矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。

而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。

通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。

与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。

2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。

3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。

如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。

这一点在几何和力学上都很重要。

4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。

因此单位矢量与其导矢互相垂直。

比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。

（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。

5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''⎰⎰⋅-⋅=⋅A B B A B Adt dt ''⎰⎰⨯+⨯=⨯A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。

6 在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。

同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。

7 矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(p11)、不定积分的基本运算公式(p16)典型例题：教材p6例2、p10 例4、p12例6、p13例7。

习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。

补充：1） 设()k e r b a +=θ1，求()⎰⨯=πθ20'21d r r S 2） 一质点以常角加速度沿圆周()ϕe r a =运动，试证明其加速度 r ω22av -=，其中v 为速度v 的模。

已知矢量k j i A t t t ln 2+-=，k j i B t t e t 3sin -+=，计算积分⎰⋅dt 'B A 。

3） 已知矢量j i A t t 2+=，k j i B t e t t -++=sin cos ，计算积分⎰⨯dt 'B A 。

第二章 场论一 内容概要1 本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。

其中第二部分又为本章之重点。

2 空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量()M u 或矢量()M A 在场中的宏观分布情况而引入的概念。

比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值面的例子；而地形图上的等高线即为平面数量场中等值线的例子。

在矢量场中，矢量线可以体现场矢量的分布状况，又能体现场矢量的走向。

例如流场中的流线，体现了流速的分布状况和它们的走向。

此外，由于矢量场中的每一点都有一条矢量线通过，因此对于场中的任一条曲线C （非矢量线），在其上的每一点也皆有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一曲面，称为矢量面，特别的，当曲线C 为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢量管。

3 有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样的一种几何特点：就是在场中存在一族充满场所在空间的平行平面，场在其中每一个平面上的分布，都是完全相同的（若是矢量场，其场矢量同时也平行于这些平面）。

对于这种场，只要知道场在其中任一平面的中的特性，则场在整个空间里的特性就知道了，因此，可以将这种场简化到这族平面中的任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平行平面场。

在平行平面场中，通常为了研究方便，通常取所研究的这一个平面为xoy 平面。

此时，在平行平面场中，场矢量就可以表示成为平面矢量()()j A i A A y x y x y x ,,+=，在平行平面数量场中，其数量就可以表示成为二元函数()y x u u ,=，并且这样的研究结果适用于任何一块与xoy 面平行的平面。

典型例题：习题2（最好能全部做一下）（1）求数量场()222ln z y x u ++=通过点M (1,2,1)的等值面。

（2）求矢量场()k j i A y x 2+++=通过点M (2,1,1)的矢量线方程。

4 数量场中函数()M u 的方向导数是一个数量。

它表示在场中的一个点处函数()M u 沿某一方向的变化率。

详细点说：其绝对值的大小，表示沿该方向函数变化的快慢程度，其符号的正负，则表示沿该方向函数的变化是增加还是减小的。

若在点M 处，函数()M u 可微，则函数u 沿l 方向的方向导数在迪卡尔坐标下的计算公式为：γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂5 数量场的梯度是一个矢量，场中的每一点都对应着一个梯度矢量。

梯度矢量有两个重要性质：（1）梯度在任一方向上的投影，正好等于函数在该方向上的方向导数，lu u l ∂∂=grad 。

据此可以推出：梯度自身的方向就是方向导数最大的方向，其模就是这个最大方向导数的数值。

（2）数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过该点的等值面，且指向函数值增大的一方。

梯度在直角坐标系中的表达式为：k j i grad zu y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=。

此外，从梯度的基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算的公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度的基本运算(p39)。

典型例题 p34例2，p37例3，例4，p38例5，6，习题3。

（1）求函数xz yz z x u 22322+-+=在点M (1,2,3)处沿矢量k j i αxy xz yz ++=方向的方向导数。

（2）求函数xyz u =在曲面在点M (2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方向导数M nu |∂∂。

（3）求函数223y y x u -=在点M (2,3)处沿曲线12-=x y 朝x 增大一方的方向导数。

（4）设R 是从点()c b a M ,,0到任意一点()z y x M ,,的距离，求证gradR 是在M M 0=R 方向上的单位矢量。

（5）已知一可微的数量场()z y x u ,,在点()1,2,10M 处，朝点()1,2,21M 方向的方向导数是4，朝点()1,3,12M 方向的方向导数为-2，朝点()0,2,13M 方向的方向导数为1，试确定在0M 处的梯度，并求出朝点()7,4,44M 方向的方向导数。

（6）求数量场r u 1=在点()0,0,1M 处沿过点M 的等值面的外法线方向n 的方向导数lu ∂∂，其中r 为矢径k j i r z y x ++=的模。

6矢量场A 穿过某一曲面S 的通量⎰⎰⋅=Φs d S A 是从某些物理量，诸如流速场中的流量、电场中的电通量、磁场中的磁通量以及热流场中的热量等等概念中抽象出来形成的一个数学概念。

因此通量是具有若干物理意义的。

如果S 是一个封闭曲面，则矢量场A 穿出S 的总通量为⎰⎰⋅=ΦSd S A ，（1） 当0>Φ时，则S 内必有产生通量的源头；（2） 当0<Φ时，则S 内必有吸收通量的漏洞；这两种情况，合称为S 内有源（源头为正源，漏洞为负源）。

（3） 当0=Φ时，不能断言S 内无源，因为这时，在S 内正源和负源互相抵消，也可能恰好出现总通量为零的情况。

由此可见，从穿出某个封闭曲面的总通量，可以初步了解在S 内通量产生的情况，当然这仅仅是一种整体性的粗略了解，这由此引出了矢量场中散度的概念。

7 矢量场A 的散度div A ，是指在场中的一点处，矢量场A 穿出一个包含该点在内的微小区域∆Ω的边界曲面S ∆的通量∆Φ对∆Ω的体积变化率，即V d V div S∆⋅=∆∆Φ=⎰⎰∆→∆Ω→∆ΩS A A 00lim lim它是一个数量，表示此矢量场在这个点处散发通量或者吸收通量的强度。

具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。

当其不为零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称为无源场。

与散度相对应的场称为散度场。

由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。

在直角坐标系中，矢量场()()()k j i A M R M Q M P ++=在点M 处的散度表示式为：zR y Q x P div ∂∂+∂∂+∂∂=A 由此可以得出奥氏公式（高斯定理）的矢量形式为：⎰⎰⎰⎰⎰Ω=⋅dV div d S A S A此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封闭曲面S 的通量，等于S 所包围的区域Ω上的散度在上Ω的三重积分。

P52散度的基本运算公式。

典型例题 p44例1，p52例4，例5，习题4。

（1）设S 为由圆柱面222a y x =+及平面0=z 和h z =所围成的封闭曲面，求k j i r z y x ++=穿出S 的柱面部分的通量。

（2）已知()()()k j i A xyz cxz z z xy by x axz 2222-+-++++=，试确定阿a ，b ，c 使得A 是一个无源场。