第1章 电磁场矢量分析 答案khdaw
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
9
电磁场与电磁波
z
1. 直角坐标系 x, y, z 坐标变量
o
z z0 （平面）
ez
坐标单位矢量 ex , e y , ez
位置矢量 线元矢量
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
r ex x e y y ez z
dl =dr ex dx ey dy ez dz
若 A // B ，则 A B 0
第一章 矢量分析
Bx
By
B
AB sin
矢量A 与B 的叉积
A
7
电磁场与电磁波
（5）矢量的混合运算 —— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
11
电磁场与电磁波
3. 球坐标系 坐标变量
坐标单位矢量 er , e , e
位置矢量 线元矢量 面元矢量
r , ,
r er r dl er dr e rd e rsin d 2 dSr er dl dl er r sin dd
在直角坐标系中两矢量的加法和减法： A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
大学电磁场与电磁波第一章矢量分析
面元矢量
r dSrρ dSrφ dS z
= = =
r eρ dlφ dlz r eφ dlρdlz r ezdlρ dlφ
= = =
r eρ
ρdφdz
r eφ
dρdz
r ez
ρdρdφ
体积元
dV = ρdρdφdz
P(ρ0,φ0, z0)
ρ = ρ0
（圆柱面）
φ = φ0（半平面）
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。
等值面方程： u ( x , y , z ) = C
标量场的等值线(面)
等值面的特点：
• 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族；
• 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
u=c1
u=c2 u=c3
MM 0→ 0
MM 0
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
20
3. 标量场的梯度（ gradu 或 ∇u）
| 概念：
∇u
=
r el
∂u ∂l
，其中
max
r el
∂u 取得最大值的方向。 ∂l
标量场中M0点的梯度是一个矢量：
大小：该点的最大方向导数。即沿过该点等值面的法线方向的
方向导数。
方向：过M0点等值面的法线方向。规定沿等值面增加的方向为 正法线。
等值面族
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
16
2. 方向导数
对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论 其等值面随空间的变化。
方向导数：为等该值标面量沿场某沿一er给l 方定向方的向方er向l 的导空数间。变化率，称
《电磁场和电磁波》课后习题解答(第一章)
第一章习题解答【习题Ll解】【习题L2解】【习题L3解】(1)要使ALR,则须散度A-B=O所以从Z∙5=T+3H8c=0可得：3b+8c=l即只要满足3b÷8c=l就可以使向量二和向量了垂直。
(2)要使4||月，则须旋度AxB=O所以从可得b=-3,c=-8【习题1・4解】A=I2以+9e y+6z,B=CIeX+be y,因为3JLA,所以应有A∙3=0g∣j(12久+9e y+e z^∙^ae x+Z?Gy)=12Q+9/?=0(I)又因为同=1;所以病存=1；(2)一4由⑴，⑵解得Q=±《，"=+W【习题1.5解】由矢量积运算规则4_B=A?C a x a2a3=(%Z-+(a3x-a x z)e y+(01y-a2x)e7xyz =8名+纥5+BZeZ取一线元：dl=e x dx+e y dy+e z dz则有dx_dy_dz则矢量线所满足的微分方程为丁二万一=Hιy xy"z或写成=常数）a2z-a3ya3x-a l za↑y-a2x求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用以下方法d(qx)="(/丁)二d(%z)a i a2z-a i a3ya2a3x-a l a2za l a3y-a2a i xxdx_ydy_ZdZx(a2z-a3y)y{a3x-a x z)z(a l y-a2x)由（1）（2）式可得d(a2y)=k(a2a3x-aλa2z)ydy=k(a3xy-a}yz)(4)对⑶⑷分别求和所以矢量线方程为【习题L6解】矢量场A=(αxz+x2)eχ+Sy+孙2)0+{z-z1-∖-cxz-2xyz)e z假设A是一个无源场，则应有divΛ=O即：divA=V•4=空L+空L+空■=O∂x∂y∂z因为A=axz+X2∕ξ=by+xy1A z=z-z1+cxz-2xyzx所以有divA=az+2x+b+2xy+l-2z+cχ-2xy=X(2+c)÷z(a-2)+b+l=0 得a=2,b=-1,c=-2【习题1.7解】设矢径r的方向与柱面垂直，并且矢径不到柱面的距离相等（r=a）f∙ds-[rds=a∖ds=a2πah所以，①=S JSJS【习题1.8解】φ=3X2y i A=X2yze v+3xy2e^而rot((∕A)=Vx(以)=×A÷V^×A又=巴?十3?+再等=6xye x+3jc2e y ox-oy∂z所以+9x3y2e v-lSx2y3e v+6x3y2ze z=3X2y2[(9X一X2)e x-9yeγ+4xze z]【习题1.9解】所以&CyCzrotA=VXA=———∂x∂y∂zA x A y A(-1+1)&+(4/Z-4xz)e、+(2y-2y)&=6由于场H的旋度处处等于0,所以矢量场A为无旋场。
电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案剖析
第 1 章 习 题1、 求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。
解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为)( ),,(为常数c c z y x u =。
设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1， 即：()1=+++D Cz By Ax E针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。
2、 已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。
解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：42+-=y x ，代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，满足唯一解的条件：02416=⨯⨯-=∆C ，得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy3、 求矢量场z zy y y x xxy A ˆˆˆ222++=的矢量线方程。
解：由矢量线的微分方程：zy x A dz A dy A dx ==本题中，2xy A x =，y x A y 2=，2zy A z =，则矢量线为：222zy dzy x dy xy dx ==，由此得到三个联立方程：x dy y dx =，z dz x dx =，zy dz x dy =2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理， y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=它们代表一簇经过坐标原点的直线。
4、 求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy xx t ˆ3ˆˆ242+-=方向的方向导数。
解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为γβαcos cos cos zuy u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y xˆˆˆ、、的夹角。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
电磁场理论 柯亨玉 著 人民邮电出版社 课后答案
v v v v v v ∇ ⋅ ( E × H ) = ∇ ⋅ ( Ec × H ) + ∇ ⋅ ( E × Hc )
再 ∇ 算子的矢量性，并据公式
v v v v v v v v v a ⋅ (b × c ) = c ⋅ (a × b ) = b ⋅ (c × a )
1-6. (1) 证： ∇ ⋅ A =
v
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂z ∂x ∂y dAx ∂u dAy ∂u dAz ∂u + + du ∂x du ∂y du ∂z
=
v dA = ∇u ⋅ du
ˆx ( (2) 证： ∇ × A(u ) = e
v
∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ˆy ( ˆz ( − )+e − )+e − ) ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x
v
性质
a）偶函数： δ ( x ) = δ ( − x ) b）取样性：
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
有机会用到的表达式：
δ (r − r ') = −
v
1 2 1 ∇ v 4π r − r'
1-1.
证明：
v v ˆx9 + e ˆy 2 − e ˆz 6) ⋅ (e ˆx 2 + e ˆy3 + e ˆz 4) A ⋅ B = (e =18+6-24
1 ∂u ∂ 2 u 1 ∂ 2u ∂ 2u + 2 + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 ∂z 2
第一章 矢量分析
第一章矢量分析标和矢7无散场和无旋场1标量和矢量2矢量的代数运算7 无散场和无旋场8 格林定理3矢量的标积和失积4标量场的方向导数与梯度9 矢量场的惟一性定理10亥姆霍兹定理4 标量场的方向导数与梯度5 矢量场的通量与散度10 亥姆霍兹定理11 正交曲面坐标系6矢量场的环量与旋度11.1 标量与矢量1标量只有大小没有方向的物理量1.标量：只有大小，没有方向的物理量。
如：温度T、长度L 等2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
矢量表示为如:力F 、速度V 、电场E 等矢量表示为：e A A =其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。
A v其中为矢量的模，表示该矢量的大小为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
||e2所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
z在直角坐标系下的矢量表示:v v AzA 三个方向的单位矢量用表示。
e x e ye zo根据矢量加法运算：v v v v v yA v yxx y zA A A A =++xA 其中：eA A xxx =eA A yyy=eA A zzz=所以：eA e A e A A zzxx++=3所以yy例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为6 的矢量如何表示？图示法：yex6图示法xex6v力的图示法Fvv v v NF fF v 力的图示法：N fF F F =+v 4G1.2 矢量的代数运算1加法矢量加法是矢量的几何和服从1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
BvCv v C A B=+v v v ⇒Bv CAv Av a.满足交换律：A B B A+=+v vv v b 满足结合律：v v v v v v v v5b.满足结合律：()()()()A B C D A C B D +++=+++矢量：zv ve A e A e A A zz y y x x ++=Ô模的计算：222||x y z A A A A =++v Ô单位矢量：γAzA αβoA v yA v eA e Ae A ezzy yxxAAAAA ++==yxxe e e zy x cos cos cos ++=βαÔ方向角与方向余弦：γβα,,|cos ,|cos ,cos A A A zy x vv v ===γβα||||A A A 62.减法：换成加法运算D A B A B =−=+−v v v v v()逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。
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2 43
xˆ( 27 4) yˆ( 2 3) zˆ( 4 18) xˆ31 yˆ5 zˆ14
1.4 / 1.1-4 用两种方法求 1.1-3 题矢量 A 和 B 的夹角 。
1
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[解 1] A B AB cos
cos A B
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(清华版)
钟顺时 延晓荣 钮茂德
上海大学通信与信息工程学院 2006.06
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目录
第 1 章 矢量分析…………………………………………1～13 第 2 章 电磁场基本方程…………………………………14～22 第 3 章 静电场及其边值问题的解法……………………23～53 第 4 章 恒定电场和恒定磁场……………………………54～67 第 5 章 时变电磁场和平面电磁波………………………68～82 第 6 章 平面电磁波的反射与折射………………………83～99 第 7 章 电磁波的辐射与散射……………………………100～107 第 8 章 天线基础…………………………………………108～125
00
00
11 1 2 22
上二积分结果相同,故
A dv A ds
v
s
zˆ dxdy
1.12 / 1.2-5 应用散度定理计算下述积分： I [xˆxz2 yˆ x2 y z3 zˆ(2xy y2z)] ds , s
1
s 是 z=0 和 z (a 2 x 2 y 2 ) 2 所围成的半球区域的外表面，球坐标体积元为
[解] 设 ra xˆra cos yˆra sin rb xˆrb cos yˆrb sin
则 ra rb ra rb cos cos rarb sin sin
因 ra 、 rb 夹角为
,如图所示,有
ra rb ra rb cos(
)
比较上二式得 cos(
) cos cos
sin sin , 得证.
xˆ zˆ4 4 5 xˆ2 zˆ5 2 4
.
xˆ9 zˆ36 xˆ12 zˆ30 xˆ3 zˆ6
(c) 1. A B C xˆ12 yˆ7 zˆ3 xˆ2 zˆ5
yˆ 60 6 zˆ14 xˆ35 xˆ35 yˆ66 zˆ14
2. A B C C A B A C B B C A xˆ2 yˆ3 zˆ 22 xˆ zˆ4 9
35
35
0.7134
AB 1 81 1 4 16 9 83 29
44.49 [解 2] A B nˆAB sin
sin
AB
312 52 142
1182 0.7008
AB
83 29
83.29
[解 3]
44.49
2
AB
A2
A2 cos
44.49
B 2 2 AB cos 1 52 42
B2
2
AB
2 AB
83 29 42 2 83 29
1 2
;b
2, c
7; 8
(b) A // B ,则 A B 0 ,故
AB
xˆ yˆ zˆ 1 b c xˆ 8b 3c yˆ c 8 zˆ 3 b 0
1 38
8b 3c 0 c 8 0 得 b=3, c= -8
3b 0 1.6 / 1.1-6 设 A xˆ9 yˆ6 zˆ3, B xˆa yˆb zˆc ，为使 A // B ，且 B 的模 B=1，请确定
[解] I
r 2 sin rdrd d 。
xˆxz 2 yˆ x2 y z 3
v
zˆ 2xy y 2 z dv
5
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z 2 x 2 y 2 dv
v
a 2 2 r 2r 3 sin drd d
00 0
a
1 r5 50
cos
2 0
2
2 a5 5
1.13 / 1.3-1 设 A
[解] (a) 1. B C yˆ5 yˆ8 yˆ3
A B C xˆ2 yˆ3 zˆ yˆ3 9
2. A B yˆ 8 1 zˆ3 xˆ12
AB C C A B
xˆ2 zˆ5 xˆ12 yˆ7 zˆ3 24 15 9
(b) 1. A (B C ) xˆ2 yˆ3 zˆ yˆ3 xˆ3 zˆ6
2 A (B C ) B A C C A B
x
y
z2 2 x 2z z
A
2248
2,1,2
y x2
(b)
B
0
xy
(c)
AB
zˆ2x3 zˆxy2 yˆyz 2 xˆx2 z 2
x2z2
yz 2
2x 3 xy 2
2xz 2 z 2
x
y
z
AB 2 ,1, 2
2 2 22 22 12
1.9 / 1.2-2 设 A xˆ2x yˆy zˆ3z ， x2 y 2 ，请用两种方法计算
42
35 2407
0.7134
1.5 / 1.1-5 设 A xˆ yˆb zˆc ， B xˆ yˆ3 zˆ8 ，若使(a) A
和 c 应为多少？
[解] (a) A B ,则 A B 0,故
B ，或(b) A // B ，则 b
A B 1 3b 8c 0
b, c满足8c
1
3b即可,
如:b=1,c=
有关任课老师注意：本题解未经作者同意，请不要拷贝，以防难免传给学生，以致形成学生 中广泛流传、抄袭，后果严重！
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1 1.1 / 1.1-1 矢径 r xˆx yˆy zˆz 与各坐标轴正向的夹角分别为 , , 。请用坐标(x,y,z)来
表示 , , ,并证明 cos2 cos 2 cos 2 1
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( xˆx
yˆy) 1 xy
，求点（1，0，0）处的旋度及ห้องสมุดไป่ตู้ lˆ1
( yˆ
zˆ) / 2
方向和 lˆ2 (xˆ yˆ) / 2 方向的环量面密度。
[解]
A xˆ Az Ay yˆ Ax AZ zˆ Ay Ax
yz
zX
xy
zˆ y x zˆ 1 x y2 x y
A
zˆ
1,0,0
A lˆ1 1,0,0
2 x2
y2
3
z2 2
2 x2
y2
z2
yˆ xf r 2z 3 2 x2 y2 z2 2
r x y z3 xyz
rn
n
x2 y2 z2 2
n x2
y2
z2
n1 2
2 xˆx
yˆy
zˆz
rnr n 2
2
rr n 3r n r rnr n 2 n 3 r n
1.11 / 1.2-4 设电场强度 E xˆx2 yˆxy zˆyz ,对直角坐标系第一象限内的正立方体，每边均
为单位长，其中一个顶点位于坐标原点，请验证散度定理成立。
[证] (a)
r r3
xˆ x2
x
3
y2 z2 2
yˆ x2
y
3
y2 z2 2
zˆ x2
z
3
y2 z2 2
r r3
3 x2
x x2
x
3
y2 z2 2
y
y
x2
y2
3
z2 2
3
1
y2 z2 2 3 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 0 x2 y2 z2 3
z
z
x2
y2
3
z2 2
(b)
rrn r n r r rn
1
14
c 1 ,b 2 ,a
14
14
3 或c 14
1 ,b 14
2 ,a 3
14
14
1.7 / 1.1-7 已知三个矢量如下： A xˆ2 yˆ3 zˆ ， B xˆ zˆ4 ， C xˆ2 zˆ5 ，请用两
种方法计算(a) A (B C ) ；(b) A (B C ) ；(c) ( A B ) C 。
a b c。
2
[解] A // B ,则 A B 0 ,故
xˆ yˆ zˆ A B 9 6 3 xˆ 6c 3b yˆ 3a 9c zˆ 9b 6a 0
ab c
2c b 0
a 3c 0
即
3b 2a 0
b 2c a 3c
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又因 B2 a2 b2 c2 1,得 (9 4 1)c2 1, c
1.3 / 1.1-3 A xˆ yˆ9 zˆ ， B xˆ2 yˆ4 zˆ3 ，求：(a) A B ; (b) A B ; (c) A B
[解] (a) A B = xˆ(1 2) yˆ(9 4) zˆ(1 3) xˆ yˆ5 zˆ4
(b) A B = xˆ xˆ2 yˆ9 yˆ4 zˆ zˆ3 2 36 3 35
xˆ44 yˆ66 zˆ22 xˆ9 zˆ36 xˆ35 yˆ66 zˆ14
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1.8 / 1.2-1 已知 A xˆ2x yˆxy zˆz 2 ，B xˆy yˆx2 ，在点（2，1，2）处，试求：(a) A ;