空间向量解决立体几何的向量方法—解决空间角的问题
空间向量求角
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
再次演示课件
法向量法
n1，n2
n2
n1，n2 n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
结论：cos cos n1, n2
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量
夹角的补角；
关键：观察二面角的范围
一进一出，二面角等于法 向量夹角
四3 、实教践学操过作程的设计与实施
问题1：
二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角？
B
O l
A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
二面角 n1, n2
要点梳理
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在 二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.
设二面角α-l-β的大小为θ，其中
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
C（0，1，0）； O（0，0，0）；
S（0，0，1）， 于是我们有
SA =（2，0，-1）；AB =（-1，1，0）；
OB =（1，1，0）；OS =（0，0，1）；
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||M P ⋅ n n .（2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||M P ⋅ n n .（3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||M P n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。
《立体几何中的向量方法》角的计算
b a
a， b
|
a， b
a
b
结论：
| cos a, b |
|
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标
取 平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1， A1B1、AC1的中 1 取A1B1、AC1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. 1 z
3. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 3 10 值为_________ .
10
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, 2 ]范围内 的角； 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
2
2 2
C
向量法求空间距离和角
—的平而角“a®牆用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解 法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点.向 量进入高中教材，为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,木专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题.1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.(1)求异而直线所成的角.=arcsinli I/II H I法一、在Q 内N 丄/,在0内b 丄/,其方向如图，则二面角设方、乙分别为异而直线a 、b 的方向向量, a 则两异而直线所成的角 a — arccos 1 而Q 所成的角方向向量，；；是平而&的法 (3)求二而法二、设入云是二而角a-/-0的两个半平而的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角a-1-p的平而角a =arccos彳"22求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异而直线间的距离、线而距离；而而距离都可化为点而距离来求.（1）求点而距离法一、设;;是平面Q的法向量，在a内取一点B,则A■ ■■I“・•到&的距离d =1 AB II cos 0\=空叫\n\法二、设AO丄a于O,利用AO丄a和点0在&内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出I走1・（2）求异而直线的距离二 ___ ?—法一、找平而0使比0且砂0,则异而直线a、b的距离就转化为直线a到平面0的距离，又转化为点A到平面0的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设方、b分别为异面直线a、b的方向向量,求；；（万丄方，齐丄乙），则・・D于点而距异而直线a、b的距离心而llcos弘空叫（此方法移植丨川(I )求异而直线DE 与FG 所成的角;rh 向量法求空间距离和角例1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-gCQ 中,分别是棱4久心的中点•(II )求g 和ffiEFBD 所成的角;(III)求Q 到面EFBD 的距离解：(I )记异而直线DE 与g 所成的角为—则&等于向量码运的夹角或其补角,■ D E.FC 、|cos a =1—:_ I \DE\.\FC {\(II)缈初万冷万石)•(两霸頁艸坐标系D-小, —I 一 ・• II DE bl FC [丨呢= (1,0,2),面= (220)设面E 単翌進|=二・・・a 回風X^s£=("l ) A /5V5 5— _v 、 DE ・H = 0<DB • /z = 0得 7 = (-221)又 BC ； = (-2,0,2)记g 和而EFBD 所成的角为&则 sin 0 =1 cos 〈BC], n) 1=1 ."9 ? 1=I BC { II7? I 2 ・•・Bq 和面EFBD 所成的角为冬.4(III)点目到ffiEFBD 的距离d 等于向量丽;在而EFBD 的法向量上的投影的绝对值,BiTl 33.完成这3道小题后, 总结：例2・己知A BCD 是边长为1的正方形，四边形DA ・ q=0DC ・ q = 0向量法求空间距离和角设计说明：1・作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系 的多而体 正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异而直线的距离，并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求).角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.AA'B'B 是矩形，平丄平面A3CD 。
第8节 立体几何中的向量方法(二)——求空间角
令 x＝3，则 n＝(3，－ 3，3)为平面 DEF 的一个法向量.
设直线 AC 与平面 DEF 所成角为 θ，
→ |AC· n| |－6－6| 21 → 则 sin θ＝|cos〈AC，n〉|＝ ＝ ＝ ， → 7 4 21 |AC|· |n|
21 所以 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值为 . 7
11
@《创新设计》
)
目录
考点二 用空间向量求线面角
[例 2] (2018· 洛阳二模)已知三棱锥 A - BCD，AD⊥平面 BCD，BD⊥CD，AD＝ BD＝2，CD＝2 3 ，E，F 分别是 AC，BC 的中点，P 为线段 BC 上一点，且 CP ＝2PB. (1)求证：AP⊥DE；(2)求直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值.
15
@《创新设计》
目录
考点二 用空间向量求线面角
利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向 量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
5
@《创新设计》
取 BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ，
图(2)
目录
考点一 用空间向量求异面直线所成的角
[例 1] (1)(一题多解)(2017· 全国Ⅱ卷)已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，∠ABC＝ 120° ，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( ) 3 15 10 3 A. B. C. D. 2 5 5 3
8
@《创新设计》
目录
考点一 用空间向量求异面直线所成的角
立体几何中的向量方法求空间角
PQห้องสมุดไป่ตู้ 为二面角 l 的平面角 .
Q
O
n
n
n
2、利用定义，在两个半平面内找垂直棱的向量
小结论：射影面积 cos
S射 S
m
n
求二面角
5 .在长方体中， A B 2 , AA
1
2 , AD 1,
P 是棱 AB 的中点 . (1)AB
1
平面 A1 PD 1， A 1 - D 1 P - B 1的平面角正切值。
四棱锥 P ABCD 中，
AB AC ， PA 平面 ABCD ，且 PA AB ， E 是 PD 的中点 . 求平面 EAC 与平面 ABCD 所成的角 .
2b
2
2a b
2
4 a 2b
线面角
定义法：找直线在平面内的射影（先找线面垂直） 也可利用等体积法求点到面的距离处理 向量法：求平面的法向量和直线的方向向量 l l n a
a,n
a
a,n
a,n
2
2
α
α
a,n
n
a n sin cos a , n a n
D
.
C B A
结果
22 11
二面角
定义法：在棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的垂线， 转化为异面直线所成角或其补角. 三垂线法：利用三垂线定理和逆定理确定平面角
P
PO ，作 OQ 垂直交线，连结 PQ ，
向量法： 1、求两个半平面的法向量，则二面角的平面角为两法向量 夹角或其补角 补角 本角 m m m 补角
用向量方法求空间角
[小问题·大思维]
1．当一条直线 l 与一个平面 α 的夹角为 0 时，这条直线一定 在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．
2．为什么求空间角的公式中都带有绝对值？ 提示：因为异面直线所成的角的范围是(0，π2]，斜线与平面 所成的角的范围是(0，π2)，二面角的锐二面角的范围是(0，π2)， 而两个向量的夹角的范围是[0，π]．因此计算时加绝对值．
所以A(0，0，0)，B( 3，－1，0)， C( 3，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， E( 3，0，0)，F( 23，12，1)，
uuur
所以 AE ＝(
3，0，0)，
uuur AF
＝(
23，12，1)．
设平面 AEF 的一个法向量为 m＝(x1，y1，z1)，
uuur
则m·uAuEur m·AF
n1
(0,1,
2 4
3 4
)
uuur
由
APgn uuur
2
3y2
4z2
0,
ACgn2 4x2 5y2 0.
得
x
2
5 4
y2,
z2
3 4
y2,
可取n2=(5,4,-3).
由n1·n2=0,得
4
3g2 4
3 4
0，
解得 2故, AM=3．
则 PuuMu=r λ(0,-3,-4)=(0,-3λ,-4λ)．
uuur uuur uuur uuur uuur BM BP PM BP PA
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、探究题型，掌握解法。
二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。
探究题型，掌握解法。
三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。
在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。
四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。
设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。
所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。
因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。
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已知正方形 ABCD 边长为4,E,F为AD,AB 的中 点,MC垂直于平面 ABCD 且MC=3,(1)求BC与 MF所成的角;(2) 求BF与面EFM成角.
M
D
E
C
A
F
B
向量法求空角
前郭五中 杨雪梅
课前热身
1.若a ? (a1, a2, a3)，b ? (b1,b2,b3),则：
数量积： a ?b ?| a | ?| b | ?cos ? a,b ?
知识储备
1直线的方向向量： 2.平面的法向量 ：
l
a
l
?
b a
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
?
?
??? 0,
?
2
? ??
C
D
思考：
?
A ? D1
B
? CD, AB ? 与?的关系？
? DC, AB ? 与?的关系？
? 结论： cos? | cos ? CD, AB ?|
? 例1：如图，正方体中，点 M是AB的中点, 求 DB1 与CM所成角的余弦值 .
C
D
A ? D1
?
B
A
n
?B ? O
n2
当解空间图形问题几何法难进行时 ,可以尝试运用空 间向量(或坐标)来处理(三步曲):
（1）建系，设点
（2）求方向向量，或法向量
（3）运用公式
Z M
X D
E
C
A
F
B
Y
练习1：正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1.
求 B1C1与面 AB 1C 所成的角 .
A1
B1
D1 C1
A B
D C
小结：
1.异面直线所成角：
? cos? |cos ? CD, AB ?|
2.直线与平面所成角：
? sin? |cos ? n, AB ? |
? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
夹角公式：cos ? a ?b ? ? a ?b ?
a1b1 ? a2b2 ? a3b3
| a | ?| b | a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2 )，则：
AB ? (x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1)
? 1?1 ?4 ?
30
| AF1 || BD1 | 5 3 10
42
所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为
30 10
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围：? ? [0, ? ]
2
An
思考：
?B ? O
? n, BA ? 与?的关系？
? 结论： sin? | cos ? n, AB ? |
解:如图建立坐标系,设棱长为1
则D(0,0,0),C(0，1，0)M(1,
1 2
,0)
B1（1，1，1）
CM=(1 ,- 1 ,0)
2
DB1=（1，1，1）
设DB1与CM所成角 ?
Cos?=|cos< CM, DB1>|=
15 15
? DB1与CM所成角的余弦值.为
15 15
A1
A X
D1D1与AF1 则：A(1,0,0), B(0,1,0),
F1
(
1 2
,0,
a),
D1
(
1 2
,
1 2
,1)
成角 ?C1
F1
A1 C
z
D1
所以：
AF1
?
(?
1 2
,0,1),
A
B1
y
B
11
BD1
?
( 2
,?
2
,1)
Co ?s = cos ? AF1, BD1 ? ?
x
AF1 BD1
例3 已知正方体 ABCD-A 1B1C1D1的棱长为 2，点 E为棱CC1的中点，（ 1）求平面BDE 的法向量。 （ 2）求 A1D与面 BDE成的角。
高考题展示
已知正方形ABCD 边长为4,E,F为AD,AB 的中点,MC垂直于平面 ABCD 且MC=3,(1)求BC与MF所成的角;(2)求BF与面EFM成角.
D B
M
C1
C Y
题型一：线线角
练习：
Rt
ABC中，? BCA ? 900,现将
ABC沿着
平面ABC的法向量平移到? A1B1C1位置，已知
BC ? CA ? CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
C1
F1 D1
B1
A1 C
B
A
题型一：线线角
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz