2020年江苏省常州外国语学校中考数学模拟试卷

中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.2的相反数是（）A. B. - C. 2 D. -22.计算+，正确的结果是（）A. 1B.C. aD.3.如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱柱D. 圆锥4.如图，△ABC中，AC=BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A. ∠1＜∠2B. ∠1=∠2C. ∠A+∠2＜180°D. ∠A+∠1＞180°5.若式子有意义，则x满足（）A. x≥1B. x＞1C. x≤1D. x≠16.如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF的度数是（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7.如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，C是线段AB上一点，AC=CB=2，以CB为直径作半圆O，P是半圆O上一动点，以AP为斜边向上作Rt△APQ，使得∠PQA=90°，∠PAQ=30°．若点P从点C 沿半圆弧运动到点B，则点Q在运动中经过的路径长是（）A. πB. πC. 2πD. π二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：a•a2=______．10.实数9的平方根是______．11.分解因式：2x2-2y2=______．12.如果∠α=30°，那么∠α的补角等于______．13.如果a+b-3=0，那么代数式1-2a-2b的值是______．14.在平面直角坐标系中有一点P（5，-12），则点P到原点O的距离是______．15.若是关于x、y的二元一次方程mx-y=2的解，则m=______．16.如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=______度．17.如图，在△ABC中，CA=CB=4，cos C=，则sin B的值为______．18.如图，在由边长相等的小正三角形组成的网格中，A、B、C为格点，则=______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请求两次摸到不同颜色球的概率．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.计算：（1）（）2-（）-1-（+1）0；（2）（x+1）2-（x+1）（x-1）．21.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．22.如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．（1）求证：∠BCA=∠EAC；（2）若CE=3，AC=4，求△COE的周长．23.在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？24.甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+m的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知A（2，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）连接BO，求△BOC的面积．26.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1），对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．已知点E（3，0）．（1）直接写出d（点E）的值；（2）过点E画直线y=kx-3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k 的取值范围；（3）设T是直线y=-x+3上一点，以为T圆心，长为半径作⊙T，若d（⊙T）满足d（⊙T）＞+，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．27.如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A，点B（3，0），交y轴于点C，点M（m，0）是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MP⊥x 轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ．（1）求二次函数的表达式；（2）若∠COP=∠QCP，求QP的长；（3）若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN，求MN+CN的最小值．28.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD=OC，以CD为直径作⊙Q，设点C（0，m）．（1）求线段AB的长；（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：2的相反数是2，故选：D．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2.【答案】A【解析】解：原式==1．故选：A．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】B【解析】解：∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个长方形组成，∴该几何体是三棱柱．故选：B．两个三角形和三个长方形可以折叠成一个三棱柱．本题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征是解决此类问题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵AC=BC＜AB，∴∠A=∠ABC＜∠ACB，∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，∴∠2=∠A+∠ABC，∴∠A+∠2=∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC=180°，故选：C．由AC=BC＜AB，得∠A=∠ABC＜∠ACB，再由三角形的外角性质定理和三角形的内角和可得正确答案．本题考查了等腰三角形的性质定理，三角形的外角性质定理及三角形的内角和，这些都是一些基础知识点，难度不大．5.【答案】A【解析】解：由题意，得x-1≥0．解得x≥1．故选：A．二次根式的被开方数是非负数，则x-1≥0．考查了二次根式有意义的条件，概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．6.【答案】D【解析】解：∵CD∥AB，∴∠AOD+∠D=180°，∴∠AOD=70°，∴∠DOB=110°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°，∴∠DOF=90°-55°=35°，∴∠AOF=70°-35°=35°，故选：D．根据平行线的性质解答即可．此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．7.【答案】C【解析】【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【解答】解：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，AE=3，故选C．8.【答案】B【解析】解：如图，过点A作⊙O的切线AR，R为切点，连接CR，OR，OQ，QR，OP．∵AR是⊙O的切线，∴AR⊥OR，∴∠ARO=90°，∵AC=BC，∴AC=OC=OR，∴AO=2OR，∴∠OAR=30°，∵∠QAP=30°=∠OAR，∠AQP=∠ARO=90°，∴△OAR∽△PAQ，∴=，∴==，∵∠OAP=∠RAQ，∴△CAP∽△RAQ，∴==，∴RQ=，∴点Q的运动轨迹是以R为圆心，为半径的半圆，∴Q在运动中经过的路径长是π，故选：B．如图，过点A作⊙O的切线AR，R为切点，连接CR，OR，OQ，QR，OP．利用相似三角形的性质证明RQ=即可解决问题．本题考查轨迹，解直角三角形，切线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9.【答案】a3【解析】解：a•a2=a1+2=a3．故答案为：a3．根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．10.【答案】±3【解析】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．直接利用平方根的定义计算即可．此题主要考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．11.【答案】2（x+y）（x-y）【解析】【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．故答案为2（x+y）（x-y）.12.【答案】150°【解析】解：根据题意，∠α=30°，则∠α的补角=180°-30°=150°；故答案为：150°．根据补角的定义得出∠α的补角是180°-∠α，代入求出即可．此题考查补角的问题，涉及角度问题时，需要特别注意题干中是否带有单位．13.【答案】-5【解析】解：∵a+b-3=0，∴a+b=3，则原式=1-2（a+b）=1-2×3=1-6=-5，故答案为：-5．由已知等式得出a+b=3，将其代入原式=1-2（a+b）可得答案．本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．14.【答案】13【解析】解：点P到原点O的距离是=13．故答案为：13．根据勾股定理，可得答案．本题考查了点的坐标，利用勾股定理是解题关键．15.【答案】1【解析】解：把代入方程mx-y=2得：m+1=2，解得：m=1，故答案为：1．把代入方程mx-y=2得出m+1=2，求出方程的解即可．本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．16.【答案】20【解析】解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE=90°，∵∠AEC=65°，∴∠OCE=90°-65°=25°，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCE=25°，∴∠DOC=180°-25°-25°=130°，∴∠BOD=∠DOC-∠COE=40°，∴∠BAD=∠BOD=20°，故答案为20．由直角三角形的性质得出∠OCE=25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC=∠OCE=25°，求出∠DOC=130°，得出∠BOD=∠DOC-∠COE=40°，再由圆周角定理即可得出答案．本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．17.【答案】【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD=CA•cos C=4×=1，∴AD===；在Rt△ABD中，BD=CB-CD=4-1=3，AD=，∴AB===2，∴sin B===．故答案为：．过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sin B的值．本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB 的长是解题的关键．18.【答案】【解析】解：如图取格点D，连接AD，设小等边三角形的边长为a，则AD=a．CD=a，DB=3a．∴AD2=DC•DB，∴=，∵∠ADC=∠ADB，∴△ADC∽△BDA，∴===，故答案为：．构造相似三角形利用相似三角形的性质解决问题即可．本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：（1）由题意可知：袋中共有个球，则黄球的个数=4-2-1=1；（2）如下表所示：红1红2黄蓝红1---（红1，红2）（红1，黄）（红1，蓝）红2（红2，红1）---（红2，黄）（红2，蓝）黄（黄，红1）（黄，红2）---（黄，蓝）蓝（蓝，红1）（蓝，红2）（蓝，黄）---所有等可能的情况有12种，其中不同颜色的情况有10种，则两次摸到不同颜色球的概率为P==．【解析】（1）根据篮球的概率，以及篮球个数，利用概率公式求出袋中球总数，即可确定出黄球的个数；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到不同颜色球的情况数，即可求出所求的概率．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：（1）原式=2-3-1=-2；（2）原式=x2+2x+1-（x2-1）=x2+2x+1-x2+1=2x+2．【解析】（1）利用二次根式的性质、负整数指数幂和零指数幂的意义计算；（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后去括号合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了乘法公式．21.【答案】解：解不等式x-1≤0，得：x≤1，解不等式3x＞-6+x，得：x＞-3，则不等式组的解集为-3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA=∠DAC，∵AC⊥DE，AE=AD，∴∠EAC=∠DAC，∴∠BCA=∠EAC；（2）解：∵AC⊥DE，∴∠ACE=90°，∴AE===5，由（1）得：∠BCA=∠EAC，∴OA=OC，∴△COE的周长=OE+OC+CE=OE+OA+CE=AE+CE=5+3=8．【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠BCA=∠DAC，由等腰三角形的性质得出∠EAC=∠DAC，即可得出∠BCA=∠EAC；（2）由勾股定理求出AE==5，由（1）得：∠BCA=∠EAC，则OA=OC，得出△COE的周长=AE+CE，即可得出结果．本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．23.【答案】解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：==3.3，则这组样本数据的平均数是3.3．∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是4．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，=3，∴这组数据的中位数是3；（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3次，∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3次，3.3×1200=3960．∴该校学生共参加活动约为3960次．【解析】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键．24.【答案】解：设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，根据题意得：-=20，解得：x=250，经检验，x=250是原方程的解，且符合题意，∴1.2x=300．答：甲公司有300人，乙公司有250人．【解析】设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，根据人均捐款钱数=捐款总数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25.【答案】解：（1）把A（2，4）代入y=-x+m得-2+m=4，解得m=6，∴一次函数解析式为y=-x+6；把A（2，4）代入y=得k=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）解方程组得或，∴B点坐标为（4，2），当y=0时，-x+6=0，解得x=6，∴C点坐标为（6，0），∴S△OBC=×6×2=6．【解析】（1）先把A点坐标代入y=-x+m中求出m得到一次函数解析式为y=-x+6；再把A点坐标代入y=中求出k得到反比例函数解析式；（2）先通过解方程组得B点坐标，再利用一次函数解析式确定C点坐标，然后利用三角形面积公式计算．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．26.【答案】解：（1）∵E（3，0），B（-1，1），观察图象可知，d（点E）=BE或EC，∴d（点E）==．（2）如图1中，∵当d（线段EF）取最小值，∴d（线段EF）的最小值=d（点E）=，∴d（点F）≤，当d（点F）=时，F（0，3），或F′（0，-3），将F代入y=kx-3k，得k=-1，将F′代入y=kx-3k，得k=1，观察图形可知，满足条件的k的值为：k≤1或k≥-1．（3）如图2中，设直线y=-x+3交x轴于E，交y轴于F．∵d（点E）=d（点F）=＜，∴点T在第二象限或第四象限，设T（m，-m+3），当T在第二象限，TD=时，（m-1）2+（-m+3+1）2=，解得m=或（舍弃），当T在第四象限，TB=时，（m+1）2+（-m+3-1）2=，解得m=或（舍弃），观察图象可知满足条件的圆心T的横坐标x的取值范围为：x≤或x≥．【解析】（1）观察图象可知，d（点E）=BE或EC，求出BE或EC即可．（2）当d（线段EF）取最小值，d（线段EF）的最小值=d（点E）=，推出d（点F）≤，求出d（点F）=时，点F的坐标即可判断．（3）如图2中，设直线y=-x+3交x轴于E，交y轴于F．由题意d（点E）=d（点F）=＜，推出点T在第二象限或第四象限，设T（m，-m+3），利用勾股定理求出两个特殊位置m的值即可判断．本题属于圆综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，图形M的“正方距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．27.【答案】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=-9+3b+3，解得：b=2，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）对于y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，故点C（0，3），则OB=OC=3，故∠OCB=∠OBC=45°，设直线BC的表达式为：y=kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y=-x+3，点M的坐标为：（m，0），则点P、Q的坐标分别为：（m，3-m）、（m，-m2+2m+3），则PQ=（-m2+2m+3）-（3-m）=-m2+3m；∵PQ∥y轴，∴∠OCP=∠CPQ，∵∠COP=∠QCP，∴△OPC∽△CQP，∴，即PC2=OC•PQ，∴2m2=3（-m2+3m），解得：m=0（舍去）或，故PQ=-m2+3m=；（3）∵PQ∥y轴，∴∠OCP=∠CPQ，∵△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，∴∠QCP=∠QPC，∴∠QCP=∠PCO=45°，∴∠OCQ=90°，即CQ∥x轴，故点C、Q关于函数对称性直线x=1对称，故点Q的坐标为：（2，3）；过点C作直线l，过点M作MH⊥l交于点H，交y轴于点N，则点M、N为所求点，设直线l与y轴负半轴夹角的正弦值为，即sin∠HCN==sin∠NMO，则tan∠NMO=，则NH=CN，∴MN+CN=MN+NH为最小，∵tan∠NMO=，∴设直线MH的表达式为：y=-x+t，将点M（2，0）的坐标代入上式并解得：t=，故点N（0，），则CN=OC-ON=3-，∴MN+CN的最小值=MN+NH=MN+CN=+×（3-）=．【解析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）证明△OPC∽△CQP，则，即PC2=OC•PQ，即可求解；（3）过点C作直线l，过点M作MH⊥l交于点H，交y轴于点N，则点M、N为所求点，进而求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形相似、点的对称性等，综合性很强，难度适宜．28.【答案】解：（1）对于y=-x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=4，即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），∴AB==5；（2）由点A、B的坐标知，OA=4，OB=3，tan∠ABO==，则sin∠ABO=，cos∠ABO=，∵BD=OC=m，∴x D=BD sin∠ABO=m×=m，同理y D=3-BD cos∠ABO=3-m，故点D（m，3-m）；∵点Q是CD的中点，∴由中点公式得，点Q的坐标为（m，），∵当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，y Q=CD=，∴CD=3，故（m）2+（3-m-m）2=9，解得：m=；（3）∵AB与BC交圆Q在直径CD的上方，∴CD上方的半圆与∠ABO必有第三个交点（设为E），即只有CD下方的半圆可能在∠ABO 的内部，∴∠OCD≥90°，∠ADC≥90°，∴∠BCD≤90°，∠BDC≤90°，连接CE、DF，∵CD是直径，∴DF⊥OB，CE⊥AB，∴BE≤BD，BF≤BC，在Rt△BCE中，BC=3-m，BE=BC cos∠OBC=（3-m），①当m≥0时，BD=m，BF=BD cos∠OBC=m，∵BE≤BD，BF≤BC，∴（3-m）≤m且m≤3-m，解得：≤m≤；②当m＜0时，BD=-m，BF=-m，∵BE≤BD，BF≤BC，∴（3-m）≤-m且-m≤3-m，解得：m≤-；综上，≤m≤或m≤-．【解析】（1）对于y=-x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=4，即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），即可求解；（2）x D=BD sin∠ABO，同理y D=3-m，故点D（m，3-m），由中点公式得点Q的坐标为（m，）；当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，y Q=CD=，即CD=3，即可求解；（3）由题意得：即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部，则BE≤BD，BF≤BC；再分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可．此题属于圆的综合题，涉及了解直角三角形和解不等式的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．。