平面向量的线性运算

完成课本84页练习
平面向量的线性运算
——向量的减法运算
预备知识：相反向量
类比实数的相反数的概率，定义相反向量：
与a长度相等，方向相反的向量， 叫做a的相反向
量，记作-a ; -a与a互为相反向量
规定：零向量的相反向量仍是零向量
所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；
3、
a=-b，b=-a，a+b=0
定理的应用：
证明 向量共线
证明 三点共线: AB BC A, B,C三点共线
证明
两直线平行:
AB CD AB // CD
AB,CD不 在 同 一 条 直
线
上
AB
//
CD
1[课 本 例 题]已 知 任 意 两 个 非 零 向 量 C
a, b， 作OA a b,OB a 2b,
B
OC a 3b,
-a -a -a N M QP
OC OA AB BC a a a 记作 3a 3a与a的 方 向 相 同
3a 3 a
PN PQ QM MN (a) (a) (a) 记 作 3a
3a与a的 方 向 相 反 3a 3 a
向量的数乘运算的定义
实 数与 向 量a的 积 是 一 个 向 量 ， 这 种运 算 叫 向 量 的 数 乘.
(2)的 符 号 表 示 是 否 改 变 向量a的 方 向.
数乘向量运算律
思考：(1)3(2a)和6a有什么关系？ (2)2a 2b与2 a b 呢？
推 广 出 数 乘 向 量 的 运 算律.
数乘结合律 第一分配律 第二分配律
，是 实 数 ， (1)(a) ( )a; (2)( )a a a; (3)(a b) a b.
平面向量的线性运算
——向量的加法运算
从运动的合成看向量运算
在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海 探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到 上海，那么这两次位移之和是什么？
uuur uuur uuur 位移 AB + BC = AC
上海
台北 香港
C A
B
从力的合成看向量运算
橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
3 DC与OA交 于 点E， 设OA a，OB b， 试 用a，b表 示OC, DC. [类 似 题2]如 图 ， 平 行 四 边 形ABCD的 边 BC ,CD的 中 点 分 别 为K , L， 且AK e1, AL e2， 试 用e1，e2表 示BC ,CD.
探究：
问题：已知OA和OB不共线，AC t AB(t R), 试 用OA和OB表 示OC .
规定：a 0 0 a a
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c) 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加r 法r满足r交换r 律和r 结r 合律r ：r r r a b b a (a+b)+c a (b c)
三角形法则推广为多边形法则：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 多个向量相加，如：AB BC CD DE EF AF ，
这时也必须“首尾相连”.
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
uuur r r
AC = a + b
B
CA
uuur r r AC = a + b
e1 ke2共 线 ， 确 定 实 数k的 值.
3.[课 本 例 题]如 图 ， 平 行 四 边 形ABCD 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点M， 且AB a, AD b， 用a, b表 示MA, MB, MC , MD.
[类 似 题1]如 图 ， 在 △AOB中 ， 延 长BA到C， 使AC BA， 在OB上 取 点D， 使DB 1 OB，
向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
向量加法法则
b
已
知
向
量a,
b,
求
作
向
量a
b
a
A· a
B
ab
b
作法：
C
1.在 平 面 内 任 取 一 点A
2.作AB a, BC b
则 向 量AC a b
o· a A
b ab
B
C
作法：
1.在 平 面 内任 取 一 点O
(1) 2a的 方 向 与5a的 方 向 相 反 ， 且 2a的 模 是5a的 模 的2 ； 5
(2)a b与（b a） 是 一 对 相 反 向 量 ；
(3)若a, b不 共 线 ， 则 a( 0)与b不 共 线 ；
2.下 列 说 法 正 确 的 个 数 是_______
(1)若 a 0， 则 0；(2)若 0， 则 a 0； (3)若 非 零 向 量a, b满 足a b a b , 0,则 a与b同 向 ；
1.如何证明？ 2.如何解释运算 律的几何意义， 尤其是(3)？
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算. 对 于 任 意 向 量a, b， 以 及 任 意 实 数 , 1, 2， 恒 有（1a 2 b) 1a 2 b
1.已 知a, b是两 个非 零向 量,下列 说法 正确 的有___概__.念辨析
判 断ABC三 点 的 位 置 关 系.
r a
r 3b
A
r
r 2b
b
r b
r a
O
[类 似 题]已 知 非 零 向 量e1和e2不 共 线 ， 如 果AB e1 e2 ,
BC 2e1 8e2 ,CD 3 e1 e2 , 证 明 ：ABD三 点 共 线.
2.[逆 向 使 用]已 知 非 零 向 量e1和e2不 共 线 ， 欲 使ke1 e2和
(4)对 于 实 数m和 向 量a, b， 若ma mb,则a b； (5)对 于 实 数m, n和 向 量a， 若ma na,则m n;
(6) a a;(7)( a) a.
线性运算练习
1.[课 本 例 题]计 算 ：(1)(3) 4a;
(2)3(a b) 2(a b) a;(3)(2a 3b c) (3a 2b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
练习：化简 (1)AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________
uuur uuur uuur uuur
(3)AB BD CA DC _____
[课本例题]长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1) 用向量表示江水速度、船速、船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小和方向.
特例：对于OC (1 t)OA tOB,当t 1 时，你知道其几何意义吗？ 2
中 点 公 式 向 量 表 示 法 ：C为AB中 点 ， 则OC OA OB 2
一般地：对于OC OA OB, A, B,C三点共线与, 的值有什么关系？
A, B,C三点共线 存在实数, ，且 1， 使得OC OA OB
(1)同向 a
(2)反向 a
b
b
ab
a
b
ab
探究四：平行四边形法则的两条对角线
D
a
A
b
C
AC a b BD AD AB a b
B
探究五：向量的三角形不等式
问题一：a b与a b、a b 的大小关系如何？
a b ab a b
问 题 二 ： 上 述 不 等 式 等号 何 时 成 立 ？
2.化
简2 3
(4a
3b)
1 3
b
1 4
(6a
7b)
3.设 向量a 3i 2 j, b 2i j,求 1 a b a 2 b 2b a 3 3
4.已 知3( x a) 2( x 2a) 4( x a b) 0,求 x
5.已 知a, b且5x 2 y a,3x y b,求 x，y.
向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加 上这个向量的相反向量
a
a (b)
a
向量减法法则
ab
b
b
b
a
Oa
AO a
A
bb
ab
b
ba
B
B
作法：在平面内任取一点O, 作OA a,OB b,则BA a b.
要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
探究三：当向量共线时，如何相减？
[类似题]某人在静水中游泳速度为 4 2千米/小时，他在
水流速度为4千米/小时的河中游泳，必须朝哪个方向游， 才能沿与水流垂直的方向向前进？实际前进的速度为多 少？
下 列 命 题 中,正 确 的 个 数 有_________. (1)若 非 零 向 量a与b的 方 向 相 同 或 相 反 ， 那么a b的 方 向 必 和a，b之 一 的 方 向 相 同 ； (2)△ABC中 ， 必 有AB BC CA 0; (3)若AB BC CA 0， 则A, B,C为 一 个 三 角 形 的 三 顶 点； (4)若a，b均 为 非 零 向 量 ， 则a b 与a b 相 等 ； (5)若 向 量a，b反 向 ， 且a b ,则a b与a的 方 向 相 同.
2.作OA a,OB b
则 向 量OC a b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型