矢量分析与场论
矢量分析与场论
A B 'dt
A B 'dt
AB
B A ' dt
B A ' dt
A B
前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致， 后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服积分
矢性函数的定积分概念也和数性困数的完全类似．因此，也相应地具有数 性函数定积分的基本性质。
又
cos ( sin ) sin cos 0
。
所以
e ( ) e1 ( )
容易看出，( ) 为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆， e e1 ( ) 因此 又叫圆函数；与之相伴出现的 亦为单位矢 e ( ) 量，其矢端曲线亦为单位圆
第三节 矢性函数的积分
r ( t ) ( e cos t ) i ( e sin t ) j e k
t t t
e (cos t sin t ) i e (sin t cos t ) j e k
t t t
例 3 设 e ( ) cos i sin j , e1 ( ) sin i cos j 证明 证:
矢量分析与场论
西北工业大学 航空学院 张 强
关于矢量分析与场论的简单介绍
• 矢量分析是矢量代数和微积分运算的结合和推广， 主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、 积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具， 研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这 门课的学习，可使我们掌握矢量分析和场论这两 个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单 用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题， 打下了必要的数学基础。
1 矢性函数的不定积分 定义：若B’(t)＝A(t)，则称B(t)为A(t)的一个原函数。A(t)的原函数的全体， 叫做A(t)的不定积分，记作 A ( t ) dt 由于矢性函数的不定积分和数性函数的不定积分在形式上完全类似，因此， 数性函数不定积分的基本性质对矢性因数来说仍然成立。
1-矢量分析与场论
ex ex 0, ey ey 0, ez ez 0
ex ey ez , ey ez ex , ez ex ey
A B A B en AB
A// B A B 0
A B Axex Ayey Azez Bxex Byey Bzez
如果要了解场的局部特性，即考虑场在空间每 个点沿各个方向的变化情况，
对于标量场，需要引入方向导数和梯度的概念；
对于矢量场，需要引入散度和旋度的概念。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x, y, z)、F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：
矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律 A B B A A(B C) A B AC
两个矢量的叉积为矢量
矢量运算恒等式
A (B C) B (C A) C (A B) A(BC) B(AC) C(A B)
混合积 双重矢量积
几个特殊结论
假设 M(x, y, z) 为矢量线上任一点，则过点 M沿矢量 线的位移元 dl 与矢量 A(x, y, z)共线。
共线矢量dl 与 A(x, y, z) 满足方程
dl A 0 或
dx dy dz Ax Ay Az
矢量形式
标量形式
A
M
dl r r dr
上面这两个方程称为矢量线方程
M0
而 l 的方向余弦为 cos
2
2
12 22 22 3
cos cos
2
2
12 22 22 3
1
1
12 22 22 3
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
矢量分析和场论讲义
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
第3章 矢量分析和场论
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
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矢量分析与场论第一章 矢理分析1.1 矢性函数1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t = 2． 矢性函数的极限和连续性（1） 矢性函数极限的定义：()A t 在0t 某领域内有定义，对于0ε∀>，0δ∃>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-<，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →= ；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ∃>，M>0，0(;)t U t δ∀∈都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=∃>∀∈都有0()1A t A ε-<=，00()()1A t A A t A ∴-<-<， 0()1A t A ∴<+，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=⋅lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→⋅=⋅lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→⨯=⨯其中()u t ，()A t ，()B t 当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →=，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-⋅+⋅- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-⋅+⋅-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ∃>>∀∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''∃>∀∈-<; 同理2020,,..(;)s t t U t δδ∃>∀∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112min ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ∀∈，00()()u tA t u A -<10122M u M u εε⋅+⋅= ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
极限（0lim ()t t A t →）存在的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 当0t t →时极限均存在。
且0ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t iA t j A t k →→→→=++ 证明：充分性由极限运算第一条可知：0ˆˆˆlim(()),lim(()),lim(())x y z t t t t t t A t iA t j A t k →→→均存在，所以 0ˆˆˆlim(()()())x y z t t A t i A t j A t k→++也存在且0ˆˆˆˆˆˆlim(()()())lim ()lim ()lim ()x y z x y zt t t t t t t t A t i A t j A t k i A t j A t k A t →→→→++=++即ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k→→→→=++必要性：不妨设00lim ()t t A t A →=，则对于0,0,εδ∀>∃>只要0(;)t U t δ∈就有0()A t A ε-< ;而00,0,0,ˆˆˆˆˆˆ()()()()()x y z x y z A t A A t i A t j A t k A i A j A k -=++-++所以0,0,0,ˆˆˆ(())(())(())x x y y z z A t A i A t A j A t A kε-+-+-<；考虑：0,0,0,0,0,ˆˆˆ(())(())(())ˆ(())()x x y y z z x x x x A t A i A t A j A t A k A t A iA t A -+-+-≥-=-所以：0,()x x A t A ε-<，所以00,lim ()x x t t A t A →=; 其他分量极限存在的证明类似。
综上所述：lim ()t t A t →存在，则0lim (),lim (),lim ()x y z t t t t t t A t A t A t →→→均存在，且00,lim ()x x t t A t A →=0,lim ()y y t t A t A →= ，00,lim ()z z t t A t A →=；自然0ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k→→→→=++由此求矢性函数的极限可转化为求其三分量的极限。
（2） 矢性函数连续性的定义：若()A t 在0(;)U t δ内有定义，且00lim ()()t t A t A t →=则称()A t 在0t 处连续；如果()A t 在t 的I 区间上都连续则称()A t 在I 上连续。
连续（()A t 在0t 处）的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 在0t 处均连续。
充分性：0lim ()()x x t t A t A t →=，00lim ()()y y t t A t A t →=，00lim ()()z z t t A t A t →=。
000ˆˆˆlim ()()()()()x y z t t A t A t i A t j A t k A t →∴=++=必要性：若0lim ()t t A t →=0()A t ，显然00lim ()()x x t t A t A t →= ，00lim ()()y y t t A t A t →= ，0lim ()()z z t t A t A t →=；1.2 矢性函数的导数与微分1. 矢性的导数定义：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若0000()()()limlimt t t A t t A t A t t t t→∆→+∆-∆=-∆存在则称此极限为()A t 在0t 处的导数。
记为：()dA t dt 或()A t '；即()dA t dt=0()lim t A t t ∆→∆∆导数存在的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 的导数均存在。
且()dA t dt=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt ++充分性：因为00()()()()ˆˆˆlimlim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t ∆→∆→∆∆∆∆=++∆∆∆∆，而0()lim x t A t t∆→∆∆ ，()limy t A t t∆→∆∆，0()limz t A t t ∆→∆∆均存在。
所以：0()limt A t t∆→∆∆=0()ˆ(lim )x t A t i t ∆→∆∆+0()ˆ(lim )y t A t j t ∆→∆∆+0()ˆ(lim )z t A t k t ∆→∆∆=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt++ 必要性：因为00()()()()ˆˆˆlimlim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t ∆→∆→∆∆∆∆=++∆∆∆∆存在所以0()lim x t A t t∆→∆∆ ，()limy t A t t ∆→∆∆，0()limz t A t t ∆→∆∆也都存在。
且()dA t dt=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt ++导矢的几何意义：由定义可知导矢表示的是位矢()A t 末端所画的曲线的切线。
2. 矢性函数的微分：()A t 在0(;)U t δ内有定义，如果00()()()A t t A t C t t +∆-=∆+∆，其中C 为常矢量则称()A t 在0t 处可微，C t ∆为()A t 在0t 处的微分记作dA |0t t ==Cdt可微与可导之间的关系：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若()A t 在0t 处可微则它在0t 必可导；反之若()A t 在0t 处可导则()A t 在0t 处可微。
且dA |0t t ==0()A t dt '。
证明：若()A t 在0t 处可微，由定义可知：00()()()A t t A t C t t +∆-=∆+∆； 所以00()lim limt t t t C t t A C t→→∆+∆∆==∆，即若()A t 在0t 处可导并有：0()A t '=C 。
若()A t 在0t 处可导则: 0limt t A t →∆∆=0()A t ',所以00lim(())0t t AA t t→∆'-=∆，从而0()(1)AA t t∆'-=∆，即0()()A A t t t '∆=∆+∆所以()A t 在0t 处可微。
且dA |0t t ==0()A t dt '由导数存在的充要条件及可微与可导之间的关系，可以得到：()A t 在0t 处可微当且仅当它的三分量在0t 处可微。
（可微的充要条件）微分的意义：由微分的定义可知，当0t ∆→时，dA =A ∆。