高中数学：第一章 集合与函数的概念 1.2.1

1．2.1集合之间的关系

学习目标

1.理解子集、真子集的概念.

2.理解集合相等并能用符号和Venn图表达集合间的关系.

3.掌握列举有限集的所有子集的方法．

知识点一子集与真子集

思考1如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？

答案所有的白马都是马，马不一定是白马．

思考2我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集．

梳理 1.子集与真子集

2.子集的性质

(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A.

(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A.

(3)如果A?B，B?C，则A?C.

(4)如果A?B，B?C，则A?C.

知识点二集合的相等

思考“中国的直辖市”构成的集合记为A，由北京、上海、天津、重庆四个城市构成的集

合记为B，请问集合A与集合B的元素有什么关系？你认为集合A与集合B有什么关系？答案A中的元素与B中的元素完全相同，A与B相等．

梳理集合的相等

知识点三集合关系与其特征性质之间的关系

1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，于是x具有性质p(x)?x具有性质q(x)，即p(x)?q(x)．

反之，如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“?”是“推出”的意思．

2．如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“?”表示，于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)?q(x)，显然，如果p(x)?q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)?q(x)．

类型一集合间关系的判断

命题角度1概念间的包含关系

例1设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()

A．P?N?M?Q

B．Q?M?N?P

C．P?M?N?Q

D．Q?N?M?P

答案 B

解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.

反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义．

跟踪训练1我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R 表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为________．

答案N＋?Z?Q?R

命题角度2数集间的包含关系

例2设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()

A．A∈B B．B∈A

C．A?B D．B?A

答案 C

解析∵0<2，∴0∈B.

又∵1<2，∴1∈B.

∴A?B.

反思与感悟判断集合关系的方法

(1)观察法：一一列举观察．

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．

跟踪训练2已知集合A＝{x|－1

A．A∈B B．A?B

C．B?A D．B?A

答案 B

解析由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A?B.

类型二 求集合的子集

例3 (1)写出集合{a ，b ，c ，d }的所有子集；

(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论． 解 (1)?，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．

(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1个真子集．如?，有一个子集，0个真子集．

反思与感悟 为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等． 跟踪训练3 适合条件{1}?A ?{1,2,3,4,5}的集合A 的个数是( ) A ．15 B ．16 C ．31 D ．32

答案 A

解析 这样的集合A 有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个． 类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)

例4 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ?B ，求实数a 的值． 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}． 当a ＝0时，B ＝??A ，符合题意； 当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a }，

∵1a ≠0，要使A ?B ，只有1

a ＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.

反思与感悟 集合A 的子集可分三类：?、A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略?. 跟踪训练4 已知集合A ＝{x |1

解 当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝??A ，符合题意； 当a <1时，要使A ?B ，需满足????

?

a <1，2a －3≥1，

a －2≤2，这样的实数a 不存在．

综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．

1．下列集合中，结果是空集的是( ) A ．{x ∈R |x 2－1＝0} B ．{x |x ＞6或x ＜1} C ．{(x ，y )|x 2＋y 2＝0} D ．{x |x ＞6且x ＜1}

答案 D

2．集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( ) A ．P ?T B ．P ∈T C ．P ＝T D ．P ?T

答案 A

3．下列关系错误的是( ) A ．??? B ．A ?A C ．??A D ．?∈A 答案 D

4．下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )

答案 B

5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a可以是() A．3 B．4 C．5 D．6

答案 D

1．对子集、真子集有关概念的理解

(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A ?B的常用方法．

(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．

(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.

2．集合子集的个数

求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．

集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．

3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；

②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．

(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．

课时作业

一、选择题

1．在下列关系中错误的个数是()

①1∈{0,1,2}；

②{1}∈{0,1,2}；

③{0,1,2}?{0,1,2}；

④{0,1,2}＝{2,0,1}；

⑤{0,1}?{(0,1)}；

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 B

解析①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；

③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.

2．已知集合A＝{x|x＝1

9(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝

4

9k±

1

9，k∈Z}，则集合A，B之间的关系

为()

A．A?B B．B?A C．A＝B D．A≠B 答案 C

解析A＝{x|x＝2k＋1

9，k∈Z}＝{…，－

5

9，－

3

9，－

1

9，

1

9，

3

9，

5

9，…}，

B＝{x|x＝4k±1

9，k∈Z}＝{…，－

5

9，－

3

9，－

1

9，

1

9，

3

9，

5

9，…}，故A＝B.

3．已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()

①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.

A．①③B．②③

C．③④D．③⑥

答案 D

解析 元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错． 4．已知集合A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}，C ＝{x |x 是等腰直角三角形}，D ＝{x |x 是等边三角形}，则( ) A ．A ?B B ．C ?B C ．D ?C D ．A ?D

答案 B

解析 ∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C ?B .

5．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠?，B ?A ，则(a ，b )不能是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(0，－1) D ．(1,1) 答案 B

解析 当a ＝－1，b ＝1时，B ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0}＝{－1}，符合； 当a ＝b ＝1时，B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，符合； 当a ＝0，b ＝－1时，B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，符合； 当a ＝－1，b ＝0时，B ＝{x |x 2＋2x ＝0}＝{0，－2}，不符合． 6．集合M ＝{1,2,3}的子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D

解析 ∵集合M 共有3个元素， ∴集合M 的子集的个数为23＝8. 二、填空题

7．若M ?P ，M ?Q ，P ＝{0,1,2}，Q ＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M 的个数是________． 答案 4

解析 P ，Q 中的公共元素组成集合C ＝{0,2}，M ?C ，这样的集合M 共有22＝4个． 8．已知{0,1}?A ?{－1,0,1}，则集合A ＝________. 答案 {－1,0,1}

解析 由题意知集合A 中一定含有元素0,1，并且A 中至少含三个元素，又因为A ?{－1,0,1}，所以A ＝{－1,0,1}．

9．若集合A ＝{x |2≤x ≤3}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ?A ，则实数a ＝________. 答案 0或1

解析 当B ＝?时，a ＝0，满足B ?A ； 当B ≠?时，B ＝{2a

}，

又B ?A ，∴2≤2

a ≤3，

即2

3≤a ≤1，又a ∈Z ， ∴a ＝1.综上知a 的值为0或1.

10．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________． 答案 M ＝P

解析 ∵xy >0，∴x ，y 同号， 又x ＋y <0，∴x <0，y <0， 即集合M 表示第三象限内的点， 而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P . 三、解答题

11．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

解 先用列举法表示集合A ，B .

由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．

由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，求实数a 的值． 解 ∵集合A 的子集只有两个， ∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝23

.

当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝9

8.

综上，a 的值为0或9

8

.

13．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{x ＋2,1}，是否存在实数x ，使得B 是A 的子集？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由． 解 因为B 是A 的子集， 所以B 中元素必是A 中的元素， 若x ＋2＝3，则x ＝1，符合题意． 若x ＋2＝－x 3，则x 3＋x ＋2＝0， 所以(x ＋1)(x 2－x ＋2)＝0.

因为x 2－x ＋2≠0，所以x ＋1＝0，所以x ＝－1， 此时x ＋2＝1，集合B 中的元素不满足互异性． 综上所述，存在实数x ＝1，使得B 是A 的子集，

此时A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}． 四、探究与拓展

14．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么( ) A ．P ?M B ．M ?P C ．M ＝P D ．M ?P

答案 C

解析 ∵?

???? x ＋y <0，xy >0，∴?????

x <0，y <0.∴M ＝P .

15．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ?B ，求实数m 的取值集合． 解 ∵A ?B ，

∴当A ＝?时，即方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0无实根， 故Δ＝16m 2－8(m ＋3)<0，解得－1

2

.

当A ≠?时，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根为负，

则????

?

Δ≥0，

x 1＋x 2<0，x 1x 2>0??

????

m ≥3

2

或m ≤－1，

4m <0，2m ＋6>0

??????

m ≥3

2

或m ≤－1，

m <0，m >－3

?－3

综上，实数m 的取值集合是{m |－3

2

}．