电子科技大学,电磁场与电磁波。第一章__矢量分析
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电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
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?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
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xy 平面上的投影图
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矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
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e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
divA lim SA dS V 0 V
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
电磁场与电磁波讲义(电子科大第三版)
第一章 矢量分析仅具有大小特征的量为标量，标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数),(t r u来描述；不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量，矢量的空间分布构成矢量场，矢量场可用一个矢量函数),(t r F来描述。
矢量分析是研究场在空间的分布和变化规律的基本数学工具：标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述，因此本章的重点是标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。
1.1 矢量代数1.矢量的表示矢量A 可用一条有方向的线段表示，线段的长度表示矢量A的大小，称为矢量的模；箭头的指向表示矢量A 的方向。
用A e表示与矢量A 同方向的单位矢量，则A e A A=； AA e A=2.矢量的加法 矢量的加法遵循平行四边形法则，加法运算符合结合律和交换律。
交换律：A B B A+=+；结合律：)()(C B A C B A++=++两个矢量的相减可以归结为相加运算。
3.矢量的乘法(1)标量与矢量相乘矢量A 与标量k 的乘积A k 为矢量，大小为A k 。
若0>k ，A k 与A同向；若0<k ，Ak 与A反向。
(2)矢量的标积或点积 θcos AB B A =⋅标积的运算符合交换律和分配律：A B B A⋅=⋅；C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)((3)矢量的矢积或叉积大小：θsin AB ；即等于矢量A 和B构成的平行四边形的面积。
方向：与矢量A 和B垂直，其指向由右手螺旋决定。
矢量积不服从交换律，但服从分配律：A B B A⨯-=⨯；C A B A C B A ⨯+⨯=+⨯)( (4)标量三重积（三矢量的混合积）形式：)(C B A⨯⋅几何意义：等于矢量C B A,,构成的平行六面体的体积性质：a.把三个矢量按循环次序轮换，其积不变。
)()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅b.只把两矢量对调，其积差一负号。
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
只要 以 面体,故
即可。
z
点为顶点作一个平行六 x
经过左右两面的通量为：
(x,y,z +△z)
y △z
M●(x,y,z) △y
△x
(x+△x,y,z)
(x,y+△y,z)
用偏微分代替偏增量，得:
第36页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 同理，前后、上下面的通量分别为:
故从该平行六面体穿出的通量为:
； 没有 分量，则
，所以
第42页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
微分面积：
e
单位长度( z=1 )圆柱面的通量:
e e
第43页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第五节 矢量的环流与旋度
（Circulation and Rotation of Vector Field） 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类 不同于通量源的源,它所激发的矢量场的力线是闭合的， 它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中 闭合路径的积分不为零。
例如:流速场
、电场
是矢量场
第6页
电磁场பைடு நூலகம்电磁波 第一章__矢量分析
3、场的表示
矢量
，
矢量场
一个矢量场对应着三个标量场
第7页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.1.2 矢量的加法和减法
B
A＋B
A
矢量的加法
B
A
-B A－B
矢量的减法
B
第8页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
1.1.3 矢量的乘法 矢量的点积(标积):
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1
思考：计算圆柱、球的表面积、体积？
球坐标系中的线元、面元和体积元
14
线元矢量 d l e d r e r d e r sin d r
面元矢量 2 d S e d l d l e r d d r r rsin
d S e d l d l e r d r d r
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A A 矢量 与B 的叉积
叉积仅服从分配律。
9
混合运算： —— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B ) A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C —— 矢量三重积
( A B ) C A C B C —— 分配律 ( A B ) C A C B C —— 分配律
10
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系；
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
sin cos 0
ex
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
0 0 1
ey
z
ez
er
e
直角坐标与 球坐标系
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dS
螺旋法则确定；
对闭合曲面：闭合面外法线方向
蜒s FvgdSv
s
FvgevndS
?s
v F
cos (rv)dS
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
0
若 0，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发
出矢量线的正源；
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
r A
A(erx
cos
ery
cos
erz
cos
)
erA erx cos ery cos erz cos
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx Bx
evy
By
evz Bz
vv vv v v v vv vv AgB BgA Ag(B C) AgB AgC
2、两个矢量的点积为标量
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三种坐标系有不同适用范围：
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大 面电荷分布产生电场分布。
2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长 线电流产生磁场分布。
3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷 产生电场分布。
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
r dS
er dl dlz
er d dz
r dSz
r ez dl dl
r ez
d
d
圆柱坐标系
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
v A
ev
A
ev
A
evz
Az
v B
ev
B
ev B
evz Bz
A
ev
A
v B
evr Br
ev B
ev B
v 加减：A
v B
evr (Ar
Br
)
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
vv 标积：AgB
(evr Ar
ev
A
ev
A
)g(evr Br
ev B
ev B )
Ar Br A B A B
v v evr ev ev 矢积：A B Ar A A
Br B B evr ( A B A B ) ev ( A Br Ar B ) ev ( Ar B A Br )
u
0 l M0
，标量场
u
在
M
处沿
0
l
方向减小率；
u
0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.3.3 标量场的梯度
梯度的定义
gradu(x, y,
式中：evl 为场量 u
z) evl
u l
max
最大变化率的方向上的单位矢量。
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz
)
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
vv v vv v vv v Ag(B C) Bg(C A) Cg(A B) v v v vvv vvv A (B C) B(AgC) C(AgB)
sin cos
cos sin
ey
sin sin cos sin
ez
cos sin
e sin
cos
0
y e
ey e
φ ex
φ
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系
ez
θ θ
er e
单位圆
e
r
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容。 • 矢量代数 • 常用正交坐标系 • 标量场的梯度 • 矢量场的散度 • 矢量场的旋度 • 拉普拉斯运算 • 亥姆霍兹定理
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
1.2.2 圆柱坐标系
第1章 矢量分析
坐标变量
,, z
坐标单位矢量
r e
,
r e
,
erz
位置矢量
rr er erz z
线元矢量
drv erd er d erzdz
面元矢量
r dS
r e
dl
dlz
r e
d
dz
v 加减：A
v B
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
evz
( Az
Bz
)
标积：AvgBv (ev A ev A evz Az )g(ev B ev B evz Bz )
A B A B Az Bz
矢积：Av
v B
ev A
ev A
evz Az ev ( A Bz Az B ) ev ( Az B A Bz )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
vv v v
F E Hv 矢v量可表示为：A
B evA
v vD A 其中
eA
A A
A 为模值，表征矢量的大小；
r erdl dl er dlrdl
erdlrdl
r er
r
2sin
d
d
r ez
rsin
drd
errdrd
球坐标系
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明：球面坐标系下矢量运算：
v A
evr Ar
ev
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x,
y,
z)、
r F
(x,
y,
z)
r
时变标量场和矢量场可分别表示为： u(x, y, z,t) 、 F (x, y, z,t)
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.3.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
若S 为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
说明：1)
面元矢量
v dS
定义：面积很小的有向曲面。
dS ：面元面积，为微分量，无限小
2) 面evn元：法面向元e法vn 线的方确向定，方垂法直：于面元平面。
evn
对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手
1.4.2 矢量场的通量
r F M drr rr rr drr
O
矢量线
问题：如何定量描述矢量场的大小？
引入通量的概念。
若矢量场 Fv(rv) 分布于空间中，在
空间中存在任意曲面S，则定义：
Fv(rv)gdSv
为矢量
Fv(rv)
S
沿有向曲面
S
的通量。
矢量场的通量
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.1 直角坐标系
坐标变量
x, y, z
rrr
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量
rr erx x ery y erz z
线元矢量
r dl
r exdx
r eydy
r ezdz
面元矢量
r dSx
r exdlydlz
r exdydz
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.4 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos