《1.3.1 函数的单调性与导数》教学案3
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 让学生掌握导数的定义，能够计算常见函数的导数。
3. 让学生理解导数与函数单调性的关系，能够利用导数判断函数的单调性。
二、教学内容1. 函数的单调性定义：如果函数f(x)在区间I上，对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上为增函数；如果对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上为减函数。
2. 导数的定义定义：函数f(x)在点x处的导数定义为函数在点x处的切线斜率，记作f'(x)，即f'(x) =lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗。
3. 常见函数的导数（1）常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0。
（2）幂函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
（3）指数函数f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
（4）对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
4. 导数与函数单调性的关系（1）如果f'(x) > 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为增函数。
（2）如果f'(x) < 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为减函数。
（3）如果f'(x) = 0，则f(x)可能在某点处改变单调性。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解函数的单调性和导数的定义及计算方法。
2. 采用案例分析法，分析导数与函数单调性的关系。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数的单调性。
2. 讲解：讲解函数的单调性的定义，并通过实例演示如何判断函数的单调性。
3. 讲解：引入导数的定义，讲解常见函数的导数计算方法。
1.3.1 函数的单调性与导数教案
1.3.1 函数的单调性与导数授课班级：高二（9）授课教师：曾进教材分析“函数单调性与导数”是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础.教学目标1.探索函数的单调性与导数的关系，.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.2.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法，在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.3通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何用导数判断函数的单调性.教学方法与策略根据本节课的教材特点以及学生的实际情况，尝试运用“问题探究式”教学法.通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法.教学手段多媒体辅助教学，利用计算机快速显示等特点对各类实际问题进行展现，引导学生发现问题，互动探究归纳概括等方法，充分提高课堂效率.学习指导1、学情分析由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性.2、教学方式与策略1探究式学习，再设计教学时题目数量不一定多，必须精选，保证质量；在解决问题的过程中，使学生体会到导数解决函数单调性的优越性.教学过程设计教学情境设计教学环节与内容问题师生互动设计意图一创设情境提出问题师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2xy 的单调性，如何进行？生：用定义法、图像法.T：提出问题.S：思考并回答.T：提出问题.S：学生认真思考，独立解答，并回答.T：点评，对正确确的解师： 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？生：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数答加以指正.通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.二 探索新知解决问题师：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上T ：问题1：要解决的问题是什么？（函数单调性与导数的联系） S ：通过图像，数形结合，引导学生讨论后给出结论.单调递增；而x y 2/=，当0<x 时，其导数0/<y ；当0>x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；而2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数xy 1=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,而2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/<y .师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减.师：如图，导数'0()f x 表示函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．提出问题：得出的结论是否具有一般性？观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎引导学生用已经学过的知识，来解决问题从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心.样的关系？生:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/<x f ，切线是“左上右下”式的，这时，函数)(x f 在1x 附近单调递减．师生共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．师生共同归纳得出结论，得出今天学习的内容通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论.让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.三 巩固训练 熟练技能 例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致学生思考，并在纸上画出函数图像让学生通过此题加深 理解导函数是如何影 响原函数的的,这是今 后利用导函数研究函 数的必备技能.这里让 学生切实理解，为今后 学习扫清障碍.形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示．. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+师生活动:总结求()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义老师先讲述两个例子，然后让学生动手尝试解题让学生动手，从而加深的知识的理解.通过实例，让学生理解求函数单调性的思路和解题步骤让学生初步体会用导数的方法确定函数单调性的简便.1 4 0 x域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 课堂练习：232231.,:(1) ()24;(2) ();(3) ()ln ; (4) ().()1(2,)x f x x x f x x x x f x x x f x e x f x x ax a =-+=--=+=-=--+∞判断下列函数的单调性并求出单调区间2.已知函数在内单调递增，求实数的取值范围.4. 201333141()ln 2,f x x x x =-+年月日中午，复旦大学硕士研究生林森浩将其做实验后剩余并存放在实验室内的剧毒化合物带至寝室，注入饮水机槽，月日早上，同寝室的黄洋起床后接水喝，饮用后便出现干呕现象，最后因身体不适入院.最后抢救无效死亡.经研究发现剧毒化合物进入人体后血液中的含量与时间满足求在进入人体后什么时间人体内含量最高？教师投影若干学生的作业情况,学生共同分析四 课堂小结 5、小节：（1）本节课主要学习了什么知识.（2）本节主要学习了什么思想方法.老师提出问题.学生回顾与思考，总结本节课所学的知识.引导学生对本节课的重点和难点进行回顾，以突出重要的知识技能；帮助学生把握知识要点，理清知识脉络，以利于良好的学习习惯的养成.五布置作业必做：课本31P A 组 1,2 选做： 32()(0,2)6701()2()1()(2,)2f x x bx cx d P x y f x y f x ax f x ax =+++-+==+=-+∞+1.已知的图像过点且在处的切线方程为，求（）的解析式；（）求函数的单调区间.2.已知函数在内单调递减，求实数的取值范围.体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习,加强学生的应用意识.板书设计1.3.1、函数的单调性与导数一．函数的单调性与导数的关系二.例题 例1.二.利用导数求单调性的步骤例2．三．随堂练习教学反思。
《1.3.1 函数的单调性与导数》教学设计
附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
学情预设：在增函数的定义中12x x -与)()(12x f x f -同号. 总结：通过观察，我们发现可以将单调增函数的定义改写成：
对于任意两个数I x x ∈21,，且当21x x ≠时，有0)()(1
212>--x x x f x f ，那么函数)(x f 就是区间I 上的增函数.
问题4：联想表达式1
212)()(x x x f x f --的含义，你能否从几何角度来解释单调增函数的定义吗?
学情预设：1
212)()(x x x f x f --表示函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率，其几何意义是区间I 上“任意”两点的割线斜率.
设计意图：定义是数学的根本.通过研究定义从另外一个角度阐述它的含义：说明对区间I 上“任意”两点的割线斜率大于零则 函数单调递增，这为研究导数与函数单调性关系做好铺垫．
问题5：通过几何角度，我们发现割线的斜率与函数的单调性有着紧密的联系，即函数单调递增时，平均变化率大于0；函数单调递减时，平均变化率小于0.如何将其如导数联系起来？
问题6：结合下图，表达式x
x f x x f ∆-∆+)()(00的几何意义是什么？
图1
问题7：当0→∆x 时，表示什么意思？
此时在点P 附近，我们可以用切线的斜率即导数来刻画曲线经过点P 时的上升或下降的“变化趋势”.
问题8：(1))(0x f ' ，曲线经过点P 时有上升趋势？
T。
《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计教学设计：函数的单调性与导数一、教学目标：1.了解函数的单调性的定义，并能够判断函数在给定区间内的单调性；2.理解导数的定义，了解导数与函数的单调性之间的关系；3.能够利用导数的性质判断函数在给定区间内的单调性；4.能够运用函数的单调性和导数的概念解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的单调性的概念与判断方法；2.导数的概念与计算方法；3.导数与函数的单调性之间的关系；4.运用函数的单调性和导数解决实际问题。
三、教学过程：第一课时：函数的单调性的概念与判断方法1.引入函数的单调性的概念：什么是单调函数？如何判断函数的单调性？2.通过绘制函数图像来观察函数的单调性，并引入函数的增减性的概念。
3.讲解函数单调性的判断方法：a.若在一些区间[a,b]上，对于任意x1,x2满足x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数在该区间上为递增函数；b.若在一些区间[a,b]上，对于任意x1,x2满足x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数在该区间上为递减函数；c.根据函数的单调性定义，讲解如何利用函数的增减性判断函数的单调性。
第二课时：导数的概念与计算方法1.引入导数的概念：什么是导数？为什么要引入导数？2.解释导数的物理意义：导数表示函数在其中一点的瞬时变化率。
3.讲解导数的计算方法：a. 介绍导数的定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h；b.使用导数的定义计算简单函数的导数；c.利用导数的性质计算复合函数的导数。
第三课时：导数与函数的单调性之间的关系1.引入导数与函数的单调性之间的关系：导数能够刻画函数的增减性。
2.介绍导数的几何意义：导数表示函数曲线在其中一点的斜率。
3.讲解导数与函数的单调性的关系：a.若函数在[a,b]上的导数大于0，则函数在该区间上是递增函数；b.若函数在[a,b]上的导数小于0，则函数在该区间上是递减函数；c.引入导数的零点定理，讲解如何利用导数的零点判断函数的单调性。
高中数学第一章《函数的单调性与导数》【教案】
1.3。
1函数的单调性与导数
教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，
能由导数信息绘制函数大致图象。
（2）能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
（3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点:利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法:发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：
教学环
节
师生活动设计意图
一、回顾
与思考
提
问1．判断函数的单调性有哪
些方法?
（引导学生回答“定义法
"，“图象法”。
)
2．比如，要判断y=x2+1的
单调性,如
何进行？（引导学生回顾分
以问题形式复
习相关旧知识，
同时引出新问
题：三次函数判
断单调性，定义
法、图象法很不
方便，有没有捷。
教学设计6：1.3.1 函数的单调性与导数
1.3.1 函数的单调性与导数教学目标1．知识与技能目标：（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系；（3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题.2．过程与方法目标：（1）利用函数1()f x xx=+回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法；（2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果；（3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结. 3．情感、态度与价值观目标：通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.教学过程得121212121()()()()x x f x f x x x x x --=- 由120x x >>，得120x x ->，120x x > 故当121x x >>时，1210x x ->恒成立 得到12()()0f x f x -> 即()f x 在(1,)+∞上为增函数. （2）作出()f x 的图象如图所示，由图可得，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，减区间为(1,0)-，(0,1)例2：已知函数()f x 的图象如图所示，且'()f x 是()f x 的导函数.（1）写出()f x 的单调增区间； （2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间； （4）在你所写出的单调减区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的 结论；（5）结合切线的斜率与导数的关系，求'()0f x >与'()0f x <的解集；（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系.解：（1）增区间是：(1,1)-； （2）增区间上的点所对应的切线斜率为正数；（3）减区间是：(,1),(1,)-∞-+∞； （4）减区间上的点所对应的切线斜率为负数；（5）'()0f x >的解集为(1,1)-，'()0f x <的解集为(,1)(1,)-∞-+∞；小结1：当'()0f x >时，则()f x 为增函数；当'()0f x <时，则()f x 为减函数.观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高 学生课堂的参与度，即使自己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他有相同的结论，则可以强化他对自己结论的信心；反之，则能激发他找出结论中的问题所在的动力.的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解.单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠.深入应用例3：求下列函数的单调区间： （1）2()23f x x x =--； （2）32()23121f x x x x =+-+； （3）3()3f x x x =+解：（1）∵2()23f x x x =-- ∴'()22f x x =-本题由原来的图象分析过渡到对函数解析式分析.以二次函数作为桥梁，重点处理三次函数的单调性判断问教师先让学生自主解答，并巡视各小组的解答情况，对薄弱学生给予必要的提示，鼓励学生利用两种方法解答题目.教师在巡视过程中要有目的的寻找一学生自主解答或者向老师或同组同学提出解答过程中所存在的问题，争取课堂上能够尽快掌握利用导数求解教学反思《函数的单调性与导数》的教学价值的挖掘与思考导数部分的内容在高中数学教学中占据着举足轻重的地位，这从对导数时常作为压轴题进行考察就可见一斑.而在压轴题中时常都是以探究式的出题方式要求学生在摸索中找到解题的方法，这既要求学生对相关知识点有较为熟练的基本解题能力，还需要有较为扎实的探究问题的技能.这就要求在本阶段的教学绝对不能依靠以教师为主体的精英化教育时代留下的经验，用绝对量的题目和不断加大的题目难度进行教学，并要求学生如法炮制的在解题过程中应用.。
《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计
教材分析
1、内容分析
导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础.
由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性.
2、学情分析
在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识.
用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣.
教学目标
依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标：
1、知识与技能目标：
借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.
；
上单调递减，
）内，如果如果，那么函数
如果，那么函数
与时间
的单调增
解答例2
1 尝试练习1、2、3；。
高中数学《函数的单调性与导数》教案
高中数学《函数的单调性与导数》教案教学目标：1.了解函数的单调性的定义及性质2.掌握函数单调性的判断方法3.熟练应用导数判定函数的单调性教学重点：1.函数单调性的判断方法2.导数在判断函数单调性中的应用教学难点：1.运用导数判断函数单调性真正理解导数的含义2.学生对导数概念的掌握教学过程：一、整体教学法二、导入1.引入函数单调性的概念，让学生熟悉函数的单调和非单调区间，提高学生对函数的整体认识。
2.通过教师提出两个例子来，让学生先模仿演示，了解什么是函数单调性，什么是「单调不降/递增」函数。
三、展开第一部分：1.什么是单调性？单调性是指函数在定义区间上的取值随自变量的增加或减小而增加或减小。
例如：如果函数f(x)随x增大而增大，则称f(x)在这个区间上是单调递增的。
如果函数f(x)随x减小而增大，则称f(x)在这个区间上是单调递减的。
2.单调性的性质？1.单调递增的函数一定不会有逆袭；2.单调递减的函数一定不会有逆袭。
第二部分：3.如何确定函数单调性？1.根据函数定义与图象的几何意义。
2.求导后加以分析。
第三部分：4.求导判断函数单调性。
1）函数单调性唯一性问题函数单调性问题是一个唯一性问题。
2）导数与函数单调递增与递减的判断当f ' ( a ) > 0 时，f(x)在定义域[a, +∞ )上单调递增；当f ' ( a ) = 0 时，f(x)在点a附近可能有极值（最大值/最小值），需考虑检验；当f ' ( a ) < 0 时，f(x)在定义域[a, +∞ )上单调递减。
三、总结通过本节课，我们学习了：1.函数单调性的定义及性质；2.掌握函数单调性的判断方法；3.学会应用导数判定函数的单调性。
四、作业（1）小组讨论：通过搜索资料、小组合作，查找更多有关函数单调性的例题，训练自己的能力。
（2）课外练习：补充做一些例题。
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《1.3.1 函数的单调性与导数》教学案3一、教材分析以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。
根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。
二、教学目标1，知识目标：1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
2，能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
三、教学重点难点教学重点：利用导数判断函数单调性。
教学难点：利用导数判断函数单调性。
.四、教学方法：探究法五、课时安排：1课时六、教学过程【引 例】1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。
问：1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的） （2）利用函数单调性的定义。
（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1）能画出函数的图象吗？（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。
尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。
（研究的必要性）事实上用定义研究函数243=-+y x x 的单调区间也不容易。
【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？1、研究二次函数243=-+y x x 的图象；（1） 学生自己画图研究探索。
（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
（4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5） 学生继续探索，得出初步规律。
几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。
（学生总结）：①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。
（验证）（1） 观察三次函数3y x =的图象；（几何画板演示） }都是反映函数随自变量的变化情况。
（2） 观察某个函数的图象。
（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。
这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。
（幻灯放映）一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。
严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。
这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。
结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。
下面举例说明：【例题讲解】例1、 求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：因为 '3'2(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，所以 20x >，即'0y >， 所以函数31y x =+在(,0)-∞上是增函数。
注：我们知道31y x =+在R 上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x , 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数;当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1） 确定函数f (x )的定义域；（2） 求函数f (x )的导数f ′(x ).（3） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？【课堂小结】1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【课后练习】１．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）２．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减 y x O y x O yx O yx O A ．B ．C ．D ．C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减３．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．【课堂作业】课本p 42习题2.4 1,2【课后记】本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；1、 从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；2、 从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。
另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
3、 应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。
在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。
加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。
节奏要把握好。