第3次课 第一章 矢量分析(3)
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
第1章 矢量分析
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量代数运算
矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分 量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍 是矢量 ��
�� � �� � �� � A = ex A x + ey A y + ez A z
� � �� � �� � �� � B = e x Bx + e y B y + e z Bz
� � A = Ae
� � � 其中， A是矢量 A的大小; e 代表矢量 A 的方向。 � � e = A / A 大小等于1。
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量 ex、 ey 、 ez 表征矢量分 别沿x、y、z轴分量的方向。
r
r=exX+eyY+ezZ
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。
任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分 量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别 是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ex、ey、ez可以将矢 量A表示成：
A=exAx+eyAy+ezAz
§1 .2 标量场的梯度
5 梯度的性质
4）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
§1 .2 标量场的梯度
6 梯度运算的基本公式
⎧ ⎪ ⎪∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎨∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎩
第一章：矢量分析法
f ( x, y , z ) f ( , , z) f ( r , , )
点，平行与Z 轴的方向。
r
O
ˆ
Y
X
矢量场的圆柱坐标系分量
ˆ 圆柱坐标轴单位矢量
ˆ
ˆ z
ˆ : 以Z为轴，半径为 的园柱面在 ( , , z ) 点的外法
线方向。
Z
ˆ : 垂直于Z轴及( , , z )
点组成的平面，沿 增大一侧的方向。
ˆ z
ˆ
P( , , z )
ˆ z : 在 ( , , z )
矢量分析法直角坐标系场点的坐标位置xyz圆柱坐标系圆球坐标系12直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系cossinsincossinarctanarctanxxyyzz垂直于z轴及点组成的平面沿增大一侧的方向
第一章：矢量分析法
1.2 三种坐标系
直角坐标系 场点的坐标位置(x,y,z) 圆柱坐标系 ( , , z ) 圆球坐标系 (r , , )
r xx yy zz
f (r )
距离矢量
R r r n ( x x n)dx ( y y n)dy ( z z n)dz
R r r' ( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z' ) 2
直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系
x cos y sin z z
x 2 y 2 y arctan x zz
第一章 矢量分析
第一章矢量分析标和矢7无散场和无旋场1标量和矢量2矢量的代数运算7 无散场和无旋场8 格林定理3矢量的标积和失积4标量场的方向导数与梯度9 矢量场的惟一性定理10亥姆霍兹定理4 标量场的方向导数与梯度5 矢量场的通量与散度10 亥姆霍兹定理11 正交曲面坐标系6矢量场的环量与旋度11.1 标量与矢量1标量只有大小没有方向的物理量1.标量：只有大小，没有方向的物理量。
如：温度T、长度L 等2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
矢量表示为如:力F 、速度V 、电场E 等矢量表示为：e A A =其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。
A v其中为矢量的模，表示该矢量的大小为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
||e2所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
z在直角坐标系下的矢量表示:v v AzA 三个方向的单位矢量用表示。
e x e ye zo根据矢量加法运算：v v v v v yA v yxx y zA A A A =++xA 其中：eA A xxx =eA A yyy=eA A zzz=所以：eA e A e A A zzxx++=3所以yy例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为6 的矢量如何表示？图示法：yex6图示法xex6v力的图示法Fvv v v NF fF v 力的图示法：N fF F F =+v 4G1.2 矢量的代数运算1加法矢量加法是矢量的几何和服从1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
BvCv v C A B=+v v v ⇒Bv CAv Av a.满足交换律：A B B A+=+v vv v b 满足结合律：v v v v v v v v5b.满足结合律：()()()()A B C D A C B D +++=+++矢量：zv ve A e A e A A zz y y x x ++=Ô模的计算：222||x y z A A A A =++v Ô单位矢量：γAzA αβoA v yA v eA e Ae A ezzy yxxAAAAA ++==yxxe e e zy x cos cos cos ++=βαÔ方向角与方向余弦：γβα,,|cos ,|cos ,cos A A A zy x vv v ===γβα||||A A A 62.减法：换成加法运算D A B A B =−=+−v v v v v()逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。
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• 9. 1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律 并设计了世界上第一台感应发电机。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
• 10. 1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电 磁现象的能量特性。
• 11. 1848年 ，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理 论，使电路理论趋于完善。
6 aˆ x
y
图示法：
6 aˆ x
x
力的图示法：
F
FN
Ff
FFNFf
G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
CAB
B
A
A
a.满足交换律： ABBA
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
1. 1745年，荷兰莱顿大学马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将 电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。 2. 1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克 林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，从此拉开了人们研 究电学的序幕。 3.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验 时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。 4. 1771—1773，英国科学家卡文迪什进行了大量静电试验 ，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。
• 3. 1638年，我国建筑学书籍中对避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰 成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末 端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋 造成危险。
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析在这门课程中，我们几乎从头到尾和场打交道。
实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场，等等。
那么到底什么是场呢？从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
例如温度场就由T 描述，只要知道了场中各点T 的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，例如本书中讨论的电磁场，电场强度E 是描述电场的物理量之一，人们不仅需要知道它的数值大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。
在电磁场和电磁波的学习中，我们始终要用到矢量运算，因此掌握矢量分析是十分必要的。
§1.1 矢量的概念1.1.1 标量在电磁场中遇到的特征量可区分为标量和矢量两类。
一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。
如电荷、电位和能量等。
这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整地描述。
电荷0.5库伦（C ），电位220伏特（V ）等都是标量的例子。
1.1.2 矢量一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。
力、速度、力矩、电场强度和加速度都是矢量。
一个矢量常用一个带箭头的线段来图示，其长度按适当比例表示它的大小，方向则用箭头指示，如图 1.1(a)所示。
其中，R 代表一个从O 点指向P 点的矢量。
图1.1(b)表示几个平行矢量有同样的大小和方向，它们都代表同一个矢量。
一个大小为零的矢量称为空矢或零矢。
一个大小为1的矢量称为单位矢量。
一个矢量A 可以表示为A Aa = (1.1)其中A 是A的大小，称为模，由式(1.2)表示||A A = (1.2)a 是A 的单位矢量，即方向与A 的方向相同，大小为1的矢量，由式(1.3)表示||A a A =(1.3)§1.2 矢量运算1.2.1 矢量加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。
第一章 矢量分析
e1 =
∂r ∂ u1
∂r ∂ u1
∂r 若记 hi = ，则单位矢量为 ∂ui
∂r
ei =
∂ ui
hi
(i = 1 , 2 , 3 )
hi称为拉梅系数（Lame'）或度量因子 3、求解拉梅系数 直角坐标系 正交坐标系 根据定义式 hi
ˆ ˆ ˆ r = xx + y y + z z
dl = dr = r ( M ′) − r ( M )
z
M ( u1 , u 2 , u 3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
M ′( u 1 + d u1 , u 2 + du2 , u 3 + d u3 )
dl (dr )
r (M )
o x 图 1－ 7
r (M )
根据全微分运算法则
dl = d r =
∂r ∂r ∂r du1 + du 2 + du 3 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u3
则称，当 t → t0 时矢性函数F (t ) 有极限，记作
lim F ( t ) = F0
t → t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且
lim F ( t ) = F ( t0 )
t → t0
则称F (t ) 在 t = t0 处连续。
2、导数与微分
⑴导数：设矢性函数 F (t ) 在
②矢端曲线
★矢径
r (t ) 或 r (M )
二、基本运算 1、极限和连续 ⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 都存在一个正数δ，使得满足