矢量分析与场论推导
矢量分析和场论讲义
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
一、 矢量分析与场论基础
根据散度定理，上式左边等于
(C A) ds ( A ds) C C A ds
S S S
于是得
C ( A)dv C A ds
V S
由于上式中常矢C是任意的，故式必成立。
1 .5 方向导数与梯度, 格林定理
1 .5 .1 方向导数与梯度 ; 标量场u(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为u沿该方向的方 向导数 u / l 它的值与所选取的方向 。
4 3 rds rdv 3 dv 3 r 4r 3 S V V 3
1.4 环量与旋度, 斯托克斯定理
1 .4 .1 环量
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或
旋涡量), 记为
A dl
l
图 1 -5 矢量场的环量
1 .4 .2 旋度的定义和运算
即
ˆ x
ˆ y
ˆ z
rot A A x y z Ax Ay Az
旋度运算符合如下规则:
( A B) A B (A) A A ( A B) B A A B ( A) 0 A ( A) A
V
Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量 散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。
例1 .1 球面S上任意点的位置矢量为 r 试利用散度定理计算 ds r
S
ˆ ˆ ˆ ˆ xx yy zz rr,
［解］
x y z r 3 x y z
荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷,
第3章 矢量分析和场论
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
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矢量分析与场论第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''⎰⎰⋅-⋅=⋅A B B A B Adt dt ''⎰⎰⨯+⨯=⨯A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
第四讲矢量分析与场论
充分描述了场空间变化特征
标量场 的梯度 充分描述了标量场 在空间变化的 特征:
• 场中任一点（x, y, z）沿任一方向的变化率（即方
向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数） 的方向就是梯度的方向，最大变化率（即最大方向 导数）就是梯度的大小。 在任一方向l0 的投影（· l0）就是该方向的变 化率（即该方向的方向导数）。因此梯度是描述标 量场 随空间变化特性非常好的一个物理量。经过梯 度运算，可由一个标量场得到一个矢量场
l yz
A yz dl yz
ABCD
A
y on AB
dy Az
on BC
dz Ay
on CD
dy Az on DA dz
旋度Curl A的计算(1)
当矩形ABCD0时，即y,z0, 这时Ay，Az近似为常 数，则：
因此
旋度Curl A的计算(2)
同理：
斯托克斯定理
有限面积S分解成面元Sn（0）， 由旋度定义，则有：
左边为：
右边为：
相邻面元交界 线上的线积分 相互抵消
矢量场的分类
矢量场的分类(1)
亥姆霍兹定理
一个矢量场的性质由激发场的源来确定 源有两类：散度源（通量源） 旋度源（涡旋源）
Q: 若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该 矢量场？ A: 能！这就是亥姆霍兹定理 如果在体积V内的矢量场A的散度和旋度已知，在V的 边界S上A的值也已知，则在V内任一点A的值能唯一 确定。（证明略去） 据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个 无源场之和。
D ds
S
B E t
V
v dV
B ds 0
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
矢量分析与场论推导
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
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矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
愿点O 也称为矢端曲线的极。
由于终点为),,(z y x M 的矢量对于原点O 的矢径为zk yj xi r ++==当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即)(),(),(t A z t A y t A x z y x === （1.1.3） 此式就是曲线l 的参数方程。
只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。
只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。
2、矢函数的极限和连续性定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义（但在o t 处可以无定义），A 0为一常矢。
若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使当t 满足δ<-<00t t 时，就有 |A )(t －A 0|< ε成立，则称A 0为A )(t 当0t t →时的极限，记作l i m t t →A )(t =A 0 （1.1.4）矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。
因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。
如)(lim t t t u →A )(t =0)(lim t t t u →·lim t t →A )(t （1.1.5） 0lim t t →[A )(t ±B )(t ]=0lim t t →A )(t ±0lim t t →B )(t （1.1.6）lim t t →[A )(t ·B )(t ]=0lim t t →A )(t ·lim t t →B )(t （1.1.7） 0lim t t →[A )(t ×B )(t ]=0lim t t →A )(t ×0lim t t →B )(t （1.1.8）其中)(t u 为数性函数，A )(t ，B )(t 为矢函数；且0t t →时，)(t u ，A )(t ，B )(t 的极限均存在。
若设A )(t = )(t A x i+ )(t A y j+)(t A z k 则由法则（1.1.6）与（1.1.5）有lim t t →A )(t =0lim t t →)(t A x i+0lim t t →)(t A y j+0lim t t →)(t A z k （1.1.9）即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。
定义1.1.3 若矢函数A )(t 在o t 的某个邻域内有定义，且有lim t t →A )(t =A )(0t （1.1.10）则称A )(t 在0t t =处连续。
即矢函数A )(t 在o t 处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数)(),(),(t A t A t A z y x 都在o t 处连续。
若矢函数A )(t 在某个区间内的每一点处都连续，则称函数A )(t 在该区间内连续。
或称A )(t 是该区间内的连续函数。
§1.2 矢函数的导数与微分矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系中，一个矢量与三个数量（坐标）构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。
1、矢函数的导数设有起点在原点O 的矢函数A )(t ，当数性变量t 在其定义域内从t 变到)0(≠∆∆t t 时，对应的矢量分别为A OM t =)( A t t =∆+)( 如图1.2.1，则A ON t t =∆+)(-A )(t =MN称为矢函数A )(t 的增量，记作∆A )(t ，即∆A )(t =A )(t t ∆+- A )(t （1.21.）据此，我们给出矢函数的导数定义。
定义1.2.1 设矢函数A )(t 在点t 的某一个邻域内有定义，并设t t ∆+也在这邻域内，若A )(t 对应于t ∆的增量∆A )(t 与t ∆之比tt A t t A t t A ∆-∆+=∆∆)()()( 当0→∆t 时，其极限存在，则称此极限为矢函数A )(t 在点t 处的导数（简称导矢），记作dtt dA )(，或)(t A '，即 tt A t t A t t A dt t dA t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim )(lim )(00 （1.2.2） 若k t A j t A i t A t A z y x )()()()(++=，且函数)(),(),(t A t A t A z y x 在点t 可导，则有k dtdAj dt dA i dt dA k tt A j t t A i t t A t t A dtt dA z y x z t y t x t t ++=∆∆+∆∆+∆∆=∆∆=→∆→∆→∆→∆)(lim )(lim )(lim )(lim )(0000 即k t A j t A i t A t A z y x )()()()('+'+'=' （1.2.3） 矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。
例 1.2.1 已知k e tj e ti e t r t t t ++='sin cos )(，求导矢)(t r '。
解ke j t t e i t t e ke j t e i t e t r tttt t t +++-=+'+'=')c o s (s i n )s i n (c o s )s i n ()c o s ()(例 1.2.2 设j i e j i e ϕϕϕϕϕϕcos sin )(,sin cos )(1+-=+=证明)()(),()(11ϕϕϕϕe e e e -='='，及)()(1ϕϕe e ⊥ 证)(cos sin )(sin )(cos )(1ϕϕϕϕϕϕe ji ji e =+-='+'=' )(sin cos )(cos )sin ()(1ϕϕϕϕϕϕe ii j i e -=--='+'-='又cos sin )sin (cos )()(1=+-=∙ϕϕϕϕϕϕe e所以)()(1ϕϕe e ⊥。
容易看出，)(ϕe 为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此)(ϕe 又叫圆函数；与之相伴出现的)(1ϕe 亦为单位矢量，其矢端曲线亦为单位圆，如图1.2.2。
2、导矢的几何意义如图 1.2.1，设l 为)(t A 的矢端曲线，tt A ∆∆)(是l 的割线MN 上的一个矢量。
当0>∆t 时，其指向与)(t A ∆一致，指向对应t 值增大的一方；当0<∆t 时，其指向与)(t A ∆相反，如图1.2.3，但此时)(t A ∆指向对应t 值减少的一方，从而tt A ∆∆)(仍指向对应t 值增大的一方。
当0→∆t 时，由于割线MN 绕点M 转动，且以点M 处的切线为其极限位置，此时，割线上矢量tt A ∆∆)(的极限位置，也就在此切线上，这就是说，导矢tt A t A t ∆∆='→∆)(lim )(0当其不为零时，是在点M 处的切线上，且方向恒指向对应t 值增大的一方。
因此，导矢在几何上为一矢端曲线的切向量，指向对应t 值增大的一方。
3、矢函数的导数公式设矢函数)()(t 、B t A 及数性函数)(t u 在t 的某范围内可导，则在该范围内成立下列公式（1）0)(=C dt d（C 为常矢）；（2）dt dBdt dA B A dt d ±=±)(；（3）dt dA k kA dt d =)(口否认 （k 为常数）；（4）dt dAu A dt du uA dt d +=)(；（5）B dt dAdt dB A B A dt d ∙+∙=∙)(； 特别dtdA A A dt d ∙=22，（其中A A A ∙=2）；（6）B dtdA dt dB A B A dt d ⨯+⨯=⨯)(； （7）复合函数求导公式：若)(),(t u u u A A ==，则dtdu du dA dt dA = 这些公式的证明方法，与微积分中数性函数的类似公式的证法完全相同。
例如（6）的证法如下BA B A B A BA B A BA B A B A BA B B A A B A ∆⨯∆+⨯∆+∆⨯=⨯-∆⨯∆+⨯∆+∆⨯+⨯=⨯-∆+⨯∆+=⨯∆)()()(以t ∆除上式两端，有 t BA B t A t B A t B A ∆∆⨯∆+⨯∆∆+∆∆⨯=∆⨯∆)( 再令0→∆t ，求极限可得 B dtdAdt dB A dt B A d ⨯+⨯=⨯)( 例 1.2.3 证明定长矢量与其导矢互相垂直。