电磁场与电磁波第一章矢量分析研究报告
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电磁场与电磁波 第1章矢量分析
v
v
B
C
v
v vv C AB
C v B
v A
v A
a.满足交换律：
vv vv AB B A
vv vv vv vv
b.满足结合律： (A B) (C D) (A C) (B D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 avx , avy , avz 表示。
Az avz
模的计算：
v | A |
Ax2 Ay2 Az2
单位矢量： v
av
|
Av A
|
Avx |A
|
avx
Avy | A|
avy
|
Avz A|
avz
cos avx cos avy cos avz
方向角与方向余弦： , ,
z
v Az
v A
v
v Ax
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积
法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义：Av
vv (B C)
( Ax avx
Ayavy
Az avz
)
(Bxavx
Byavy
Bz avz
)
Ax Bx Ay By Az Bz
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
第1章 矢量分析电磁场理论
Curl——curl
电磁场与电磁波
北京邮电大学
28
标量的“梯度”
梯度是表示 标量最大空间增长率的 大小和方向的矢量。
等值面： •等温线 •等高线
b a
等值 面
d c
u
dl
u du
？“爬山” 同样的增量情况下 沿什么方向最“陡”？
o
l
l dl
——数学模型：标量函数u，沿某个方向的变化率情况
电磁场与电磁波
x
电磁场与电磁波
y
d
北京邮电大学
R sin d
24
微分面积
aR dR
a ( R d )
dS
a ( R sin d )
z
d
R sin
y
d S R a R ( R sin d ) ( Rd ) d S a ( R sin d ) dR d S a ( Rd ) dR
z
z平面
r柱面
x
电磁场与电磁波
平面
y
18
北京邮电大学
z
z平面
r , , z
顶视图
O
r柱面
x
y
y a ay
ax
x , y , z
x
北京邮电大学
ar
电磁场与电磁波
19
柱面坐标系中微分长度、面积、体积
微分面积 d S d S r a r ( r d ) dz d S a drdz d S z a z ( r d ) dr
(1)作图法
电磁场与电磁波
北京邮电大学
28
标量的“梯度”
梯度是表示 标量最大空间增长率的 大小和方向的矢量。
等值面： •等温线 •等高线
b a
等值 面
d c
u
dl
u du
？“爬山” 同样的增量情况下 沿什么方向最“陡”？
o
l
l dl
——数学模型：标量函数u，沿某个方向的变化率情况
电磁场与电磁波
x
电磁场与电磁波
y
d
北京邮电大学
R sin d
24
微分面积
aR dR
a ( R d )
dS
a ( R sin d )
z
d
R sin
y
d S R a R ( R sin d ) ( Rd ) d S a ( R sin d ) dR d S a ( Rd ) dR
z
z平面
r柱面
x
电磁场与电磁波
平面
y
18
北京邮电大学
z
z平面
r , , z
顶视图
O
r柱面
x
y
y a ay
ax
x , y , z
x
北京邮电大学
ar
电磁场与电磁波
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柱面坐标系中微分长度、面积、体积
微分面积 d S d S r a r ( r d ) dz d S a drdz d S z a z ( r d ) dr
(1)作图法
电磁场与电磁波(第4版之1)
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
说明： 、 说明： a、两个矢量的叉乘为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律 矢量的叉乘不符和交换律，
v v v v v v v v v v v A× B ≠ B × A A × (B + C) = A × B + A × C r r r r A × B = −B × A
c、 、
v v v v A × B = 平行四边形面积，方向：垂直于 A、B 所在的平面 平行四边形面积，方向：
,θ ,ϕ 0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
ˆ 单位矢量： er
ˆ , eθ
ˆ , eϕ
ˆ ˆ ˆ er = eθ × eφ
ˆ ˆ ˆ eθ = eϕ × er
ˆ ˆ ˆ eϕ = er × eθ
矢量表示： A = e A + e A + e A ˆr r ˆθ θ ˆϕ ϕ 位置矢量：
2 体元： dv = r sin θdrdθdϕ
拉梅系数： hr = 1, hθ = r , hϕ = r sin θ 讨论：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系 讨论
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ e r = e x sin θ sin ϕ + e y sin θ sin ϕ + e z cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ eθ = e x cos θ cos ϕ + e y cos θ sin ϕ − e z sin θ ˆ ˆ ˆ eϕ = − e x sin ϕ + e y cos θ ˆ ˆ ez = ez
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
11
标量场的等值线( 标量场的等值线(面)
u=c1 u=c2 u=c3
等值面族
电磁场与电磁波
2. 方向导数 概念： 概念：
∂u ∆u |M0 = lim ∆l ∂l ∆l →0
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
∂u 沿 方向无变化。 = 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 ∂l 特点：方向导数既与点M 有关， 特点：方向导数既与点 0有关，也与 l
∫ div F(x, y, z) = lim
∆V →0
S
F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∫ div F = lim
∆V →0
S
F ⋅ dS ∆V
∂Fx ∂Fy ∂Fz = + + ∂x ∂y ∂z
div F =∇⋅ F
第一章 矢量分析
21
电磁场与电磁波
散度的物理意义
矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性
F(r) = Fl (r) + Fc (r) = −∇u(r ) +∇× A(r )
无旋场 无散场
2. 矢量场的结构 • 无旋场（∇× Fl (r) = 0 无旋场（ ）
Fl (r) = −∇u(r) ∇×∇u(r) ≡ 0
好处？ 好处？
• 无散场（∇• Fc (r) = 0 无散场（ ）
Fc (r) =∇× A(r)
例如：温度场、电位场、高度场等。 例如：温度场、电位场、高度场等。
1.3 标量场的梯度
11
标量场的等值线( 标量场的等值线(面)
u=c1 u=c2 u=c3
等值面族
电磁场与电磁波
2. 方向导数 概念： 概念：
∂u ∆u |M0 = lim ∆l ∂l ∆l →0
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
∂u 沿 方向无变化。 = 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 ∂l 特点：方向导数既与点M 有关， 特点：方向导数既与点 0有关，也与 l
∫ div F(x, y, z) = lim
∆V →0
S
F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∫ div F = lim
∆V →0
S
F ⋅ dS ∆V
∂Fx ∂Fy ∂Fz = + + ∂x ∂y ∂z
div F =∇⋅ F
第一章 矢量分析
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电磁场与电磁波
散度的物理意义
矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性
F(r) = Fl (r) + Fc (r) = −∇u(r ) +∇× A(r )
无旋场 无散场
2. 矢量场的结构 • 无旋场（∇× Fl (r) = 0 无旋场（ ）
Fl (r) = −∇u(r) ∇×∇u(r) ≡ 0
好处？ 好处？
• 无散场（∇• Fc (r) = 0 无散场（ ）
Fc (r) =∇× A(r)
例如：温度场、电位场、高度场等。 例如：温度场、电位场、高度场等。
1.3 标量场的梯度
大学电磁场与电磁波第一章矢量分析
面元矢量
r dSrρ dSrφ dS z
= = =
r eρ dlφ dlz r eφ dlρdlz r ezdlρ dlφ
= = =
r eρ
ρdφdz
r eφ
dρdz
r ez
ρdρdφ
体积元
dV = ρdρdφdz
P(ρ0,φ0, z0)
ρ = ρ0
（圆柱面）
φ = φ0（半平面）
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。
等值面方程： u ( x , y , z ) = C
标量场的等值线(面)
等值面的特点：
• 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族；
• 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
u=c1
u=c2 u=c3
MM 0→ 0
MM 0
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
20
3. 标量场的梯度（ gradu 或 ∇u）
| 概念：
∇u
=
r el
∂u ∂l
，其中
max
r el
∂u 取得最大值的方向。 ∂l
标量场中M0点的梯度是一个矢量：
大小：该点的最大方向导数。即沿过该点等值面的法线方向的
方向导数。
方向：过M0点等值面的法线方向。规定沿等值面增加的方向为 正法线。
等值面族
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
16
2. 方向导数
对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论 其等值面随空间的变化。
方向导数：为等该值标面量沿场某沿一er给l 方定向方的向方er向l 的导空数间。变化率，称
西安交通大学 电磁场与电磁波 第一章 矢量分析
又可证明
( ) 0
上式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定
等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个
标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋 场。
5. 格林定理
S
设任意两个标量场 及，
,
V
en
若在区域 V 中具有连续的二阶偏
导数，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式
界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的
矢量场被惟一地确定。
S
F(r)
F 和 F
及
V
Ft 或 Fn
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性 定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。
7. 亥姆霍兹定理 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其 导数连续有界，源分布在有限区域V 中，则当矢量场 的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
A dS
S
通量可为正、负或零。 当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。
S
A dS
S
闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外 法线方向。 当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量 一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该 闭合面的通量一定为负。 前述的源称为正源，而洞称为负源。
y
er
r = r0
O
x
0
球坐标系( r, , )
z
=0 0
S
此式称为矢量第二格林定理。
格林定理建立了区域 V 中的场与边界 S 上的场
之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的
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用坐标分量表示为 A B e x ( A y B z A z B y ) e y ( A z B x A x B z ) e z ( A x B y A y B x )
写成行列式形式为
ex ey ez AB Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
若 A B ，则
13
2、圆柱面坐标系
坐标变量
,,z
坐标单位矢量
e,e,ez
位置矢量
r e e zz
线元矢量
d l e d e d e z d z
面元矢量
dS
edldlz
e
ddz
dS
edldlzeddzFra bibliotekdSz
ezdldl
ez dd
体积元
dVdddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
e A e x co e y c so e z c so
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
（2）标量乘矢量
k A e x kx A e y ky A e z kzA
（3）矢量的标积（点积）
B
A
A B A c B o A x B x s A y B y A z B z
A
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4
矢量用坐标分量表示
A A x e x A y e y A z e z
z
Az
A
Ay
Ax
y
x
Ax A cos Ay A cos Az A cos
A A ( e x co e y c so e z c s) o
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
16
1.3 标量场的梯度
坐标变量 x,y,z
坐标单位矢量 ex,ey,ez
位置矢量
r e xx e yy e zz
线元矢量
d l e x d x e y d y e z d z
面元矢量
d S x e x d ly d lz e x d y d z d d S S z y e e z y d d l lx x d d l ly z e e z y d d x x d d z y
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
9
证明：A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
10
证明： A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
11
1.2 三种常用的正交坐标系
0
e
0 0 1
ez 0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
er e e
ex
ey
ez
sincos sinsin cos
cosin cossin sin
sin
cos
0
y e
15
ey e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dS ze zdxdy
dz
dSyeydxdz
dx
o
dy dS xe xdydz
y
体积元
dVdxdydz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3、球面坐标系
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 er,e,e
位置矢量 线元矢量
rerr
d l e r d r e r d e r sd in
面元矢量
d S r e r d l d l e r r 2 sd id n
d S e d lr d l e z r sd ir d n
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量 A 与 B的夹角
A B B A ——矢量的标积符合交换律
AB
A B0 A//B
A B A B
e x e y e y e z e ze x 0 e x e x e y e y e ze z 1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（4）矢量的矢积（叉积）
A B e nAsB in
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标 变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1、直角坐标系
ABAB
若 A//B，则
AB0
AB
B
AB sin
A
矢量A与B的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
8
（5）矢量的混合运算
( A B )C A C B C—— 分配律
( A B ) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )—— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C—— 矢量三重积
d S e d lr d l e r d r d
球面坐标系
体积元
dVr2sin drdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4、坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
3
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A e AAe AA
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量：eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。