第一章矢量分析与场论

( P 1 ) ( P) l l
的极限存在，则称此极限为函数
在P
点沿 方向的方向导数。 d (P 1 ) ( P) |P lim l 0 dl l
方向导数 是函数 方向对距离的变化率. 沿l方向增大; 沿l方向减小 在直角坐标系中， 设函数 P(x,y,z)处可微，则有
两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
A (B C) A B A C A B B A A (B C) ( A B) C
当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算可以用行列式 表示。
④三个矢量的乘积
标量，标量三重积。 混合积
A ( B C ) C ( A B ) B (C A)
矢量，矢量三重积。
注意：先后轮换次序。
在矢量运算中,先算叉积,后算点积。

矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
= 0 (无源)
3.矢量场的散度
设有矢量场F， 在场中任一点P处作一 个包含P点在内的任一闭合曲面S，设S 所限定的体积为ΔV， 当体积ΔV以任 意方式缩向P点时， 取下列极限: F dS
V 0
lim

S
V
如果上式的极限存在， 则称此极限为 矢量场A在点P处的散度（Divergence）， 记作：
Biblioteka 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等 式，以供参考。
3.两个算子
(1）哈米尔顿（Hamilton）算子
为了方便， 我们引入一个矢性微分算子， 在直角坐标系中有：
称之为哈米尔顿算子,记为 ,读作del.它是 一个微分符号， 同时又要当作矢量看待。
(2）拉普拉斯(Laplace)算子
属于一阶微分算子,而在场论的研究中还 会用到二阶微分算子,即拉普拉斯算子:
散度代表矢量场的通量源的分布特性
• F= 0 (无源）
• F= 0 (正源)
• F= 0 (负源)
4. 散度定理
由于 体积的闭合面的通量，对 出闭合面S的通量，即：
是通量体密度，即穿过包围单位
体积分后，为穿
•高斯散度定理
理解： 矢量函数的面积分与体积分的互换。
该公式表明了区域V 中场F与边界S 上的场F之间的关系。
divF lim

S V 0
F dS
V
在直角坐标系中， 散度的表达式为
F F F divF x y z F x y z
理解：
矢量的散度是一个标量，它表示从单位体积 内散发出的通量（通量密度）；
它表示场中一点处通量对体积的变化率，也 就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的 通量，称为该点处源的强度；
标量场φ (x,y,z)的等值面方程为：
φ(x, y, z)=C, C为任意常数
在几何上一般表示一个曲面，在这个曲面 上的各点，虽然坐标(x,y,z)不同，但函数值相 等，称此曲面为标量场φ的等值面。随着C的 取值不同，得到一系列不同的等值面。
2.方向导数
设P为标量场 中的一点， 设在某 一时刻，在该场中取相邻的两个等值面，函 数值分别为 和 。由等值面 上的P点 出发，引出一条射线 ，到达等值面 上的P1点，记为 ，如果当 时
在P处沿
P2
dn dl
P
P 1
0
0 d
在
d cos cos cos dl x y z
式中， cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
3.标量场的梯度 （1）定义
标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导 数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。
2.矢量的运算
(1）加法和减法
任意两个矢量 与 相加等于两个矢量对 应分量相加，它们的和仍然为矢量. 加减法服从交换律和结合律。 (2) 乘积运算
①标量与矢量的乘积
常用作图的方法来求矢量的加减法。
②两个矢量的标量积
两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量 方向上的投影与另一个矢量模的乘积，结果 是个标量。
四、矢量场的散度
1.矢量场的矢量线
对于矢量场F(x,y,z)，可以用一些有向曲 线来形象的表示F在空间的分布，称为矢量 线(Ｖector Line)。 A (r) 在曲线上的每一点处， 场矢量都位于该点处的 切线上（如图示）。 像 静电场的电力线、磁场的 磁力线、流速场中的流线 等， 都是矢量线的例子。
dS R sin dRd a dS RdRd a
③体积元
dv R 2 sin dRdd
2.矢量在不同坐标系之间的变换 圆柱坐标系
（1）基本变量之间的转换
直角坐标系
（2）矢量函数之间的转换 设矢量
在直角坐标系中可表示为：
而其在圆柱坐标系中可表示为：
下面我们要做的工作就是推导出同一 矢量在两种不同坐标系下的转换关系。
cos Ax sin Ay Az 0
或
Ax sin cos Ay sin sin Az cos cos cos cos sin sin
显然,它是一个标量算子.
二、矢量微分元
1.常用坐标系 （1）直角坐标系
基本变量 单位矢量 位置矢量 坐标面

三个平面
ˆ dya ˆ dza ˆ 微分元 ①线元 dl dxa x z y ˆ x dS y dxdza ˆ y dS z dxdya ˆz ②面元 dS x dydza ③体积元 dV dxdydz
五、矢量场的旋度
1.环量
设有矢量场F， l为场中的 一条封闭的有向曲线，定义 矢量场F环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的环量 （Circulation）， 记作:
环量表示矢量绕线旋转趋势的大小。
注意: 方向 的确定.
理解：
环量是一标量，其大小不仅与闭合曲线 的大小有关，还取决于该曲线相对于矢 量的取向。
已知：
由图可知：
y
x
所以得 或
球坐标系
（1）基本变量之间的转换
直角坐标系
（2）矢量函数之间的转换
AR sin cos A cos cos sin A
sin sin cos sin cos
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一 样， 都是描绘矢量场F性质的重要物理量. 若矢量穿过封闭曲面的通量不为0，则表 示该封闭曲面内存在通量源；同样，若 矢量沿封闭曲线的环量不为0，则表示该 封闭曲线内存在另一种源—漩涡源。
2.旋度
设P为矢量场中的任一点， 作一个包含P点的微小面元ΔS， 其周界为l，它的正向与面元 ΔS的法向矢量n成右手螺旋关 系(如图所示)。
因此矢量场F穿过整个曲面S的通量为：

S
F dS


S
F cos dS
如果S是一个闭曲面， 则通过闭合曲面 的总通量可表示为：

S
F dS
净通量=流出-流入
若S 为闭合曲面，可以根据净通量的 大小判断闭合面中源的性质:
> 0 (有正源)
< 0 (有负源)
两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
两矢量点积满足交换律和分配律。
A B B A
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
B

A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。
（2）圆柱坐标系
基本变量 r是位置矢量R在xoy面上的 投影. φ是从+x轴到r的夹角.
z是R在z轴上的投影.
位置矢量
单位矢量
分别指向：r、φ和z增加的方向。 应该指出:圆柱坐标系中的三 个单位矢量除 外， 和 都 不是常矢量，它们的方向随P点 的位置不同而变化，但三者始终 保持正交关系，并遵循右手螺旋 法则.
坐标面
表示一个以z轴作轴线的半径 为r的圆柱面。
表示一个以z轴为界的半平面.
z=常数
表示一个平行于xoy平面的平面。
如同直角坐标系一样,圆柱坐标系也具有 三个相互垂直的坐标面.但是它们不再都是 平面.
微分元 ①线元
dl drar rd a dzaz
②面元 dS r rd dzar dS drdza dS z rd dra z ③体积元
矢量分析与场论
矢量的概念及运算 矢量微分元 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度
一、矢量的概念及运算
1.概念
常矢量: 模和方向保持不变 的矢量. 如重力 空/零矢量:大小为零, 方向任意. 单位矢量:大小为1. 位置矢量: 从原点指向点 P的矢量 . 标量(Scalar）
矢量(Vector)
逆矢量： 通常，矢量 称为矢量 的逆矢量。 两者大小相等，方向相反。
P2
d ˆn grad a dn
P 1 dn dl
P
0
0 d
理解
标量场的梯度是一个矢量,其大小是方向 导数的最大值，即φ的最大空间变化率。
标量函数φ在P点沿 的方向导数等于 梯度在该方向上的投影; 直角坐标系中梯度的表达式为：
grad ax ay az x y z
o
x 的方向垂直于上述平面， 增大的方向。