第一讲----巧数图形.

第4类：边长为4的正方形有1个．
所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形．
方法二：如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．
所以，图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形．
四、数四边形
例11．数出各图中正方形的个数．
解析：(1)中最基本的正方形有9个(9＝3×3)；
由4个基本正方形组成的正方形有4个(4＝2×2)；
由9个基本正方形组成的正方形有1个(1＝1×1)
所以共有正方形9＋4＋1＝14(个)．
(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；
边长为2的正方形有9个，即9＝3×3；
由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．
所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形．
例13．数出图中共有多少个正方形？
方法一：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：
第1类：边长为1的正方形有24个；
第2类：边长为2的正方形有13个；
第3类：边长为3的正方形有4个；
第三部分是FG一条线段．
第四部分是JK一条线段．10＋10＋1＋1＝22(条)
例3．一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条？
分析：一条线段上有10个点，那么我们先把线段画出来
因此，共有线段：9＋8＋…＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(条)
总结：1、找规律数线段：一般地，如果线段上有几个点(其中n是大于或等于2的自然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：
由2个基本三角形构成的三角形有△ABD、△ACE；
由3个基本三角形构成的三角形有△ABE。所以3＋2＋1＝6（个）
例6．数一数图中共有多少个三角形？
思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．
在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形；
方法二：分类数线段。共有3＋2＋1＝6(条)。
例2．数出右面图中共有多少条线段？
解析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来．
第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段．
第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段．
(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2；
2、分类数线段
练习：下列图形中各有多少条线段？
（3）
二、数角
例4．右面图形中有几个角？
分析方法和数线段相同
练习
（ ）个角（ ）个角
三、数三角形
例5．数出下面图中共有多少个三角形？
方法一数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．
方法二我们可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形．
没有由五块拼成的三角形；
由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形．
所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．
总结：1、找规律数三角形2、纵横数三角形3、分类数三角形
练习：下列图形中各有多少个三角形？
（ ）个三角形 （ ）个三角形 （ ）个三角形
（ ）个三角形 （ ）个三角形 （ ）个三角形
所以共有1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。
例题15如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；
边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．
所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个)．
例12．图中共有多少个正方形？
解析：将正方形分类，
由两块小三角形构成的正方形有4个；
由四块小三角形构成的正方形有4个；
由八块小三角形构成的正方形有1个；
由十六块小三角形构成的正方形有1个．
因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形．
例10．数出下图中共有多少个三角形？
思路分析：分类编号
由一块形成的三角形有4个；
由两块拼成的三角形有5个，分别是①＋②①＋③③＋④②＋④⑤＋⑥；
由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥；
由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④；
底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．
底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．
底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．
所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．
方法三我们把图中△ABC、△ACD、△ADE看作基本三角形：
由1个基本三角形构成的三角形有△ABC、△ACD、△ADE；
由一个基本三角形构成的三角形共有8个；
由两个基本三角形构成的三角形共有4个；
由四个基本三角形构成的三角形共有4个．因此：8＋4＋4＝16(个)
例9．数出下面图形中共有多少个三角形？
解析：分类数三角形
由一个基本三角形构成的三角形共有9个；
由四个基本三角形构成的三角形共有3个；
由九个基本三角形构成的三角形只有1个．
第一讲 巧数图形
小朋友们，我们数学课上学习了四边形，你还记得他们的特点吗？你们是不是做过下面的这种题：
图中共有（ ）个平行四边形
这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗？有没有什么巧妙的办法呢？现在让我们一起看一下吧。
一、数线段
例1数出右图中共有多少条线段。
方法一：找规律数线段。共有3＋2＋1＝6(条)。
例14：在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？
解析：按包含的小块分类计数。
包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；
包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；
包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；
包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；
包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；
包含15小块的有2个。
在△BDC中，一共有5个三角形．所以15＋15＋5＝35(个)
例7．图中共有多少个不同的三角形？
思路分析：可以用上一题的方法，也可以有另外的思路:
横着看，有3个基本三角形，所以1+2+3=6
竖着看，有两行，所以三角形个数为6×2=12个
例8．数出下图中共有多少个三角形？
思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中最小的一个三角形看作基本图形．