上海交通大学研究生入学考试488基本电路理论基本电路答案9.
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证：
a）对基波： 对 k 次谐波：
b）对基波： 对 k 反次谐波：
当元件电压为周期性的非正弦波时，电感电流与电压波形不相似，电容电流与电压波形也不相似，电感 器的扼流作用随频率增高而增强 k 倍，电容器的扼流作用随频率增高而减弱 k 倍 9-8 有一如图所示的电路。已知电压源 vs(t) = 10sin 100t+3sin500t V, L=1mH，C=10-4F，试求 iL(t)、iC(t)， 并画出它们的波形图。
，在 角频率时发生串联谐振，
输出电压亦可满足 9-14 已知某单口网络的电压和电流为
，
， 试求其吸收的平均功率、无功功率、视在功率和畸变功率。 解： 吸收的平均功率
吸收的无功功率
吸收的视在功率
畸变功率
9-15 有一如图所示的电路。已知
，
，试求两个电源发出的平
均功率和无功功率及各个 R 、L 、C 元件所吸收的平均功率和无功功率。
9-1 试求出如图所示的非正弦周期信号分解成傅里叶级数，并作出信号的振幅频谱。
已知：当
时，
。
解： 由波形可知为 f(t)偶函数
题 11．1 图
振幅频谱如图所示 9-2 试求下述信号的有效值、平均值、波形因数、波顶因数和畸变因数。
已知：当
时，
。
解： 有效值： 平均值： 波形因素： 波顶因素： 畸变因素：
9-4 在附图 a 所示电路的支路内接有四个电流表，流过的电流 i 具有如图 b、c 所示的波形，电路中
电流互感器是一个电流比为 10:1 的变流器，试求在下列两种不同的情况下，诸电流表的读数各为多 少？ a. 若四个电流表均是测量电流的直流分量的电表； b. 若四个电流表均是测量电流的有效值的电表；
解：
基波电压
作用时
题 11．8 图
所以在基波电压作用下电路并联谐振
五次谐波电压
作用时
故得
9-9 有一如图所示的电路。现在端口 1 1' 间加上波形如下图所示的电压 v(t)，并知 Am = 100 V， ω = 314rad/s。试求负载 RL 两端的电压 V'(t)。
波形：
已知：当
时，
。
解：
题 11．9 图 对于恒定分量，输出电压为： 对于基波分量，利用相量法可求得：
(a)
(b)
(c) 解：
(a)
(b)
(c)
题 11．4 图
a. 对波形图（b），电流 i 的有效值为
表的电流的有效值为
各表读数为：
直流分量 有效值
50 57.7
50 57.7
50 57.7
0 2.89
b. 对波形图（c），各表读数为：
直流分量 有效值
0 28.9
12.5 20.4
25 28.9
0 2.89
试用该公式导出非正弦周期电压和非正弦周期电流的有效值公式以及 由两者共同形成的平均功率公式。 解： 非正弦周期函数 f(t)的傅立叶级数为：
上式中：
有效值：
平均功率： 设
又
9-7 试证实在非正弦周期电压作用下，
a. 对电感器有
；
b. 对电容器有
。
并根据上面二式作出你的结论。式中的 k 是谐波的次数，ikm 和 Vkm 是 k 次谐波电流和电压的振幅； i1m 和 V1m 是基波电流和电压的振幅。
对于二次谐波分量：
负载 两端的电压 为：
9-10 有一如图所示的电路。已知非正弦周期电源电压角频率 ω=10rad/s，R = 5Ω， 试求端口电流 i(t)。
，C = 0.01F，
解： 题 11．10 图
其傅立叶级数表示式为：
其波形图如右图所示
端口电流的恒定分量： 基波分量： 三次谐波分量：
电路并联谐振 五次谐波分量：
c. 其中 9-5 试证：
式中，f(t) 和 g(t) 是非正弦周期信号； 是 f(t) 的复傅里叶系数；
是 g(t) 的复傅里叶系数的共轭复数。
证：
对于 项 只有 项 式为：
题目得证 9-6 试证：
式中，f(t) 和 g(t) 是非正弦周期信号； 是 f(t) 的复傅里叶系数； 是 g(t) 的复傅里叶系数的共轭复数。
9-13 已知电源电压为
较小，串联的感抗
较大，故负载电流亦较小
，
试设计一滤波电路，使负载电压 v(t) 中只含有电源中恒定分量和二次谐波分量，即
加以说明。
，滤波电路可由若干个电阻器、电感器及电容器组成，试画出滤波器电路图，并
解： 可以选用如下电路
题 11．13 图
该电路的输出电压恒定分量与输入电压的恒定分量相同，即 。要求 并联支路在角频率发生并联谐
端口电流为：
9-11 有一如图所示的电路。已知
，
，
，
，R1 =300Ω ，R2 =50Ω ，
，试求 v2(t)。
解：
题 11．11 图 对于电流的恒定分量作用，输出电压为零，即
电源角频率为
时，计算电路如下：
应用回路分析法，列出电路方程： 输出电压 在电源各次谐波分量作用时，输出电压计算如下
9-12 附图电路中的电流源 试求 ，并根据所得结果说明此电路的作用。
9-3 如图所示周期性矩形脉冲，脉冲幅值为 Vm = 10mV，周期 T = 80 μs，脉冲持续时间 τ= 20 μs，
试求出其各次谐波的傅里叶系数，并绘出其振幅频谱图。
解：
从波形图可知
题 11．3 图
各次谐波的傅立叶系数值计算如下：
式中
0
1
0
பைடு நூலகம்23 0
振幅频谱图如下图所示：
45 0
67 0
89 0
振，即
，使输出电压中滤除角频率分量。
串并联支路，使满足
，即可使该支路在 角频率发生串联谐振，即
元件串联，使满足
，即可使输出电压不包含 角频率分量
多元件参数为满足以上关系，即可使输出电压
串并联支路也可改接如图
其中元件参数满足
电路发生并联谐振，输出电压中不包含 角频率分量
使
，则
，电路在 角频率时发生串联谐振
解：
题 11．15 图 在的恒定分量的作用下，计算电路图为：
已知 可得 电源发出 电阻吸收 在电源基波分量的作用下，应用相量法，计算电路如图：
电阻器吸收功率 电感器吸收无功功率 电容器吸收无功功率 电源发出的复功率
在电源三次谐波分量的作用下，应用相量法，计算电路如图
电阻器吸收
解：
题 11．12 图 在电源各次谐波分量分别作用时，负载电流计算如下：
故得
由结果可见，电路可看作为对角频率 用通过电路被滤除
的通频滤波器，而
和
的信号作
当
时，并联的 、 支路为并联谐振，而串联的 、 支路为串联谐振，故负载电压为
对
，并联电抗器的感抗
小
较小，串联电容器的容抗
较大，故负载电流较
对
，并联的容抗
a）对基波： 对 k 次谐波：
b）对基波： 对 k 反次谐波：
当元件电压为周期性的非正弦波时，电感电流与电压波形不相似，电容电流与电压波形也不相似，电感 器的扼流作用随频率增高而增强 k 倍，电容器的扼流作用随频率增高而减弱 k 倍 9-8 有一如图所示的电路。已知电压源 vs(t) = 10sin 100t+3sin500t V, L=1mH，C=10-4F，试求 iL(t)、iC(t)， 并画出它们的波形图。
，在 角频率时发生串联谐振，
输出电压亦可满足 9-14 已知某单口网络的电压和电流为
，
， 试求其吸收的平均功率、无功功率、视在功率和畸变功率。 解： 吸收的平均功率
吸收的无功功率
吸收的视在功率
畸变功率
9-15 有一如图所示的电路。已知
，
，试求两个电源发出的平
均功率和无功功率及各个 R 、L 、C 元件所吸收的平均功率和无功功率。
9-1 试求出如图所示的非正弦周期信号分解成傅里叶级数，并作出信号的振幅频谱。
已知：当
时，
。
解： 由波形可知为 f(t)偶函数
题 11．1 图
振幅频谱如图所示 9-2 试求下述信号的有效值、平均值、波形因数、波顶因数和畸变因数。
已知：当
时，
。
解： 有效值： 平均值： 波形因素： 波顶因素： 畸变因素：
9-4 在附图 a 所示电路的支路内接有四个电流表，流过的电流 i 具有如图 b、c 所示的波形，电路中
电流互感器是一个电流比为 10:1 的变流器，试求在下列两种不同的情况下，诸电流表的读数各为多 少？ a. 若四个电流表均是测量电流的直流分量的电表； b. 若四个电流表均是测量电流的有效值的电表；
解：
基波电压
作用时
题 11．8 图
所以在基波电压作用下电路并联谐振
五次谐波电压
作用时
故得
9-9 有一如图所示的电路。现在端口 1 1' 间加上波形如下图所示的电压 v(t)，并知 Am = 100 V， ω = 314rad/s。试求负载 RL 两端的电压 V'(t)。
波形：
已知：当
时，
。
解：
题 11．9 图 对于恒定分量，输出电压为： 对于基波分量，利用相量法可求得：
(a)
(b)
(c) 解：
(a)
(b)
(c)
题 11．4 图
a. 对波形图（b），电流 i 的有效值为
表的电流的有效值为
各表读数为：
直流分量 有效值
50 57.7
50 57.7
50 57.7
0 2.89
b. 对波形图（c），各表读数为：
直流分量 有效值
0 28.9
12.5 20.4
25 28.9
0 2.89
试用该公式导出非正弦周期电压和非正弦周期电流的有效值公式以及 由两者共同形成的平均功率公式。 解： 非正弦周期函数 f(t)的傅立叶级数为：
上式中：
有效值：
平均功率： 设
又
9-7 试证实在非正弦周期电压作用下，
a. 对电感器有
；
b. 对电容器有
。
并根据上面二式作出你的结论。式中的 k 是谐波的次数，ikm 和 Vkm 是 k 次谐波电流和电压的振幅； i1m 和 V1m 是基波电流和电压的振幅。
对于二次谐波分量：
负载 两端的电压 为：
9-10 有一如图所示的电路。已知非正弦周期电源电压角频率 ω=10rad/s，R = 5Ω， 试求端口电流 i(t)。
，C = 0.01F，
解： 题 11．10 图
其傅立叶级数表示式为：
其波形图如右图所示
端口电流的恒定分量： 基波分量： 三次谐波分量：
电路并联谐振 五次谐波分量：
c. 其中 9-5 试证：
式中，f(t) 和 g(t) 是非正弦周期信号； 是 f(t) 的复傅里叶系数；
是 g(t) 的复傅里叶系数的共轭复数。
证：
对于 项 只有 项 式为：
题目得证 9-6 试证：
式中，f(t) 和 g(t) 是非正弦周期信号； 是 f(t) 的复傅里叶系数； 是 g(t) 的复傅里叶系数的共轭复数。
9-13 已知电源电压为
较小，串联的感抗
较大，故负载电流亦较小
，
试设计一滤波电路，使负载电压 v(t) 中只含有电源中恒定分量和二次谐波分量，即
加以说明。
，滤波电路可由若干个电阻器、电感器及电容器组成，试画出滤波器电路图，并
解： 可以选用如下电路
题 11．13 图
该电路的输出电压恒定分量与输入电压的恒定分量相同，即 。要求 并联支路在角频率发生并联谐
端口电流为：
9-11 有一如图所示的电路。已知
，
，
，
，R1 =300Ω ，R2 =50Ω ，
，试求 v2(t)。
解：
题 11．11 图 对于电流的恒定分量作用，输出电压为零，即
电源角频率为
时，计算电路如下：
应用回路分析法，列出电路方程： 输出电压 在电源各次谐波分量作用时，输出电压计算如下
9-12 附图电路中的电流源 试求 ，并根据所得结果说明此电路的作用。
9-3 如图所示周期性矩形脉冲，脉冲幅值为 Vm = 10mV，周期 T = 80 μs，脉冲持续时间 τ= 20 μs，
试求出其各次谐波的傅里叶系数，并绘出其振幅频谱图。
解：
从波形图可知
题 11．3 图
各次谐波的傅立叶系数值计算如下：
式中
0
1
0
பைடு நூலகம்23 0
振幅频谱图如下图所示：
45 0
67 0
89 0
振，即
，使输出电压中滤除角频率分量。
串并联支路，使满足
，即可使该支路在 角频率发生串联谐振，即
元件串联，使满足
，即可使输出电压不包含 角频率分量
多元件参数为满足以上关系，即可使输出电压
串并联支路也可改接如图
其中元件参数满足
电路发生并联谐振，输出电压中不包含 角频率分量
使
，则
，电路在 角频率时发生串联谐振
解：
题 11．15 图 在的恒定分量的作用下，计算电路图为：
已知 可得 电源发出 电阻吸收 在电源基波分量的作用下，应用相量法，计算电路如图：
电阻器吸收功率 电感器吸收无功功率 电容器吸收无功功率 电源发出的复功率
在电源三次谐波分量的作用下，应用相量法，计算电路如图
电阻器吸收
解：
题 11．12 图 在电源各次谐波分量分别作用时，负载电流计算如下：
故得
由结果可见，电路可看作为对角频率 用通过电路被滤除
的通频滤波器，而
和
的信号作
当
时，并联的 、 支路为并联谐振，而串联的 、 支路为串联谐振，故负载电压为
对
，并联电抗器的感抗
小
较小，串联电容器的容抗
较大，故负载电流较
对
，并联的容抗