矢量分析与场论
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
矢量分析和场论讲义
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
复变函数与场论简明教程：矢量分析与场论
dr dr 1 ds ds
矢量分析与场论
图6.5
矢量分析与场论
7. 1） 在t某个规定的区间I上， 若有B′(t)=A(t)， 则称B(t)是A(t) 的一个原函数。显然， A(t)的原函数有无穷多个， 并且各 原函数之间相差一个常矢。
矢量分析与场论 显然， 矢性函数A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k的不定积分可以 用三个数性函数的不定积分进行计算：
矢量分析主要研究变矢， 即模或方向至少其一会改变 的矢量。 例如， 如图6.1所示， 质点M沿曲线l运动， 其速 度v是变矢， 其加速度也是变矢。
矢量分析与场论 图6.1
矢量分析与场论
2. 定义 变矢A随数性变量t而变化， 即
A=A(t) 则称A为数性变量t的矢性函数
(6.1.1)
矢量分析与场论
(6.1.11)
导矢是一个矢量， 非零导矢是矢端曲线的切向矢量， 并始终 指向对应t值增大的一方。 其理由如下： 设l为A(t)的矢端曲线， 如图6.3所示。
矢量分析与场论 图6.3
矢量分析与场论
［例3］ 已知摆线的矢量方程为r=a(t－sint)i+ a(1－cost)j，
解
r a(t sin t) i + a(1 cos t) j a(1 cos t)i + a sin tj
矢量分析与场论
（3） 矢量与实数的数乘运算： λa是这样一个矢量， 其模等于|λ|·|a|， 当λ>0时其方向与a一致， 当λ<0时其方向 与a相反， 并约定λ0=0， 其中0为零矢量， 其大小为0， 方
（4） 内积（点乘）： 约定a ·b=|a||b| cos〈a, b〉， 其 中〈a, b〉表示a和b的夹角, a ·b=0的充分且必要条件是a与b 垂直。
第3章 矢量分析和场论
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
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Ay
Az
则环量可写成：
Γ
A dl
LLeabharlann A dSS
1. 旋度
定义矢量：
rot A A
L S
称为旋度(curl)
旋度与环量的关系： Γ 2. 环量密度
A dl A dS rotA dS
S
过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向 成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限
·A=
r0 (负源)
在矢量场中，若• A= r0，称之为有源场，r 称为(通量)源密度；若矢量场 中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯公式(散度定理)
1 divA lim A dS v0 v S
由于 A 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的
通量，对 A 体积分后，为穿
divA lim
由奥斯特罗格拉特斯基公式：
v 0
1 v
A dS
S
称为通量源密度
S
A dS
A dydz A dzdx A dxdy
S x y z
Ay Ax Az V y z x
dV
Ax x
定义：
div A A
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A Axe x Aye y Az e z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
L x y z
Γ
A dl A dx A dy A dz
L L x y z
dl dxe x dye y dze z
A B A B cosq
A B A B cosq 0
当A B时
矢量点积的坐标表达式：
A B ( Ax e x Ay e y Az e z ) ( Bx e x By e y Bz e z ) Ax Bx Ay By Az Bz
el ex cos e y cos ez cos )
，分别是P点方向l与x,y,z轴的夹角 ， 式中 ， 则有: g el | g | cos( g , el ) l
当 q ( g ,el ) 0 ,即 e l 与 g 方向一致时, l 为最大.
dΓ Γ 1 lim lim Α dl Αn rot n Α L dS S 0 S S 0 S
称为环量密度
其中rotnA表示rotA在S的法线方向en上的投影，取不同的路径时，其环量密度也不同。 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为使得环量密度 取最大值时曲面元ΔS的方向。 它与环量密度的关系为
g
式中
ex ey e z grad x y z
ex ey ez x y z
梯度(gradient)
称为哈密顿算子
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
电磁场
郑州大学电气工程学院
张泽全
电 磁 场
矢量与场论基础
正交坐标系与矢量运算
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 元长度：dl = exdx + eydy + ezdz • 元面积：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy • 元体积：dV = dxdydz
A dx A dy A dz
Az Ay S y z Ay Ax Az Ax dydz dzdx x x y z dxdy
空间中有向曲面的定义： 和直角坐标下矢量积的定义：
2、圆柱坐标 r f z • 单位向量： er，ef，ez • 元长度：dl = erdr + efrdf + ezdz • 元面积：dS = errdfdz + efdrdz + ezrdrdf • 元体积：dV = rdrdfdz
3、球坐标 r f q • 单位向量： er，eq，ef • 元长度：dl = erdr + eq rdq + ef r sinqdf • 元面积：dS = err2sinqdfdq + eq rsinqdrdf + ef rdrdq • 元体积：dV = r2sinqdqdfdr
一. 梯度 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方向 导数为:
cos cos cos ( , , ) (cos , cos , cos ) l x y z x y z
A
dS dydz e x dxdz e y dxdy ez
x
e x y e y z e z Ax e x Ay e y Az e z
ex
x
ey
y
ez
z
Ax Az Ay Ay Ax Ax Az e e y y x x y e z z z x
球坐标系中
er
1 1 eq e r r q r sin q
矢量积的坐标表达式：
A B Axe x Aye y Aze z Bxe x Bye y Bz ez
ex Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
A Axex Ay e y Az ez
其中ex、ey、ez分别是x、y、z 轴上的单位矢量，其长度为一，方向分别与x、y、
A Ar er r,, z A e r,, z Az ez
A Ar er r,q , Aq eq r,q , A e r,q ,
Ay Bz Az By ex Az Bx Ax Bz e y Ax By Ay Bx ez
这种表达式也是教材中经常要用到的。
其他运算公式
( A B) A B (A) A A
( A B) A B (A) A A ( A B) B A A B ( ) 0 A ( A) 2 A
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面). 其方程为
矢量场--矢量线 其方程为
A dl 0
h ( x, y, z ) const
图0.1.2 矢量线
在直角坐标下:
图0.1.1 等值线
二维场
Ax Ay dx dy
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？三维场
0.3 标量场的梯度
出闭合面S的通量
图0.3.3 散度定理
A dS lim
S
n Vn 0 n 1
AV
n
AdV
V
高斯公式
Ax Ay Az SA dS S ( Ax d y d z Ay d z d x Az d x d y ) V x y z dv V AdV
0.6 亥姆霍茨定理
亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 矢量A的通量源密度 电荷密度r 在电磁场中
已知
矢量A的旋度源密度 场域边界条件
电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
A dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动
0.2、矢量运算 1、标量 仅用一个数值(变量)就可以描述的物理量，如电压、电荷、电流、 高度、距离等 V(x,y,z,t)、Q(x,y,z)、I(t)、H、L
2、矢量 需要用二个数值(变量)描述的物理量，如电场强度、速度、电流密度、位置等 直角坐标系中的矢量表达式 z 轴的方向相同。 在圆柱坐标系中 在球坐标系中 3、矢量运算 点乘（数量积）：
图0.2.1 三维高度场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直；
• 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
0.4 矢量场的通量与散度
一、矢量场的通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分
dΓ rot A en dS
三、旋度的物理意义 • 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
这种表达式是教材中经常要用到的。
叉乘（矢量积）：
C A B A B sin q
A B A B sin q 0
哈密顿算符： 直角坐标系中： 圆柱坐标系中