振动理论11(1)-自激振动
振动力学论文--自激振动形成及分析 2013
振动力学论文题目：自激振动形成及分析院系：新科学院机械工程系专业年级：机制104姓名：王岩军学号：2010200417摘要：机械加工过程中产生的的自激振动主要分强迫振动与自激振动。
本文主要讲述关于工艺系统中自激振动产生的原因，对其进行全面分析，最后得到控制的方法。
关键词：强迫振动，自激振动，强迫振动的特征，自激振动产生的原理，产生自激振动的条件，自激振动的激振机理，解决方法。
序言：振动是在机械加工过程中，因机床工件或刀具发生周期性的跳动。
加工过程中如发生振动，会使工件已加工表面上出现条痕或布纹状痕迹，使表面光洁度显著下降，还会使机床、夹具中的连接零件松动，缩短机床使用寿命，影响工件在夹具中的正确定位。
此外，由于振动，势必降低切削速度，损坏切削工具，降低生产率，造成噪声污染。
如在磨削过程中，由于电动机、高速旋转的砂轮及皮带轮等不平衡，三角皮带的厚薄或长短不一致，油泵工作不平稳等，都会引起机床的强迫振动，它将激起机床各部件之间的相对振动幅值，影响机床加工工件的精度，如粗糙度和圆度。
对于刀具或做回转运动的机床，振动还会影响回转精度。
【1】1、机械加工过程中的强迫振动机械加工中的强迫振动是由于外界（相对于切削过程而言）周期性干扰力的作用而引起的振动。
1.1强迫振动产生的原因强迫振动的振源有来自机床内部的称为机内振源，也有来自机床外部的，称为机外振源。
机外振源甚多，但它们都是通过地基传给机床的，可以通过加设隔振地基加以消除。
机内振源主要有机床旋转件的不平衡、机床传动机构的缺陷、往复运动部件的惯性力以及切削过程中的冲击等。
【2】1.2强迫振动的特征机械加工中的强迫振动与一般机械振动中的强迫振动没有本质上的区别：在机械加工中产生的强迫振动，其振动频率与干扰力的频率相同，或是干扰力频率的整数倍。
强迫振动的幅值既与干扰力的幅值有关，又与工艺系统的动态特性有关：在干扰力源频率不变的情况下，干扰力的幅值越大，强迫振动的幅值将随之增大。
振动理论11(3)-自激振动
●振动系统的简化模型⏹质量一弹簧系统在匀速移动平台上作相对滑动●不失一般性，令滑块质量和弹簧刚度系数均等于，弹簧的伸长为，平台速度为，滑块与平台之间的相对速度为−. 是相对速度为时的摩擦力相平面方法应用--干摩擦引起自激振动问题分析75●受干摩擦力和弹簧恢复力作用的滑块运动方程为●弹簧伸长稳定时刻作为滑块平衡位置，即令●将平衡位置作为新的坐标原点，引入新的变量76则方程化作+其中的阻尼项为77●一阶自治方程●其对应的相轨迹如下⏹虚线为零斜率等倾线，在原点附近位于第一、三象限，类似于负阻尼情形78●在原点附近，相当于负阻尼情形：原点处的奇点为不稳定焦点，对应于不稳定的滑块平衡位置●当滑块因扰动偏离平衡位置时，相点沿螺线向外运动，振幅不断增大●一旦相点到达辅助曲线的水平段，即沿此线段移动到达右边，然后环绕原点一周后再与线段相遇，并再次重复此过程●过点的相轨迹自然成为相平面内的极限环。
●以上分析说明了干摩擦自激振动的产生原因。
79●当相点沿线段运动时，滑块相对平台的相对速度为零，这时平台咬住滑块以速度一同匀速运动●待弹簧恢复力随弹簧变形增长得足以克服静摩擦力时，滑块开始相对平台向后滑动，并在摩擦力作用下不断减速●滑动直到相对速度减至零，平台再次咬住滑块时上述过程重复发生对应的物理描述80●在此系统中，等速移动的平台为恒定能源，通过滑块与平台之间干摩擦特性调节能量的输入和输出●平台咬住滑块时对滑块作正功，释放后对滑块作负功，使滑块维持稳定的自激振动●各种实际的干摩擦自振现象都可从以上简单模型的分析得到解释●在工程中，滑块与平台之间时而粘住时而滑动的不连续爬行现象可在机械传动系统中发生。
利用润滑剂使干摩擦转化为黏性摩擦，干摩擦自振现象即自然消失。
对应的物理描述81输电线舞动82●高压输电线路在某些天气条件下会发生低频大振幅的振动⏹输电线通常为圆形截面，用相距300英尺的线塔牵拉⏹输电线在跨长内做半波振动，跨中振幅可达10英尺，频率大约每秒1周，或者更低●由于这一特征，这一现象通常被称为舞动而不是振动●在温暖气候的国家，很少会发生此类现象。
自激振动
自激振动原理简介自激振动 self-excited oscillation 由静能源的能量产生的持续而稳定的周期振动[1]。
在振幅小的期间，振动能量可平均地得到补充；在振幅增大期间，耗散的能量组成，被包含在振动系统中，此时补充的能量与耗散的能量达到平衡而接近一定振幅的振动。
心脏的搏动、颤抖、性周期等一些在生物中所看到的周期现象，有许多是自激振动。
详细内容自激振动系统为能把固定方向的运动变为往复运动（振动）的装置，它由三部分组成：①能源，用以供给自激振动中的能量消耗；②振动系统；③具有反馈特性的控制和调节系统。
振动系统和控制系统间的联系,有纯机械的联系,也有力学的或物理特性的联系。
分析自激振动时，必须研究这种联系和反馈过程，才能更好地了解自激振动的特性，提出改进措施。
自激振动的稳定状态由能量平衡确定，即从能源送入振动系统的能量等于系统所消耗的能量。
在这一点上可分为两种情形：如果自激振动的频率是给定的，那么能量平衡的条件就确定自激振动的稳定振幅；如果自激振动的振幅是给定的，那么能量平衡的条件就确定自激振动的频率。
自激励分类自激励分为软自激和硬自激两种。
在前一种场合,系统从静止状态独立地起振。
在后一种场合，为了激励系统，需要给予一定量的起始推力。
自激振动在许多情况下用到负阻的概念。
这个概念和相位关系联系着。
在普通情况下（正阻），电压与电流（或力与速度）同相。
正阻是能量的消耗者。
如果在系统的某一元件上发现电压与电流反相，那么这个元件就可能是振动的源泉，这个元件就是负阻。
自激振动系统分成近似正弦系统和张弛振动系统两类。
第一类的特征是自激振动的波形近似于正弦曲线。
第二类是显著的非正弦波形有时甚至是断裂波形。
在张弛系统里，阀的作用由储能器的两个能量值间的落差表达出来；在一个量值上阀打开，而在另一个量值上关闭。
对自激振动的实际研究必须解决两个基本问题：如果自激振动是需要的，就要研究如何得到所需频率，功率和波形的振动；如果自激振动是有害的，就要研究如何设法消除它。
自激振动
自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统在运动过程中伴随有能量损耗但系统存在一种机制使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈调节及时适量地得到补充从而产生一个稳定的不衰减的周期运动
§4-5 自激振动
对线性阻尼振动系统 , 严格的周期运动只能 由周期性驱动力产生 ; 而对非线性系统 , 有一种 自激振动系统 , 在非振动即非周期性变化的能源 供给下 , 它能产生严格的周期运动 , 是人们十分 感兴趣的现象. 自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统 , 在运动过程中伴随有能量损耗 , 但系统存在一种 机制 , 使能量能够由非振动的能源通过系统本身 的反馈调节 , 及时适量地得到补充 , 从而产生一 个稳定的不衰减的周期运动 . 这样的振动称为自 激振动. 下面介绍一个典型的自激系统——三极 管 振 荡系统, 描述它的振荡方程称为范· 德· 波尔方程,
则系统能实现稳定的周期振动. 现在 来研究方 程 描述 的 相轨道 . 先把方 程化 为两个一阶方程
=y x 2 2 2 y = µ ( x − µ ( x0 − x 2 ) y − ω0 x = y dx
2 2
给 出任 一 初始条件 , 通过 计算 机 数值求解 , 可以证明 它的 相轨道都将趋向于 一 条闭合曲 线 , 这一 条闭合曲 线 , 称为极 限环 . 极 限环以外 的 相 轨道向里盘旋 , 而极 限环以内 的 相轨道则向外盘 旋 , 都趋向 极 限环 , 说明 不 论初始情况如何 , 系 统 最终都 到 达以 极 限环描述 的周期性运动 , 图 中 参数取值为 x0 = 1, µ = 0.3, ω 0 = 1.
2 2
可 得 出相轨道 能过 横坐标轴 时 必然垂直 于 横坐标 轴 , 通过 纵坐标轴 时 必然 取 同 一 斜率 , 数值计算 得出的图符合这些规律. 自激振动现象是一种普遍现象. 如钟摆、 弦 乐器以及人的心脏的周期性跳动、 活塞发动机的 周期性运动 等都 是 利用 这种现象 来 建立 不衰减的 周期运动 ; 但有 些 自激振动是十分有 害 的 , 这 些 现象应设法避免. 由 图可以 定性地 看 到自振动从 初始条件 开 始 到周期运动 形成 的过程 , 这是 作 图 法和 数值计算 方法的优点.
瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动
瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动自激振动是一种重要的振动现象，在许多实际物理系统中都有广泛的应用。
自激振动具有自身的特点，其中瑞利方程和范德波尔方程是描述自激振动的重要方程之一。
瑞利方程和范德波尔方程描述了自激振动的产生机制和特性，是研究自激振动现象的重要工具。
瑞利方程描述了非线性系统中振动的机制，而范德波尔方程则描述了系统中振动的稳定性。
自激振动是一种非线性振动现象，其产生机制可以通过瑞利方程和范德波尔方程进行描述和分析。
在实际应用中，自激振动在许多领域都有着重要的应用价值。
例如，在电子工程领域中，自激振动常常用于电路设计和信号处理。
在力学领域中，自激振动常常用于结构动力学和振动控制。
在生物学领域中，自激振动常常用于描述神经脉冲传播和心脏跳动等生物现象。
在化学领域中，自激振动常常用于描述分子振动和化学反应动力学等问题。
瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动现象具有许多独特的特性。
首先，自激振动是一种非线性振动现象，其振幅和频率可以随着外部激励的变化而变化。
其次，自激振动具有一定的自我调节能力，能够在一定范围内保持稳定振动。
第三，自激振动具有一定的非线性特性，其振动行为可能呈现出周期性、混沌性和复杂性等现象。
自激振动现象在许多实际系统中都有着广泛的应用。
例如，自激振动在机械振动系统中常常用于阻尼器和减振器的设计。
在电路设计中，自激振动常常用于信号处理和调制解调。
在生物医学工程中，自激振动常常用于人体生理信号的采集和分析。
尽管自激振动具有着丰富的特性和应用，但是其产生机制和稳定性依然存在着许多值得研究的问题。
例如，如何通过控制系统参数来实现自激振动的稳定性和可控性是一个重要的研究方向。
另外，如何利用自激振动来设计新型的传感器和能量收集器也是一个具有挑战性的问题。
总的来说，瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动现象具有着丰富的特性和应用价值，在许多实际系统中都有着广泛的应用。
通过深入研究自激振动现象的产生机制和稳定性，可以为其在各个领域的应用提供更好的支持和指导。
再生自激振动名词解释
再生自激振动名词解释自激振动是机械系统内部流体由非振动性的激发转变为振动性激发而引起的振动。
例如管壳式换热器内由于某根管子偏离原先位置且产生位移，就会引起周围流场改变，并破坏邻近管子力的平衡，使它们受到波动力作用并在自振频率下发生振动。
振动一旦开始，振幅将急剧增大，振动率不仅与流速有关，还与周围管子的共振率有关。
流体诱发的这种振动是流体流动与管子运动相互之间动力作用的结果，属于一种流体弹性激振。
自激振动在自然界里和生活中是很常见的。
例如，树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的小夜曲，自来水管突如其来的喘振，夜深人静时听到墙上老式挂钟持续地发出滴答滴答的摆动声，这些无不是各式各样的自激振动。
用车、铣、刨、磨等机床加工时，搞得不好，刀具自激振动起来，会在工件表面上啃出波浪式的纹路，严重地影响了加工的光洁度和机床的寿命。
所以，自激振动是一种相当普遍的现象。
自激振动(self-excited vibration)是一种由系统本身产生的激励所维持的非线性振动。
自激振动系统除具有振动元件外，还具有非振荡性的能源、调节环节和反馈环节。
因此，不存在外部激励时它也能产生一种稳定的周期性振动。
维持自激振动的交变力是由运动本身产生的，并且由反馈和调节环节所控制。
运动本身一旦停止，其交变力随之消失，自激振动也随即停止。
自激振动是工程中除自由振动和受迫振动之外大量存在的另一种振动形式。
自激振动靠系统外的能源补充能量，但区别于受迫振动的是，自激振动的能源是恒定的。
自激振动和受迫振一样也是在自然界和工程中最常见的一种振动，但它的产生机理却复杂得多，又经常和非线性系统联系在一起。
常见的自激振动有：内燃机或蒸汽机的活塞的往复运动；切削工件时引起的机床振动；机械式钟表中摆轮的振动；飞机机翼由于气流引起的颤振；拉提琴时琴弦的振动和拉手风琴时簧片的振动等。
振动理论11(2)-自激振动
相平面●不显含时间变量的系统称为自治系统，即时间不出现在运动微分方程中，只有时间的微分出现在形如下面的方程中⏹其中函数表示单位质量物体上恢复力与阻尼力的合力●把上面的方程用两个一阶方程来表示如果和为笛卡尔坐标，平面称为相平面. 系统的状态就可以用坐标和来描述，表示为相平面上的一个点随系统的改变，相平面内的点移动，在相平面内产生一个曲线，称为相轨迹(trajectory).●状态速度定义为●当状态速度为零时即达到平衡态：速度和加速度均为零●利用第一个方程，用第二个方程除第一个方程，●对于相平面上的每个点，如果是可确定的，迹的斜率是唯一的：●相轨迹的走向总是顺时针方向，与轴正交。
●如果（即迹点在轴上）并且, 迹的斜率无限大, 所有跟这个点相关的迹均垂直于轴51●如果，, 斜率不确定．这时的相点定义为奇异点.奇异点与平衡状态相关，在该平衡状态里，速度和力均为零关于奇异点表征的平衡是稳定的还是不稳定的，还需要进一步的讨论例题●确定单自由度振动的相平面:●解由, 写成两个一阶方程:二式相除，●分离变量并积分●这是一族椭圆，大小由确定。
●这个方程是一个保守体系:●奇异相点为保守系统的自由振动首先用相平面法研究最简单的机械系统，即保守系统。
其动力学方程为对应的相轨迹微分方程为分离变量并积分●为保守系统的势能●积分常数⏹系统的总机械能,取决于初始条件●上述相轨迹方程表示了系统的机械能守恒，即保守系统的能量积分●也可写作●对应于实际发生的运动，必须有(否则只是想像的)56●相轨迹曲线相对横坐标轴对称●与交点（动能为零）的●势能曲线的驻点对应横坐标轴上的奇点●在势能取极小值的⏹（有动能，有非零值），在相平面上对应奇点的封闭相轨迹⏹当（没有非零的值）时，不存在对应的相轨迹⏹这种类型的奇点是稳定的，称为中心。
它对应于系统的稳定平衡状态57●在势能取极大值的⏹，在区间内没有对应的相轨迹⏹在时，及处处相接触⏹当时，这两个分支则演变为分布在轴的上方和下方的两支曲线。
自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]
![自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]](https://img.taocdn.com/s3/m/f2c5e544bceb19e8b8f6bad3.png)
自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]自激振动：结构系统受到自身控制的激励作用时所引起的振动。
自由振动：定义1：激励或约束去除后出现的振动。
定义2：引起振动的激励除去后，结构系统所保持的振动。
自激振动系统为能把固定方向的运动变为往复运动（振动）的装置，它由三部分组成：①能源，用以供给自激振动中的能量消耗；②振动系统；③具有反馈特性的控制和调节系统。
在振幅小的期间，振动能量可平均地得到补充；在振幅增大期间，耗散能量的组成，被包含在振动系统中，此时补充的能量与耗散的能量达到平衡而接近一定振幅的振动。
心脏的搏动、颤抖、性周期等一些在生物中所看到的周期现象，有许多是自激振动。
自由振动：在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后，它们就在系统部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动，这种振动叫做自由振动。
简单说自激振动初始状态为不动或只有些微的振动，由于外界驱动下可以自发的激励起来某个模式或多个模式，随着耗散和驱动而其中一个或几个模式增长，其他消亡。
自激振动的频率一般就是自由振动频率，但是由于要维持振动就必须有能量的输入，一般说来自激振动是非线性过程。
常见的自激振动如机械表、风吹过某腔体而发声等；自由振动指无外加驱动，当系统偏离平衡状态而引起的振动，这个例子很多，如钟摆拉离平衡点引起的摆动，扔块石子在水面后引起的水波自由振动等。
区别：一个有持续或多次能量馈入，有耗散，振动可维持，一般为非线性过程。
一个可以称之为只有一次能量馈入，当有耗散时最终振动会停止，自由振动只是与系统自身相关，可能线性也可能非线性。
自由振动和自激振动的本质区别在于，自由振动的激励来自外界，并且只在初始受激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。
受迫振动:线性阻尼系统对简谐性激励的长期响应。
为了弥补阻尼造成的机械能损失，使振动持续下去，也可以采用其它方式的激励。
自激振动就是一种在单方向（即非振动型）的激励作用下，振动系统的响应。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
自激振动●迄今讨论的问题都是自由振动或者受迫振动●存在另一类的扰动，称为自激振动⏹通过例子中二者区别的实质●普通单缸蒸汽发动机⏹活塞完成一个往复运动，可以看成是一个振动⏹维持这一振动的力来自蒸汽，在活塞的两侧交替推动●带失衡圆盘的弹性轴⏹弹性轴承在两个支撑上旋转⏹不平衡质量导致的离心力交替推动圆盘上下运动2●蒸汽发动机是自激振动⏹通过约束飞轮限制活塞运动，阀门将停止，不会有交替的蒸汽力作用在活塞上●盘的运动是普通的受迫振动⏹限制盘的振动，例如轴上靠近盘的两侧装两个球轴承，并把球轴承的外圈附在牢固的基础上，这样就限制了盘的振动，但是转动并未受影响.⏹因为失衡旋转继续，交替力一直保留不会消失3●于是总结出以下区别：⏹在自激振动中，维持运动的交替外力由运动自身产生或者控制；如果运动停止，交替外力将消失⏹在受迫振动中，交替外力与运动相互独立，即使运动停止，交替外力仍然存在4另一种看待此问题的方法是把自激振动定义成带有负阻尼的自由振动5●如下的含负阻尼的单自由度运动微分方程:其解可以写为是一个振幅呈指数增加的振动●普通的正阻尼力正比于振动速度并与其方向相反●负阻尼力也与速度成比例，但是与振动方向相同⏹负阻尼不仅没有减少自由振动的振幅，反而使其增加●不管是正阻尼还是负阻尼，都会随着运动停止而消失6●系统的动态稳定性质⏹具有正阻尼：动态稳定⏹具有负阻尼：动态不稳定●系统的静稳定性质⏹静态稳定:从平衡位置开始的位移所形成的力或力偶倾向于驱动系统回到平衡位置⏹静不稳定:这样形成的力倾向于增加位移⏹静不稳定性意味着负的弹性常数，或者更一般地说，其中一个固有频率的值为负●动态稳定和静态稳定的区别⏹动稳定性总是以静稳定性为前提的⏹反过来是不成立的：静态稳定的系统也可以是动不稳定的7系统的三个不同的稳定性阶段的行为(a) 静不稳定; (b) 静稳定，动不稳定; (c) 静稳定且动稳定8自激振动的频率●在大多数的实际例子中，负阻尼相对于运动的弹性力和惯性力很小⏹如果阻尼力为零，振动频率就是固有频率⏹不管是正的阻尼力还是负的阻尼力, 阻尼力将或多或少降低系统的固有频率⏹在机械工程的实践中，这一频率上的区别可以忽略不计，所以自激振动的频率就是系统的固有频率●只有当负阻尼力大于弹性力或者惯性力的时候，自激振动的频率才会与固有频率显著不同9●从能量角度考虑⏹对于正阻尼情况阻尼力做负功，总是与速度反向机械能转变成热能（通常耗散在阻尼器的油里面）这些能量来源于振动系统接下来每次振动振幅减小，动能减小，损失的动能被阻尼力吸收⏹负阻尼的情况阻尼力作为驱动力做正功，在一个循环里面，该功转化成动能，使振动增加●如果没有外来能源(如蒸汽锅炉), 自激振动就不能存在⏹能源自身是没有运动的交替频率的10●对于一个线性自激振动系统，由于每个循环都有能量进入系统里来，其振幅会随时间发展为无限大⏹实际观测不到无限大振幅●在大多数的系统里面，自激振动机制与阻尼同时、独立存在11●线性系统中阻尼每周的耗散能为，一个抛物线●如果负阻尼力也是线性的，每周输入能量将是另一个抛物线●是自激系统还是阻尼系统，取决于哪个抛物线高一些12●在实际的例子中，输入和阻尼力其中之一或者同时，都是非线性的，输入和耗散曲线是相交的⏹假定振幅为，那么输入的能量就会多于耗散的能量，振幅会增加⏹假如振幅为，阻尼力会大于自激振动，振动会消减⏹这两种情况下，振幅都会倾向于向发展, 此时能量平衡，系统所做的运动为无阻尼的稳态自由振动1311.2稳定的数学判据●对于单自由度系统，采用简单的物理推理即可显示阻尼常数是否为负，因而可以不通过数学方法，而直接以物理方法推导动态稳定准则。
●对于含有两个或者三个自由度的系统，相应的物理概念不足以完整解释事件的全部，而有必要采用数学方法，第一步就是要建立问题的微分方程。
●如果处理的是小振动问题，可以忽略任何的非线性, 方程都是线性的，并且是二阶的14●假定解具有以下形式⏹:复数;⏹实部确定了阻尼;⏹虚部确定了固有频率代入自由振动的微分方程，使其化为一组个齐次线性代数方程，含如下复未知量经过代数消去法处理，得到不包含以上变量的方程，即频率方程，通常是的自由度方程。
15●的根通常是复数，以共轭对的形式出现第一个微分方程的解写为用共轭对把这些项重新组合因此，的虚部就是频率, 的实部确定了阻尼比.●如果全部值的实部都是负的，系统就是动态稳定的;●如果其中任何一个s的值的实部是正的，系统就是动态不稳定的. 16●于是，稳定性可以通过检查频率方程解的实部的符号来确定⏹没有必要求解方程，因为可以通过检查方程的系数，按照一定的规则，即可得出关于稳定性的结论。
●这些规则由Routh在1877年给出，但是对于高阶频率方程而言，相当复杂⏹对于大多数实际问题（三个或四个自由度），规则很简单17考虑三次方程对比后有,A s s sA s s s s s sA s s s三次方程的三个根中必定有一个总是实数，而其余两个或者都是实数，或者是共轭的复数。
18●把三个根, , 的实部和虚部分开有AAA●稳定性的准则是和均为负⏹如何做到这一点，使得系统为稳定呢？19●首先可以看到，所有的系数, 和必须为正AAA⏹如果其中一个为负，这一方程要求和之一或者同时为正●这一要求对于高自由度方程也成立⏹任意自由度的频率方程如果有一个或多个负的系数，将会得到不稳定的运动20●假设系数, , 以及都是正的，第三个方程要求是负的⏹还需要更多的信息确定●在稳定和不稳定的界限上，必须经过零而从正变化到负令，有AAA●在稳定的界限上，这一关系必须成立消去、, 有●稳定存在于这一界限关系的哪一侧？21●可以通过简单的特例进行确定●例如，令，, 很明显这是稳定解，代入后有●该三次方程完整的稳定准则为全部系数为正，且满足22●接下来考虑四次方程=●四次方程可以分解为两个平方因子，其解可以表示为代入原方程23●稳定性要求和均为负.●把和的负值代入上式，可令全部的均为正值,因此稳定性的第一个要求就是全部系数为正.●假定全部系数为正, 第一个方程要求至少和其中之一为负.●令为负, 还需要知道另一个条件使也为负24在稳定与不稳定的界限上，, 代入上面关系式有这是一组关于三个变量, , 和的四个方程. 消去这些变量，得到系数之间关系为了找出稳定条件存在于这一方程的哪一侧，选一组简单的稳定情况下的组合,如25该四次方程稳定性完整准则为全部系数为正且2611.3干摩擦引起的不稳定●在很多情况下，干摩擦不仅没有起到正阻尼的作用，反而产生了负阻尼⏹其中一个很著名的例子就是小提琴的琴弦受琴弓的激励⏹琴弦是一个振动系统，稳定地拉动琴弓提供了其所需要的非交替能量⏹琴弦和琴弓之间的摩擦具有这样的特征：相对滑移速度较小时摩擦力比较大●干摩擦的这一特征与粘性摩擦完全相反⏹从纸巾盒中快速和缓慢抽取纸巾27●考虑琴弓以常速在振动的琴弦上移动⏹琴弦自身是来回移动的，琴弓和琴弦之间的相对(或滑移)速度不断变化⏹琴弓的绝对速度总是比琴弦的绝对振动速度大，因此滑动方向总是相同●当琴弦向琴弓运动的方向滑动时⏹滑动速度比较小，摩擦力很大●当琴弦与琴弓反向运动时⏹滑移速度大，是摩擦力小28●注意到较大的摩擦力是沿着琴弦的运动方向，而较小的摩擦力与琴弦的运动方向相反●琴弦做简谐运动，摩擦力在半个冲程里面的所做的功为⏹是摩擦力的平均值⏹是振幅。
●振动会不断累积⏹在向前的冲程里面较大（摩擦力对弦做正功）⏹在向后的冲程里面较小（摩擦力对弦做负功）⏹在整个循环里面摩擦力做的功是正的29摩擦-速度特征曲线的负斜率30●在机械工程中，某些振动，通常是指“颤振”，可以用同样的方式进行解释。
⏹车床的切削工具可能会发生颤振⏹机车的驱动轮也会发生类似的颤振。
当启动很重的火车时，其驱动轮有时可能会在轨道上滑动。
滑动方式都很相似发生，能够观察到“颤振的滑动”. ●除了滑动滚动，轮子还可以做扭转振动，导致在曲柄销和边杆内产生很大的交替应力。
●轮子和铁轨之间的摩擦-速度特征曲线的负斜率是这一现象的本质3132●很多家居的例子中都可以观察到这一现象⏹折页门在开关的时候会发出尖锐响声⏹拿着粉笔垂直于黑板的时候写字时粉笔跳动⏹用湿手指擦沾水的玻璃会使其发出声音。
33●吊桥，桥板用很大的混凝土配重平衡，再加上导引链接和支撑塔，共同组成了平行四边形●经过大约一年的使用，其中一个桥塔发生了断裂。
经检查，破坏是由于疲劳所致。
●对依然完好的桥的另一半进行试验，表明桥板在抬起和降低时，整个结构发生了很低频率的强烈振动，在整个桥板抬起的过程中，大约振动6个循环34⏹这可以从支撑中找到解释，支撑承担了了配重的巨大荷载。
⏹在桥使用的初始阶段，不管使用了什么润滑油，很快被挤压出去，支撑完全是干燥的⏹由此导致的干摩擦颤振足以强烈到导致整个结构破坏35●另一个由负特征引起的有趣现象⏹风扇把空气吹进闭合的大尺寸燃烧室，并经出口导出⏹这一设计图的实际例子表示一个轮船的锅炉室，用风扇维持一定的轻微压力，出口为锅炉和烟囱，负责强力排出空气36●可以观察到，在一定的开口的状态下，即一定的蒸汽生产量，会在锅炉室中发生大约每秒钟一个循环的强烈的压力变化。
●可以用吹风机的特征曲线来解释这一现象⏹吹风机吹出来的体积与其形成的压力的关系曲线37●点：出口完全关闭的状态⏹没有体积吹进去，但是形成的压力最大●点是对应风扇处于自由空气中的情况⏹吹出的体积很大，但是没有形成压力●通过改变的开口情况，可以保证使风扇的运行覆盖从到点的范围. 注意到，这条曲线从到是下降的，但是在和之间有很短的一段是相反的.38●这是风扇构造的特点，而且很难制造出一个风扇，其特征曲线从到点的斜率是单向的●在和点之间的区间，风扇有很好的效率，风扇基本上都是按照这一要求制作的.●在点附近的运行是稳定的，而在点附近则是不稳定的，将会导致发生喘振.39●设想在点运行：⏹令锅炉室压力轻微增加，风扇减少输送的空气体积⏹风扇输出低于正常值，导致燃烧室压力下降⏹对于原本高于正常值的压力，平衡条件得以恢复●如果在点压力低于正常值，输送的体积会增加，导致压力增加，从而恢复平衡40●考虑在点附近运行：⏹压力越大，风扇输送空气越多⏹如果锅炉室的压力瞬时高于正常值⏹风扇将输入比正常条件下更多的体积⏹空气体积增加导致锅炉室的压力更高●如果锅炉室的压力由于偶然因素升高，风扇的运行会立刻使压力更高，这就意味着不稳定条件41●设想如下过程：在点沿特征曲线向上和向下滑动⏹从正常位置开始，沿着曲线上升到最大高度，然后向下回到正常位置，构成一个周期⏹输送到锅炉室的体积多于正常情况⏹在这一周期的结束点，锅炉室的压力会高于正常值，而实际上位于点.42●从点沿曲线向下到底部位置，然后向上回到正常位置●在这一周期里面，输送的体积会少于正常体积●在周期的末尾，锅炉室的压力会低于正常值，实际上位于点●结果，以上过程并不是沿着特征曲线上下滑动，而是以逆时针形成了一个闭合的某种椭圆的形状●空气对风扇做的功就是闭合曲线的面积，因为是逆时针方向，,所以功是负的，那么风扇对空气做的功就是正的，所发生的现象就是不稳定的.43自激振动的特征●系统接受外界的能量补充●能源是恒定的，非周期变化的●系统以自己的运动状态作为调节器控制能量输入●系统能自主地从定常的能源汲取能量，调节器的作用使输入的能量具有交变性●当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统就能维持等幅振动，即自激振动●自振系统由三部分构成⏹耗散的振动系统⏹恒定的能源⏹受系统运动状态反馈的调节器44●电铃的自激振动●电铃的铃锤和弹簧片组成振动系统，直流电源为恒定的能源，电磁断续器为调节器。