第一章矢量分析与场论-
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
第01章 矢量分析和场论基础
cos ϕ e y
− sin ϕ e x
cos ϕ e x ϕ
e ρ cos ϕ sin ϕ 0 e x e = − sin ϕ cos ϕ 0 e ϕ y ez 0 0 1 e z − sin ϕ cos ϕ 0 0 e ρ 0 eϕ 1 e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3.体、面和线微分元 体 体微分元 dV = ρ d ρ dϕ dz
dS ρ = ρ dϕ dze ρ 面微分元 dSϕ = d ρ dz eϕ dS = ρ d ρ dϕ e z z
Z
ez
线微分元 dl = d ρ e ρ + ρ dϕ eϕ + dze z
P( ρ ,θ , ϕ )
er eϕ
θ是位矢 与正 轴之间的夹角， 是位矢r与正 轴之间的夹角， 与正Z轴之间的夹角
θ
in rs
eθ
r sin θ sin ϕ
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位矢量， 构成的平面的单位矢量，并遵循 右手螺旋法则，见图1-3。 右手螺旋法则，见图 。
图1-3 矢量的标积和矢积
矢量的矢积不满足交换律： 矢量的矢积不满足交换律： A × B = −B × A (1-18) 矢积满足分配律和数乘， 矢积满足分配律和数乘，即
ϕ
ez
P( ρ , ϕ , z )
ρ
eϕ
eρ
图1-10 圆柱坐标
0 ≤ ρ < +∞ 取值范围 0 ≤ ϕ ≤ 2π −∞ < z < +∞
z = 常数
第1章矢量分析与场论01
dS r = rdϕ dzar
dSϕ = drdzaϕ
dS z = rdϕ draz
体元： dV = rdrdϕ dz
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R,θ , ϕ ) ，如图，做一微分体 元。 线元：
dl = dRaR + Rdθ aθ + R sinθ dϕaϕ
面元：
dS R = R 2 sin θ dθ dϕ aR
A
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘 积，其结果是一标（数）量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A⋅ B = B ⋅ A
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ a x ⋅ a y = 0, ˆ ˆ a x ⋅ a x = 1, ˆ ˆ a x ⋅ a z = 0, ˆ ˆ a y ⋅ a y = 1, ˆ ˆ ay ⋅ az = 0 ˆ ˆ az ⋅ az = 1
在直角坐标系下的矢量表示:
ˆ ˆ ˆ 三个方向的单位矢量用 a x , a y , a z
表示。 根据矢量加法运算：
o
Ax
z
Az
A
Ay
A = Ax + Ay + Az
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax = Ax ax , Ay = Ay a y , Az = Az az
ˆ ˆ ˆ 所以： A = Ax ax + Ay a y + Az az
dSθ = R sin θ dRdϕ aθ
dSϕ = RdRdθ aϕ
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
矢量分析与场论
i
F ds lim F P ds
S N i 1 i N S N i 1 i
i
L
F dl lim F Pi
N i 1
N
dli
F ds lim F P ds
i
标 量 场
标量场：随空间和时间变化的单值标量函数，如温度场。
ˆ cos cos cos G l l x y z
显然，在直角坐标系中有
ˆ grad G x ˆ ˆ y z x y z
矢 量 场
矢量场：随空间和时间变化的单值矢量函数，如流速场。
一年四季大气流速分布
F t F t0 ，则称 F 在 t0处连续。 连续：若 lim t t
0
F t F0 ，则称 lim F t F0 。 t t
0
导数：
增量： F F t t F t
F t
F
dF F 可导： lim t 0 t dt lim F t t F t t
a e a j m a
x ,y ,z
ˆe a j
x ,y ,z
ˆm a
矢 量 代 数
运算规则：当以坐标分量表示时，形式上与实矢量运算 规则相同。 但是没有任何几何意义！
ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz abx ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz ab x
f f x1, x 2 , x 3, x 4 , f f x1, x 2 , x 3, x 4 ,
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矢量分析与场论第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''⎰⎰⋅-⋅=⋅A B B A B Adt dt ''⎰⎰⨯+⨯=⨯A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
第一章矢量分析与场论
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. . 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具---场线 -标量场---等值线(面). -. 其方程为
矢量场---矢量线 -其方程为
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
Γ=
∫ A ⋅ dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 Γ=0，无涡旋运动
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
0.7 三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,Φ)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即
流体做涡旋运动 Γ≠0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A = Axe x + A ye y + Aze z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
Γ =
∫
L
A⋅L =
∫ (A
L
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
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z
（·x0 y0 z0）
z （0 0 z0）
·
O
xO
y x
x
· z
r （r0
0 0
）
O
y
三种正交系的相互关系 z
r·
（）
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) y cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 圆柱 ,,z 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
-∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面
球面 r,,
0≤r ＜∞ 0≤ ≤
0≤ ≤2
r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角
的圆锥面 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
○
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除
且以各矢量同在某一点为前提
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
加 减
A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算 矢量场的微、积分 梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
1.1 常用坐标系（正交系）
形式 坐标 取值范围
几何意义
直角 x,y,z
-∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面 -∞＜y＜∞ Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面 -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面
标乘 μA = μAxex + μAy ey +μ Azez
∧
乘 点乘 A·B = A·Bcos(A·B ) = AxBx + AyBy + Az Bz
性质：1、若 A·B = 0 则 A⊥B
2、 A·A = A2
ex ey ez
∧
叉乘 A×B = A·Bsin(A·B )en =
Ax Ay
Az
A×B
(A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖
Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
若 B=C 则 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立
表示的是空间位置，没有物理含义。
源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。
场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。
源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：
源点：r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er
场点：r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er
= A eA Axex +
Ay
ey
+
Az
ez
=
Aρ
eρ
+
Aφeφ
+
Az
ez=
Ar
eρ
er+Aφeφ+Aθeθ
常矢：大小和方向均不小和方向其中有一个发生变化的矢量。
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。
r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er 矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式，
BC
若 A·B = A ·C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立
结论：等式两边可同时“点”和“叉”，
A
但不能随意消去相同的量
1.7 坐标变换
1、不同坐标系的变换
z
w
q ·Φv
例：Φ=1/√x2 + y2 + z2 = 1/√ρ2 + z2 = 1/ r q u O′ O
y
eA = A/A
eA A
A
1
坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。
（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量） A
对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量： er
直角： ex ey ez
ez
eθ
圆柱： eρ e ez
ey
球面： er eθ e
ex e
有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式：
A
=
Bx By Bz
B
性质：1、若 A×B = 0 则 A∥B
en
2、 A×A = 0
A
1.6 矢量的初等运算
矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量)
A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C
A·B =B·A
; A·(B+C) = A·B+A·C
A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C
1.2 标量与矢量
物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标
描述物理量的数学语言是标量和矢量
算数量：＞0 标量（A）：只有大小没有方向的物理量 代数量：≠0
不变量：A·B 矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。
标量与矢量
复数
1.3 标量场与矢量场
粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。
距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′
P
r
S′
R
r′
○
注意：矢径和矢量的区别
例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。
解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez ② 图示 A P(1,2,2) r
物质 场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。
场：某一物理量在空间的分布称场 标量场：其物理量为标量的场
场
物理量 矢量场：其物理量为矢量的场
静态场: A（M）
场 A（或A）
均匀场: A（t）
动态场 均匀平面场: A（z,t)
一般时变场: A(M,t)
1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢
单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。