几种数值积分算法的误差分析
常微分方程数值解法的误差分析汇总
淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号 20091101070指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。
许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。
因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。
数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。
随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。
关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差Error Analysis of Numerical Method for Solving theOrdinary Differential EquationLi Na(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractIn nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error目录引言 (1)一、常微分方程 (1)1、定义 (1)2、常微分方程初值问题描述 (2)3、数值解法的基本思想与途径 (2)4、数值解的分类 (3)5、问题(1)解的存在惟一性定理 (4)二、几种常用的数值解法及其误差分析 (4)1、单步法 (4)(一)、欧拉法 (5)(二)、向后EuIer方法 (6)(三)、- 法 (7)(四)、改进欧拉法 (7)(五)Runge—Kutta方法 (9)2、线性多步法 (14)总结 (16)参考文献: (17)引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
几种常用数值积分方法的比较
几种常用数值积分方法的比较数值积分是一种计算数学中定积分的方法。
常用的数值积分方法有梯形法、辛普森法和复合梯形法。
这些方法在实际计算中具有不同的优点和适用范围。
梯形法是最简单的数值积分方法之一、它基于求取定积分的梯形面积近似值。
梯形法将积分区间等分为若干个小区间，然后计算每个小区间的梯形面积，并将这些梯形面积相加得到最终的近似值。
梯形法的优点是简单易懂，计算速度较快。
然而，它的精度相对较低，特别是在非平滑函数的情况下。
辛普森法是一种更精确的数值积分方法，它基于使用二次多项式逼近函数曲线。
辛普森法将积分区间等分为若干个小区间，然后对每个小区间内的函数曲线进行三次插值，计算出每个小区间的积分值，并将这些积分值相加得到最终的近似值。
辛普森法的优点是比梯形法更精确，对于平滑函数的近似效果较好。
然而，在处理非平滑函数时，辛普森法的效果可能不如预期。
复合梯形法是对梯形法的改进和扩展。
它将积分区间分为若干个小区间，并在每个小区间内使用梯形法进行积分计算。
然后将这些小区间的积分值相加得到最终的近似值。
复合梯形法的优点是可以通过增加小区间的数量来提高精度。
它在实际计算中被广泛使用，特别是对于非平滑函数的积分计算。
在比较这些常用的数值积分方法时，有几个关键的因素需要考虑。
首先是计算精度，即方法的近似值与实际值的误差大小。
其次是计算复杂度，即使用方法计算积分所需的计算量和时间。
另外，还要考虑方法的适用范围，如对于平滑函数和非平滑函数的效果。
此外，与其他数值方法相比，这些方法的优点和局限性也需要考虑。
综合来看，梯形法是最简单且计算速度较快的数值积分方法，但精度相对较低。
辛普森法在平滑函数的近似计算中效果较好，但对非平滑函数的处理可能不理想。
复合梯形法是一种在实际计算中广泛使用的方法，可以通过增加小区间的数量来提高精度。
根据具体的计算要求和函数特性，可以选择适合的数值积分方法。
同时，还可以根据实际需要结合其他数值方法进行计算，以提高精度和效率。
数值分析中的梯形法误差控制技巧
数值分析中的梯形法误差控制技巧数值分析是数学的一个重要分支，它研究如何用数值方法解决各种数学问题。
在数值分析中，梯形法是一种常用的数值积分方法，用于近似计算定积分。
然而，在使用梯形法进行数值计算时，误差控制是一个至关重要的问题。
本文将介绍数值分析中的梯形法误差控制技巧。
梯形法是通过将被积函数的区间划分为若干小区间，并在每个小区间内，用一个梯形来近似替代被积函数，从而计算定积分的近似值。
梯形法的基本思想是将被积函数在每个小区间上进行线性插值，然后计算这些梯形的面积之和。
通过增加小区间的数量，我们可以提高梯形法的精度。
然而，梯形法并不是一种高精度的数值积分方法，因为它无法完全消除由于线性插值所引入的误差。
为了控制梯形法的误差，我们可以采取以下几种技巧。
1. 增加划分区间的数量：通过增加小区间的数量，我们可以使线性插值更加接近被积函数的曲线，从而减小误差。
但是，过多的划分会增加计算的复杂性，因此需要在精度和计算效率之间进行权衡。
2. 自适应划分区间：在梯形法中，我们可以通过自适应划分区间的方式来提高精度。
这种方法一般是根据被积函数在不同区间的变化情况来自动调整划分的密度。
在变化较大的区间增加划分密度，可以更好地逼近被积函数，从而减小误差。
3. 多次应用梯形法：另一种减小误差的方法是多次应用梯形法。
我们可以将整个积分区间分成若干个子区间，并在每个子区间上应用梯形法进行积分。
然后将这些子区间的积分结果相加得到最终的近似积分值。
这种方法可以通过增加划分密度来减小误差，同时又不会增加整体计算的复杂性。
4. 改进的梯形法：除了传统的梯形法，还有一些改进的梯形法可以用于误差控制。
例如，辛普森规则是一种基于三次插值的梯形法改进方法，它可以进一步提高梯形法的精度。
总之，梯形法作为数值分析中常用的数值积分方法，能够在很多情况下给出较好的近似结果。
然而，对于精确解非常敏感的问题，误差控制是非常重要的。
通过增加划分区间的数量、自适应划分区间、多次应用梯形法和改进的梯形法等技巧，我们可以有效控制梯形法的误差，提高其计算结果的精度。
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析中的梯形法误差估计技巧
数值分析中的梯形法误差估计技巧数值分析是一门研究利用计算方法处理数学问题的学科。
在数值分析中，梯形法是一种常用的数值积分方法，用于计算定积分的近似值。
然而，使用梯形法进行数值积分时，误差的估计是非常重要的。
本文将详细介绍数值分析中的梯形法以及误差估计技巧。
梯形法是一种基于积分的数值逼近方法，它将曲线下的面积近似为由梯形的面积组成的和。
对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，我们可以将该区间等分为n个小区间，宽度为h=(b-a)/n。
梯形法将每个小区间内的曲线近似为一条直线段，然后计算这些直线段所构成的梯形的面积，并将它们相加，得到整个区间上的面积近似值。
下面我们来具体介绍使用梯形法进行数值积分的步骤。
假设我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，即∫[a, b]f(x)dx。
首先，我们将区间[a, b]等分为n个小区间，计算每个小区间的宽度h=(b-a)/n。
然后，利用梯形法的思想，将每个小区间内的曲线近似为一条直线，从而得到这些梯形的面积。
最后，将这些梯形的面积相加，得到整个区间上的面积近似值。
然而，使用梯形法进行数值积分会引入误差。
为了准确估计误差，我们需要了解梯形法的误差估计技巧。
梯形法的误差估计公式为E = -h^2/12 * f''(ξ)，其中ξ∈[a, b]，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
从这个公式可以看出，误差与步长h的平方成反比。
也就是说，当步长h变得更小的时候，误差会变得更小。
在实际应用中，我们可以通过逐步减小步长h的方式来提高梯形法的准确性。
通常情况下，我们使用自适应的方法来选择适当的步长。
自适应方法会根据已有的近似值和误差估计，调整步长的大小，从而得到更精确的数值积分结果。
除了误差估计技巧，我们还可以通过增加区间的划分数n来提高梯形法的准确性。
当n趋向于无穷大时，梯形法的近似值会趋向于定积分的真值。
因此，通过增加区间的划分数，我们可以得到更精确的数值积分结果。
数值积分算法误差分析
实验名称：数值积分算法误差分析1.实验原理1) 欧拉法原理在数学和计算机科学中，欧拉方法(Euler method)命名自它的发明者莱昂哈德•欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解。
它是一种解决常微分方程数值积分的最基本的一类显型方法(Explicit method) 。
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。
实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。
欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。
所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。
对于常微分方程：J = f (x,y),x [a,b]dxy(a) = yO可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第X i点有y'( X i)=f(X i,y(xJ)，再用向前差商近似代替导数则为：(血1叮皿))"阳畑)) h，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。
因此可以根据xi点和yi点的数值计算出y i+1来：洪门—②”九亍93沁二i=0,1,2丄这就是欧拉格式，若初值y +1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解屮,y2丄。
1)龙哥库塔法原理数值分析中，龙格—库塔法(Runge-Kutta )是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
这些技术由数学家卡尔•龙格和马丁•威尔海姆•库塔于1900年左右发明。
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“ RK4或者就是“龙格库塔法”。
该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题表述如下。
y = /(t.y), y(to) = yo则，对于该问题的RK曲如下方程给出：hVn^-l = Vn+ 詁局I 4 2鬲+ 如其中^1 == f(bl i Urt + gkj血3 = f £n + £, Un I £爲)呛=f (tn + k伽+ h如这样，下一个值(y n+i)由现在的值(y n)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
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Sn
h 6
f
n1
(a) 2
k 1
f
n
(xk ) 4
k 1
f
(
x k
1
)
2
f
(b)
（3）复化Cotes求积公式
h
n1
3
n1
n1
Cn
90
7
f
(a) 32( (
k 0
f
(
x k
1
)
4
f
(xk
4
))
12
k
0
(
x k
1、Newton-Cotes求积公式的误差分析
（1）梯形公式的截断误差 （2）辛普森公式截断误差 （3）柯特斯公式截断误差
RT
f ( ) (b a)3, 12
(a,b)
RS
(b a)5 2880
f
(4) ( ), (a,b)
RC
2(b a) 945
(b
一、几种数值积分的算法
1、Newton-Cotes求积公式
（1）梯形公式（n=1）
b f (x)dx T b af (a) f (b)
a
2
（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）
b
f (x)dx S
a
b
6
a
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
（3）Cotes公式（n=4）
b
f (x)dx C
a
b a 90
7
f
(
x0
)
32
f
(
x1
)
12
f
(
x2
)
32
f
(
x3
)
7
f
(
x4
)
2、复化求积公式
（1）复化梯形求积公式
Tn
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk
)
f
(b)
（2）复化Simpton求积公式
时牛顿-柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定 的.高斯求积公式的代数精度高达8，是具有最高代数精度的插值型求
积公式.
总结
通过理论分析和比较可以得出以下结论: 一般来说, Newton- Cotes方法的代数精度越 高,数值积分的效果越好;当积分区间较大时 候,可以采用复化积分方法可以得到较好的效 果;Romberg 积方法可以更好得到的积分序列 得到更为精确的数值结果,是一个较好的数值 积分方法.
h
2
f
(
)
（2）复化辛普森公式的截断误差
RSn
(
f
)
h 180
(h)4 2
f
(4)
( ),
(a,b)
（3）复化Cotes公式的截断误差
RCn
(
f
)
2(b a) 945
(h)6 4
f
(6)
( ),
(a,b)
小结 ：1、 Tn、Sn、Cn 收敛速度一个比一个快，一个比一个准确.
2、在使用函数值个数相等的情况下， T8、S 4、C2 精度逐渐升高.
3、龙贝格求积公式的误差分析
龙贝格求积公式是具有8阶精度的算法，收敛且稳定,比 Tn、Sn、Cn
收敛的快.
余项为：
b
Rm,k ( f ) a f (x)dx Tm,k
B2m2
(b a)2m3 f (2m2) ( )
a)6 4
f
(6) ( ),
(a,b)
小结：Simpson公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其
代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积分公
式，尤其是Simpson公式逻辑结构简单，且精度又比较高.
2、复化求积公式的误差分析
（1）复化梯形公式的截断误差
RTn
(
f
)
ba 12
1 2
)
14
k
1
f
(xi ) 7
f
(b)
3、龙贝格求积公式
Tm,k
4 T m m1,k 1
Tm1,k
4m 1
, m 1,2,
i, k
im
4、高斯求积公式
（1）高斯-勒让德求积公式 （2）高斯-切比雪夫求积公式 （3）高斯-拉盖尔求积公式 （4）高斯-埃尔米特求积公式
( n 1)
插值余项
R[f] Nhomakorabeab
a
(
x)
f (n
(1))!n1
(
x)dx
知插值型求积公式的代数精度
n
不可能低于 n
，另一方面，若取f
(x)
2 n1
(
x)
(x
xi
)2
则有R[ f ] 0
i0
说明插值型求积公式的代数精度不可能达到 2n 2 ,高斯型求积公式
是具有最高阶代数精度的求积公式. 高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高，当 n 8
1
n
f (x，)dx
1
Ak f (xk )
k 0
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 0
f (xk )
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
k 0
e x2 f (x)dx
n
Ak f (xk )
k 0
二、数值积分方法的误差比较及算例
几种数值积分方法的误差 理论总结及讨论
学生：于欣蕊 指导教师：任文秀
课程设计的基本思路
本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及 列出具体算例，通过余项、代数精度等比较各种方法 的异同。在我们解题时，用一些方法只能解决很狭隘 的一部分积分，在它的范围外通常采用各种近似计算 的方法。在近似计算过程中，肯定会产生误差，我们 必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此，一个 好的数值求积公式应该满足：计算简单、误差小、代 数精度高并且稳定。为了提高运算速度和准确性，我 们要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论识， 从而使运算速度更快、更准。
2 ! (m1)(m2k ).2m
Romberg积分法高速有效，易于编程，适合于计算机计算.但它 有一个主要的缺点是，每当把区间对分后，就要对被积函数 f (x) 计算它在 新分点处的值，而这些函数值的个数是成倍的增加的.
4、高斯求积公式的误差分析
高斯求积公式可分为带权求积公式和不带权求积公式两大类.由