第一章矢量分析与场论基础题解
第01章 矢量分析和场论基础
cos ϕ e y
− sin ϕ e x
cos ϕ e x ϕ
e ρ cos ϕ sin ϕ 0 e x e = − sin ϕ cos ϕ 0 e ϕ y ez 0 0 1 e z − sin ϕ cos ϕ 0 0 e ρ 0 eϕ 1 e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3.体、面和线微分元 体 体微分元 dV = ρ d ρ dϕ dz
dS ρ = ρ dϕ dze ρ 面微分元 dSϕ = d ρ dz eϕ dS = ρ d ρ dϕ e z z
Z
ez
线微分元 dl = d ρ e ρ + ρ dϕ eϕ + dze z
P( ρ ,θ , ϕ )
er eϕ
θ是位矢 与正 轴之间的夹角， 是位矢r与正 轴之间的夹角， 与正Z轴之间的夹角
θ
in rs
eθ
r sin θ sin ϕ
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位矢量， 构成的平面的单位矢量，并遵循 右手螺旋法则，见图1-3。 右手螺旋法则，见图 。
图1-3 矢量的标积和矢积
矢量的矢积不满足交换律： 矢量的矢积不满足交换律： A × B = −B × A (1-18) 矢积满足分配律和数乘， 矢积满足分配律和数乘，即
ϕ
ez
P( ρ , ϕ , z )
ρ
eϕ
eρ
图1-10 圆柱坐标
0 ≤ ρ < +∞ 取值范围 0 ≤ ϕ ≤ 2π −∞ < z < +∞
z = 常数
(优选)第一矢量分析与场论
2.矢量的运算
(1）加法和减法
➢任意两个矢量 A 与B 相加等于两个矢量对 应分量相加，它们的和仍然为矢量.
➢常用作图的方法来求矢量的加减法。 ➢加减法服从交换律和结合律。 (2) 乘积运算
①标量与矢量的乘积 B kA
②两个矢量的标量积
➢两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量 方向上的投影与另一个矢量模的乘积，结果
B
A
➢两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个
矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线
方向，且三者符合右手螺旋法则。
➢两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
A(B C) A B AC A B B A
A(BC) (A B)C
➢当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
➢在直角坐标系中，两矢量的叉积运算可以用行列式
(2）拉普拉斯(Laplace)算子
属于一阶微分算子,而在场论的研究中还
会用到二阶微分算子,即拉普拉斯算子:
2
1 h1h2h3
u1
( h2h3 h1
)
u1
u2
( h1h3 h2
u2
)
u3
( h1h2 h3
u3
)
显然,它是一个标量算子.
例如在直角坐标系中
2 2 2 2 x2 y2 z2
是个标量。
A• B ABcos
➢两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
A B AxBx Ay By Az Bz
➢两矢量点积满足交换律和分配律。
A B B A
A(B C) A B AC
➢当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
一、 矢量分析与场论基础
根据散度定理，上式左边等于
(C A) ds ( A ds) C C A ds
S S S
于是得
C ( A)dv C A ds
V S
由于上式中常矢C是任意的，故式必成立。
1 .5 方向导数与梯度, 格林定理
1 .5 .1 方向导数与梯度 ; 标量场u(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为u沿该方向的方 向导数 u / l 它的值与所选取的方向 。
4 3 rds rdv 3 dv 3 r 4r 3 S V V 3
1.4 环量与旋度, 斯托克斯定理
1 .4 .1 环量
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或
旋涡量), 记为
A dl
l
图 1 -5 矢量场的环量
1 .4 .2 旋度的定义和运算
即
ˆ x
ˆ y
ˆ z
rot A A x y z Ax Ay Az
旋度运算符合如下规则:
( A B) A B (A) A A ( A B) B A A B ( A) 0 A ( A) A
V
Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量 散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。
例1 .1 球面S上任意点的位置矢量为 r 试利用散度定理计算 ds r
S
ˆ ˆ ˆ ˆ xx yy zz rr,
［解］
x y z r 3 x y z
荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷,
场论典型例题汇编
场论典型例题第一章 矢量分析 例题1、（基本矢量计算）已知两个矢量j i 2+=A ，j i 34+=B ，求（1）B A + （2）B A - （3）B A •（4）B A ⨯ （5）若A 和B 两矢量夹角为α，求αcos 。
解：（1）B A +=)34()2(j i j i +++=j i )32()41(+++=j i 55+ （2）B A -=)34()2(j i j i +-+=j i )32()41(-+-=j i --3 （3）B A •=)34()2(j i j i +•+=)32()41(⨯+⨯=64+=10（4）B A ⨯=)34()2(j i j i +⨯+=0 3 4 0 21 kj i =k 5- （5）根据内积的定义有：B A •=αcos B A ，其中A ，B 为矢量的模。
所以：BΑBA •=αcos 其中B A •在（2）中已经得到B A •=10，而A =5021222=++，B =5034222=++ 因此B ΑB A •=αcos =5510=52说明：此题可以用于掌握矢量运算法则。
例题2、（矢性函数的极限）设t t t cos sin )(B A F += )20(π<≤t ，式中A ，B 为矢量，分别为j i -=A ，j i +=B 。
求下列极限。
（1）)(lim 3/t F t π→ （2）|)(|lim 3/t F t π→解：（1）整理)(t F 。
t j i t j i t t t F cos )(sin )(cos sin )(++-=+=B A=j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++而 3/|)sin (cos π→+t t t =231+ 3/|)sin (cos π→-t t t =231- 所以)(lim 3/t F t π→=i 231++j 231- （2）|)(|t F =|j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++| =22)sin (cos )sin (cos t t t t -++ =2=→|)(|lim 3/t F t π2说明：对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。
第一章 矢量分析
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的 场之间的关系。因此， 中的场， 场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克 上的场，反之亦然。 斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零 当矢量穿出某个闭合面时， 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时， 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞 ）。闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
10
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度 通 量 与 散 度 环 量 与 旋 度 环 量 与 旋 度 无散场与无旋场 格 林 定 理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋 旋度：旋度是一个矢量。 具有最大环量强度的方向， 度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义： 矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
矢量分析与场论(定理一及例题)
而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.
解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足
ur A gradu, 即有
由第一个方程对x积分，得
与 代入
比较，得 得
从而，势函数
v
v
v
v
例3. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
代入公式
v
v
v
v
例4. 若 A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 为保守场，
则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
得
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解：由
2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
y
z
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y zdu即表来自式ur Ar dl
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析在这门课程中，我们几乎从头到尾和场打交道。
实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场，等等。
那么到底什么是场呢？从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
例如温度场就由T 描述，只要知道了场中各点T 的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，例如本书中讨论的电磁场，电场强度E 是描述电场的物理量之一，人们不仅需要知道它的数值大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。
在电磁场和电磁波的学习中，我们始终要用到矢量运算，因此掌握矢量分析是十分必要的。
§1.1 矢量的概念1.1.1 标量在电磁场中遇到的特征量可区分为标量和矢量两类。
一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。
如电荷、电位和能量等。
这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整地描述。
电荷0.5库伦（C ），电位220伏特（V ）等都是标量的例子。
1.1.2 矢量一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。
力、速度、力矩、电场强度和加速度都是矢量。
一个矢量常用一个带箭头的线段来图示，其长度按适当比例表示它的大小，方向则用箭头指示，如图 1.1(a)所示。
其中，R 代表一个从O 点指向P 点的矢量。
图1.1(b)表示几个平行矢量有同样的大小和方向，它们都代表同一个矢量。
一个大小为零的矢量称为空矢或零矢。
一个大小为1的矢量称为单位矢量。
一个矢量A 可以表示为A Aa = (1.1)其中A 是A的大小，称为模，由式(1.2)表示||A A = (1.2)a 是A 的单位矢量，即方向与A 的方向相同，大小为1的矢量，由式(1.3)表示||A a A =(1.3)§1.2 矢量运算1.2.1 矢量加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。
第01讲 矢量分析与场论(1)
第一章矢量分析与场论（1）1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、……在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的分布和变化规律。
为此，在数学上引入了场的概念。
如果在某一空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此空间里确定了该物理量的一个场。
如教室中每一点都对应一个确定的温度，教室中确立一个温度场。
地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。
•从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
比如：T是温度场中的物理量，T 就是温度场•从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
场的分类：●按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。
温度场、密度场等是数量场矢量场：描述场的物理量是矢量。
力场、速度场等为矢量场。
●按场量与时间的关系分：静态场：场量不随时间发生变化的场。
动态场：场量随时间的变化而变化的场。
动态场也称为时变场。
数量场的等值面一般地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x，y，z的函数，即：),,(z y xuu就是说，一个数量场可以用一个数性函数来表示。
场存在的空间即为其定义域。
此后，我们总假定这个函数单值、连续且一阶可导。
在数量场中，使函数u 取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。
如温度场的等温面，电场的等位面等。
显然，数量场的等值面方程为：c z y x u =),,(（常数）给定不同的常数c ，就得到不同的等值面。
如图，c 取遍所有可能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相2c =1c u =3c =交。
因为数量场中的每一点),,(0000z y x M 都有一个等值面),,(),,(000z y x u z y x u =通过，而且由于函数u 为单值，故一个点只能在一个等值面上。
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第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1413211cos 222=++=α，1423212cos 222=++=β，1433213cos 222=++=γ； 又有5=+=∂∂MMzy xu ，4=+=∂∂MMzx yu ，3=+=∂∂MMxy zu据方向导数的定义，可得142214332415cos cos cos 0=⨯+⨯+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-7 设有标量场u xy z=-22，求u 在点(.,.,2010 1.0)-处沿该点至(.,.,3010 -1.0)方向的方向导数。
在点(.,., 1.0)2010-沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？解 点(.,.,2010 1.0)-至点(.,.,3010 -1.0)的方向余弦为()()()3111112323c o s 222=--+++--=α，()()()3211112311cos 222=--+++-+=β，()()()3211112311cos 222-=--+++---=γ；又有220-==∂∂MMyxu ，420==∂∂MMxyu ，220-=-=∂∂MMzzu据方向导数的定义，可得3103222412cos cos cos 0=⨯+⨯+⨯-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿z y x e e e G242-+-=方向导数达最大值，()()6224242222==-++-=G1-8 求下列标量场的∇u1）u xy =2；2）u x y =+22；3）u y x =e sin ；4）u x y z=234； 5）ux yz=-+323222解 据 zy x z u yu xu u e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇，可得1） y x x y u e e 22+=∇ 2） yx y x u e e 22+=∇3） yxx xy e y e u e e cos sin +=∇4） z y x z y x z y x z xy u e e e 33242243432++=∇5） zy x z y x u e e e 646+-=∇1-9 求标量场u xyzx x y=-+222在点(.,., -2.0)-1030处的梯度。
解()()zyx x y z xxzxy yzu e ee 222222++++-=∇，则所求梯度为()()zy x z y x Mue e e e e e 1234121462120+-=++-+--=∇1-10 求标量场223),(yxy x u +=具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足x y 221+=。
（提示：最大的方向导数就是在点(,)x y 处的梯度，模最大，且满足x y 221+=，即求条件极值。
）解yx y x y x yu xu u e e e e 26+=∂∂+∂∂=∇，22436yxu+=∇，将21xy-±=代入，可得()43214362222+=-+=∇x xx u ，即 []43222+=∇x u ，当1±=x、0=y 时，有6max±=∇u，即点()0,1-和()0,1为满足条件的点，又()x ue 60,1-=∇-，()xue 60,1=∇，即最大方向导数的方向分别为xe ±1-11 设re e e r =++x y z r nx y z , =, 为正整数，1）求∇∇∇r r f r n 2,,(),2）证明∇=∙（a r a a),(是常矢量）解 1）()()re e e 22222222=++=++∇=∇z y xz y x zyxr()()()()zy xnn nz y x z y x n zy x re e e2222122222222++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∇=∇-rnrrnrn n r r 2122-⎪⎭⎫⎝⎛-==()()()()rr f r r f r r f r f r r '='=∇'=∇-12） 证明 设zz y y x x a a a e e e a ++=，则 za y a x a z y x ++=⋅r a ，因此，可得 ()()zz y y x x z y x a a a z a y a x a e e e r a ++=++∇=⋅∇，证毕。
1-12 设S 为上半球面x y z a 2222++=≥ (z 0),其法向单位矢量e n 与z 轴的夹角为锐角，求矢量场r e e e =++x y z x y z 沿e n 所指的方向穿过S 的通量。
（提示：注意r 与e n 同向）解 将r e e e =++x y z x y z 用球坐标表示，则在S 面上有na e r=，因此，可得3222d aaa sππ=⨯=⋅⎰s r1-13 求均匀矢量场A 通过半径为R 的半球面的通量。
（如图1-1所示）解 设半球面的方程为x y z a 2222++=≥ (z 0),则矢量A 通过S 面的通量等于矢量A 通过S 面在0=z 的平面上的投影的通量，因此，2d R A sπ=⋅⎰s A1-14 计算曲面积分yx x z x z yz yz y xy xSd d )12(d d )2(d d )2(22+-+-+-=Φ⎰⎰,其中S 是球心在原点，半径为a 的球面外侧。
解 设z y x x z yz y xy x e e e A )12()2()2(22+-+-+-=，根据散度定理，可得()()32234d 1222222d d d d )12(d d )2(d d )2(avx z z y y x v y x x z x z yz yz y xy xvvsSπ=+-+-+-=⋅∇=⋅=+-+-+-=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A sA1-15 求矢量场A 从内穿出所给闭曲面S 的通量： 1）A e e e =++x y z x y z 333，S 为球面x y z a2222++= 2）Ae e e =-++-++-+（x y z y z x z x y x y z )()()，S 为椭球面x ay bz c2222221++=解 1） 根据散度定理，可得()()522222512d 43d 333d d ar r r v zyxvavvsππ=⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A2） ()()abcabc vvvvsππ4343d 111d d =⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A1-16 求下列空间矢量场的散度： 1）A e e e =-+-+-()()()2332z y x z y x x y z2）A e e e =-+++-()()()3232322xyz y yz xyz xz x y z解 1）=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z A y A x A z y x A2） xzxy zy x zA yA xA z y x 63622-+++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A1-17 求div A 在给定点处的值：1）A e e e =++x y z x y z 333在M （1.0，0.0，-1.0)处； 2）A e e e =-+422x xy z x y z,在M （1.0，1.0，3.0）处；3）A r r e e e ==++xyz x y z x y z ()在M （1.0，3.0，2.0）处。
解 1）222333zy xz A y A x A z y x ++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则633=+=⋅∇MA2）zx z A y A x A z y x 224+-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则8624=+-=⋅∇MA3）()[]xyzxyz xyz xyz z y x xyz zA yA xA z y x z y x 6222=++=++⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇e e e A ，则362316=⨯⨯⨯=⋅∇M A1-18 求标量场u x y z =342的梯度场的散度。
解zy x z y x z y x z y x z y x zu yu xu u e e e e e e 43233242243++=∂∂+∂∂+∂∂=∇()222222243223246322126y x z x z y xy y x z y x z xy u ++=++=∇⋅∇1-19 已知液体的流速场V e e e =++3523x xy xyz x y z ，问点M （1.0，2.0，3.0）是否为源点？ 解 2356x y z x x ++=⋅∇v ，由于065≠=∇M v ，所以M 是源点。