幂函数奇偶性
高三幂函数知识点
高三幂函数知识点幂函数是数学中常见的一类函数，其中最为典型的就是高三幂函数。
高三幂函数是指幂指数为3的函数，可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的形式。
在高三数学学习中，掌握高三幂函数的相关知识点对于解题和理解函数的性质非常重要。
本文将从定义、图像、性质以及函数应用等方面来介绍高三幂函数的知识要点。
一、定义高三幂函数是由幂指数为3的变量函数所构成的，函数表达式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数，a≠0。
其中，a决定了函数的开口方向，正值开口向上，负值开口向下；b、c、d分别对应二次项、一次项和常数项的系数。
二、图像特点高三幂函数的图像特点与其系数a的正负值有关。
当a>0时，函数图像开口朝上；当a<0时，函数图像开口朝下。
而且，当幂函数为3次时，其图像可能与x轴交于三个不同的点，也可能与x轴相切于某一点。
这些交点或者切点被称为函数的零点。
三、性质1. 零点和与坐标轴的交点：在图像上，高三幂函数的零点是与x轴交点的横坐标值，也是函数的解；与y轴的交点为函数的截距点，对应的坐标为(0, d)。
2. 单调性：当a>0时，高三幂函数在定义域上单调递增，当a<0时，高三幂函数在定义域上单调递减。
3. 奇偶性：高三幂函数在定义域上为奇函数，即满足f(-x) = -f(x)的性质。
4. 极值点：由于高三幂函数的图像可能存在局部最小值或者最大值，因此其极值点可以通过求导数或者观察图像得到。
5. 函数的拐点：高三幂函数的拐点是函数图像从凹向上凸或者从凸向上凹的点，对应的坐标为(x, f(x))。
四、函数应用高三幂函数在实际问题中具有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 物体的运动问题：高三幂函数可用于描述物体的运动状态，如自由落体运动、弹性碰撞等。
2. 经济学中的成本、收益分析：高三幂函数可以用来分析成本和收益之间的关系，从而对经济决策进行评估和优化。
幂函数
幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.1.下列函数是幂函数的是( )(A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2(D) y=2.下列说法正确的是( )(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数; (C) y=是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0不是偶函数. 3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )(A) y=x -2(B) y= (C) y= (D) y=4．下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 5．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ）A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-6．若a <0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a7.比较两个数的大小 （1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--32x x 21x 41x 21x -课后作业1 ．已知3332512,(),()22R P Q -===，则P 、Q 、R 的大小关系是（ ）A ．P Q R <<B ．Q R P <<C ．Q P R <<D ．R Q P <<2 ．函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b4 ．已知,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数(1)||xxa y a x =>的图像大致形状是6．若函数y =a x +b-1(a >0且a ≠1 )的图象经过一、三、四象限,则正确的是（ ）A ．a >1且b <1B ．0<a <1 且b <0C ．0<a <1 且b >0D ．a >1 且b <07．若10a -<<,则式子1333,,aa a 的大小关系是（ ）A ．1333aa a >> B ．1333aa a >> C ．1333aa a >> D ．1333a a a >> 8．已知函数)2008(,4)20081(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为 （ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．2xy 2=[)∞+,0[)∞+,1()∞+∞-,),2[∞+0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===,,a b c a c b <<c a b <<a b c <<b c a <<ABC。
高三数学幂函数知识点
高三数学幂函数知识点幂函数是数学中的一种函数形式，它的特点是自变量的指数是固定的，依次增大或减小。
在高三数学中，幂函数是一个重要的知识点，它与指数函数密切相关，并且在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍高三数学中幂函数的定义、性质以及解题方法等知识点。
1. 幂函数的定义幂函数是指具有如下形式的函数：y = a^x，其中a为正数，且不等于1。
在幂函数中，a被称为底数，x为指数。
2. 幂函数的性质（1）定义域与值域：对于幂函数y = a^x，当底数a > 1时，定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
当0 < a < 1时，定义域为实数集R，值域为(0, 1)。
（2）增减性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是递增函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是递减函数。
（3）奇偶性：当底数a > 1时，幂函数y = a^x是奇函数；当0 < a < 1时，幂函数y = a^x是偶函数。
（4）对称轴：幂函数y = a^x在y轴上有对称轴。
（5）与指数函数的关系：幂函数和指数函数是互为反函数的关系，即幂函数y = a^x和指数函数y = loga(x)互为反函数。
3. 幂函数的图像幂函数的图像形状与底数a的大小有关。
当底数a > 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速上升；当0 < a < 1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而迅速下降。
4. 幂函数的应用幂函数在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：（1）物理学上，很多物理现象的变化规律可以用幂函数来描述，比如弹簧的弹力、电路中电流随时间的变化等。
（2）经济学中，幂函数可以表示一些经济指标的增长模式，比如人口增长、GDP增长等。
（3）统计学中，幂函数可以用来拟合一些自然现象的分布规律，比如城市中人口数量、物种的种群分布等。
5. 幂函数的解题方法在解题过程中，一般需要根据题目给出的条件，确定底数a的取值范围，并利用幂函数的性质进行计算。
幂函数的定义域奇偶性
-3
-4
不管指数是多少(-2,,4) 图象都经过哪个
定点?
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y=x0
-6
-4
-2
2
4
6
-1 在第一象限内， (-1,-1) 当a>0时，图象随x增大而上升。
-2 当a<0时，图象随x增大而下降。
-3 图象都经过点（1，1） -4 a>0时,图象还都过点(0,0)点
y
3
x 1/4 1/2 1 2 3 4 2
y 2 1.4 1 0. 0.6 0.5 1 7
-4
-2
o
2
-1
-2
-3
4
x
y
3
1
( ,2)
2
4
1 ( ,1.4)
2
(1,1)
1
(2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)
-4
-2
o
2
-1
4
x
-2
-3
y
3
1
( ,2)
2
4
1 ( ,1.4)
2
(1,1)
y
x0 y0
8
12 4 6 8
6
1 1. 2. 3. 4 653
4
2
(1,1)
-10
-5
o
-2
(4,2.5)
5
(8.4)
10
x
2
例２：讨论函数 y x3的定义域，作出
它的图象，并根据图象说明函数的单调
幂函数的像与变化规律
幂函数的像与变化规律幂函数是数学中的一类重要函数，它的图像特点与变化规律一直是数学学习的重点之一。
幂函数的像可以通过对幂函数进行分析和变换来得到。
在本文中，我将介绍幂函数的基本性质、图像特点以及与参数相关的变化规律。
一、幂函数的基本性质幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
幂函数的定义域是实数集，a决定了函数的整体变化趋势，而b决定了函数在坐标系中的形状。
当b为正数时，函数呈现指数增长的趋势；当b为负数时，函数呈现指数衰减的趋势；当b为零时，函数为常数函数。
二、幂函数的图像特点1. 当a>0时，幂函数的图像在坐标系中从左下方向右上方运动，且图像会趋近于x轴正半轴；当a<0时，图像会从右上方向左下方运动，且也趋近于x轴正半轴。
2. 当b>1时，幂函数的图像在原点附近增长得非常迅速，呈现出陡峭的曲线；当0<b<1时，图像在原点附近增长较为缓慢；当b<0时，图像在原点两侧逐渐趋近于x轴。
3. 幂函数的对称轴是y轴，因此具有奇偶性。
对称性使得当幂函数表现递增或递减时，左右两侧的图像形状相似。
4. 幂函数在x轴上的零点称为幂函数的特殊点，特殊点的个数取决于指数b的奇偶性。
三、幂函数的参数对图像的变化规律的影响1. 参数a的变化：当a的绝对值变大时，函数图像的整体变化趋势会加大，增长或衰减的速度会变快；当a趋近于0时，函数图像会趋近于水平线。
2. 参数b的变化：当b的绝对值变大时，函数图像的形状会发生变化，曲线会更加陡峭或平缓；当b为负数时，函数呈现出对称轴对称的特点。
3. 特殊点的变化：当b为奇数时，幂函数有一个特殊点，即原点；当b为偶数时，幂函数没有特殊点。
特殊点的变化会对函数图像的形状产生明显的影响。
综上所述，通过对幂函数的分析和变换，我们可以获得幂函数的像及其变化规律。
幂函数的性质和图像特点使得它在数学和其他学科中都有广泛的应用，深入理解幂函数的性质对我们解决实际问题、优化函数运算具有重要意义。
幂函数与指数函数的性质高中数学的核心知识
幂函数与指数函数的性质高中数学的核心知识幂函数与指数函数的性质高中学数教的核心知识高中数学中，幂函数与指数函数是重要的数学概念，对于理解和解决数学问题具有重要意义。
幂函数和指数函数的性质、图像和应用范围等方面都是我们需要了解的内容。
本文将从这些角度展开，以帮助读者更好地理解和掌握幂函数与指数函数的核心知识。
一、幂函数的性质幂函数是以自变量的幂为指数的函数，通常的形式为f(x) = ax^b，其中a和b是常数，a不等于0，x是实数。
1. 幂函数的定义域与值域：幂函数的定义域是所有实数，即(-∞, +∞)。
当b是有理数时，幂函数的值域是(0, +∞)或(-∞, 0)。
当b是无理数时，幂函数的值域是(0, +∞)或(0, +∞)。
2. 幂函数的增减性：当b大于0时，幂函数f(x) = ax^b是递增函数。
当b小于0时，幂函数f(x) = ax^b是递减函数。
3. 幂函数的奇偶性：当b是偶数时，幂函数是偶函数，即f(x) = f(-x)。
当b是奇数时，幂函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
4. 幂函数的拐点和极值：幂函数的拐点是x = 0，当b大于1时，f(x)在x = 0处有极小值，当0 < b < 1时，f(x)在x = 0处无极值。
二、指数函数的性质指数函数是以指数为自变量的函数，通常的形式为f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1。
1. 指数函数的定义域与值域：指数函数的定义域是所有实数，即(-∞, +∞)。
指数函数的值域是(0, +∞)。
2. 指数函数的增减性：当a大于1时，指数函数f(x) = a^x是递增函数。
当0 < a < 1时，指数函数f(x) = a^x是递减函数。
3. 指数函数的奇偶性：指数函数没有奇偶性。
4. 指数函数的导数与斜率：指数函数的导数是f'(x) = a^x * ln(a)，表示指数函数的斜率。
三、幂函数与指数函数的图像幂函数与指数函数的图像呈现出不同的特点：1. 幂函数的图像特点：当a大于1时，幂函数f(x) = ax^b在x轴正半轴上逐渐增加；当0 < a < 1时，幂函数f(x) = ax^b在x轴正半轴上逐渐减小。
幂函数知识点
幂函数知识点一、幂函数的定义形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，称为幂函数。
其中$x$是自变量，＄＼alpha$是常数。
需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$，这是幂函数的重要特征。
例如，＄y ＝ x^2$，＄y ＝ x^｛1/2}＄，＄y＝ x^｛－1}＄等都是幂函数。
二、幂函数的图像和性质1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）＄＼alpha$为偶数时，幂函数的图像关于$y$轴对称。
例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。
（2）＄＼alpha$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
比如，＄y ＝ x^3$的图像是经过原点的单调递增曲线。
2、当$＼alpha ＜ 0$时（1）幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小。
例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是双曲线，位于第一、三象限。
（2）当$x ＞ 1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的下方；当$0 ＜ x ＜1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的上方。
3、当$＼alpha ＝ 0$时＄y ＝ 1$（＄x ＼neq 0$），图像是一条平行于$x$轴的直线，去掉点$（0, 1)＄。
三、幂函数的单调性1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）若$＼alpha ＞ 1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增。
（2）若$0 ＜＼alpha ＜1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增，但增长速度较慢。
2、当$＼alpha ＜ 0$时幂函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
四、幂函数的奇偶性1、若$＼alpha$为整数（1）当$＼alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。
（2）当$＼alpha$为奇数时，幂函数为奇函数。
2、若$＼alpha$为分数将其化为最简分数形式$＼frac{p}｛q}＄（＄p$，＄q$互质）（1）若$q$为偶数，幂函数是非奇非偶函数。
幂函数与函数的概念
幂函数与函数的概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
而幂函数是一类特殊的函数，它的自变量为底数，因变量为指数。
本文将重点探讨幂函数和其他常见函数的不同之处，以及幂函数的性质和应用。
一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数，y为因变量。
幂函数中的指数可以是整数、分数或者实数，但当指数为0时，函数将变为常函数1。
不同指数的幂函数呈现出不同的特征。
1. 整数指数的幂函数：当指数为正整数a时，幂函数将呈现出不断增长的趋势。
例如，y = x^2表示抛物线，在x轴右侧永远为正，并且随着x的增大而增大。
而当指数为负整数时，幂函数将会变成反比例函数，即随着x的增大而减小。
2. 分数指数的幂函数：当指数为分数时，幂函数的图像将会出现不同的形状。
例如，y =x^(1/2)表示平方根函数，其图像为非负的抛物线，随着x的增大而增大，但增长速度逐渐减缓。
类似地，指数为倒数、立方等分数时，幂函数的图像也会有所不同。
3. 实数指数的幂函数：当指数为实数时，幂函数的图像将更加多样化。
在指数为实数且底数为正数时，幂函数的图像将呈现出类似指数函数的特点，即随着x的增大而迅速增大或减小。
而当底数为负数时，幂函数则具有奇偶性的变化。
二、幂函数的应用幂函数在自然科学、经济学等领域中有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：1. 物理学中的功率函数：功率函数是幂函数的一种特殊情况，其中指数为常数。
在物理学中，功率函数常用于描述功率与时间、功率与速度等之间的关系。
2. 经济学中的收益函数：在经济学中，幂函数用来描述生产函数中的产出与投入之间的关系。
例如，某种产品的产量与投入的关系可以通过幂函数来表示，对经济决策有一定的指导意义。
3. 生物学中的生长模型：幂函数也被广泛用于描述生物体的生长模型。
例如，细菌的繁殖、植物的生长等都可以使用幂函数来描述，从而帮助我们更好地理解和研究生物的生长规律。
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题型1：判断函数（一般函数、分段函数、抽象函数）的奇偶性 题型2：利用奇偶性求函数值、参数值或参数的取值范围 题型3：函数单调性与奇偶性的综合应用
函数的基本性质
3.2奇偶性 题型1：判断函数（一般函数、分段函数、抽象函数）的奇偶性
3.2奇偶性 题型1解析
函数的基本性质
3.2奇偶性 变式（分段函数）
基本初等函数I
本章要点总结 • 1.指数函数 • 2.对数函数 • 3.幂函数
幂函数
幂函数
题型总结：
题型1：幂函数的图象及应用 题型2：运用幂函数的性质比较值的大小、求解参数值 题型3：幂函数的综合问题求解
幂函数
题型1：幂函数的图象及应用
题型1解析
幂函数
解题模板：
幂函数
幂函数
总结：
1.第一象限
3.性质法：
a.再公共定义域内，两个奇函数的和或差仍为奇函数，两个偶函数的和或差仍为偶函数 b.在公共定义域内，奇函数与奇函数的积是偶函数，偶函数与偶函数的积是偶函数，
奇函数与偶函数的积是奇函数
函数的基本性质
3.2奇偶性 题型2：利用奇偶性求函数值、参数值或参数的取值范围
3.2奇偶性 题型2解析
函数的基本性质
3.2奇偶性 变式解析
函数的基本性质
3.2奇偶性 变式（抽象函数）
函数的基本性质
函数f(x),x∈R，若对于任意a，b都有f(a+b)=f(a)+f(b) 求证：f(X)为奇函数
3.2奇偶性 变式解析
函数的基本性质
函数的基本性质
3.2奇偶性
解题方法： 1.图像法 2.定义法：
a.求定义域 b.观察定义域是否关于原点对称 c.结合函数f(x)的定义域，化简函数的解析式 d.求f(-x). e.再根据f(-x)与������ ������ 之间的关系判断函数的奇偶性
2.比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后 由单调性判断值的大小。
3.常用步骤：①构造幂函数 ②比较底的大小 ③由单调性确定函数值的大小
幂函数
变式
变式解析
幂函数
学生总结
幂函数
幂函数
变式
变式解析
幂函数
学生总结
幂函数
函数的基本性质
3.2奇偶性
3.2奇偶性 题型总.2奇偶性 变式
函数的基本性质
3.2奇偶性 变式解析
函数的基本性质
函数的基本性质
3.2奇偶性 题型3：函数单调性与奇偶性的综合应用
3.2奇偶性 题型3解析
函数的基本性质
3.2奇偶性 变式
函数的基本性质
3.2奇偶性 变式解析
函数的基本性质
3.2奇偶性 学生总结
函数的基本性质
递增 递减
α>0 α<0
2.定义域
R q是奇数 >0 q是偶数
3.对称性
关于y轴对称 p是偶数 关于原点对称 p是奇数
4.α>0时，
下凹 上凸
α>1 α<1
幂函数
变式
变式解析
幂函数
学生总结
幂函数
幂函数
题型2：运用幂函数的性质比较值的大小、求解参数值
题型2解析
幂函数
幂函数
解题模板：
1.比较函数值的大小问题一般时利用函数的单调性，当不便于利用 单调性时，可用“搭桥法”,即利用0和1进行比较。