全国高中数学联赛分类汇编专题 集合函数
全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
全国高中数学联赛竞赛大纲稿及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容; 补充要求：面积和面积方法;2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点;到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心;三角形内到三边距离之积最大的点--重心;4、几何不等式;5、简单的等周问题;了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的面积最大; 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大;在面积一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的周长最小; 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小;6、几何中的运动：反射、平移、旋转;7、复数方法、向量方法; 平面凸集、凸包及应用;二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期,带绝对值的函数的图像;三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式;2、第二数学归纳法;递归,一阶、二阶递归,特征方程法; 函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程;3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用;4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用;5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式;6、一元n次方程多项式根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理;7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质;三、立体几何1、多面角,多面角的性质;三面角、直三面角的基本性质;2、正多面体,欧拉定理;3、体积证法;4、截面,会作截面、表面展开图;四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用;2、二元一次不等式表示的区域;3、三角形的面积公式;4、圆锥曲线的切线和法线;5、圆的幂和根轴;五、其它抽屉原理; 容斤原理; 极端原理; 集合的划分; 覆盖;数学竞赛中涉及的重要定理1、第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题,如果：1当n＝1时,命题成立；2假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n＝k+1时,命题也成立;那么,命题对于一切自然数n来说都成立;2、棣美弗定理：设复数z=rcosθ+isinθ,其n次方z^n = r^n cosnθ+isinnθ,其中n为正整数;3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法;其步骤为：假设方程有解,并设X为最小的解;从X推出一个更小的解Y;从而与X的最小性相矛盾;所以,方程无解;4、同余：两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a ≡ b mod m ,读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余; 比如26 ≡ 14 mod 12定义设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|a-b,则称a与b关于模m同余,记作a≡bmod m,读作a同余于b模m.;有如下事实：1若a≡0mod m,则m|a；2a≡bmod m等价于a与b分别用m去除,余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法; 详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系;例如,一个数除以4的余数只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩余系;可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11关于模4同余,这4组数分别属于4个剩余类;7、高斯函数：fx=ae-x-b^2/c^2 其中a、b与c为实数常数 ,且a > 0.8、费马小定理：假如p是质数,且a,p=1,那么 a^p-1 ≡１mod p 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的p-1次方除以p的余数恒等;9、欧拉函数：φ函数的值：通式：φx=x1-1/p11-1/p21-1/p31-1/p4…..1-1/pn,其中p1, p2…pn为x的所有质因数,x是不为0的整数;φ1=1唯一和1互质的数就是1本身;若n是质数p的k次幂,φn=p^k-p^k-1=p-1p^k-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质;欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φmn=φmφn;特殊性质：当n为奇数时,φ2n=φn, 证明于上述类似;10、孙子定理：此定理的一般形式是设m = m1 ,… ,mk 为两两互素的正整数,m＝m1,…mk ,m＝miMi,i＝1,2,… ,k ;则同余式组x≡b1modm1,…,x≡bkmodmk的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk modm;式中M'iMi≡1 modmi,i＝1,2,…,k ;11、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程称为裴蜀等式：若a,b是整数,且a,b=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立;它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.11、梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线,则FB AF EA CE DC BD ••=1 12、梅涅劳斯定理的逆定理： 如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F,且满足FB AF EA CE DC BD ••=1,则D 、E 、F 三点共线; 13、塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点,AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M,则1=••PA CP NC BN MB AM14、塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上,且满足1=••PA CP NC BN MB AM ,则AN 、BP 、CM 相交于一点;15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和;推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c,对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+16、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2,则有AC AB DCBD = 外角平分线定理：如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D,则有AC AB DC BD = 17、托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形,则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD18、三角形位似心定理：如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P19、正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===R 为△ABC 外接圆半径余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边,则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;20、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD ⊥BC,PE ⊥AC,PF ⊥AB,D 、E 、F 为垂足,则D 、E 、F 三点共线,此直线称为西姆松线;21、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.22、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF不论其六顶点排列次序如何,其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线;。
高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)：专题14三角函数与解三角形第一缉(解析版)
专题 14 三角函数与解三角形第一缉
1．【2021 年江西预赛】△ 퐴�
72° ,则∠� =
.
中,AB= �, � = �, 퐴 = � ,且�4 + �4 + �4 = 2�2 �2 + �2 ,若∠퐴 =
【答案】63
【解析】cos2
3
−
52 4
.
7．【2021 年浙江预赛】已知△ 퐴� 三个顶点的坐标为퐴(0,0), �(7,0), (3,4) ,过点(6 − 2 2, 3 − 2) 的
直线分别与线段 AC,BC 交于 P,Q。若�훥��
=
14 3
,则|
�| + |
�| =
.
【答案】4
+
42 3
【解析】如下图所示,
设
(6 − 2 2, 3 −
,
sin(�
+
�)
=−
3 5
, sin
�−�
4
=
12 13
.则 cos
�
+
� 4
的值为
.
【答案】−
56 65
【解析】因为�, � ∈
3� 4
,
�
.所以� + � ∈
3� 2
,
2�
,
�
−
� 4
∈
� 2
,
3� 4
.
因为
sin(�
+
�)
=−
3 5
,
sin
�−�
4
=
12 13
,
所以
20002012全国高中数学联赛分类汇编专题05集合函数
1、（2000一试1）设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2、（2001一试1）已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 【答案】C【解析】M 表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ． 5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有( )(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C 【答案】D【解析】不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
7、（2006一试5）设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然(322()log 1f x x x x =++为奇函数，且单调递增。
高一集合函数知识点讲解
高一集合函数知识点讲解集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
在高中数学中，集合函数是一个重要的内容。
通过学习集合函数，我们可以更好地理解和分析数学问题。
本文将就高一集合函数的知识点进行讲解，包括集合的表示方法、集合的运算以及集合函数的应用。
一、集合的表示方法集合可以用不同的方式来表示。
最常见的是列举法和描述法。
1. 列举法：列举法是将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A={1,2,3,4}就是用列举法表示的。
当集合中的元素很多时，可以使用省略号表示，如集合B={1,2,3,...,100}。
2. 描述法：描述法是通过描述集合中元素的特点或属性来表示集合。
例如，集合C={x | x是正整数，且x<5}表示的是小于5的正整数构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
1. 并集：并集是指两个或多个集合中所有元素的总和。
用符号“∪”表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：交集是指两个或多个集合中共同存在的元素。
用符号“∩”表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集：差集是指从一个集合中减去与另一个集合中相同的元素后，剩下的元素构成的集合。
用符号“-”表示。
例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集：补集是指在一个全集中减去一个集合的运算。
用符号“'”表示。
例如，集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则A'={4,5}。
三、集合函数的应用集合函数广泛应用于概率、数理统计等领域。
通过集合函数，我们可以更好地描述和解决实际问题。
1. 概率：概率是研究随机事件发生可能性大小的数学分支。
在概率中，我们常用到的集合函数包括事件的补集、事件的并集和事件的交集等。
通过这些函数，我们可以更好地描述和分析随机事件的概率。
高三数学专题(3)集合与函数
第一讲 集合与函数● 高考风向标本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算：含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法：逻辑关联词：四种命题：充要条件．映射的概念：函数的概念：函数的单调性：反函数的概念：分数指数幂的概念和性质：指数函数的图象和性质：对数的定义和运算性质：对数函数的图象与性质：函数的一些应用． ● 典型题选讲例１ 在ABC ∆中：“B A <”是“B A sin sin <”的什么条件？讲解 在ABC ∆中：角A 、B 的对边分别是,a b R 是ABC ∆的外接圆的半径． 一方面：因为 A<B ：所以a<b , 即B R A R sin 2sin 2< ：亦即 B A sin sin < ：从而ABC ∆中A<B ⇒B A sin sin <。
另一方面：因为B A sin sin <：所以B R A R sin 2sin 2< ：即 b a < ：得A<B ：从而ABC ∆中：B A sin sin <⇒A<B 。
故ABC ∆中：“B A <”是“B A sin sin <” 的充要条件．点评 试问：在ABC ∆中：“B A <”是“22cos cos A B >”的什么条件？例２ 试构造一个函数(),f x x D ∈：使得对一切x D ∈有|()||()|f x f x -=恒成立：但是()f x 既不是奇函数又不是偶函数：则()f x 可以是 .讲解 ()f x 的图像部分关于原点对称：部分关于y 轴对称：如2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩． 点评 本题是一道开放题：你能给出其它的答案吗？请不妨一试． 例３ 某种细胞分裂时：由1个分裂成2个：2个分裂成4个：…：一直分裂下去．（１） 用列表表示：1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后：得到的细胞个数：（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n (n ∈N ＋)与得到的细胞个数y 之间的关系：（３）写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式：试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．讲解 （１） 利用正整指数幂的运算法则：可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后：得到的细胞个数：列表如下（２）细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式是y ＝2n ：n ∈N ＋．利用计算器可以算得215＝32768：220＝1048576．故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个．点评 细胞分裂是一种很有趣的数学问题：我们也可以思考下面的类似的问题： 一种专门占据内存的计算机病毒：开机时占据内存2KB ：然后每3分钟自身复制一次：复制后所占内存是原来的2倍：那么开机后经过 ______ 分钟：该病毒占据64MB 内存（1MB=102KB ）.例４ 已知函数13)(-=x x f 的反函数)(1x f y -=：)13(log )(9+=x x g （１）若)()(1x g x f ≤-：求x 的取值范围D ： （２）设函数)(21)()(1x f x g x H --=：当D x ∈时：求)(x H 的值域． 讲解 ∵ 13)(-=x x f ： ∴ )1(log )(31+=-x x f ．（１）∵)()(1x g x f ≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x ． ∴)13(log )1(log 929+≤+x x ：∴2(1)31,10.x x x ⎧+≤+⎨+>⎩解之得 10≤≤x ：∴[]1,0=∈D x ． （２） ∵ )(21)()(1x f x g x H --= )1(log 21)13(log 39+-+=x x)1(log )13(log 99+-+=x x113log 9++=x x ． []1,0∈x 令123113+-=++=x x x t ：显然在[0：1]递增：则有 21≤≤t ．∴2log )(09≤≤x H ：即)(x H 的值域为}2log 0{9≤≤y y ．例５ 某厂生产一种仪器：由于受生产能力和技术水平的限制：会产生一些次品．根据经验知道：该厂生产这种仪器：次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),(32),1(961N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数） 注：次品率生产量次品数=P ：如0.1P =表示每生产10件产品：约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元：但每生产一件次品将亏损2A元：故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数： （2）当日产量为多少时：可获得最大利润？讲解 （1）当x c >时：23P =：所以：每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=;当1x c ≤≤时：196P x =-：所以：每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件：次品约有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件．故：每天的盈利额()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上：日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, xx A x cT x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩ （2）由（1）知：当x c >时：每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时：()3296xT x A x ⎛⎫=- ⎪⎪-⎝⎭． 令96x t -=：则09695c t <-≤≤．故()3961144114796979702222t T t A t A A A t t ⎛-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当144t t=：即()1288t x ==即时：等号成立．所以（i ）当88c ≥时：max 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）． （ii ） 当188c ≤<时：由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤：易证函数()144g t t t=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．所以：()()96g t g c ≥-．所以：()2114411441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=>⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭： 即2max14418921922c c T A c ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭．（等号当且仅当x c =时取得） 综上：若8896c ≤<：则当日产量为88件时：可获得最大利润：若188c ≤<：则当日产量为c 时：可获得最大利润．点评 分段函数是历年高考的热门话题：常考常新：值得我们在复课时认真对待．例６ 设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=：已知不论α：β为何实数：恒有.0)cos 2(0)(sin ≤+≥βαf f 和（1）求证：;1-=+c b（2）求证：;3≥c（3）若函数)(sin αf 的最大值为8：求b ：c 的值．讲解 （1）由),()(2R c b c bx x x f ∈++=产生b+c ：只要消除差异x ：这可令.1=x.0)1(,0)(sin 1sin 1≥∴≥≤≤-f f 恒成立且αα.0)1(,0)cos 2(3cos 21≤∴≤+≤+≤f f 恒成立且ββ从而知 .1.01.0)1(-=+=++∴=c b c b f 即 （2）由.039,0)3(,0)cos 2(≤++∴≤≤+c b f f 知β又因为.3.1≥∴-=+c c b（3）,)21()21(sin sin )1(sin )(sin 222c c c c c f +-++-=+--+=αααα 当.8)](sin [,1sin max =-=ααf 时 由⎩⎨⎧=++=+-.01,81c b c b 解得 .3,4=-=c b点评 注意：b a ≥且b a b a =⇒≤, 这是用不等式证明等式的有效方法：很是值得重视.例７ 设f(x)=lg nn a n xx x ⋅+-++)1(21 ,a ∈R, n ∈N 且n ≥2.若f(x)当x ∈(-∞,1)有意义：求a 的取值范围．讲解 f(x)当x ∈(-∞,1)有意义：当且仅当1＋2x＋…＋(n-1)x＋an x>0 对x ∈(-∞,1)恒成立．即函数g(x)=xn)1(＋xn)2(＋…＋xnn )1(-＋a>0 对于任意的x ∈(-∞,1)恒成立．因为g(x)在(-∞,1)上是减函数：其最小值为g(1)= n 1＋n 2＋…＋n n 1-＋a=21(n －1)＋a ：所以g(x) >0对x ∈(-∞,1)恒成立的充要条件是21-n ＋a>0：即a>21n -． 故所求实数a 的范围为（21n-：+∞）． 点评 构造函数是应用函数思想解题的基础：怎么构造：构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意：恒成立问题在高考中多次出现：其解题方法：很值得探究．例８ 函数f x ()是定义在［0：1］上的增函数：满足f x f x()()=22且f ()11=：在每个区间(,]12121ii -（i =1：2……）上：y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分．（１）f ()0及f ()12：f ()14的值：并归纳出f i i()(,,)1212= 的表达式; （２）直线x i =12：x i =-121：x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1：2……）：记S k a a a n n ()lim()=+++→∞12 ：求S k ()的表达式：并写出其定义域和最小值．讲解 （１）为了求f ()0：只需在条件f x f x()()=22中：令0x =：即有 f f ()()020=：得f ()00=．由f f ()()1212=及f ()11=：得f f ()()1212112==．同理：f f ()()1412124==1．归纳得f i i i ()(,,)121212== ．（２）12121i i x <≤-时,f x k x i i ()()=+---121211a k i i i i i i i =++------121212121212121111[()]()=-1=-()(,,)1421221k i i .故 {}a n 是首项为1214()-k ：公比为14的等比数列,所以 S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞1212141142314. S k ()的定义域为0<≤k 1：当k =1时取得最小值12.点评 本题是２００４年北京高考数学第１８题：将函数与数列综合在一起：体现了数学知识交汇性：是一道既知识、又考能力的活题． 针对性演练１．合{} ,16,9,4,1=P ：若P a ∈：P b ∈：则P b a ∈⊕：则运算⊕可能是 （ ）(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法２．已知集合{1,2,3}A =：{1,0,1}B =-：则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B→的个数是 ( )（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）7３．某天清晨：小鹏同学生病了：体温上升：吃过药后感觉好多了：中午时他的体温基本正常：但是下午他的体温又开始上升：直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )(A ) (B) (C) (D)４．定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗=则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数５．偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增：则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( )（A ）(1)(2)f a f b +≥+（B ）(1)(2)f a f b +<+（C ）(1)(2)f a f b +≤+ （D ）(1)(2)f a f b +>+６．已知函数,),(D x x f y ∈=+∈R y ：且正数C 为常数．对于任意的D x ∈1：存在一个D x ∈2：使()()C x f x f =21：则称函数)(x f y =在D 上的均值为C. 试依据上述定义：写出一个均值为９的函数的例子：________________.7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及部分定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿）及部分定理内容全国高中数学联赛竞赛大纲命题要求：根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛（一试）”所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高．主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合运用和灵活运用的能力。
试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分为150分。
“全国高中数学联赛加试（二试）”与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲以外的内容，试卷包括3道解答题，其中一道是平面几何题，全卷满分为150分。
一先行:全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，全然按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即为中考所规定的科学知识范围和方法，在方法的建议上有所提升，其中概率和微积分初步不托福。
二先行:1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理梅涅劳斯（menelaus）定理（缩写梅氏定理）就是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它表示：如果一条直线与△abc的三边ab、bc、ca或其延长线处设f、d、e点，那么(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=1。
或：设x、y、z分别在△abc的bc、ca、ab所在直线上，则x、y、z共线的充要条件就是(az/zb)*(bx/xc)*(cy/ya)=1。
、塞瓦定理、在△abc内任取一点o，直线ao、bo、co分别交对边于d、e、f，则(bd/dc)×(ce/ea)×(af/fb)=1。
托勒密定理、指圆内直奔圆锥四边形两对对边乘积的和等同于两条对角线的乘积。
西姆松定理。
西姆松定理是一个几何定理。
表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
专题12导数与极限第一辑2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题12导数与极限第一辑1．【2021年福建预赛】若关于x 的不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解，则整数a 的最小值为.【答案】3【解析】设f(x)=(x −2)e x , g(x)=ax +1.则f ′(x)=(x −1)e x ,x <1时,f ′(x)<0;x >1时,f ′(x)>0. 因此,f(x)在区间(−∞,1)上递减，在区间(1,+∞)上递增: 且x <2时，f(x)<0;x >2时,f(x)>0. 由此作出f(x)的草图如图所示.又g(x)的图像是过点(0,1)的直线，结合图像可知a >0.由于a >0时，f(0)=−2<g(0)=1;f(1)=−e <g(1)=a +1; f(2)=0<g(2)=2a +1,因此,0,1,2是不等式(x −2)e x <ax +1的三个整数解. 由于不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解, 所以{f(−1)≥g(−1)f(3)≥g(3) ，即{−3e −1≥−a +1e 3≥3a +1,1+3e ≤a ≤e 3−13 .经检验，a=3符合要求，所以，符合条件的a 的最小值为3.2．【2019年贵州预赛】已知函数f(x)=(e x −e −x )⋅x 3,若m 满足f (log 2m )+f (log 0.5m )⩽2(e 2−1e).则实数m 的取值范围是 .【答案】[12,2]【解析】由f(x)=(e x −e −x )⋅x 3⇒f(−x)=f(x),且x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数.又由f(log2m)+f(log0,5m)≤2(e2−1e)⇒f(log2m)≤f(1).所以|log2m|≤1⇒−1≤log2m≤1⇒12≤m≤2.即m的取值范围是[12,2].3．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)−2f(x)−4>0，f(0)=−1，则不等式f(x)> e2x−2的解为___________.【答案】x>0【解析】构造函数g(x)=e−2x[f(x)+2]，则g(0)=1.由g′(x)=e−2x[f′(x)−2f(x)−4]>0可知g(x)在（−∞,+∞）内单调递增，从而有g(x)>1⇔x>0.故f(x)>e2x−2⇔x>0.4．【2018年甘肃预赛】已知函数f(x)=x3+sinx（x∈R），函数g(x)满足g(x)+g(2−x)=0（x∈R），若函数ℎ(x)=f(x−1)−g(x)恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数f(x)=x3+sinx为奇函数，从而f(x−1)的图象关于(1,0)点对称．函数g(x)+g(2−x)=0，可知g(x)的图象也关于(1,0)点对称．由此ℎ(x)的图象关于(1,0)点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于ℎ(1)=f(0)−g(1)=0⇒x=1是ℎ(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于(1,0)点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．5．【2018年四川预赛】设直线y=kx+b与曲线y=x3−x有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=2，则k的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点(0,0)对称，且|AB|=|BC|=2，所以直线y=kx+b必过原点，从而b=0.设A(x,y)，则{y=kx, y=x3−x,√x2+y2=2.由此得x=√k+1,y=k√k+1，代入得(k+1)+k2(k+1)=4,即(k−1)(k2+2k+3)=0,解得k=1.故答案为：16．【2017年广西预赛】设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R 有f (x )+f (−x )=x 2,在(0,+∞)上f ′(x )>x .若f (1+a )−f (1−a )≥2a ,则实数a 的范围是 .【答案】a ≥0【解析】提示:由题意得f ′(x )>x ,构造函数g (x )=f (x )−12x 2,则g ′(x )=f ′(x )−x >0.从而g (x )在(0,+∞)上单调递增. 由条件f (x )+f (−x )=x 2得g (x )+g (−x )=0,则g (x )是奇函数.因为g (x )在R 上单调递增,由f (1+a )−f (1−a )≥2a 知g (1+a )−g (1−a )≥0,g (1+a )≥g (1−a )， 所以1+a ≥1−a 解得a ≥0.7．【2017年湖南预赛】设函数f (x )是定义在(−∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0的解集为 .【答案】(−∞,−2018)【解析】提示:将不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0 化为(x +2017)2f (x +2017)>(−1)2f (−1)，①构造F (x )=x 2f (x ),使得①式化为F (x +2017)>F (−1)，② 因为F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x ),由已知条件2f (x )+xf ′(x )>x 2， 两边同乘以x ,可得F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )<x 3<0(因x ∈(−∞,0)). 所以,F (x )在(−∞,0)上是减函数,不等式②化为x +2017<−1,即x <−2018， 所以,不等式的解集为(−∞,−2018).8．【2016年福建预赛】函数f (x ) =x 2lnx +x 2-2零点的个数为________. 【答案】1 【解析】由条件知f ′(x)=2x ln x +x +2x =x(2lnx +3). 当0<x <e −32时，f ′(x)<0； 当x >e −32时，f ′(x)>0.于是，f (x )在区间(0，−32)上为减函数，在区间(−32，+∞)上为增函数.又0<x <e −32时，lnx +1<−32+1=−12<0f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，f(e −32)=e −3(−32+1)−2<0，f(e)=2e 2−2>0 故函数f (x )零点的个数为1.9．【2015年山东预赛】设a >1.若关于x 的方程a x =x 无实根,则实数a 的取值范围是______. 【答案】a >e 1e【解析】由函数y =a x 与y =x 的图像,知若a >1,且a x =x 无实根,则a x >x 恒成立， 设f (x )=a x −x .则：f′(x )=a x (lna )−1>0⇒x >−log a (lna ).故f (x )=a x −x 在区间(−∞,−log a (lna ))上递减,在区间(−log a (lna ),+∞)上递增. 从而, f (x )在x =−log a (lna )时取得最小值,即：f (x )min =f(−log a (lna ))=a −log a (ln a )−(−log a (lna ))>0， ⇒1lna −(−log a (lna ))>0.又1lna =log a e,−log a (lna )=log a 1lna ， ⇒log a e >log a1lna⇒lna >1e⇒a >e 1e .10．【2015年福建预赛】函数f (x )=e x (x −ae x )恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，则a 的取值范围是__________． 【答案】(0,12) 【解析】∵函数f (x )=e x (x −ae x )，∴f′(x )=(x +1−2a ⋅e x )e x ，由于函数f (x )两个极值点为x 1,x 2，即x 1,x 2是方程f′(x )=0的两个不等实数根，即方程x +1−2ae x =0，且a ≠0，∴x+12a=e x ；设y 1=x+12a(a ≠0),y 2=e x ，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足{12a >01 2a >1，解得0<a<12，所以a的取值范围为(0,12)，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解11．【2018年湖南预赛】函数f(x)=ln(x2+1)的图像大致是（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.12．【2018年湖南预赛】设函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x−3，则f(x)的零点个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f （x ）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点．综上所述，f （x ）的零点个数为3个， 故选：C ．13．【2017年四川预赛】已知函数f (x )=a ln x +x 2在x =1处有极值,则实数a 的值是()(A)−2(B)−1(C)1(D)2【答案】A【解析】提示：因为f ′(x )=ax+2x =a+2x 2x由条件知f ′(1)=0,解得a =−2.14．【2016年陕西预赛】设函数f (x )=x 3+ax 2+6x +c (a 、b 、c 均为非零整数).若f (a )=a 3，f (b )=b 3，则c 的值为（）. A ．-16 B ．-4 C ．4 D ．16 【答案】D 【解析】设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba，ab =ca⇒c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D.15．【2015年黑龙江预赛】设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)kx a a x a x a x -=++++，则128a a a +++=（）A.-1B.0C.1D.256 【答案】B 【解析】试题分析：000(sin cos )sin cos cos sin 2k x x dx xdx xdx x x πππππ=-=-=--=⎰⎰⎰,所以88280128(1)(12)kx x a a x a x a x -=-=++++，令1x =得80128(12)1a a a a ++++=-=，,令0x =得01a =，所以12801280()110a a a a a a a a +++=++++-=-=，故选B.考点：1.积分运算；2.二项式定理.16．【2015年黑龙江预赛】设函数f (x )=sin 5x +1.则∫f (x )π2−π2dx 值为（）。
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1、（2000一试1）设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2、（2001一试1）已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 【答案】C【解析】M 表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有( )(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C 【答案】D【解析】不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
7、（2006一试5）设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然(32()log f x x x =+为奇函数，且单调递增。
于是若0a b +≥，则a b ≥-，有()()f a f b ≥-，即()()f a f b ≥-，从而有()()0f a f b +≥.反之，若()()0f a f b +≥，则()()()f a f b f b ≥-=-,推出 a b ≥-，即 0a b +≥。
8、（2007一试6）已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 749、（2008一试1）函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．故选C.10、(2008一试2) 设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。
（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．【答案】3[1,)[2,)2+∞【解析】先平方去掉根号．由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．13、（2002一试11）若1)2(log )2(log 44=-++y x y x ，则的最小值是 。
【答案】314、（2003一试9）已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x+a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】－4≤a ≤－1 【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x ∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．17、（2005一试8）已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是【答案】.51310<<<<a a 或【解析】)(x f 在),0(+∞上定义，又)13(143;087)41(212222-=+->++=++a a a a a a•),1(-a 仅当1>a 或31<a 时，).(01432*>+-a a)(x f 在),0(+∞上是减函数，,50,05,14312222<<∴<-⇒+->++∴a a a a a a a 结合（＊）知310<<a 或.51<<a19、（2008一试11）设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .方法二： 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=， 6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．20、（2009一试1）若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．21、（2009一试6）若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．22、（2010一试1）函数x x x f 3245)(---=的值域是 .【答案】]3,3[-【解析】易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.23、（2010一试5）函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 【答案】41-24、（2011一试1）设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ． 【答案】{3,0,2,6}-.【解析】显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．25、（2011一试2）函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．26、（2012一试6）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】).+∞【解析】由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞27、（2000一试14）若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].28、（2002一试15）设二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c ∈R,a ≠0)满足条件：① 当x ∈R 时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x ；② 当x ∈(0,2)时，f(x)≤2)21(+x ③ f(x)在R 上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x 【解析】∵f(x-4)=f(2-x)∴函数的图象关于x= -1对称 ∴ 12-=-abb=2a 由③知当x= 1时,y=0，即a b+c=0 由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1∴f(1)=1，即工+了+以=1，又a b+c=0 ∴a=41 b=21 c=41∴f(x)=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x 取x=1时，有f(t+1)≤1⇒41(t+1)2+21(t+1)+41≤1⇒4≤t ≤0对固定的t ∈[-4,0]，取x=m ，有f(tm)≤m⇒41(t+m)2+21(t+m)+41≤m⇒m 2(1t)m+(t 2+2t+1)≤0⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+-∴m ≤t t41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=929、（2002一试15）实数a,b,c 和正数使得f(x)=x 3+ax 2+bx+c 有三个实根x 1,x 2,x 3，且满足① x 2-x 1=λ, ②x 3>21(x 1+x 2) ，求233927233≤-+λab c a【解析】∵ f(x)=f(x)f(x 3)=(x x 3)[x 2+(a+x 3)x+x 32+ax 3+b]∴ x 1,x 2是方程x 2+(a+x 3)x+x 32+ax 3+b 的两个根∵ x 2-x 1=λ ∴ (a+x)24(x 32+ax 3+b)=⇒3x 32+2ax 3+2+4b a 2=0∵x 3>21(x 1+x 2) ∴ ]3124[31223λ--+-=b a a x (Ⅰ) 且 4a 212b-32≥0 (Ⅱ)∵ f(x)=x 3+ax 2+bx+c=ab c a a x b a a x 31272)3)(3()3(323-+++--+30、（2005二试2）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值.【解析】由条件得，0)()()(=-+--++-+a bz cy a c ay bx c b cx az b ，且).)((1),)((1),)((1222w v w u w w v v u v w u v u u ++=+++=+++=+1)1()1(1111cos 1cos 2222222222+-+=+++=+++=+∴u u u u u u u u u u u u AA),11(2))((13232232w u v u u u w u v u u u u u u +++-≥++-+-=同理，).11(2cos 1cos ),11(2cos 1cos 322322wv w u w w C C w u v u v v B B +++-≥++++-≥+ )[(21)(2122222333333222v uv u w v u w u w u w v w v v u v u w v u f +--++=++++++++-++≥∴+.21)(21)]()(2222=++=+-++-uw vw uv w uw u w vw v （取等号当且仅当w v u ==，此时，.21)],,([),21,min ======z y x f z y x c b a31、（2006一试15）设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .【解析】（１）如果2a <-，则1(0)||2f a =>，a M ∉。