，，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. 〔Ⅲ〕记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和 122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=， 因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. 又因为22222221212n k X X X X X X l k +++≥+++=，所以2ln l k ≥，即kl n ≤.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法那么、新运算的外表，利用所学的知识将生疏的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的打破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。
四川省资阳市乐至县吴仲良中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析
四川省资阳市乐至县吴仲良中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题“，有成立”，则为A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立参考答案：C略2. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．3. 若函数y＝log2(x2－2x－3)的定义域、值域分别是M、N，则（）A．[－1, 3] B．(－1, 3) C．(0, 3] D．[3, ＋∞)参考答案：A略4. 下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.参考答案：C5. 的值是A. B.C. D.参考答案：C6. 若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )A．B．C．D．2参考答案：C【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后求解复数的模．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i．|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，考查计算能力．7. 不等式的解集是（）A． B．C．（1，2） D．参考答案：答案：B8. 已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（ ） A ．当时，， B ．当时，，C ．当时，，D ．当时，，参考答案：B略9. 刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（ ）A ．2B ．2+C ．3+D ．3+参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形， 且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形， 且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示； 根据图中数据，计算其表面积为 S=S 正方形ABCD +S △PAB +S △PBC +S △PCD +S △PAD =12+×1×1+×1×+×1×+×1×1=2+．故选：B ．10. 已知命题p ：?x∈R，x 2﹣3x+2=0，则?p 为（ ） A ．?x ?R ，x 2﹣3x+2=0 B ．?x∈R，x 2﹣3x+2≠0 C ．?x∈R，x 2﹣3x+2=0 D ．?x∈R，x 2﹣3x+2≠0参考答案：D【考点】四种命题；命题的否定．【分析】根据命题p ：“?x∈R，x 2﹣3x+2=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“=“改为“≠”即可得答案．【解答】解：∵命题p ：“?x∈R，x 2﹣3x+2=0”是特称命题 ∴?p：?x∈R，x 2﹣3x+2≠0故选D ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，且的夹角为锐角，则的取值范围是______。
《精编》浙江省金华一中高三数学上学期10月月考试题 文 新人教A版.doc
浙江省金华一中2021届高三数学上学期10月月考试题文新人教A版一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔5分〕函数的定义域为M，g〔x〕=ln〔1+x〕的定义域为N，那么M∪〔C R N〕=〔〕A．{x|x＜1} B．{x|x≥﹣1} C．∅D．〔x|﹣1≤x＜1}考点：对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求法函数的定义域求出集合M，对数函数的定义域求出集合N，求出N的补集，然后求解M∪〔C R N〕即可．解答：解：因为函数的定义域为M={x|﹣1＜x＜1}；g〔x〕=ln〔1+x〕的定义域为N={x|x＞﹣1}，所以C R N={x|x≤﹣1}M∪〔C R N〕={x|﹣1＜x＜1}∪{x|x≤﹣1}={x|x＜1}．应选A．点评：此题考查函数的定义域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．2．〔5分〕““〞是“不等式〞成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：绝对值不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先直接求解绝对值不等式，然后通过两个x的范围的大小关系判断充要条件关系即可．解答：解：由不等式，可得，所以由“〞不能说明x一定在“〞；但是“〞⇒“〞．所以“〞是“不等式〞成立的必要不充分条件．应选B．点评：此题考查绝对值不等式的解法，充要条件的判断，考查根本知识的应用．3．〔5分〕〔2021•鹰潭模拟〕设tanα=，那么sinα﹣cosα的值〔〕A．B．C．D．考点：同角三角函数间的根本关系．专题：计算题．分析：由α的范围得到sinα和cosα都小于0，利用同角三角函数间的根本关系分别求出sinα和cosα的值，代入所求式子中即可求出值．解答：解：∵tanα=，∴cos2α====，∴cosα=﹣，sinα=﹣，那么sinα﹣cosα=﹣﹣〔﹣〕=﹣+．应选A点评：此题考查了同角三角函数间的根本关系，学生做题时注意角度的范围．4．〔5分〕〔2021•平遥县模拟〕等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=11，S12=186，那么a8=〔〕A．18 B．20 C．21 D．22考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为×〔a1+a12〕=186所以a1+a12=a5+a8=31所以a8=20解答：解：由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为×〔a1+a12〕=186 所以a1+a12=a5+a8=31因为a5=11所以a8=20应选B．点评：此题主要考查数列的性质即假设m+n=l+k那么a m+a n=a l+a k．5．〔5分〕〔2021•黑龙江〕ω＞0，函数在上单调递减．那么ω的取值范围是〔〕A．B．C．D．〔0，2]考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除〔D〕合题意排除〔B〕〔C〕法二：，得：．应选A．点评：此题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．6．〔5分〕〔2021•山东〕设变量x，y满足约束条件那么目标函数z=3x﹣y的取值范围是〔〕A．B．C．[﹣1，6] D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意析：义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如以下列图由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，那么﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B〔，3〕，由可得C〔2，0〕，z max=6∴应选A点评：此题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义7．〔5分〕假设函数在区间内有零点，那么实数a的取值范围是〔〕A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：根据函数零点与对应方程根之间的关系，我们可将f〔x〕存在零点转化为方程log2〔x+〕=a在内有交点，结合函数的单调性求出实数a的取值范围．解答：解：假设f〔x〕存在零点，那么方程log2〔x+〕=a在内有交点令x+=t〔x＜2〕那么由函数令x+=t在〔，1]上单调递减，在〔1，2〕上单调递增可知，∴1∴1≤a应选B点评：此题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中函数的单调性的应用是求解的关键8．〔5分〕不等式ax2+bx+c＞0的解集为〔﹣2，1〕，那么不等式ax2+〔a+b〕x+c﹣a＜0的解集为〔〕A．B．〔﹣3，1〕C．〔﹣1，3〕D．〔﹣∞，﹣3〕∪〔1，+∞〕考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用不等式ax2+bx+c＞0的解集为〔﹣2，1〕，根据韦达定理，确定a，b，c之间的关系，进而化简不等式，即可求得结论．解答：解：由题意，∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为〔﹣2，1〕，∴a＜0，﹣2+1=﹣，〔﹣2〕×1=∴b=a，c=﹣2a∴不等式ax2+〔a+b〕x+c﹣a＜0为ax2+2ax﹣3a＜0∴x2+2x﹣3＞0∴〔x+3〕〔x﹣1〕＞0∴x＜﹣3或x＞1应选D．点评：此题考查解一元二次不等式，考查学生的计算能力，属于根底题．9．〔5分〕〔2021•莒县模拟〕函数f〔x〕=，那么函数y=f〔1﹣x〕的大致图象〔〕A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：排除法，观察选项，当x=0时y=3，故排除A，D；判断此函数在x＞0时函数值的符号，可知排除B，从而得出正确选项．解答：解：∵当x=0时y=3，故排除A，D；∵1﹣x≤1时，即x≥0时，∴f〔1﹣x〕=3 1﹣x＞0，∴此函数在x＞0时函数值为正，排除B，应选C．点评：利用函数的性质分析此题，此题有助于使学生更好的掌握分析函数图象的一般方法．10．〔5分〕〔2021•丹东模拟〕设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f〔x〕单调递减，假设数列{a n}是等差数列，且a3＜0，那么f〔a1〕+f〔a2〕+f〔a3〕+f〔a4〕+f 〔a5〕的值〔〕A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：由题设知a2+a4=2a3＜0，a1+a5=2a3＜0，x≥0，f〔x〕单调递减，所以在R上，f〔x〕都单调递减，因为f〔0〕=0，所以x≥0时，f〔x〕＜0，x＜0时，f〔x〕＞0，由此能够导出〔a1〕+f〔a2〕+f〔a3〕+f〔a4〕+f〔a5〕的值恒为正数．解答：解：∵函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f〔x〕单调递减，数列{a n}是等差数列，且a3＜0，∴a2+a4=2a3＜0，a1+a5=2a3＜0，x≥0，f〔x〕单调递减，所以在R上，f〔x〕都单调递减，因为f〔0〕=0，所以x≥0时，f〔x〕＜0，x＜0时，f〔x〕＞0，∴f〔a3〕＞0∴f〔a1〕+f〔a5〕＞0，∴f〔a2〕+f〔a4〕＞0．应选A．点评：此题考查数列与函数的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题：〔本大题共7小题，每题4分，共28分．〕11．〔4分〕数列{a n}满足a m•n=a m•a n〔m，n∈N*〕，且a2=3，那么a8= 27 ．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：由a m•n=a m•a n〔m，n∈N*〕，得a4=a2•2=a2•a2=9，同理可求a8．解答：解：由a m•n=a m•a n，得a4=a2•2=a2•a2=9，a8=a2•4=a2•a4=3×9=27．故答案为：27．点评：此题考查数列的概念及简单表示，解决此题的关键是深刻理解等式a m•n=a m•a n〔m，n∈N*〕的含义．12．〔4分〕假设tanθ+=4，那么sin2θ=．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．解答：解：假设tanθ+=4，那么sin2θ=2sinθcosθ=====，故答案为．点评：此题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．13．〔4分〕〔2021•江西〕向量=〔3，1〕，=〔1，3〕，=〔k，7〕，假设〔〕∥，那么k= 5 ．考点：平行向量与共线向量．专题：计算题．分析：由题意可得=〔3﹣k，﹣6〕，由〔〕∥，可得〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，解出 k 值．解答：解：由题意可得=〔3﹣k，﹣6〕，∵〔〕∥，∴〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，∴3﹣k=λ，﹣6=3λ，解得 k=5，故答案为 5．点评：此题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到〔3﹣k，﹣6〕=λ〔1，3〕，是解题的关键．14．〔4分〕〔2021•奉贤区一模〕x＞0，y＞0，且，假设x+2y＞m2+2m恒成立，那么实数m的取值范围是﹣4＜m＜2 ．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：先把x+2y转化为〔x+2y〕展开后利用根本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．解答：解：∵，∴x+2y=〔x+2y〕=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．点评：此题主要考查了根本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．15．〔4分〕单位向量，的夹角为120°，当||〔t∈R〕取得最小值时t= ．考平面向量数量积的运算．点：专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据单位向量模为1，可得•=﹣．因此算出||2=t2﹣t+1，结合二次函数的图象与性质即可得到当||取得最小值时t=，得到此题的答案．解答：解：∵单位向量，的夹角为120°，∴•=||•||cos120°=﹣因此，||2=+2t•+t2=t2﹣t+1=〔t﹣〕2+∴当且仅当t=时，||2的最小值为，此时||取得最小值故答案为：点评：此题给出夹角为120°的单位向量，，求当||取得最小值时t的值，着重考查了单位向量、向量的数量积和二次函数的图象与性质等知识，属于根底题．16．〔4分〕f〔x〕=3x2﹣x+m，g〔x〕=lnx，假设函数f〔x〕与g〔x〕的图象在x=x0处的切线平行，那么x0= ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由f〔x〕=3x2﹣x+m，g〔x〕=lnx，知x＞0，f′〔x〕=6x﹣1，，由函数f〔x〕与g〔x〕的图象在x=x0处的切线平行，知，由此能求出x0的值．解答：解：∵f〔x〕=3x2﹣x+m，g〔x〕=lnx，∴x＞0，f′〔x〕=6x﹣1，，∵函数f〔x〕与g〔x〕的图象在x=x0处的切线平行，∴，解得x0=﹣〔舍〕，．故答案为：．点评：此题考查导数的几何意义的求法，是根底题．解题时要认真审题，注意两直线平行的条件的灵活运用．17．〔4分〕〔2021•丰台区二模〕在平面直角坐标系中，假设点A，B同时满足：①点A，B 都在函数y=f〔x〕图象上；②点A，B关于原点对称，那么称点对〔A，B〕是函数y=f〔x〕的一个“姐妹点对〞〔规定点对〔A，B〕与点对〔B，A〕是同一个“姐妹点对〞〕．那么函数的“姐妹点对〞的个数为 1 ；当函数g〔x〕=a x﹣x﹣a有“姐妹点对〞时，a的取值范围是a＞1 ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：第一空：欲求f〔x〕的“姐妹点对〞，只须作出函数y=x﹣4〔x≥0〕的图象关于原点对称的图象，观察它与函数y=x2﹣2x〔x＜0〕交点个数即可．第二空：构建函数y=a x〔a＞0，且a≠1〕和函数y=x+a，函数y=a x〔a＞0，且a≠1〕关于原点对称的函数为y=﹣a﹣x，函数f〔x〕=a x﹣x﹣a〔a＞0且a≠1〕只有一个“姐妹点对〞，可转化为函数y=x+a与y=﹣a﹣x只有一个交点，由此可得结论．解答：解：根据题意可知，欲求f〔x〕的“姐妹点对〞，只须作出函数y=x﹣4〔x≥0〕的图象关于原点对称的图象，观察它与函数y=x2﹣2x〔x＜0〕交点个数即可．函数y=x﹣4〔x≥0〕关于原点对称的函数为y=x+4〔x＜0〕在同一坐标系作出函数的图象，观察图象可得：它们的交点个数是：1．即f〔x〕的“姐妹点对〞有：1个．故答案为：1当函数g〔x〕=a x﹣x﹣a有“姐妹点对〞时：构建函数y=a x〔a＞0，且a≠1〕和函数y=x+a，函数y=a x〔a＞0，且a≠1〕关于原点对称的函数为y=﹣a﹣x∵函数f〔x〕=a x﹣x﹣a〔a＞0且a≠1〕只有一个“姐妹点对〞，∴函数y=x+a与y=a﹣x只有一个交点∵a＞1时，y=a﹣x单调减，与函数y=x+a图象只有一个交点；0＜a＜1时，y=a﹣x单调减，与函数y=x+a图象没有交点；此时有a＞1；故答案为a＞1．点评：此题考查新定义，考查函数的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“姐妹点对〞的正确理解，合理地利用图象法解决．考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．〔14分〕〔2021•蓝山县模拟〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．〔1〕求角A的大小；〔2〕假设a=1，求△ABC的周长l的取值范围．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：〔1〕首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=，进而求出∠A．〔2〕首先利用正弦定理化边为角，可得l=1+，然后利用诱导公式将sinC转化为sin〔A+B〕，进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin〔B+〕，从而转化成三角函数求值域问题求解；或者利用余弦定理结合均值不等式求解．解答：解：〔1〕∵accosC+c=b，由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，即sinAcosC+sinC=sinB，又∵sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴，又∵0＜A＜π，∴．〔2〕由正弦定理得：b==，c=，∴l=a+b+c=1+〔sinB+sinC〕=1+〔sinB+sin〔A+B〕〕=1+2〔sinB+cosB〕=1+2sin〔B+〕，∵A=，∴B，∴B+，∴，故△ABC的周长l的取值范围为〔2，3]．〔2〕另解：周长l=a+b+c=1+b+c，由〔1〕及余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2=bc+1，∴〔b+c〕2=1+3bc≤1+3〔〕2，解得b+c≤2，又∵b+c＞a=1，∴l=a+b+c＞2，即△ABC的周长l的取值范围为〔2，3]．点评：此题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等根底知识，考查了根本运算能力．19．〔14分〕等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5=a52．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕假设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前99项的和．考点：等差数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题．分析：〔1〕设出数列的公差，利用等比中项的性质推断出a32=a1a9，利用等差数列的通项公式表示出等式求得a1=d，利用求和公式表示出S5，建立等式求得a1和d另一等式，联立求得a1和d那么数列的通项公式可得．〔2〕把〔1〕中数列{a n}的通项公式代入b n，整理后利用裂项法求得数列的前99项的和．解答：解：〔1〕设数列{a n}公差为d〔d＞0〕，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a32=a1a9．〔a1+2d〕2=a1〔a1+8d〕，d2=a1d．∵d≠0，∴a1=d．①∵S5=a52，∴5a1+•d=〔a1+4d〕2．②由①②得a1=，d=．∴a n=+〔n﹣1〕×=n．〔2〕b n=，∴b1+b2+b3+…+b99=[99+〔1﹣〕+〔﹣〕+〔﹣〕]=〔100﹣〕=．点评：此题主要考查了等差数列的通项公式的求法和前n项的和公式的应用．考查了学生根底知识的综合运用．20．〔14分〕〔2021•江西模拟〕△ABC的周长为6，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列．〔1〕求角B及边b的最大值．〔2〕设△ABC的面积为s，求s+的最大值．考点：余弦定理；根本不等式；等比数列的性质．专题：综合题．分析：〔1〕利用余弦定理表示出角B的余弦，利用根本不等式求出余弦的最小值，求出角B 的最大值．〔2〕利用三角形的面积公式表示出三角形的面积S，求出其最大值；利用向量的数量积公式求出向量的数量积，再利用条件等量代换，通过求二次函数的最值求出最大值．解答：解：〔1〕∵a+b+c=6，b2=ac，∴=，a=c时取等号，故B有最大值．又b==，从而b有最大值2，a=c时取等号．〔2〕∵，由〔1〕知B=，b=2时它有最大值．==﹣〔b+3〕2+27，∴，即当b=2时有最大值∴的最大值为．点评：此题考查三角形的余弦定理；根本不等式求函数的最值；通过配方求二次函数的最值．21．〔15分〕函数f〔x〕=．〔1〕求证：存在定点M，使得函数f〔x〕图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f〔x〕的图象上，并求出点M的坐标；〔2〕根据〔1〕的对称性质，定义S n==f〔〕+f〔〕+…+f〔〕，其中n∈N*且n≥2，求S2021．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：〔Ⅰ〕根据题中条件可知函数f〔x〕上的点P和点Q关于点M对称，可根据f〔x〕+f〔2a﹣x〕=2b可以求出a和b的值，进而可以证明．〔Ⅱ〕根据题中条件先求出S n的表达式，进而将n=2021代入即可求出S2021的值．解答：解：：〔Ⅰ〕由题意可知：函数定义域为〔0，1〕．设点M的坐标为〔a，b〕，那么由f〔x〕+f〔2a﹣x〕=+ln++ln=1+ln=2b，对于x∈〔0，1〕恒成立，于是，解得a=b=．所以存在定点M〔，〕，使得函数f〔x〕的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f〔x〕的图象上．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f〔x〕+f〔1﹣x〕=1，∵Sn=f〔〕+f〔〕+…+f〔〕+f〔〕…①∴Sn=f〔1﹣〕+f〔1﹣〕+…+f〔〕+f〔〕…②①+②，得2S n=n﹣1，∴Sn=〔n≥2，n∈N*〕，故S2021=1005．点评：此题主要考查了数列的递推公式以及数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．22．〔15分〕设函数〔1〕当时，求f〔x〕的最大值．〔2〕令，以其图象上任一点P〔x0，y0〕为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数在闭区间上的最值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：〔1〕当时，求出f〔x〕，进而求得f′〔x〕，由f′〔x〕的符号判断f〔x〕的单调性，根据单调性求出f〔x〕的最大值．〔2〕求出，由题意可得在x0∈〔0，3]上恒成立，易知当x0=1时，取得最大值，由此求得实数a的取值范围．解答：解：〔1〕当时，，易知f〔x〕在〔0，1]上递增，在[1，+∞〕上递减，故f〔x〕的最大值为．〔6分〕〔2〕，．由题意，x0∈〔0，3]恒成立，即在x0∈〔0，3]上恒成立．易知当x0=1时，取得最大值，故．〔12分〕点评：此题主要考查利用导数求曲线在某点的切线斜率，求二次函数在闭区间上的最值，利用导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题．。
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2021年高三数学上学期10月月考试题文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 B
A. B. C. D.
2. 若复数Z，是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为 C
A．（0，2） B．（0，3i ） C．（0，3） D．（0，）
3. 下列命题正确的是 D
A．已知
;
B．存在实数，使成立;
C．命题：对任意的，则：对任意的;
D．若或为假命题,则,均为假命题
4. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 D
A． B． C． D．
5.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A
A． B．
C． D．
6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 B A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
7.已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则 B
λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为B
A．15
B．105
C．245
D．945
9. 已知，，则 B
A． B． C． D．
10.设是等差数列的前项和，若，则 A
A． B． C． D．
11.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为 D
A ．
B ．（﹣2，1）
C ．
D ．
12.函数f (x )=的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为 D
A ．（k, k ）,k
B ．（2k, 2k ）,k
C ．（k, k ＋）,k
D ．（2k, 2k ＋）,k
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知函数的图象过点（-1,4）,则a = ． -2 14. 已知函数，则f （xx ）= 0
15. 已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a = ．8
16.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c .若a =，sinB=，C=，则b = 1
三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17.（本小题满分10分）已知函数f (x )＝cos 2
2x －sin 2x cos 2x －21.
（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和值域；
（II ）若f (α)＝102
，求sin 2α的值．
解：（Ⅰ）f (x )＝cos 2
2x －sin 2x cos 2x －21 ＝21(1＋cos x )－21sin x －21 ＝22cos (x ＋4π)．
所以f (x )的最小正周期为2π，值域为．
（II ）由(1)知f (α)＝22cos (α＋4π)＝102，所以cos (α＋4π)＝53.
所以sin 2α＝－cos(2π＋2α)＝－cos 2(α＋4π) ＝1－2cos 2(α＋4π)＝1－2518＝257
.
18.（本小题满分12分）
已知递增等差数列中，，成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （II ）求数列的前项和.
解：(Ⅰ)由条件知 解得 或（舍），．………6分
（II ），
----（1） ----（2）
（1）—（2）得：
19. （本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋a sin C －b －c ＝0. （Ⅰ）求A ；
（II ）若a ＝2，△ABC 的面积为，求b ，c .
解：（Ⅰ）由a cos C ＋a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋sin A sin C －sin B －sin C ＝0.
因为B ＝π－A －C ，所以sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin(A －6π)＝21.
又0＜A ＜π，故A ＝3π
.
（II ）△ABC 的面积S ＝21
bc sin A ＝，故bc ＝4.
而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2
＝8. 解得b ＝c ＝2.
20.（本小题满分12分）
某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：
(Ⅰ)若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率； (Ⅱ)请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程．
（参考公式：．）
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】试题分析：（1）利用列举法写出抽出2组数据的所有基本事件，并从中找出2组数据恰好是相邻2天数据的基本事件，利用古典概型公式求出概率；（2）先求出和，再利用参考公式算出和，代入即可得线性回归方程．
试题解析：(Ⅰ)解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件. ………1分
所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． 3分
事件包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． 5分
∴ ．…………6分
(Ⅱ)解：由数据，求得，8分
，……10分
∴ y关于x的线性回归方程为．…12分
21.（本题满分12分）设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(Ⅰ)求曲线y ＝在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． 解：(Ⅰ)因f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2
＋ 2ax ＋b .
令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a
＝－23.
因此f (x )＝x 3
－23x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－25
.
又因为f ′(1)＝2×(－23)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－25
)
＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x .
令g ′(x )＝0，得－3x 2
＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.
当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0，故g (x )在 (－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x ) ＞0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数； 22. （本小题满分12分）已知a >0，函数f (x )＝ln x －ax 2. （Ⅰ）求f (x )的单调区间；
（II ）当a ＝81
时，求证：f (x )<.
解：（Ⅰ）f ′(x )＝x 1－2ax ＝x 1－2ax2
，x ∈(0，＋∞)．
令f ′(x )＝0，解得x ＝2a 2a .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以，f (x )的单调递增区间是(0，2a 2a )，f (x )的单调递减区间是(2a 2a
，＋∞)．
(2)证明：当a ＝81时，f (x )＝ln x －81x 2
，由(1)知f (x )在 (0,2)内单调递增，在(2，＋∞)
内单调递减．
令g (x )＝f (x )－f (23
)．由于f (x )在(0,2)内单调递增，所以， ，时
，故，f (x )<.。