复化抛物线积分报告
复化抛物线积分公式
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。
当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来提高数值积代数精度是不可取的。
因此，提出类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似值，这个就是复化数值积分的思想。
本实验针对在每个小区间上利用抛物线积分公式，即阶数为2，进行实验。
关键词：龙格现象复化数值积分代数精度复化抛物线积分公式1、实验目的1)通过本次实验体会并学习复化抛物线积分公式的优点。
2)通过对复化抛物线积分公式进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程已知定积分的抛物线积分公式及其误差为{∫f(x)dxba≈b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)] R2[f]=−(b−a)52880f4(η),η∈(a,b)根据数学知识，我们知道积分区间可划分，且不改变积分值，即如下所示：∫f(x)dx= ba ∑∫f(x)dxx ix i−1ni=1针对上式，在每一个小区间上利用抛物线积分公式有∫f(x)dx x ix i−1≈ℎ6[f(x k−1)+4f(xk−12)+f(x k)]−ℎ52880f4(ℰk)得到∫f(x)dx ba =∑∫f(x)dxx kx k−1nk=1=∑ℎ[f(x k−1)+4f(xk−12)+f(x k)]−ℎ5∑f4(ℰk)nk=1n k=1其中x k−1/2=12(x k−1+x k)=a+(k−12)ℎ,令S n =∑ℎ[f (x k−1)+f (x k )+f(x k−1/2)]nk=1 =ℎ[f (a )+4∑f (x k−12)+2∑f (x k )n−1k=1+f(b)n k=1] 当S n 作为积分的近似值时，其误差为R n [f ]=−(b −a )52880f 4(ℰk ) =−(b −a )ℎ42880f (4)(ℰ1)+f (4)(ℰ2)+?+f (4)(ℰn )n 若f(x)∈C 4[a,b ],则由介值定理推得R n [f ]=−(b −a )4f 4(η),η∈(a,b ) 设M 4=|f 4(x )|a≤x≤b max ,得到误差限 |R n [f ]|=(b −a )ℎ42880|f 4(η)|≤(b −a )ℎ42880M 4=(b −a )52880n 4M 4由上式可以进行计算精度控制。
实验报告书
拟合多项式原理：假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。
由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。
我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)四、实验内容 (列出实验的实施方案、步骤、数据准备、算法流程图以及可能用到的实验设备（硬件和软件）。
) 实验步骤：),(i i y x Φ)(m n n ≤Φ∈=∑=n k k k n x a x p 0)([]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I )(x p n n a a a Λ,,10),,(10n a a a I I Λ=n j x y x a a Im i j i nk i k i k j ,,1,0,0)(200Λ==-=∂∂∑∑==nj y x a xn k mi i j i k mi k j i,,1,0,)(0Λ==∑∑∑===+na a a Λ,,10⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n mi n i m i n i m i n i mi n i m i i m i imi n i m i i y x y x y a a a x x x x x x x x m 000100201001020001M M ΛM M M ΛΛk a∑==nk kk n x a x p 0)()(x p n )(x p n []∑=-mi i i ny x p2)()(x p n ∑∑∑===-=mi nk mi i k i k iy x a y r222)(。
曲线坐标计算万能公式
曲线坐标计算通用公式（复化Simpson 公式）推导一、已知条件1、线元起点坐标：(),A A A x y2、线元起点切线方位角：A α3、线元起点里程：A K4、线元终点里程：B K 5、线元起点曲率半径：A ρ 6、线元终点曲率半径：B ρ二、求解问题求线元上任意点的坐标：(),C x y 。
即推导曲线坐标计算通用公式。
三、图示：如右上图（图中未示y ∆值） 四、坐标计算公式线元上任意点C 的坐标计算公式为：A x x x =+∆————① A y y y =+∆————②由上式可知，关键问题是求出x ∆、y ∆。
五、x ∆计算若AC 是直线，直接采用公式cos x l α∆=可求出x ∆（其中l 为A 、C 两点间直线距离，α为AC 直线方位角），但是，A 、C 两点间是任意曲线相连,不能直接用上述公式计算x ∆,需利用微积分原理计算。
1、曲线AB 上任意一点的曲率ρ计算采用内插法得：()B AA AB Ak k k k ρρρρ-=+--————③其中：k ——曲线AB 上任意一点的里程。
2、曲线AB 上任意一点的切线方位角α计算如右图：C 是曲线AB 上任意一点，AT 、TC 是A 、C 两点的切线，利用圆曲线求弧长公式得：()90A A k k A R π-=()90A k k Rδβπ-==其中：k ——曲线上任意点里程。
R ——曲线上任意点的曲率半径。
（通过公式③求得，1R ρ=）()()1190A A A R R k k ααπ=++-()()90A A A k k αρρπ=++-————④ 使用公式③、④时的符号规定：线元右偏：A ρ、B ρ均为“+”（即线元起终点曲率半径输正值）。
线元左偏：A ρ、B ρ均为“—”（即线元起终点曲率半径输负值）。
3、x ∆计算根据公式③、④可推知，()cos y k α=⎡⎤⎣⎦是里程间隔[],A C k k 上k 的一个连续函数，计算A 、C 两点的坐标增量x ∆，也就是求在里程段[],A C k k 内，x 坐标的改变量。
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
编程实现数值积分的几种--方法 c语言
编程实现数值积分的几种--方法c语言数值计算2010-11-05 09:52:43 阅读385 评论1 字号：大中小订阅复化梯形公式在区间不大时, 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分是简单实用的, 但当区间较大时, 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分达不到精确度要求 . 为了提高计算的精确度，我们将[a,b] 区间n等分，在每个小区间上应用梯形公式、辛卜生公式计算定积分，然后将其结果相加，这样就得到了复化梯形公式和复化辛卜生公式。
1. 复化梯形公式将积分区间等分, 设, 则节点为对每个小区间上应用梯形公式, 然后将其结果相加，则得(3.14)称(3.14) 式为复化梯形公式 .当在[a,b] 上有连续的二阶导数时，则复化梯形公式(3.14) 的余项推导如下：因为所以在区间[a,b] 上公式(3.14) 的误差为又因为在区间[a,b] 上连续，由连续函数的性质知，在区间[a,b] 上存在一点，于是（ 3.15 ）复化梯形公式，复化抛物线公式和Romberg求积法的算法程序：以下程序均定义误差限为1*10^-5;1)复化梯形公式：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-5#define a 0 //积分下限a#define b 1 //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x))) //被积函数f(x)int main(){int i,n;double h,t0,t,g;n=1; //赋初值h=(double)(b-a)/2;t=h*(f(a)+f(b));do{t0=t;g=0;for (i=1;i<=n;i++)g+=f((a+(2*i-1)*h));t=(t0/2)+(h*g); //复化梯形公式n*=2;h/=2;}while (fabs(t-t0)>e); //自定义误差限e printf("%.8lf",t); //输出积分的近似值return 0;}2)复化抛物线公式：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-5#define a 0 //积分下限a#define b 1 //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x))) //被积函数f(x)int main(){int i,n;double f1,f2,f3,h,s0,s;f1=f(a)+f(b); //赋初值f2=f(((double)(b+a)/2));f3=0;s=((double)(b-a)/6)*(f1+4*f2);n=2;h=(double)(b-a)/4;do //复化抛物线算法{f2+=f3;s0=s;f3=0;for (i=1;i<=n;i++)f3+=f((a+(2*i-1)*h));s=(h/3)*(f1+2*f2+4*f3);n*=2;h/=2;}while (fabs(s-s0)>e); //自定义误差限printf("%.8lf",s);return 0;}3)Romberg求积法：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-5#define a 0 //积分下限a#define b 1 //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x))) //被积函数f(x)double t[100][100];int main(){int n,k,i,m;double h,g,p;h=(double)(b-a)/2;t[0][0]=h*(f(a)+f(b));k=1;n=1;do //Romberg算法{g=0;for (i=1;i<=n;i++)g+=f((a+((2*i-1)*h)));t[k][0]=(t[k-1][0]/2)+(h*g);for (m=1;m<=k;m++){p=pow(4,(double)(m));t[k-m][m]=(p*t[k-m+1][m-1]-t[k-m][m-1])/(p-1);}m-=1;h/=2;n*=2;k+=1;}while (fabs(t[0][m]-t[0][m-1])>e); //自定义误差限eprintf("%.8lf",t[0][m]);return 0;}给定精度，定义误差限为1*10^-5，分别求出步长的先验估计值：用复化梯形公式计算，要求h<0. 007746。
复化梯形公式和复化抛物线公式 -回复
复化梯形公式和复化抛物线公式是数值积分中常用的近似计算方法，用于估计函数在给定区间上的定积分值。
1. 复化梯形公式（Composite Trapezoidal Rule）：复化梯形公式通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上应用梯形公式进行计算。
具体步骤如下：- 将积分区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
- 对于每个小区间，计算函数在两个端点的值，然后将这两个值与小区间宽度相乘并除以2，得到该小区间的梯形面积。
- 将所有小区间的梯形面积相加，即可得到近似的定积分值。
复化梯形公式的公式表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b)]2. 复化抛物线公式（Composite Simpson's Rule）：复化抛物线公式通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上应用抛物线公式进行计算。
具体步骤如下：- 将积分区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
- 对于每个小区间，计算函数在三个节点（起点、终点和中点）处的值，然后将这三个值与小区间宽度相乘并按照一定的权重进行组合，得到该小区间的抛物线面积。
- 将所有小区间的抛物线面积相加，即可得到近似的定积分值。
复化抛物线公式的公式表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ h/3 * [f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b)]需要注意的是，选择合适的n值对于准确估计积分值非常重要。
一般情况下，增加n的值可以提高计算精度，但也会增加计算的复杂性和时间成本。
因此，在实际应用中需要根据需求进行权衡和选择合适的n值。
复化辛普森公式实验报告
复化辛普森公式实验报告
复化辛普森公式是数值积分中一种常用的方法，用于计算定积分的近似值。
在实验报告中，通常会包括以下内容：
1. 引言，介绍复化辛普森公式的背景和意义，说明为什么要进行这个实验以及实验的目的和意义。
2. 理论基础，详细介绍复化辛普森公式的原理和推导过程，包括如何将定积分转化为复化求和的形式，以及辛普森公式的误差估计等内容。
3. 实验设计，描述实验的具体步骤和方法，包括选择的函数、积分区间的确定、分割数的选择等。
4. 实验结果，给出实验所得的数值结果，包括原函数的近似积分值以及相应的误差估计。
5. 讨论与分析，对实验结果进行分析，比较实验结果与精确值的差异，讨论误差的来源和可能的改进方法。
6. 结论，总结实验的结果，总结实验的主要发现和得出的结论，提出可能的改进方向和未来的研究方向。
以上是一份完整的复化辛普森公式实验报告的一般结构，您可
以根据实际情况适当调整和完善。
chap4第2节 复化求积公式
1
1 4 4 4 2 2 2 1 4 6 1 1 9 9
3.1230
4 )3
而梯形公式的结果为
1 x
0
1
4
2
dx
1 0 2
(
4
1 0 11
例 4.4 用复化梯形公式计算积分 I 0 e dx ，应将区间 [0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 1 10 4
2
dx
0
1 3
2 3
1
0
解：四点复化梯形公式就是将区间[0，1]三等分，如图， 于是
n 1 h I dx f (a ) f (b) 2 f ( xk ) 2 0 1 x 2 k 1 1 1 1 2 f ( 0) f (1) 2 f 2 f 2 3 3 3
这时，做近似计算用：
n n 1 h S n f (a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b) k 6 k 1 k 1 2
做误差限估计用：
Rn [ f ]
(b a ) 2880n
5 4
M4
四点公式(n=3)的节点如： a
x1
2
n
由介值定理，若
Rn [ f ] h
5 n
f(x)∈C4[a, b] ,
f
( 4)
则有
4
2880
k 1
( k )
( b a )h 2880
f
( 4)
( ), (a , b)
设
M 4 max f
a x b
4
x 有估计式
(4)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复化抛物线积分公式
实验的目的及意义：
前边考虑到数值计算的稳定性，用增大n 的方法来提高数值积分代数精度的方法是不可取的。
类似于分段差值，为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采取低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分。
将区间[a,b]n 等分，取等距节点
n a b h n i ih a x i -==+=,,...,2,1,0,
由定积分的区间可加性，有
()()dx
x f dx x f b a n
i x x i i ⎰∑⎰=-=11
在每一个小区间上采用simpson 积分公式有 ()()()[]i i x x x f x f h dx x f i
i +≈
-⎰-112 一般记
()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b f b a f a f a b S n 246称做n+1点复化simpson 积分公
式。
数学公式：
()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≈⎰b f b a f a f a b x f b
a 246
算法描述：
Step1:输入a,b 和正整数n ；
Step2:置h=(b-a)/2n;
Step3:F0=f(a)+f(b);F1=0;F2=0;
Step4:对j=1,2,…,2n-1循环执行步5至步6；
Step5:置x=a+jh;
Step6:如果j是偶数，则F2=F2+f(x);否则F1=F1+f(x); Step7:置S=h(F0+2F2+4F1)/3;
Step7:输出S;
程序原代码如下：
#include "stdio.h"
double f(double x)
{
double l;
l=4/(1+x*x);
return l;
}
void main()
{
int n,j;
double a,b,h,F0,F1,F2,x,S;
printf("请输入端点值a和b:");
scanf("%lf%lf",&a,&b);
printf("请输入n:");
scanf("%d",&n);
h=(b-a)/(2*n);
F0=f(a)+f(b);
F1=0;
F2=0;
for(j=1;j<2*n-1;j++)
{
x=a+j*h;
if(j%2==0)
F2=F2+f(x);
else
F1=F1+f(x);
}
S=h*(F0+2*F2+4*F1)/3;
printf("S=%lf\n",S); }
数值计算:
计算π；
请输入端点值a和b:0 1
请输入n:100
S=3.141593
Press any key to continue
对计算结果进行评价分析：
其误差可以由
[]()()()()b a
f
a
b
f
R,
,
2880
4
5
2
∈
-
-
=η
η
求出。
此式说明复化
simpson公式是收敛的。
参考文献：
秦新强，数值逼近，西安：西安理工大学，2010。