第一章矢量分析
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
第一章矢量分析
第一章 矢量分析（说明：本章为07电本英语讲义的中译本）电磁场是矢量场，矢量分析是学习电磁场性质的基本数学工具之一。
本章中，我们主要介绍矢量场理论基本知识：矢量运算，标量场的梯度，矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔（或那布拉）算符∇的运算规则。
稍后，将介绍狄拉克δ函数及一些重要的矢量场定理，它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。
1-1 矢量运算我们在电磁场中遇到的大多数量可分为两类：标量和矢量。
仅有大小的量称为标量。
具有大小和方向的量称为矢量。
一矢量A 可写成A A =A e其中A 是矢量A 的大小，e A 是与A 同方向上的单位矢量。
矢量的大小称为矢量的模，单位矢量的模为1。
矢量A 方向上的单位矢量可以这样表示：A A=Ae 矢量将用黑斜体字母表示，单位矢量用e 来表示。
作图时，我们用一有长度和方向的箭头表示矢量，如图1-1-1所示。
如果两矢量A 和B 具有同样的大小和方向，它们是相等的。
如果两矢量A 和B 具有同样的物理的或几何的意义，则它们具有同样的量纲，我们可以对矢量进行比较。
如果一个矢量的大小为零，我们称为零矢量或空矢量。
这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。
我们也可以定义面积矢量。
如果有一面积为s 的平面，则面积矢量s 的大小为s ，它的方向按右手螺旋规则确定，如图1-1-2所示。
1-1-1 矢量加和减两矢量A 和B 可彼此相加，其结果给出另一矢量C ，C = A + B 。
矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A 和B 相加的规则，如图1-1-3所示。
由此我们可得出：矢量加法服从加法交换律和加法结合律。
交换律： A + B = B + A (1-1-1) 结合律：(A + B ) + C = A + (B + C ) (1-1-2)由C = A + B ，其也意味着一个矢量C 可以由两个矢量A 和B 来表示，即矢量C 可分解为两个分矢量A 和B （分量）。
也可说，一个矢量可以分解为几个分矢量。
第一章：矢量分析法
f ( x, y , z ) f ( , , z) f ( r , , )
点，平行与Z 轴的方向。
r
O
ˆ
Y
X
矢量场的圆柱坐标系分量
ˆ 圆柱坐标轴单位矢量
ˆ
ˆ z
ˆ : 以Z为轴，半径为 的园柱面在 ( , , z ) 点的外法
线方向。
Z
ˆ : 垂直于Z轴及( , , z )
点组成的平面，沿 增大一侧的方向。
ˆ z
ˆ
P( , , z )
ˆ z : 在 ( , , z )
矢量分析法直角坐标系场点的坐标位置xyz圆柱坐标系圆球坐标系12直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系cossinsincossinarctanarctanxxyyzz垂直于z轴及点组成的平面沿增大一侧的方向
第一章：矢量分析法
1.2 三种坐标系
直角坐标系 场点的坐标位置(x,y,z) 圆柱坐标系 ( , , z ) 圆球坐标系 (r , , )
r xx yy zz
f (r )
距离矢量
R r r n ( x x n)dx ( y y n)dy ( z z n)dz
R r r' ( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z' ) 2
直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系
x cos y sin z z
x 2 y 2 y arctan x zz
第一章 矢量分析(电磁场与电磁波)
例:已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求: (1) 该矢量场的旋度; (2) 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分, 如图所 示, 验证斯托克斯定理.
y B r=3
O
A x
四分之一圆盘
第 7,8 学时 , 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度 标量的方向导数和梯度 一个标量场u可以用一个标量函数来表示.在直角坐标 系中, 可将u表示为 u=u(x, y, z) 令 u(x, y, z)=C, C为任意常数.该式在几何上一般表示 一个曲面,在这个曲面上的各点,虽然坐标(x, y, z)不同, 但函数值相等,称此曲面为标量场u的等值面 等值面. 随着C 等值面 的取值不同,得到一系列不同的等值面,如下图所示. 同理,对于由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场, 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线.
S → P
∫ lim
l
A dl
S
称固定矢量R为矢量A 的旋度 旋度,记作 旋度 rotA=R 上式为旋度矢量在n方 向的投影,如图所示, 即
rotA 旋旋旋
n
P l
S → P
∫ lim
l
A dl
S
= rotn A
旋度及其投影
矢量场的旋度 旋度仍为矢量 矢量.在直角坐标系中,旋度的表达式为 旋度 矢量
C C=A× B an aA A (a)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋
O
aB B
B A
θ
(b)
矢量积又称为叉积 叉积(Cross Product),如果两个不为零的 叉积 矢量的叉积等于零,则这两个矢量必然相互平行,或者 说,两个相互平行矢量的叉积一定等于零.矢量的叉积 不服从交换律,但服从分配律,即 A×B= -B×A × × A×(B+C)=A×B+A×C × × ×
第一章 矢量分析
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的 场之间的关系。因此， 中的场， 场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克 上的场，反之亦然。 斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零 当矢量穿出某个闭合面时， 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时， 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞 ）。闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
10
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度 通 量 与 散 度 环 量 与 旋 度 环 量 与 旋 度 无散场与无旋场 格 林 定 理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋 旋度：旋度是一个矢量。 具有最大环量强度的方向， 度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义： 矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
第一章 矢量分析
工程数学---------矢量分析与场论
矢径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk 2 2 2 d r (d x) (d y) (d z)
dA dt
或
A(t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
工程数学---------矢量分析与场论
2.导矢的几何意义 A A t A 与A 同 t 0 t 向， A 与 A 反向， t 0 t A 始终指向 t 增大的方向, t (t ) lim A 为切向量， A 始终指向 t 增大的方向. t 0 t
t t0 t t0 t t0 t t0
工程数学---------矢量分析与场论
极限运算法则
工程数学---------矢量分析与场论
4.连续: 设矢性函数
t t0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
且 lim A(t ) A(t0 ), 则称
若 连续.
在 连续.
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
工程数学---------矢量分析与场论
4.导数公式
1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B 5) ( A B) A B A B dA du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------矢量分析与场论
2.不定积分公式
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析在这门课程中，我们几乎从头到尾和场打交道。
实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场，等等。
那么到底什么是场呢？从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
例如温度场就由T 描述，只要知道了场中各点T 的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，例如本书中讨论的电磁场，电场强度E 是描述电场的物理量之一，人们不仅需要知道它的数值大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。
在电磁场和电磁波的学习中，我们始终要用到矢量运算，因此掌握矢量分析是十分必要的。
§1.1 矢量的概念1.1.1 标量在电磁场中遇到的特征量可区分为标量和矢量两类。
一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。
如电荷、电位和能量等。
这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整地描述。
电荷0.5库伦（C ），电位220伏特（V ）等都是标量的例子。
1.1.2 矢量一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。
力、速度、力矩、电场强度和加速度都是矢量。
一个矢量常用一个带箭头的线段来图示，其长度按适当比例表示它的大小，方向则用箭头指示，如图 1.1(a)所示。
其中，R 代表一个从O 点指向P 点的矢量。
图1.1(b)表示几个平行矢量有同样的大小和方向，它们都代表同一个矢量。
一个大小为零的矢量称为空矢或零矢。
一个大小为1的矢量称为单位矢量。
一个矢量A 可以表示为A Aa = (1.1)其中A 是A的大小，称为模，由式(1.2)表示||A A = (1.2)a 是A 的单位矢量，即方向与A 的方向相同，大小为1的矢量，由式(1.3)表示||A a A =(1.3)§1.2 矢量运算1.2.1 矢量加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
例 求空间任一点位置矢量 r 的散度 。
z
r
z
y
O
x
x
y
解 已知
r ? xex ? yey ? zez
求得
? ?r ? ?x ? ?y ? ?z ? 3 ?x ?y ?z
算子
?
?
ex
? ?x
?
ey
? ?y
?
ez
? ?z
标量场的梯度
??
?
ex
?? ?x
? ey
前述的源称为正源，而洞称为负源。
已知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通 量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真空 介电常数 ? 0 之比，即，
? E ?dS ? q
S
?0
一
十
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合 面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无 源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
?l B ?dl ? ?0I
⊙? I1 I2
式中，电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。
环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
旋度是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量 A 的
旋度，其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，
1. 标量场的方向导数与梯度
l
标量场在某点的方向导
Δl P ?
? P
数表示标量场自该点沿某 一方向上的变化率。
标量场 ? 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 ?? 定义为
?l P
??
?
?
lim
(P?) ? ?
(P)
?l P Δl ? 0
Δl
梯度是一个矢量。 某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
式中，div 是英文字divergence 的缩写； ? V 为闭合面 S 包围的体积。
? A?dS
div A ? lim S ΔV? 0 ΔV
上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围 单位体积闭合面的通量。
直角坐标系中散度可表示为
div A ? ?Ax ? ?Ay ? ?Az ?x ?y ?z
在直角坐标系中，标量场 ? 的梯度可表示为
grad?
?
?? ex ?x
? ey
?? ?y
? ez
?? ?z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符? ，在直角坐标系中该算符 ? 可表
示为
?
?
ex
? ?x
?
ey
? ?y
?
ez
? ?z
则梯度可以表示为
grad? ? ? ?
z P'(x ', y ', z ')
因此散度可用算符 ? 表示为
div A ? ?? A
散度定理
?V div A dV ? ?S A?dS
或者写为
?V ?? Ad V ? ?S A?dS
从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体
积分的关系。 从物理角度可以理解为散度定理建立
了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场之间
的关系。因此，如果已知区域 V 中的场， 根据散度
? ? ?S A?dS
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。
S
? ? ?S A?dS
闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外 法线方向。
当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一 定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭 合面的通量一定为负。
??x??
ey
??y??
ez
? ?z?
?
?? 1 ?? ?R?
?
?
R R3
?
??? 1 ?? ? ?R?
R R3
? ?? 1 ?? ? ? ? ??? 1 ??
?R?
?R?
P?表示源点，P 表示场点。
2. 矢量场的通量与散度 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过
该有向曲面 S 的通量，以标量 ? 表示，即
r ?? x?e x ? y?e y ? z?ez
r' r
O
P(x, y, z) y
R ? (x ? x?)ex ? ( y ? y?)e y ? (z ? z?)ez
x
R ? (x ? x?)2 ? ( y ? y?)2 ? (z ? z?)2
?
?
ex
? ?x
?
ey
? ?y
?
ez
? ?z
?
??
ex
l
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处 处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 ? > 0；若处 处相反，则 ? < 0 。可见，环量可以用来描述矢量 场的旋涡特性。
已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的
环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁
导率 ? 0 的乘积。即
其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，url
A
?
en
lim
ΔS ? 0
A?dl
l
max
ΔS
式中 curl 是旋度的英文字；en 为最大环量强度的方 向上的单位矢量，? S 为闭合曲线 l 包围的面积。
第一章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度 5. 格林定理
2. 矢量场的通量与散度
6. 矢量场的惟一性定理
3. 矢量场的环量与旋度
7. 亥姆霍兹定理
4. 无散场和无旋场
8. 正交曲面坐标系
标量场（? ）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场?
以箭头表示的矢量场A
但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能 显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭 合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为 矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即
div A ? lim ? S A?dS
ΔV? 0 ΔV
?? ?y
? ez
?? ?z
矢量场的散度
div A ? lim ? S A?dS
ΔV? 0 ΔV
矢量场的旋度？
? ?A ? ?Ax ? ?Ay ? ?Az ?x ?y ?z
3. 矢量场的环量与旋度 矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量
场 A 沿该曲线的环量，以 ? 表示，即
? ? ?l A ?dl
例 计算 ? ?? 1 ?? 及 ? ??? 1 ??。
?R?
?R?
r – r'
r'
P(x, y, z)
这里 R ? r ? r ? ? 0
O
r
y
? 表示对 x, y, z 运算
x
? ?表示对 x?, y?, z?运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r ? xex ? ye y ? zez