电磁场理论：矢量分析基础

场的分类
第一类场：矢量场F 在区域中处处是
0F ∇⋅= 和0F ∇⨯=
矢量的旋度为零，则矢量能够写成标量函数f 的梯度表示，即
F f =-∇
从0F ∇⋅=我们得：
()200f f ∇⋅-∇=⇒∇=
此为拉普拉斯方程。

所以为求得一类场，必须解拉普拉斯方程并服从区域的边界条件。

一旦求得f ，然后由F f =-∇求矢量场F 。

第二类场：矢量场F 在区域中处处是
0F ∇⋅≠ 和0F ∇⨯=
矢量的旋度为零，则矢量能够写成标量函数f 的梯度表示，即
F f =-∇
但是0F ∇⋅≠，我们可写成：
F ρ∇⋅=
此处的ρ 可以是一个常数或区域中的已知函数于是得：
2f ρ∇=-
此为泊松方程。

二类场由解泊松方程在边界条件约束下找到f ，然后由F f =-∇求矢量场F 。

第三类场：矢量场F 在区域中
0F ∇⋅= 和0F ∇⨯≠
由于矢量的散度为零，则该矢量能用另一矢量的旋度表示：
F A =∇⨯
式中A 为另一矢量场。

由于0F ∇⨯≠可将其写成F j ∇⨯=，此处j 为一已知矢量场，带入F A =∇⨯得
A j ∇⨯∇⨯=
利用矢量恒等式将其展开，
()
2A A j ∇∇⋅-∇=
根据唯一性定理，为使矢量场唯一，必须还定义散度。

如果给定任意约束0A ∇⋅= 得： 2A j ∇=-
上式成为矢量泊松方程。

矢量场F 利用F A =∇⨯，由A 算出。

约束0A ∇⋅=通常称为库伦规范（Coulomb’s gauge ）
第四类场：一个矢量 F ，如果他的散度和旋度都不为零，则能将F 分解成两个矢量场G 和H ，让G 满足三类场要求，H 满足二类场要求。

即：
F G H =+
0G ∇⋅= ，0G ∇⨯≠而0H ∇⋅≠ 和0H ∇⨯=
因此，G A =∇⨯ 和H f =-∇ 。

可压缩媒质中的流体动力场就是第四类场的例子。

矢量恒等式
两个恒等于零：
()0f ∇⨯∇=
()
0A ∇⋅∇⨯=
二阶符号： ()2f f ∇=∇⋅∇
()
2A A A ∇=∇∇⋅-∇⨯∇⨯
和：
()f g f g ∇+=∇+∇
()
A B A B ∇⋅+=∇⋅+∇⋅ ()
A B A B ∇⨯+=∇⨯+∇⨯
含标量乘积： ()fg f g g f ∇=∇+∇
()fA f A A f ∇⋅=∇⋅+⋅∇
()
fA f A f A ∇⨯=∇⨯+∇⨯
矢量积： ()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯
()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅
()()()A B B A A B ∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯
()()()
A B A B B A B A A B ∇⨯⨯=∇⋅-∇⋅+⋅∇-⋅∇
格林定理
设矢量场A 在体积v 和它的表面积s 上处处都是连续可微的单值函数。

由散度定理
v s
Adv A ds ∇⋅=⋅⎰⎰
如果定义矢量场A 为一标量函数φ与一矢量函数ϕ∇之积，则
()2A φϕφϕφϕ∇⋅=∇⋅∇=∇⋅∇+∇
将上式带入散度定理
2
v v s dv dv ds φϕφϕφϕ∇+∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰
上式称为格林第一恒等式。

互换φ和ϕ则可写成
2v v s
dv dv ds ϕφϕφϕφ∇+∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰
上式减下式得：
[]22v s
dv ds φϕϕφφϕϕφ⎡⎤∇-∇=
∇-∇⋅⎣⎦⎰⎰ 特殊情况，φ和ϕ相等时，有
2
2v v s dv dv ds φφφφφ∇+∇=∇⋅⎰⎰⎰
唯一性定理
矢量场在区域中唯一确定，如下要求得到满足：
1、 它的散度遍及全区域是确定的
2、 它的旋度遍及全区域是确定的
3、 在包围区域的封闭面上它的法向分量是确定的。