电磁场与电磁波_ 矢量分析和场论_
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
矢量分析与场论
i
F ds lim F P ds
S N i 1 i N S N i 1 i
i
L
F dl lim F Pi
N i 1
N
dli
F ds lim F P ds
i
标 量 场
标量场：随空间和时间变化的单值标量函数，如温度场。
ˆ cos cos cos G l l x y z
显然，在直角坐标系中有
ˆ grad G x ˆ ˆ y z x y z
矢 量 场
矢量场：随空间和时间变化的单值矢量函数，如流速场。
一年四季大气流速分布
F t F t0 ，则称 F 在 t0处连续。 连续：若 lim t t
0
F t F0 ，则称 lim F t F0 。 t t
0
导数：
增量： F F t t F t
F t
F
dF F 可导： lim t 0 t dt lim F t t F t t
a e a j m a
x ,y ,z
ˆe a j
x ,y ,z
ˆm a
矢 量 代 数
运算规则：当以坐标分量表示时，形式上与实矢量运算 规则相同。 但是没有任何几何意义！
ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz abx ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz ab x
f f x1, x 2 , x 3, x 4 , f f x1, x 2 , x 3, x 4 ,
电磁场与电磁波复习重点
梯度: 高斯定理:A d S ，电磁场与电磁波知识点要求第一章矢量分析和场论基础1理解标量场与矢量场的概念；场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。
2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公 式和方法(限直角坐标系)。
:u；u；u e xe ye z ，-X；y: z物理意义：梯度的方向是标量u 随空间坐标变化最快的方向;梯度的大小：表示标量 u 的空间变化率的最大值。
散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值， 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向。
斯托克斯定理：■ ■(S?AdS|L )A d l数学恒等式：' Cu )=o ,「c A )=o3、理解亥姆霍兹定理的重要意义：a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷XY平面, r r r.S(—x,y ,z)-q ■严S(-x , -y ,z)S(x F q R 1qS(x；-y ,z )P(x,y,z)若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。
A八F u第二、三、四章电磁场基本理论Q1、理解静电场与电位的关系，u= .E d l，E(r)=-V u(r)P2、理解静电场的通量和散度的意义，「s D d S「V "v dV \ D=，VE d l 二0 ' ' E= 0静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。
3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。
关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷，使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同产生的场满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能满足求解区域内的微分方程。
预篇：矢量分析和场论基础
Fx ( x, y , z ) F ( x, y, z ) F ( x, y , z ) dx + x dy + x dz x y z Fy ( x, y, z ) Fy ( x, y , z ) Fy ( x, y, z ) dFy = dx + dy + dz x y z Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) dFz = dx + dy + dz x y z
11
四,标量场与矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数, 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 如流速场,电场,涡流场等.
A × B = -B × A
(1 )若
A B = A C ,是否意味着 B 总等于 C ?
(2)已知 A = ex + be y + cez , B = ex + 3e y + 8ez ) 各为多少? 若使 A ⊥ B 或者 A // B ,则b,c各为多少? , 各为多少
9
4.矢量的三重标积 矢量的三重标积
C B A 0 0 B C A
C = A+ B
C = A B = A + ( B )
6
2.矢量的标积 矢量的标积 矢量的标乘又称点乘
A B = A B cos α = AB cos α
在直角坐标系中, 在直角坐标系中,其解析式为
A B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
电磁场与电磁波-1、2、3章矢量分析与场论基础
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
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1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新
1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。
如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了该物理量的场
1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t
1.2.1 场的概念
14 16
18
20
−35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18
1.2.2 标量场的等值面
标量场同一数 值各点在空间 形成的曲面
ux, y,z C
14 16
18
20
−35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)
1.2.2 标量场的等值面
例：点电荷Q位于直角坐标系的原点，它在空间的电位是：
求等值面方程？
(x, y,z)
Q
40 x2 y2 z 2
解：
(x, y,z)
Q
C
40 x2 y2 z 2
Q
这是一个球面方程，表示以电荷为圆心，以 40C 为半径的球面。
1.2.3 方向导数
实际应用中不仅需要了解宏观 上场在空间的数值，还需要知 道场在不同方向变化。
方向性导数可以描述标量场在 空间某个方向上变化情况
M r
M r l
1.2.3 方向导数
| lim u
l
M0
l 0
u l
u x
dx
u y
dy
u z
dz
1 dl
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z
eˆ xdx
eˆ ydly dl
eˆ zdz
u cos u cos u cos
x
y
z
cos ,cos ,cos 为 l 的方向余弦
M r
M r l
1.2.4 梯度
场在某点处沿不同方 向变化快慢程度（方 向性导数）不同，必 存在变化最快的方向 定义为梯度
l1
l2
l
M
u u u u l2 l1 l
1.2.4 梯度
u l
( u x
ex
u y
ey
u z
ez
)
(
dx dl
ex
dy dl
ey
dz dl
ez )
(
u x
ex
u y
ey
u z
ez
)
el
u l
u n
n l
u n
cos
u n
en
el
u el
P1
dn
P2
dl
P
| u
nˆ
u l
max
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
。